BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Life Table
Life table adalah tabel mengenai angka kematian menurut umur yaitu
berkaitan dengan peluang bertahan hidup menurut umur.
(Coale & Demeny 1983)
Dengan menggunakan data empiris dari beberapa negara, Coale-Demeny (1983) mengklasifikasikan model life table menjadi empat, yaitu model Timur (East model), model Utara (North model), model Selatan (South model), dan model Barat (West model).
Model Timur (East model) berasal dari negara Austria, Jerman, Italia, Polandia, dan Czechoslauvakia, yang ditandai angka kematian bayi yang tinggi dan peningkatan dengan cepat angka kematian setelah umur 50 tahun. Model Utara (North model) berasal dari Islandia, Norwegia, dan Swedia didasarkan angka kematian bayi rendah sedangkan angka kematian anak dan umur diatas 50 tahun tinggi. Model Selatan (South model) berasal dari negara Spanyol, Portugis, dan Italia, didasarkan angka kematian dibawah umur 5 tahun, umur 40 sampai 60 tahun rendah namun angka kematian untuk umur 65 tahun tinggi. Selain model
life table di atas digolongkan ke dalam model Barat (West model), cirinya
mempunyai pencatatan kelahiran, kematian maupun migrasi penduduk yang lengkap.
Brown (1997) menyusun life table dengan kolom-kolomnya terdiri dari:
x : umur
nlx : banyaknya orang yang tepat berumur x
ndx : banyak orang yang mati antara umur x sampai (x+n)
nqx : peluang orang yang berumur x, akan mati sebelum mencapai umur (x+n) npx : peluang orang yang berumur x sebelum mencapai umur (x+n)
n Lx : banyaknya waktu yang dijalani sejumlah lx dari umur x sampai umur (x+n)
Tx : total waktu yang dijalani sejumlah lx dari umur x sampai akhir hayat (ω)
dari kolom-kolom tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut: ndx = nlx – nl(x+1) (2.1) npx = 1- nqx (2.2) nl(x+1) = nlx .npx (2.3) ndx = nlx .nqx (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) Berikut contoh dari life table Coale-Demeny pada kematian perempuan di Jepang pada tahun 2005, ditunjukkan oleh Tabel 1.
Tabel 1 Complete Life Table for Female, Japan 2005
x nlx ndx nqx npx nLx Tx 0 100.000 252 0,00252 0,99748 99.800 8.551.573 85,52 1-4 99.748 34 0,00034 0,99966 99.730 8.451.773 84,73 5-9 99.658 11 0,00011 0,99989 99.653 8.052.997 80,81 10-14 99.614 7 0,00007 0,99993 99.611 7.554.824 75,84 15-19 99.576 12 0,00012 0,99988 99.571 7.056.838 70,87 20-24 99.489 26 0,00026 0,99974 99.476 6.559.144 65,93 25-29 99.338 32 0,00032 0,99968 99.322 6.062.060 61,02 30-34 99.178 37 0,00037 0,99963 99.160 5.565.763 56,12 35-39 98.966 52 0,00053 0,99947 98.940 5.070.372 51,23 40-44 98.665 74 0,00075 0,99925 98.628 4.576.253 46,38 45-49 98.232 111 0,00113 0,99887 98.177 4.083.942 41,57 50-54 97.566 172 0,00176 0,99824 97.481 3.594.327 36,84 55-59 96.549 256 0,00265 0,99735 96.423 3.108.874 32,20 60-64 95.086 347 0,00365 0,99635 94.914 2.629.605 27,66 65-69 93.077 499 0,00536 0,99464 92.831 2.158.898 23,19 70-74 90.058 802 0,00891 0,99109 89.664 1.700.476 18,88 75-79 85.054 1.338 0,01573 0,98427 84.396 1.261.615 14,83 80-84 76.839 2.227 0,02898 0,97102 75.746 855.184 11,13 85-89 62.965 3.586 0,05695 0,94305 61.193 502.782 7,99 90-94 42.706 4.511 0,10563 0,89437 40.453 236.336 5,53 95-99 20.840 3.740 0,17946 0,82054 18.938 78.555 3,77 100-104 6.090 1.711 0,28095 0,71905 5.202 15.470 2,54 105-109 808 334 0,41337 0,58663 629 1.370 1,70 110-114 32 18 0,56250 0,43750 22 36 1,13 115 1 0 0,70259 0,29741 0 1 0,82
2.2 Multistate Life Table
Life table Coale-Demeny disebut juga life table unistate karena hanya
terdapat dua kondisi yaitu bertahan hidup atau mati, dengan state-nya hidup dan mati. Kondisi ini dapat diperluas dengan melakukan penambahan atau pengurangan state penyebab kematian. Sebuah contoh dalam bidang kesehatan penyebab kematian karena suatu penyakit, maka terdapat penambahan state baru yaitu sakit. Karena lebih dari dua state, dapat disebut multistate, sehingga dalam
life table disebut multistate life table (MSLT).
Berdasarkan penambahan dan pengurangan state pada multistate life table Rogers (1979), mengelompokkan menjadi uniradix multistate life table dan
multiradix multistate life table. Radix adalah satuan jumlah orang yang memasuki
kelompok pengamatan, biasanya ditentukan dengan besaran 1.000, 10.000, 100.000 dan seterusnya. Perbedaan antara uniradix dengan multiiradix adalah jika
uniradix dalam satu radix semua orang berada dalam state yang berbeda dan
dapat berinteraksi, maka multiradix adalah gabungan dari beberapa uniradix yang
state–nya dapat berinteraksi.
Unistate life table oleh Lynch (2010), dimodifikasi menjadi multistate life table, dengan cara memperluas state mati sebagai pengurang tunggal (single decrement), menjadi lebih dari satu state. Sebagai contoh ditunjukkan pada
Gambar 1, penyebab kematian karena suatu penyakit, sehingga terjadi beberapa kemungkinan individu berubah status: tetap sehat, dari sehat ke sakit, dari sehat ke mati, tetap sakit, dari sakit menjadi sehat, dan dari sakit ke mati.
Gambar 1 Proses multistate pada bidang kesehatan.
Sehat Sakit sehat Mati p11 p12 p22 p21 p23 p13
Dengan demikian lx tidak hanya menunjukkan banyaknya individu yang bertahan hidup, namun dapat memisahkan individu-individu yang sehat, sakit, dan mati. Misalkan = jumlah orang yang sehat, = jumlah orang yang sakit, dan = jumlah orang yang mati, sehingga untuk mengetahui l(x+1), selain lx dikurangi oleh banyak kematian ( ), namun juga ada pengurang lain yaitu jumlah individu yang sakit ( ), dapat dinyatakan:
(2.8) Peluang individu yang mengalami perubahan dari state yang satu ke state lainnya digunakan perbandingan antara jumlah individu yang mengalami perubahan status dengan populasinya disebut peluang transisi. Dalam multistate
life table, digunakan untuk mengukur peluang suatu kejadian perubahan status.
Gabungan dari beberapa peluang transisi biasanya dinyatakan dalam bentuk matriks.
Untuk menentukan jumlah individu yang bertahan setelah berumur ,
lx dikalikan dengan matriks peluang transisi masing-masing state, dimana
lx = [ =0] dan Px=
dimana : peluang transisi tetap sehat, peluang transisi sehat menjadi sakit, : peluang dari sehat ke mati, : peluang transisi dari sakit menjadi sehat, : peluang transisi tetap sakit, dan : peluang trasnisi dari sakit menjadi sakit. Jumlah elemen dalam satu baris adalah satu, sehingga diperoleh
l(x+1) = lx . Px
= [ =0]
= [ . phh + . puh . phu + . puu . phd + . pud] (2.9) Masing-masing peluang transisi oleh Seigel dan Swanson (2004) dapat dikumpulkan berdasarkan state, sehingga pada kasus bidang kesehatan dapat pula dijumlahkan peluang transisi yang sehat, sakit, dan mati. Diantaranya adalah
peluang sehat (h): ph = phh + puh, peluang sakit (u): pu = phu + puu , dan peluang mati (d): pd = phd + pud, dimana ph = pu = pd = 1.
Pada umumnya model multistate life table didefinisikan sebagai model proses stokastik yang memungkinkan individu dapat berpindah state yang terbatas, termasuk keluar dan masuk kembali ke dalam state yang sama.
Titik awal dari life table menurut Roger (1979) beranjak dari perubahan jumlah penduduk karena faktor kematian, yang dirumuskan
, (2.10)
dimana µ(x) menjelaskan perubahan kematian pada saat umur x. Solusi dari persamaan (2.10) adalah
(2.11) Bukti pada Lampiran 1
Dari (2.11) dapat dihitung peluang tepat pada umur x akan hidup sampai umur x+h sebagai berikut
(2.12) Bukti pada Lampiran 2
Seperti pada persamaan (2.10), untuk multistate life table dapat diperoleh dengan mengubah l(x) ke dalam matriks skalar
(2.13)
dimana l(x) dan µ(a) adalah matriks skalar, yang didefinisikan
dan
Untuk kasus khusus ketika µ(a) adalah matriks konstan pada interval (x,x+h), adalah
l(x+h) = exp[-hM(x)]. l(x) (2.14)
dimana M(x) merupakan matriks aproksimasi dari µ(a), sehingga µ(a) = M(a) Bukti pada Lampiran 3
Menentukan matriks menurut umur dari peluang transisi antar state P(x)=I(x+h).I(x)-1, dengan mengembangkan eksponensial pada persamaan (2.14) diperoleh:
P(x) = I – hM(x) (2.15) dimana I adalah matriks identitas
Bukti pada Lampiran 4
Untuk memperbaiki aproksimasi pada persamaan (2.14), kedua ruas dikalikan dengan exp[ , sehingga diperoleh
(2.16)
Bukti pada Lampiran 5
Dari persamaan (2.16) kemudian diperoleh persamaan
(2.17)
Metode konstruksi ini merupakan perluasan dari life table unistate, sehingga dapat dikembangkan pada model life table multistate dengan cara memperluas matriks, oleh Rogers (1979) dinyatakan dalam matriks peluang transisi Pij (x),
dengan pij(x) adalah dari individu yang hidup di wilayah i pada tepat berumur x dan hidup setelah (x+h) di wilayah j.
Penerapan dari metode multistate tidak hanya sebatas pada multi regional namun sudah meluas ke berbagai bidang, misalkan terkait keluarga (Bongaarts 1987), partisipasi angkatan kerja (Willekens 1982), migrasi (Rogers & Willekens 1986), status perkawinan (Willekens 1987), penggunaan alat kontrasepsi (Islam 1994), harapan hidup (Rogers et al. 1989), status kesehatan dan harapan hidup (Crimmins et al. 1994) dan resiko perokok terhadap kardiovaskular (Mamun 2003).
2.3 Sebaran Seragam Kematian
Jika terdapat d(x) kematian antara umur x sampai (x + 1), maka akan terjadi w.d(x) kematian sebelum waktu w pada interval umur, dimana 0 < w < 1.
Sehingga jumlah orang yang hidup pada saat umur adalah
lx+w = lx – w.dx.
(Brown 1997)
2.4 Peluang Kejadian dan Peluang Bersyarat
Misalkan S adalah ruang contoh dan A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah
Jika P(B) > 0 maka peluang terjadinya A jika diketahui B terjadi didefinisikan sebagai
(Ghahramani 2005) 2.5 Peubah Acak dan Kejadian
Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω→R dengan sifat bahwa {ω Є Ω: X (ω)≤x} Є F, untuk setiap x Є R, dimana R adalah himpunan bilangan
real.
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω.
(Grimmett & Stirzaker 1992) 2.6 Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah suatu fungsi F:R→[0,1] yang diberikan oleh F(x) = P(X≤x).
(Grimmett & Stirzaker 1992)
2.7 Proses Stokastik
Proses stokastik adalah koleksi peubah peubah acak {Xn:n∊I} untuk himpunan terhitung dengan I ={1,2,3,…} atau {X(t):t∊T} untuk himpunan tak terhitung dengan T = [0,∞).
Selanjutnya {Xn:n = 1,2,…}disebut sebagai proses stokastik dengan waktu
diskret, sedangkan untuk {X(t):t≥0} disebut proses stokastik waktu kontinu. Untuk kasus diskret, proses stokastik biasanya dinotasikan dengan Xn. Nilai yang mungkin untuk X(t) disebut state, sedangkan proses X(t) berada pada state x dan
pada waktu t dinotasikan dengan X(t) = x. Semua himpunan yang memenuhi semua nilai untuk Xn dan X(t) disebut ruang state dari proses stokastik.
(Ghahramani 2005) 2.8 Rantai Markov
Rantai Markov diskret adalah sebuah proses Markov yang ruang state-nya adalah gugus berhingga atau gugus yang dapat dihitung, dan gugus indeksnya adalah T = {0, 1, 2, ...}. Pada umumnya, sifat Markov dinyatakan sebagai: P{Xn+1 = j│X0 = i0, ..., Xn-1 = in-1, Xn = i} = Pr{Xn+1 = j│Xn = i}, untuk semua titik waktu n dan semua state i0, ..., in-1, i, j.
(Jones & Smith 2010) 2.9 Matriks Peluang Transisi
Matriks peluang transisi adalah suatu matriks yang memuat semua informasi yang mengatur perpindahan sistem dari suatu state ke state lainnya. Unsur-unsur dari matriks tersebut menunjukkan besarnya peluang perpindahan sistem dari satu
state ke state lainnya.
Untuk rantai markov terbatas dengan n state dari E1,E2, …,En, dinotasikan
pij = P{ En = j│En-1 = i}, dimana i,j=1,2,…,m. pij > 0, . Untuk setiap
i = 1,2,…,m. Jika pij > 0, maka dikatakan state Ei dapat berkomunikasi dengan
state Ej, komunikasi dua arah dimungkinkan jika pij > 0. Bentuk dari matriks peluang transisi berordo (m x m) adalah sebagai berikut
Px = [pij] =
(Jones & Smith 2010) 2.10 Fungsi Eksponensial Matriks
Diberikan matriks konstan A dengan ordo (n × n). Fungsi matriks eksponensial dari dapat didefinisikan menjadi
(Goode 1991) (2.18)
