APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS UNTUK MENGOPTIMALKAN HASIL PRODUKSI PADA PABRIK RAMAH JAYA BAKERY SKRIPSI

APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS UNTUK MENGOPTIMALKAN HASIL PRODUKSI PADA PABRIK

RAMAH JAYA BAKERY

SKRIPSI

SITI AISAH 090803020

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

2013

APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS UNTUK MENGOPTIMALKAN HASIL PRODUKSI PADA PABRIK

RAMAH JAYA BAKERY

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai untuk gelar Sarjana Sains

SITI AISAH 090803020

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

2013

PERSETUJUAN

Judul : APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN

METODE DUALITAS DAN ANALISIS

SENSITIVITAS UNTUK MENGOPTIMALKAN HASIL PRODUKSI PADA PABRIK RAMAH JAYA BAKERY

Kategori : SKRIPSI

Nama : SITI AISAH

Nomor Induk Mahasiswa : 090803020

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, September 2013 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Syahril Efendi, S.Si, M.I.T . Drs. Rosman Siregar, M.Si.

NIP. 196711101996021001 NIP. 196101071986111001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua.

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D.

NIP. 196209011988031002

PERNYATAAN

APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS UNTUK MENGOPTIMALKAN HASIL

PRODUKSI

PADA PABRIK RAMAH JAYA BAKERY SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, September 2013

Siti Aisah 090803020

PENGHARGAAN .

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Penyayang, dengan limpah rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa baik isi maupun cara penulisan dan penyusunan skripsi yang berjudul Aplikasi Program Linier dengan Metode Dualitas dan Analisis Sensitivitas untuk Mengoptimalkan Hasil Produksi pada Pabrik Ramah Jaya Bakery. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada :

1. Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku dosen pembimbing I dan Bapak Syahril Efendi, S.Si, M.IT selaku dosen pembimbing II yang telah banyak memberikan dukungan moral, motivasi, waktu dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D dan Ibu Dra.

Mardiningsih, M.Si selaku ketua dan sekretaris Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

4. Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku dosen penguji saya yang memberikan masukan untuk menyempurnakan skripsi ini.

5. Semua Dosen di Departemen Matematika FMIPA USU beserta staf pegawai di FMIPA USU.

6. Staf seluruh pegawai pabrik Rahma Jaya Bakery yang telah banyak membantu dan meluangkan waktu untuk berdiskusi mengenai data yang penulis butuhkan.

7. Kepada kedua orang tua tercinta penulis, abah Syamsul, dan ibunda Rusdiana serta saudara-saudara penulis Sarifah Aini, Muhammad Yusuf, Zulkifli, Sarimah Yunun, Muhammad Rafly dan teman dekat penulis yang

selama ini telah memberikan dorongan, semangat, motivasi, kasih sayang dan do’a yang diberikan kepada saya.

8. Serta para sahabat-sahabat Defita Sari, Juliarti Hardika S.Si, Mardhatillah, Desi Ratna Sari, Sari C. Kembaren, Siti Rayani Simatupang, Wiwit Widyawati, Ida Yanti Hasibuan, Yuan Annisa, Lintang Gilang Pratama, Rahmadhani Siagian, Effendi, Syukri Jundi, Yudhana Jumaindra, Bayu Syahputra dan seluruh teman-teman Jurusan Matematika khususnya stambuk 2009 yang telah banyak memberikan masukan dan do’a nya penulis ucapkan terima kasih.

Akhir kata, penulis tidak dapat melakukan banyak hal atas kebaikan, bantuan dan do’a yang selama ini diberikan sampai saat ini. Semoga segala yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih lagi dari Tuhan Yang Maha Esa dan semoga tulisan yang dibuat berguna bagi pembaca semua.

Medan, September 2013 Penulis,

Siti Aisah

APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS UNTUK MENGOPTIMALKAN HASIL

PRODUKSI PADA PABRIK RAMAH JAYA BAKERY

ABSTRAK

Hasil pengamatan yang dilakukan pada pabrik Roti Ramah Jaya Bakery ditemukannya permasalahan yaitu pabrik belum mampu mengoptimalkan jumlah produksi untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal. Oleh karena itu, dalam tulisan ini akan membahas bagaimana menganalisis hasil produksi yang optimal guna mendapatkan keuntungan yang maksimal. Analisis jumlah produksi yang digunakan adalah program linier dengan metode dualitas dan melakukan analisis sensitivitas terhadap hasil yang optimal. Kegunaan analisis sensitivitas ini adalah seberapa besar parameter nilai optimal yang diperoleh. Perhitungan jumlah produksi optimal yang didapat rata-rata adalah roti rasa kelapa 3150 buah, roti rasa cokelat 9900 buah dan roti rasa melon 1350 buah.

Kata kunci : produksi, program linier, dualitas, analisis sensitivitas.

APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS UNTUK MENGOPTIMALKAN HASIL

PRODUKSI PADA PABRIK RAMAH JAYA BAKERY

ABSTRACT

The results of observation made at the Friendly Jaya Bakery discovery issues that have not been able to optimize plant production quantities to gain maximum profit. Therefore, in this paper will discuss how to analyze the results so that the optimal production gains also maximal. Analysis of the amount of production that is used is a linear program with a duality method and perform sensitivity analysis on the optimal result. Usefulness of sensitivity analysis in this paper is how the optimal values of the parameters obtained. Calculation of the optimal amount of bread production obtained average is 3150 coconut, 9900 chocolate flavor and 1350 melon flavor.

Keywords : production, linear programming, duality, sensitivity analysis.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Bab 1. Pendahuluan

1.1.Latar Belakang 1

1.2.Perumusan Masalah 2

1.3.Batasan Masalah 2

1.4.Tujuan Penelitian 3

1.5.Kontribusi Penelitian 3

1.6.Tinjauan Pustaka 3

1.7.Metodologi Penelitian 6

Bab 2. Landasan Teori

2.1. Pemodelan pada Riset Operasi 7

2.2. Program Linier 7

2.2.1. Sifat Dasar Program Linier 8

2.2.2. Karakteristik-karakteristik dalam Program Linier 8

2.3. Metode Simpleks 9

2.4. Teori Dualitas 10

2.5. Metode Dual Simpleks 14

2.6. Analisis Sensitivitas 19

Bab 3. Metode Penelitian

3.1. Pengumpulan Data 30

3.1.1. Jenis Rasa Roti 30

3.1.2. Bahan-bahan Utama 31

3.1.3. Uraian Proses Produksi 31

3.1.4. Data Biaya Produksi 33

3.1.5. Data Keuntungan Produksi 34

3.2. Pengolahan Data 35

Bab 4. Hasil dan Pembahasan

4.1. Variabel Keputusan 36

4.2. Perumusan Fungsi Tujuan 36

4.3. Perumusan Fungsi Kendala 36

4.4. Pengolahan Data 37

4.4.1. Memodelkan Permasalahan 37

4.4.2. Mengubah Bentuk Program Linier 38 Ke Model Bentuk Dual

4.4.3. Mencari Solusi Optimal dengan Tabel Simpleks 39

4.4.4. Analisis Sensitivitas 51

4.4.4.1. Menganalisis Perubahan pada Koefisien 51 Fungsi Tujuan

4.4.4.2. Menganalisis Perubahan pada Nilai 59 Kuantitas Batasan

Bab 5. Kesimpulan dan Saran

5.1. Kesimpulan 65

5.2. Saran 65

Daftar Pustaka 66

DAFTAR TABEL

Nomor Tabel Judul Halaman

2.1. Koefisien Z pada Nilai Optimal 11

2.2. Hubungan Primal-Dual 13

2.3. Contoh Studi Kasus 15

2.4. Primal Optimal 16

2.5. Dual Optimal 18

2.6. Hasil Optimal dengan C₁ 160 23

2.7. Hasil Optimal dengan C₂ 200 24

2.8. Simpleks Awal 26

2.9. Simpleks Akhir 26

3.1. Jenis Rasa Roti 30

3.2. Nama-nama Bahan Utama 31

3.3. Uraian Waktu Proses Produksi 33

3.4. Biaya Bahan Produksi Per Adonan 33

3.5. Keuntungan Roti Per Adonan 34

4.1. Iterasi 0 (masalah primal) 39

4.2. Iterasi 1 (masalah primal) 40

4.3. Iterasi 2 (masalah primal) 41

4.4. Iterasi 3 (masalah primal) 42

4.5. Iterasi 4 (masalah primal) 43

4.6. Optimal Dual 46

4.7. Hasil Optimal dengan C₁ 280000 53

4.8. Hasil Optimal dengan C₂ 219000 55

4.9. Hasil Optimal dengan C₃ 252500 57

4.10. Simpleks Awal Analisis Sensitivitas 60 4.11. Simpleks Akhir Analisis Sensitivitas 61

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dewasa ini perkembangan dunia industri semakin maju, hal itu terbukti dengan banyaknya industri-industri baru yang mengelola berbagai macam produk. Salah satunya adalah industri dalam bidang makan. Dalam hal ini membuat kebutuhan akan faktor-faktor produksi menjadi bertambah banyak.

Banyaknya faktor produksi tersebut membuat sautu pabrik harus membuat keputusan yang tepat mengenai cara mengalokasikan sumber daya agar produksi roti tetap berjalan untuk menghasilkan produksi yang optimal sesuai permintaan pasar dan mencapai tujuan tertentu. Sumber daya produksi yang dimaksud antara lain, bahan baku, tenaga kerja, mesin, dan lain-lain. Dimana setiap sumber daya produksi memiliki kapasitas yang terbatas dan membutuhkan biaya. .

Pabrik Ramah Jaya merupakan sebuah pabrik yang bergerak dalam bidang industri makanan, yaitu roti. Berdasarkan informasi yang diperoleh dari pihak pabrik, mereka tidak tahu seberapa besar jumlah produksi untuk mendapatkan laba maksimal. Hal itu disebabkan antara lain ketidakpastian permintaan pasar.

Terkadang permintaan yang tidak seimbang dengan ketersedian sumber daya yang ada pada pabrik tersebut menyebabkan laba yang diperoleh pabrik tidak menentu dan sering tidak sesuai dengan yang diharapkan. Permasalahan yang biasa dihadapi dalam pabrik adalah ketidakmampuan pabrik dalam menentukan jumlah produksi yang optimal. Hal ini menyebabkan pabrik mengalami kekurangan dan kelebihan produksi yang menyebabkan pabrik tidak dapat mencapai laba maksimal. Maka dari itu diperlukan perencanan jumlah produksi guna mendapatkan keuntungan yang maksimal dan biaya yang minimum.

Salah satu analisis metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan alokasi sumber adalah metode program linier. Program Linier merupakan metode atau teknik matematika yang digunakan untuk masalah membantu manager dalam pengambilan keputusan. Dalam mencari solusi optimalnya, masalah program linier akan diselesaikan dengan cara metode dualitas dengan terlebih dahulu memformulasikan masalah program linier ke dalam metode dualitas.

Setelah ditemukan penyelesaian yang optimal dari suatu masalah program linier dari cara tersebut, maka langkah selanjutnya adalah melakukan perhitungan dengan menggunakan analisis sensitivitas guna untuk mengetahui seberapa besar perkiraan parameter-parameter yang dapat diubah dan dampak apa yang terjadi pada solusi model tersebut sehingga mendapatkan hasil yang optimal. Maka dari itu penulis memilih judul “Aplikasi Program Linier dengan Metode Dualitas dan Analisis Sensitivitas untuk Mengoptimalkan Hasil Produksi Pada Pabrik Ramah Jaya Bakery ”.

1.2 Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam tulisan ini adalah bagaimana cara mengoptimalkan jumlah produksi guna mendapatkan keuntungan maksimal dengan biaya terbatas dengan menerapkan program linier yang penyelesaiannya menggunakan metode dualitas yaitu primal dan dual serta melakukan analisis sensitivitas terhadap nilai optimal yang diperoleh.

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang ada dapat diselesaikan dengan baik dan pembahasan menjadi lebih terarah, maka akan dilakukan beberapa pembatasan masalah sebagai berikut:

1. Analisis yang dilakukan dalam menentukan jumlah produksi berdasarkan pada harga pokok produksi, bahan baku dan waktu produksi.

2. Dalam menyelesaikan produksi, harga/biaya bahan baku dianggap konstan, tidak dipengaruhi oleh waktu dan faktor-faktor lain.

3. Penyelesaian dilakukan dengan metode dualitas dan melakukan analisis sensitivitas terhadap nilai optimal yang telah diperoleh.

4. Pengolahan data menggunakan bantuan software QM Windows 2.0.

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan kebijakan optimal dalam masalah memproduksi roti pada Pabrik Ramah Jaya Bakery dengan tujuan memaksimalkan keuntungan.

1.5 Kontribusi Penelitian

Sesuai dengan tujuan penelitian di atas maka kontribusi dari penelitian ini adalah mendapatkan keuntungan maksimal yang dapat diperoleh berdasarkan hasil produksi yang optimal dan bagi perusahaan itu sendiri sebagai gambaran serta petunjuk untuk proses pengambilan keputusan dalam masalah pemasaran jumlah produksi dalam memperoleh keuntungan yang maksimal.

1.6 Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini.

P. Siagian (2006) mengemukakan bahwa tiap problem program linier, disebut problem primal, mempunyai masalah sehubungan secara tunggal yang dinamakan masalah dual. Kedua masalah ini berhubungan sangat erat sekali dimana masalah yang satu dibentuk dari masalah yang lain, sehingga :

a. Keduanya menggunakan koefisien (data) yang sama meskipun dengan urutan yang berbeda.

b. Keduanya mempersoalkan sumber-sumber yang sama.

c. Jawab optimal dari yang satu menghasilkan jawab optimal bagi yang lain.

Karena itu, bila masalah primal berbentuk maksimum maka masalah dualnya berbentuk minimum, demikian sebaliknya.

Secara umum dapat ditulis :

I. Primal : Max.

n

j

j jx C f

1

Dengan batasan

n

j

i j

ijx b

a

1

, i 1,2,...,m

x_j 0, j 1,2,...,n

II. Dual : Min.

m

i i iy b g

1

Dengan batasan

n

i

j i

ijy C

a

1

, j 1,2,...,n

i 0

y , i 1,2,...,m Keterangan :

C : Laba per satuan aktivitas j j .

x : Banyaknya produk j j .

b : jumlah sumber i i yang tersedia (i 1,2,...,m) y : Nama variabel baru. i

Parlin Sitorus (1997) mengemukakan bahwa hubungan antara program linier primal dan dual (dalam proses konversi model promal ke dalam model dualitas) dapat dilihat pada tabel dibawah ini:

No Item

Model

Primal dual

1 Fungsi tujuan Memaksimalkan

Meminimalkan

Meminimalkan Memaksimalkan

2 Jumlah variabel

Jumlah variabel keputusan (x ) _i

Jumlah kendala model

3 Jumlah kendala Jumlah kendala model

Jumlah variabel keputusan (x ) _i

4 Koefisien fungsi tujuan

Nilai kontribusi fungsi tujuan

Nilai sisi kanan kendala

5 Sumber daya tersedia Nilai sisi kanan kendala

Nilai kontribusi fungsi tujuan

6 Koefisien matriks Koefisien teknologi

Koefisien teknologi yang diubah

7 Tanda ketidaksamaan

dan

Pangestu Subagyo (2005) mengemukakan bahwa salah satu penemuan yang terpenting dalam perkembangan program linier sebagai alat analisa adalah konsep dualitas dengan berbaagai manfaat yang ditimbulkannya. Penemuan ini menyatakan bahwa setiap masalah program linier lain yang merupakan dualnya.

Hubungan antara masalah yang asli (primal) dengan dual inilah yang dapat dipetik manfaatnya dalam berbagai hal.

1.7 Metodologi Penelitian

Dalam hal ini penulis mengadakan penelitian langsung ke Pabrik Roti adapun metode penelitian yang dilakukan adalah :

1. Mendefinisikan dan menguraikan masalah produksi perusahaan dengan jelas.

2. Dipilih 3 jenis rasa roti pada pabrik, yaitu rasa kelapa, rasa cokelat dan rasa melon.

3. Pengumpulan data

Pengumpulan data yang diperoleh secara langsung dari pabrik. Adapun data yang diperoleh adalah : Biaya Produksi, bahan baku, waktu produksi dan keuntungan.

4. Analisis dan pengolahan data yang diperoleh diformulasikan ke dalam bentuk program linier dan diselesaikan dengan metode dualitasa dan melakukan analisis sensitivitas dengan bantuan software QM windows 2.0

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Pemodelan Pada Riset Operasi

Hamdy A. Taha (2003) menuliskan bahwa dalam pemodelan riset operasi melibatkan 3 hal yaitu variabel keputusan, fungsi tujuan, dan kendala-kendala atau batasan-batasan. Secara umum dituliskan dalam bentuk berikut :

Maksimalkan atau minimalkan fungsi tujuan Dengan kendala

Batasan-batasan

Pada format diatas tidak terlihat variabel keputusan, tapi sebenarnya batasan- batasan dan fungsi tujuan itu terbentuk dari kumpulan variabel keputusan.

2.2. Program Linier

Program linier merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya produksi. Program linier berkaitan dengan penjelesan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala.

Program linier menggunakan model matematik untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya. Program merupakan sinonim untuk perencanaan sedangkan sifat linier memberi arti bahwa seluruh fungsi matematik dalam model ini merupakan fungsi yang linier. Dengan demikian program linier adalah perencanaan aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel.

Suatu penyampaian masalah program linier perlu dibentuk formulasi secara matematik dari masalah yang sedang dihadapi dengan memenuhi syarat sebagai berikut :

1. Adanya variabel keputusan yang dinyatakan dalam simbol matematik dan variabel keputusan ini tidak negatif.

2. Adanya fungsi tujuan dari variabel keputusan yang menggambarkan kriteria pilihan terbaik. Fungsi ini harus dibuat dalam suatu sel fungsi linier yang dapat berupa maksimum atau minimum.

3. Adanya kendala sumber daya yang dibuat dalam satu set fungsi linier.

2.2.1. Sifat Dasar Program Linier

Program linier merupakan kategori yang sangat penting dari seluruh program matematika. Hal ini jelas bahwa teori program linier mempengaruhi proses pengambilan keputusan.

Suatu persoalan dikatakan sebagai persoalan program linier apabila memenuhi kriteria berikut :

a. Tujuan yang dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier dan fungsi ini disebut fungsi tujuan.

b. Harus mempunyai alternatif pemecahan, yaitu alternatif pemecahan yang memuat harga fungsi tujuan menjadi optimal (maksimum atau minimum).

c. Sumber-sumber yang tersedia harus terbatas jumlahnya dan kendala- kendala harus dinyatakan dengan ketidaksamaan linier.

2.2.2. Karakteristik-karakteristik Dalam Program Linier

Dalam membangun model dari formulasi di atas akan digunakan karakteristik- karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier yaitu :

1. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan (untuk pendapatan atau keuntungan) atau diminimumkan (untuk ongkos). Fungsi ini merupakan bentuk hubungan antara variabel keputusan.

3. Pembatas

Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.

2.3. Metode Simpleks

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam program linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).

Program linier yang melibatkan lebih dari 2 atau banyak variabel sulit diselesaikan dengan metode grafik. Dalam keadaan ini kebutuhan metode yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum itu dikenal dengan nama Metode Simpleks yang dirancang untuk menyelesaikan masalah Program Linier, baik yang melibatkan dua atau lebih dari 2 variabel.

Perhatikan model Program Linier:

Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan

Fungsi pembatas :

. . . . . . . .

dan

Jika didefinisikan:

n n

m n m

m

n n

b b b B x

x x X a

a a

a a

a

a a

a

A

. .

; . .

; ...

. . . .

. . . .

...

...

2 1 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11

maka pembatas dari model tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk sistem persamaan AX = B.

2.4. Teori Dualitas

Konsep dualitas merupakan perkembangan teori program linier. Hal ini sangat diperlukan sebagai dasar interpretasi ekonomis suatu persoalan program linier.

Rumus persoalan program linier terdiri dari primal dan dual. Pemecahan persoalan primal sekaligus juga bisa membantu menghitung pemecahan dual yang dikehendaki dan sebaliknya.

Ketentuan untuk menuliskan bentuk dual dari suatu program linier adalah : a. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual.

b. Koefisien ruas kanan pada primal menjadi koefisien fungsi tujuan bagi dual.

c. Kasus maksimum pada primal menjadi kasus minimum pada dual atau sebaliknya.

d. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris pada dual setiap baris pada primal berkorespondensi kolom pada dual.

e. Dual dari dual adalah primal.

Asumsi dasar yang digunakan adalah masalah primal program linier dinyatakan dalam bentuk standar, yakni :

Maksimalkan

n

j

j jx C Z

1

Batasan-batasan :

n

j

i j

ijx b

a

1

, untuk i 1,2,..,m

x_j 0, untuk j 1,2,...,n

Pemecahan persoalan primal terlihat pada koefisien baris Z pada iterasi tabel optimal. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1. Koefisien Z pada nilai optimal

Variabel _Z x₁ x₂ …

xn s1 s₂ …

sm ^q

Z 1 C₁ Z₁ C₂ Z₂ … C_j Z_j y1 y₂ …

yi y₀ Kondisi optimal adalah apabila semua koefisien pada baris terakhir (C_j Z_j) tidak ada yang bernilai positif, yakni :

;

j 0

j Z

C untuk j 1,2,...,n y_i 0; untuk i 1,2,...,m

Dengan menggantikan Z , nilai-nilai _j y_i dapat dicari

Minimalkan

m

i i iy b y

1

0 ,

Dengan kendala

m

i

j i

ijy C

a

1

, untuk j 1,2,...,n

,

i 0

y untuk i 1,2,...,m

Bentuk di atas tersebut kemudian dikenal sebagai dual daripada masalah primal.

Sebagai konsekuensi nilai Z optimal (maksimum) pada masalah primal adalah y0 minimum pada masalah dual. Sehingga sekali lagi masalah dual ditulis sebagai berikut :

Fungsi tujuan : Minimalkan

m

i i iy b y

1

0 ,

Batasan-batasan :

m

i

j i

ijy C

a

1

, untuk j 1,2,...,n

,

i 0

y untuk i 1,2,...,m

Berikut ini adalah tabel yang menyatakan hubungan antara primal dan dual untuk mempermudah melihat hubungan diantaranya.

Tabel 2.2

Hubugnan Primal-Dual

Masalah Primal

Koefisien dari Ruas

Kanan

x1 x₂ x_n

Masalah Dual Koefisien dari

y1 a₁₁ a₂₁ ^{. . .} a_1n b1

Koefisien Fungsi Tujuan (Memaksimumkan) y2 a₂₁ a₂₂ ^{. . .} a_2n b2

. .

. .

. .

ym a_m1 a_m2 ^{. . .} a_{m n} b_n

Rumus Kanan VI VI VI

C1 C₂ C_n

Koefisien Fungsi Tujuan (Memaksimumkan)

Tabel 2.2 menunjukkan hubungan simetris antara primal dan dual, di mana bagian vertikal/tegak merupakan bentuk primal, sedangkan bagian mendatar merupakan bentuk dualnya. Bila disimpulkan hubungan tersebut adalah sebagai berikut :

1. Parameter untuk batasan persoalan primal (dual) merupakan koefisien bagi persoalan dual (primal).

2. Koefisien fungsi tujuan/obyektif persoalan primal (dual) adalah sisi kanan dari persoalan dual (primal) atas.

Bentuk dual mempunyai interpretasi penting yang dapat membantu manager menjawab pertanyaan tentang alternatif tindakan dan nilai relatifnya. Tiap

persoalan maksimasi dalam program linier mempunyai bentuk kembarnya, demikian atau pula persoalan minimasi mempunyai bentuk kembar atau dualnya.

2.5. Metode Dual Simpleks

Apabila pada suatu iterasi kita mendapat persoalan program linier yang sudah optimum (berdasarkan kondisi optimalitas), tetapi belum fisibel (ada pembatas nonnegatif yang tidak terpenuhi), maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual simpleks. Syarat digunakannya metode ini adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan ketidaksamaan yang bertanda (≤), sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau minimasi.

Pada dasarnya metode dual simpleks ini menggunakan tabel yang sama seperti metode simpleks pada primal, tetapi leaving dan entering variable-nya ditentukan sebagai berikut :

1. Leaving variable (kondisi fisibilitas).

Yang menjadi leaving variable pada dual simpleks adalah variabel basis yang memiliki harga negatif terbesar. Jika semua variabel basis telah berharga positif atau nol, berarti keadaan fisibel telah tercapai.

2. Entering variable (kondisi optimalitas).

a. Tentukan perbandingan (ratio) antara koefisien persamaan z dengan koefisien persamaan leaving variable. Abaikan penyebut yang positif atau nol. Jika semua penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan yang bersangkutan tidak memiliki solusi fisibel.

b. Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio terkecil, sedangkan persoalan maksimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio absolut terkecil.

Contoh mengubah masalah primal ke bentuk dual:

Contoh berikut ini akan memperlihatkan bagaimana bentuk dual dari suatu model dikembangkan dan apa arti dual tersebut. Hickory Furniture Company memproduksi meja dan kursi yang dihitung atas dasar harian. Tiap meja yang diproduksi menghasilkan keuntungan sebesar $160; sedangkan tiap kursi menghasilkan keuntungan sebesar $200. Produksi meja dan kursi ini tergantung pada tersedianya sumber-sumber yang terbatas tenaga kerja, kayu dan tempat penyimpanan. Kebutuhan sumber-sumber untuk memproduksi meja dan kursi serta jumlah total sumber yang tersedia adalah sebagai berikut :

Tabel 2.3 Contoh Studi Kasus

Kebutuhan

Sumber Meja Kursi Jumlah yang

tersedia/hari

Tenaga Kerja 2 jam 4 jam 40 jam

Kayu 18 pon 18 pon 216 pon

Tempat penyimpanan

24 m² 12 m² 240 m²

Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak meja dan kursi yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan. Model untuk masalah ini diformulasikan sebagai berikut :

Primal Dual

Maksimumkan : Minimumkan :

2

1 200

160x x

Z y₀ 40y₁ 216y₂ 240y₃

Batasan-batasan : batasan-batasan :

40 4

2x₁ x₂ 2y₁ 18y₂ 24y₃ 160

216 18

18x₁ x₂ 4y₁ 18y₂ 12y₃ 200

240 12

24x x

dan x₁ 0,x₂ 0 dan y₁ 0,y₂ 0,y₃ 0

Tabel simpleks optimal dari masalah primal ini adalah:

Tabel 2.4 Primal Optimal

Cj

160 200 0 0 0

Variabel Dasar

Kuantitas

x1 x₂ s₁ s₂ s₃

200 x2 ^{8 0 1}

2

1 -

18

1 ⁰

160 x1 ^{4 1 0}

-2 1

9

1 ⁰

0 s3 ^{48 0 0 6 -2 1}

Zj ^{2.240 160 200 20}

3

20 ⁰

j

j C

Z ^{0 0 -20}

- 3

20 ⁰

Hasil tersebut juga dapat dicari dengan bantuan software QM windows 2.0, maka hasilnya dapat dilihat sebagai berikut :

Dengan menginterpretasi solusi primal, didapatkan nilai

1 4

x meja

2 8

x kursi

3 48

s m² tempat penyimpanan 240

. 2

$

Z Keuntungan

Tabel optimal ini juga memuat informasi tentang dual. Pada baris C_j Z_j tabel 2.4, nilai negatif -20 dan -

3

20 di bawah kolom s₁ dan s₂ mengindikasikan bahwa

jika suatu satu unit s₁ atau s₂ dimasukkan ke dalam solusi, laba akan menurun sebesar $20 atau $6,67, secara berurutan.

Nilai baris C_j Z_j yang negatif sebesar $20 dan $6,67 secara berurutan merupakan nilai marginal (marginal value) dari tenaga kerja (s₁) dan kayu (s₂).

Nilai-nilai ini sering dianggap sebagai harga bayangan (shadow prices), karena sebagai cerminan harga maksimum yang bersedia dibayar oleh siapapun untuk mendapatkan satu unit tambahan sumber-sumber.

Selanjutnya adalah dalam bentuk dual dari model di bawah ini:

Minimal : y₀ 40y₁ 216y₂ 240y₃

Batasan-batasan :

160 24

18

2y₁ y₂ y₃ 200 12

18

4y₁ y₂ y₃ 0 , , _{2 3}

1 y y

y

Bertitik tolak dari pembahasan sebelumnya mengenai nilai dari sumber-sumber model, sekarang dapat didefinisikan variabel-veriabel keputusan dual y₁, y₂ dan

y untuk mewakili nilai marginal sumber-sumber tersebut. 3

y1 = nilai marginal 1 jam tenaga kerja = $20 y2 = nilai marginal 1 pon = $6,67

y = nilai marginal 1 m3 ² tempat penyimpanan =$0 Tabel simpleks optimal dari masalah dual ini adalah

Tabel 2.5 Dual Optimal

Cj

40 216 240 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas y₁ y₂ y₃ s₁ s₂

216 y2 ^{6,67 0 1 2}

9 1

18 1

40 y1 ^{20 1 0 -6}

2 1

2 1

Zj ^{2.240 40 216 192 -4 -8}

j

j C

Z ^{0 0 -48 -4 -8}

Sekarang beralih pada batasan-batasan dual. Batasan dual yang pertama adalah :

Laba per jam : 2y₁ 18y₂ 24y₃ 160

Batasan ini mengartikan bahwa nilai ketiga sumber (tenaga kerja, kayu dan tempat penyimpanan) yang digunakan dalam memproduksi sebuah meja setidaknya harus sebesar laba yang diperoleh dari meja. Substitusikan nilai variabel-variabel dual ke dalam batasan di atas akan menghasilkan :

2y1 =nilai tenaga kerja yang digunakan untuk memproduksi sebuah meja 2($20)=$40

18y2 =nilai kayu yang digunakan untuk memproduksi sebuah meja 18($6,67)=$120

24 y = nilai tempat penyimpanan yang digunakan untuk memproduksi sebuah 3

meja 24($0)=0

Dengan menjumlahkan nilai-nilai di atas menghasilkan

3 2

1 18 24

2y y y $160 laba per meja

) 0 ($

24 ) 67 , 6 ($

18 ) 20 ($

2 $160

0

$ 120

$ 40

$ $160

$160 $160

Dengan kata lain $160 yaitu nilai sumber-sumber yang digunakan untuk memproduksi sebuah meja, sedikitnya adalah sebesar atau sama dengan $160 yaitu laba dari sebuah meja. Kemudian menganalisis batasan dual kepada dengan cara yang sama.

3 2

1 18 12

4y y y $200

4($20)+18($6,67)+12($0) $200

$80+$120+$0 $200

$200 $200

Nilai $200, nilai sumber-sumber yang digunakan untuk memproduksi sebuah kursi, setidaknya adalah sebesar atau sama dengan $200 laba dari sebuah kursi.

Sekarang tinggal fungsi tujuan dalam dual yang masih belum dijelaskan.

Fungsi tujuan tersebut adalah meminimumkan

3 2

1

0 40y 216y 240y

y

) 0 ($

240 ) 67 , 6 ($

216 ) 20 ($

0 40 y

= $800+$1.440+$0

= $2.240, nilai sumber-sumber

2.6. Analisis Sensitivitas

Analisis sensitivitas (analisis pasca optimal) merupakan studi tentang perubahan penyelesaian optimal dan nilai penyelesaian optimal programasi linier sebagai akibat dari perubahan koefisien suatu variabel keputusan. Seperti pembahasan pada program linier dengan metode grafik, dalam metode dualitas perlu juga dilakukan analisis sensitivitas karena walaupun secara konseptual memiliki makna yang sama, akan tetapi terdapat perbedaan metode yang digunakan.

Adapun penggunaan analisis ini adalah untuk mendinamisasikan penyelesaian dengan program linier yang bersifat statis menjadi mampu mengkomodasi perubahan-perubahan yang terjadi dalam dunia nyata. Dalam hai ini perkiraan penyelesaian optimal dapat dinyatakan dalam suatu range yang disebut range optimalitas. Analisis sensitivitas dapat juga digunakan untuk melihat perubahan pada nilai penyelesaian optimal akibat dari perubahan nilai pada sisi kanan fungsi kendala.

Pada dasarnya perubahan-perubahan yang mungkin terjadi setelah dicapainya penyelesaian optimal terdiri dari beberapa macam, yakni :

a. Keterbatasan kapasitas sumber. Dengan kata lain, nilai-kanan fungsi-fungsi batasan.

b. Koefisien-koefisien fungsi tujuan.

c. Koefisien-koefisien teknis fungsi-fungsi batasan, yaitu koefisien-koefisien yang menunjukkan berapa bagian kapasitas sumber yang di konsumsi oleh satu satuan kegiatan.

d. Penambahan variabel-variabel baru.

e. Penambahan batasan baru.

Melakukan analisis sensitivitas ini merupakan salah satu tugas sebagai kelanjutan dari penerapan metode dualitas yang didapat. Salah satu asumsi dalam program linier adalah bahwa semua parameter model (a ,_ij b_i, dan c ) merupakan j

konstanta yang telah diketahui. Nilai-nilai parameter dalam model sering hanya merupakan faktor penduga yang didasarkan pada suatu prediksi mengenai keadaan untuk masa yang akan datang. Data yang diperoleh untuk mengembangkan parameter-parameter dalam model hanya mencerminkan aturan- aturan umum. Oleh karena itu sangat penting dilakukannya analisis sensitivitas terhadap parameter-parameter yang ada dan kemungkinan pemberian nilai parameter yang berbeda.

Dengan menggunakan analisis sensitivitas dapat diketahui perubahan- perubahan yang akan terjadi dan dengan membuat analisis sensitivitas

kemungkinan akan menemukan solusi optimal yang baru. Apabila hal ini terjadi, merupakan suatu keuntungan yang dapat dipetik oleh perusahaan.

Dalam menilai sejauh mana penyelesaian optimal semula adalah sensitif terhadap berbagai parameter model, maka digunakan pendekatan yang umum dipakai adalah melakukan pengecekan setiap parameter satu persatu dengan mengubah nilainya dari parameter semula ke kemumgkinan-kemungkinan nilai yang lain dalam rentang nilai yang layak. Setelah menentukan parameter sensitif, kemudian meneliti beberapa kombinasi dari perubahan simultan parameter- parameter tersebut. Setiap terjadi perubahan parameter, maka prosedur yang diuraikan dan dijelaskan akan diterapkan.

Adapun langkah-langkah dalam melakukan analisis sensitivitas terdapat langkah-langkah yang harus dilakukan sebagai berikut :

1. Merevisi model. Membuat perubahan-perubahan yang diinginkan dalam model yang akan diperiksa kemudian.

2. Merevisi tabel akhir. Dasar dalam melakukan perubahan adalah tabel simpleks akhir/tabel optimal.

3. Mengonversi bentuk sesuai dengan eliminasi Gauss. Melakukan konversi tabel dalam bentuk yang sesuai untuk menentukan dan menilai penyelesaian dasar sekarang dengan menerapkan eliminasi Gauss.

4. Melakukan uji kelayakan. Setelah melakukan konversi, maka dilakukan kelayakan dengan maksud untuk mengetahui apakah variabel dasar yang berupa nilai kanan masih positif.

5. Melakukan uji optimal. Apabila penyelesaiannya sudah layak masih perlu dilakukan pengujian optimal untuk mengetahui apakah hasil perhitungan merupakan hasil yang optimal. Untuk melakukan uji optimalisasi tidak harus sekali karena apabila sekali masih belum optimal, maka dilakukan pengujian lagi.

Sebagai contoh kasus sebelumnya

1. Menganalisis Perubahan pada Koefisien Fungsi Tujuan Tabel terakhir (optimal) untuk tabel 2.4 Primal Optimal sebagai berikut :

Cj

160 200 0 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas x₁ x₂ s₁ s₂ s₃

200 x2 ^{8 0 1}

2

1 -

18

1 ⁰

160 x1 ^{4 1 0}

-2 1

9

1 ⁰

0 s3 ^{48 0 0 6 -2 1}

Zj ^{2.240 160 200 20}

3

20 ⁰

j

j C

Z ^{0 0 -20}

- 3

20 ⁰

Pertama, tentukan suatu perubahan pada batas fungsi tujuan (C₁). Hal ini mengubah nilai C₁dari C₁ =160 menjadi C₁= 160+ , seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.6. Perhatikan bahwa pada saat C₁ diubah menjadi 160+

, nilai yang baru tersebut dimasukkan baik pada baris C teratas maupun pada _j sisi kiri kolom C . Hal ini dilakukan mengingat _j x₁ adalah variabel dasar. Karena 160+ berada pada sisi kolom, ini berarti 160+ menjadi panggali pada saat nilai-nilai baris Z yang baru dan basis _j Z_j C_j selanjutnya dihitung.

Tabel 2.6 Hasil optimal dengan C₁= 160+

Cj

160+ 200 0 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas x₁ x₂ s₁ s₂ s₃

200 x2 ^{8 0 1}

2

1 -

18

1 ⁰

160+ x₁ ^{4 1 0}

-2 1

9

1 ⁰

0 s3 ^{48 0 0 6 -2 1}

Zj ^{2.240+4 160+ 200}

20 2

9 3

20 ⁰

j

j C

Z ^{0 0}

20 2

9 3

20 ⁰

Solusi yang ditunjukkan pada tabel 2.6 akan tetap optimal selama nilai-nilai baris

j

j Z

C tetap negatif. Jadi supaya solusi tetap optimal

2 0

20 dan 0

9 3 20

Nilai harus diselesaikan dengan menggunakan kedua pertidaksamaan di atas yaitu

2 0

20 dan 0

9 3 20

2 20 3

20 9

<40 60

Jadi, <40 dan 60. Sekarang diambil kembali persamaan C₁= 160+ ; dengan demikiann C₁ 160. Subsitusikan jumlah C₁ 160 untuk dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut,

< 40 dan > -60

1 160

C < 40 C₁ 160 > -60

C < 200 C > 100

Dengan demikian, range nilai C₁ yang tetap mempertahankan solusi optimal meskipun nilai fungsi tujuan mungkin berubah.

200 100 C₁

Berikutnya, tentukan perubahan pada C₂ sehingga C₂= 200+ . Dampak perubahan ini dalam tabel simpleks ditunjukkan pada tabel 2.7

Tabel 2.7 Hasil Optimal dengan C₂= 200+

Cj

160 200 ^{0 0 0}

Variabel

Dasar Kuantitas x¹ x₂ s₁ s₂ s₃

200 x₂ ^{8 0 1}

2

1 -

18

1 ⁰

a160 x1 ^{4 1 0}

-2 1

9

1 ⁰

0 s3 ^{48 0 0 6 -2 1}

Zj ^{2.240+8 160 200}

20 2

18 3

20 ⁰

j

j C

Z 0 0

20 2 3 18

20

0

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, solusi yang ditunjukkan pada tabel 2.7 akan tetap optimal selama nilai-nilai baris C_j Z_j tetap negatif atau nol. Jadi supaya solusi tetap optimal maka harus dibuat :

20 2 Dan

18 3 20

Penyelesaian perrtidaksamaan di atas untuk menghasilkan

20 2 < 0 dan

18 3

20 < 0

2 < 20

18 <

3 20

> -40 < 120

Jadi 40 dan 120, karena C₂ 200 , maka C₂ 200. Penstubtitusian nilai ini untuk pada pertidaksamaan di atas menghasilkan :

> -40 dan < 120

2 200

C > -40 C₂ 200 < 120

C2 > 160 C₂ < 320

Dengan demikian, range nilai C₂ yang tetap mempertahankan solusi optimal adalah :

200 100 C₁

320 160 C₂

2. Menganalisis Perubahan Pada Nilai Kuantitas Batasan Memaksimumkan Z 160x₁ 200x₂

Batasan-batasan

40 4

2x₁ x₂

216 18

18x₁ x₂ 240 12

24x₁ x₂ dan x₁ 0,x₂ 0

Nilai kuantitas 40, 216, dan 240 akan diawali oleh notasi q . Jadi _i q = 40, ₁ q = 216 dan 2 q = 240. Seperti dalam kasus nilai ₃ C , range _j q dapat ditentukan ₁ secara langsung dari tabel simpleks optimal. Sebagasi contoh misalkan terdapat suatu kenaikan sebesar D pada jumlah jam tenaga kerja. Batasan-batasan model akan menjadi

1 40 4

2x₁ x₂

0 216 18

18x₁ x₂

0 240 12

24x₁ x₂

Maka terdapat tabel simpleks awal yaitu Tabel 2.8 Simpleks awal

Cj

160 200 0 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas x₁ x₂ s₁ s₂ s ₃

0 x ₃ ^{40 1} 2 4 1 0 0

0 ^{x4 216 0} 18 18 0 1 0

0 s 3 ^{240 0} 24 12 0 0 1

Z j 0 0 0 0 0 0

j

j C

Z 160 200 0 0 0

Duplikasi ini akan terus di bawa pada tabel-tabel selanjutnya, sehingga nilai kolom s₁ juga akan menduplikasikan perubahan D pada kolom kuantitas tabel akhir tabel 2.9.

Tabel 2.9 Simpleks akhir

Cj

160 200 0 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas x₁ x₂ x ₃ x₄ x ₅

200 x2

8 2 0 1

2 1

18

1 0

160 ^x1

4 2 1 0

-2 1

9

1 0

0 x ₅ ^{48 6} 0 0 6 -2 1

j

j C

Z 0 0 -20

- 3

20 0

Maka diperoleh :

2 0

8 ; ¹⁶

2 0

4 ; ⁸

0 6

48 ; ⁸

untuk rangeq₁ 40 , maka q₁ 40. Nilai ini disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan- pertidaksamaan di atas sebagai berikut.

16 ^{8 8}

1 40

q 16 q₁ 40 8 q₁ 40 8

q1 ₂₄ q₁ 48 q¹ 32

Kesimpulan dari pertidaksamaan ini menghasilkan : 48 32

24 q₁

Nilai sebesar 24 dapat dihilangkan mengingat q1 harus lebih dari 32, sehingga 48

32 q₁

Selama q₁ berkisar pada range ini, variabel-variabel solusi dasar akan tetap positif dan fisiebel.

untuk rangeq₂ 216 , maka q₂ 216, disini akan menggunakan nilai-nilai pada kolom s₂ untuk membentuk pertidaksamaan- pertidaksamaan D.

18 0

8 ; 144

9 0

4 ; ³⁶

0 2

48 ; 24

Karena q₂ 216 , maka akan mempunyai q₂ 216, pensubsitusian nilai ke dalam pertidaksamaan- pertidaksamaan di atas menghasilkan suatu range nilai yang memungkinkan untuk nilai q₂;

144 ³⁶ 24

2 216

q ₁₄₄ q₂ 216 36 q₂ 216 ₂₄

q2 360 q² 180 q² 240

yaitu

360 240 180 q₂

Nilai sebesar 360 dapat dihilangkan mengingat karena q2 tidak dapat melebihi 240. Jadi, range bagi variabel-variabel solusi dasar yang tetap fisibel adalah

240 180 q₂

Analisis sensitivitas untuk nilai kuantitas batasan dapat digunakan dalam hubungannya dengan solusi dual untuk pengambilan keputusan sumber-sumber.

Sebelumnya solusi dual dari contoh yaitu :

y1 = $20, nilai marginal 1 jam tenaga kerja y2 = $6,67, nilai marginal 1 pon

y = $0, nilai marginal 1 m3 ² tempat penyimpanan

Berdasarkan range32 q₁ 48, manager dapat menambah sampai dengan 8 jam tenaga kerja (48 jam) sebelum basis solusi menjadi tidak fisibel. Jika manager memutuskan untuk membeli 8 jam tambahan, maka nilai-nilai solusi dapat dicari dengan cara mengamati nilai-nilai kuantitas pada tabel 2.9 :

8 2 x2

4 2 x1

6

5 48

x

Karena 8,

2 12 8 8 x2

2 0 4 8 x1

96 ) 8 ( 6

5 48 x

Laba total akan meningkat sebesar $20 untuk setiap ekstrim jam tenaga kerja.

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Pengumpulan Data

Adapun data yang diambil adalah nama jenis roti, data kebutuhan bahan baku dan bahan tambahan, data waktu produksi, data biaya produksi dan data keuntungan. Data-data tersebut diperoleh dari pencatatan yang telah dilakukan pabrik maupun melalui wawancara langsung dengan pihak yang bersangkutan.

Data umum produk berupa jumlah produksi yang dihasilkan dari per adonan.

Data kebutuhan bahan merupakan data komposisi bahan baku yang diperlukan dalam proses produksi dan data kapasitas bahan baku merupakan jumlah rata-rata bahan baku yang dipesan pabrik dalam 1hari. Data itu tidak hanya didapatkan dari hasil pencatatan yang telah dilakukan oleh pabrik, namun juga dari hasil pengamatan langsung di lapangan.

3.1.1. Jenis Rasa Roti

Roti yang diteliti dalam tulisan ini adalah berdasarkan jenis roti yang dinamakan berdasarkan pasaran. Adapun nama-nama roti yang dimaksud terlihat pada tabel berikut :

Tabel 3.1 Jenis Rasa Roti

No Jenis Rasa Roti

1. Kelapa

2. Cokelat

3. Melon Sumber : Pabrik Rahma Jaya Bakery

3.1.2 Bahan-bahan Utama

Bahan-bahan baku yang digunakann dalam pembuatan roti adalah bahan baku dan bahan penambahan. Adapun nama-nama bahan baku dan bahan penambahan yang digunakan adalah

Tabel 3.2 Nama-Nama Bahan Utama

No Jenis Bahan

Berat (kg)

Persedian Bahan Produksi Kelapa Cokelat Melon

1. Tepung Terigu 10,5 10,1 10,25 330

2. Mentega 1,5 1 1,35 37

3. Instan (pelembut) 0,1 0,1 0,1 4

4. Gula 2,75 2 2 70

5. Morifan

(pengembang)

0,13 0,13 0,13 4,5

6. Garam 0,15 0,15 0,15 6

Sumber : Pabrik Rahma Jaya Bakery

Dari tabel 3.2 didapat ukuran/berat roti untuk setiap per adonan atau 450 buah roti.

3.1.3 Uraian Proses Produksi Roti

Proses produksi adalah teknik untuk membuat atau menjadikan barang dan jasa bertambah nilainya dengan menggunakan sumber-sumber yang ada. Secara garis besar proses produksi pembuatan roti yang dilakukan pada pabrik Rahma Jaya

1. Pengadonan

yaitu proses melakukan pencampuran seluruh bahan baku menjadi satu bagian/adonan dalam satu wadah yang menggunakan bantuan alat mesin.

2. Penghalusan

yaitu suatu proses kelanjutan dari proses pengadonan, dimana hasil adonan yang telah menjadi satu bagian akan dihaluskan menggunakan mesin press yang gunanya untuk memudahkan proses pembentukkan.

3. Pembentukkan

yaitu proses pembentukkan roti, dimana roti akan dibentuk menjadi 6 nama jenis roti yaitu kelapa, cokelat panjang, cokelat sangggul, kelapa mocca, melon dan keong. Setiap jenis roti memiliki bahan baku yang sama hanya yang membedakan roti satu dengan roti yang lain adalah proses akhir pembentukkan. Proses akhir pembentukkan yang dimaksud adalah adanya penambahan bahan yang dilakukan untuk masing-masing roti.

Misalnya untuk roti kelapa ada penambahan bahan kelapa dan sari pandan di dalam akhir pembentukkan, cokelat panjang dan cokelat sanggul penambahan bahannya sama yaitu cokelat yang membedakan hanya bentuknya saja, kelapa moccca penambahan bahan kelapa, pandan dan mocca, melon penambahan bahannya tepung gula dan mentega., dan yang terakhir keong bahan penambahannya adalah mentega, gula dan tepung.

4. Penguapan

Penguapan adalah proses dimana roti yang telah selesai dibentuk/dicetak dimasukkan kedalam mesin penguap guna untuk pengembangan roti itu sendiri.

5. Pembakaran/ pengopenan

Yaitu proses pemasakan roti menjadi roti siap untuk dimakan yang dilakukan dimesin pembakar.

6. Pendinginan

Proses ini dilakukan sebelum pembungkusan, guna agar roti bisa tahan lama.

7. Pembungkusan

Proses ini merupakan proses tahap akhir, dimana roti yang sudah didinginkan akan dibungkus secara manual menggunakan tenaga manusia.

Uraian proses produksi roti dapat diberikan pada tabel dibawah ini : Tabel 3.3 Uraian Waktu Proses Produksi Roti

No Proses Waktu yang diperlukan (menit)/adonan

Kelapa Cokelat Melon

1. Pengadonan 5 5 5

2. Penghalusan 5 5 5

3. Pembentukkan 10 13,5 10,5

4. Penguapan 240 240 240

5. Pembakaran/Pengopenan 10 10 10

6. Pendinginan 120 120 120

7. Pembungkusan 37,5 37,5 37,5

Sumber : Pabrik Rahma Jaya Bakery

Dari tabel 3.3 didapat waktu yang digunakan untuk setiap per adonan atau 450 buah roti.

3.1.4 Data Biaya Produksi

Perhitungan biaya bahan produksi adalah pembelian bahan baku dan pembelian bahan tambahan. Kedua biaya bahan baku tersebut dianggap satu kebutuhan bahan baku dan pembelian dilakukan secara bersamaan. Adapun biaya bahan baku tiap roti terlihat pada tabel berikut

Tabel 3.4 Biaya Bahan Produksi Per Adonan No Nama Roti Biaya Bahan Produksi

1. Kelapa Rp. 66.500,00

2. Cokelat Rp. 73.000,00

3. Melon Rp. 40.000,00

Sumber : Pabrik Rahma Jaya Bakery

Dari tabel 3.4 didapat biaya bahan produksi roti untuk setiap per adonan atau 450 buah roti.

3.1.5 Data Keuntungan Produksi

Adapun keuntungan yang diperoleh tiap per adonan roti atau 450 buah roti terlihat pada tabel berikut :

Keterangan

Keuntungan = hasil produksi per adonan x harga jual - biaya produksi.

Contoh : Kelapa : 450@ Rp. 770 – Rp. 66.500 : Rp. 346.500 – Rp. . 66.500 : Rp. 280.000,00

Cokelat : 450@Rp. 650 - Rp. 73.000 : Rp. 292.500 – Rp. 73.000 : Rp. 219.500

Melon : 450@Rp. 650 - Rp. 40.000 : Rp. 292.500 – Rp. 40.000 : Rp. 252.500

Tabel 3.5 Keuntungan Roti Per Adonan

No Nama Roti Keuntungan

1. Kelapa Rp. 280.000,00

2. Cokelat Rp. 219.500,00

3. Melon Rp. 252.500,00

Sumber : Pabrik Rahma Jaya Bakery

Dari tabel 3.5 didapat keuntungan produksi roti untuk setiap per adonan atau 450 buah roti

3.2. Pengolahan Data

Analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Memodelkan permasalahan yaitu fungsi tujuan dan batas-batas kendala ke dalam bentuk program linier

2. Mengubah bentuk program linier ke dalam bentuk model dualitas.

3. Mencari solusi optimal dengan menggunakan tabel simpleks dan bantuan software QM Windows 2.0

4. Melakukan analisis sensitivitas terhadap hasil optimal yang diperoleh.

Dalam analisis sensitivitas ada 2 hal yang dapat dilakukan yaitu pertama melakukan analisis sensitivitas terhadap fungsi tujuan dan analisis sensitivitas terhadap kuantitas batasan.