Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010

(1)

Metode Numerik Anwar Mutaqin

Deret Taylor

Galat/Error

Metode Numerik

Anwar Mutaqin

Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA

10 Maret 2010

(2)

Deret Taylor Galat/Error

Deret Taylor

Ekspansi Taylor

Misalkan f 2 ^C^∞[a, b] danx₀ 2 [^{a, b}], maka untuk nilai-nilaix di sekitar x0 dan x2 [^{a, b}],f dapat dinyatakan dalam deret Taylor

f(x) = f(x₀) + ^f⁰(x₀)

1! (x x₀) +^f⁰

0(x₀)

2! (x x₀)²+ +^f

(n)(x₀)

n! (x x₀)ⁿ+

(3)

Deret Taylor

Ekspansi Maclaurin

Untuk x₀=0, maka deretnya dinamakan Deret Maclaurin f(x) =f(0) +^f⁰(0)

1! x+^f⁰⁰(0)

2! x²+ + ^f

(_n)(0) n! xⁿ+

(4)

Deret Taylor

Contoh

Ekspansikan fungsif(x) =cos x di sekitar x= ^π₂!

(5)

Deret Taylor

Contoh

f⁰(x) = sin x f⁰ ^π₂ = 1 f⁰⁰(x) = cos x f⁰⁰ ^π₂ =0 f⁰⁰⁰(x) =sin x f⁰⁰⁰ ^π₂ =1 f⁽⁴⁾(x) =cos x f⁽⁴⁾ ^π₂ =0 f⁽⁵⁾(x) = sin x f⁽⁵⁾ ^π₂ = 1 f⁽⁶⁾(x) = cos x f⁽⁶⁾ ^π₂ =0

cos x= x π

2 + ^x

π 2

3

3!

x ^π₂ ⁵

5! +

(6)

Deret Taylor

Contoh

Ekspansi fungsif(x) =sin x, f(x) =cos x, f(x) =e^x, dan f(x) =ln(x+1) di sekitar 0

sin x = x x³ 3! +^x

5

5!

x⁷ 7! + cos x = 1 x²

2! +^x

4

4!

x⁶ 6! + e^x = 1+x+ ^x

2

2! + ln(1+x) = x x²

2 +^x

3

3 x⁴

4 +

(7)

Deret Taylor

Latihan

Ekspansikan fungsi-fungsi berikut di sekitar 0 : 1. f(x) =e^x²

2. f(x) =p 1+x 3. f(x) = _{1 x}¹ 4. Hitunglah

0.4R

0

p1+x⁴dx

(8)

Galat/Error

Galat Eksak

Galat Mutlak:

ε= j^x bxj

Galat Relatif:

ε_R = ^ε

x atau ε_R= ^ε x.100%

(9)

Galat/Error

Galat Eksak

Galat Mutlak:

ε= j^x bxj Galat Relatif:

ε_R = ^ε

x atau ε_R= ^ε x.100%

(10)

Galat/Error

Galat Hampiran

εRA= ^x^r⁺¹ ^x^r x_r+₁

Proses iterasi dihentikan jika

j^εRAj <^toleransi

(11)

Galat/Error

Contoh

Soal: Hitunglah akar persamaanx³+6x 3=0!

Jawab:

x_n+₁= ^x

3n+3

6 , x₁ =0, 5

(12)

Galat/Error

Contoh

Soal: Hitunglah akar persamaanx³+6x 3=0!

Jawab:

x_n+1= ^x

3n+3

6 , x₁ =0, 5

(13)

Galat/Error

Sumber Galat

1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia

2 Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaan aproksimasi sebagai pengganti metode eksak

3 Galat Pembulatan: Galat yang timbul karena keterbatasan (komputer) menyajikakn bilangan real

(14)

Galat/Error

Sumber Galat

(15)

Galat/Error

Sumber Galat

(16)

Galat/Error

Galat Pemotongan

Deret Taylor memiliki suku tak hingga buah

f(x) = f(x₀) + (x x₀)

1! f⁰(x₀) +(x x₀)²

2! f⁰⁰(x₀) + +(x x₀)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(x₀) +

Karena keterbatasan alat, maka dilakukan pemotongan

f(x) = f(x₀) + (x x₀)

1! f⁰(x₀) +(x x₀)²

2! f⁰⁰(x₀) + +(x x₀)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(x₀) + +R_n(x)

(17)

Galat/Error

Galat Pemotongan

Deret Taylor memiliki suku tak hingga buah

f(x) = f(x₀) + (x x₀)

1! f⁰(x₀) +(x x₀)²

2! f⁰⁰(x₀) + +(x x₀)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(x₀) +

Karena keterbatasan alat, maka dilakukan pemotongan

f(x) = f(x₀) + (x x₀)

1! f⁰(x₀) +(x x₀)²

2! f⁰⁰(x₀) + +(x x₀)ⁿ

f⁽ⁿ⁾(x₀) + +R_n(x)

(18)

Galat/Error

Galat Pemotongan

f(x) =P_n(x) +R_n(x) dengan

Rn(x) = (x x₀)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(x0), x0<c<x

(19)

Galat/Error

Rumus

Besarnya Galat Pemotongan pada Deret Taylor adalah:

j^Rn(x)j <_x^max

0<c<x f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) (x x₀)ⁿ⁺¹ (n+1)!

(20)

Galat/Error

Contoh

Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untuk menghitung ln(1, 1)dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat!

Jawab:

ln(1+x) = x x² 2 +^x

3

3 x⁴

4 +R₄(x) ln(1.1) = 0.1 0.1²

2 + ^0.1

3

0.1⁴

4 +R₄(x)

= 9. 530 8 10 ²+R₄(x)

(21)

Galat/Error

Contoh

Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untuk menghitung ln(1, 1)dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat!

Jawab:

ln(1+x) = x x² 2 +^x

3

3 x⁴

4 +R₄(x) ln(1.1) = 0.1 0.1²

2 + ^0.1

3

0.1⁴

4 +R₄(x)

= 9. 530 8 10 ²+R₄(x)

(22)

Galat/Error

Contoh

R₄(1.1) < max

0<_c<_0.1 24.c⁵ .(0.1 0)⁵ 5!