Metode Chebyshev-τ untuk Menghitung Nilai Eigen pada Masalah Kestabilan Hidrodinamika

(1)

Metode Chebyshev-τ untuk Menghitung Nilai Eigen pada Masalah Kestabilan

Hidrodinamika

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Syarat Penyelesaian Tugas Akhir Program Studi Sarjana Matematika

Oleh:

Raden Ahnaf Faqih Shaimy NIM. 101 07 059

Program Studi Sarjana Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung

2011

(2)

Metode Chebyshev-τ untuk Menghitung Nilai Eigen pada Masalah Kestabilan

Hidrodinamika

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Syarat Penyelesaian Tugas Akhir Program Studi Sarjana Matematika

Oleh:

Raden Ahnaf Faqih Shaimy NIM. 101 07 059

Telah diperiksa dan disetujui, Bandung, Juni 2011

Pembimbing Tugas Akhir

Dr. Agus Yodi Gunawan NIP: 19710802 199503 1 001

Program Studi Sarjana Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung

2011

(3)

Abstract

A hydrodynamic stability problem often leads to an equation of eigenvalue prob- lem. There are some simple equations to be solved but most are difficult ones.

The Chebyshev-τ method is one method that can be used to solve various eigen- value problems arising from hydrodynamic stability studies. The method applies Chebyshev polynomials to approximate the solution. This final project describes the process of applying Chebyshev-τ method to find all the eigenvalues that can appear in hydrodynamic stability equation. Especially, application of the method to the equations that have a second (and fourth) order of ordinary differential equa- tion (ODE) is presented. Our illustration can then be considered as a benchmark for solving more complex hydrodynamic stability problems.

Keywords: hydrodynamic stability, Chebyshev-τ , Chebyshev polynomial, eigenvalue problems.

i

(4)

Abstrak

Masalah kestabilan hidrodinamika sering sekali memunculkan suatu persamaan de- ngan masalah nilai eigen. Ada beberapa persamaan yang mudah untuk diselesaikan tetapi sebagian besar sulit untuk diselesaikan. Metode Chebyshev-τ merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai eigen yang dapat muncul dari studi kestabilan hidrodinamika. Metode terse- but menerapkan suku banyak Chebyshev sebagai pendekatan untuk mencari solusi.

Tugas akhir ini menjelaskan proses penerapan metode Chebyshev-τ dalam mencari seluruh nilai eigen yang dapat muncul pada persamaan hidrodinamika; Khususnya, penerapan metode untuk persamaan yang berorde dua (dan empat) pada persamaan diferensial biasa (PDB). Ilustrasi ini dapat dijadikan sebagai contoh untuk menye- lesaikan masalah kestabilan hidrodinamika yang lebih kompleks.

Kata kunci: kestabilan hidrodinamika, Chebyshev-τ , suku banyak Chebyshev, masalah nilai eigen.

ii

(5)

Prakata

Dengan mengucap puji syukur alhamdulillah ke hadirat Allah SWT karena hanya atas rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini yang berjudul ”Metode Chebyshev-τ untuk Menghitung Nilai Eigen pada Masalah Kestabilan Hidrodinamika”.Tugas akhir ini disusun untuk memenuhi persyaratan mata kuliah Tugas Akhir 2 (MA4094) dan menyelesaikan Program Sarjana-Sains (S1) Program Studi Sarjana Matematika Institut Teknologi Bandung.

Penulis menyadari bahwa penyusunan buku tugas akhir ini masih jauh dari ke- sempurnaan dan masih banyak terdapat kekurangan yang disebabkan oleh keter- batasan kemampuan, pengalaman dan pengetahuan yang dimiliki penulis. Oleh karena itu dengan kerendahan dan kelapangan hati, semua kritik dan saran akan penulis terima sebagai masukan untuk perbaikan di masa yang akan datang.

Penyusunan buku tugas akhir ini tidak akan terwujud tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini perkenankanlah penulis menyampaikan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Keluarga penulis, terutama Bapak dan Mama yang tak pernah putus mem- berikan doa, perhatian, serta kasih sayangnya kepada penulis.

2. Bapak Dr. Agus Yodi Gunawan selaku dosen pembimbing yang selalu menye- diakan waktunya untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

iii

(6)

PRAKATA iv 3. Bapak Prof. Dr. Sutawanir Darwis dan Bapak Dr. Yudi Suharyadi selaku dosen penguji yang telah memberikan saran-sarannya dalam melengkapi tugas akhir ini.

4. Bapak Iwan Pranoto, Ph.D. selaku dosen wali penulis yang telah banyak mem- bimbing penulis selama masa perkuliahan.

5. Seluruh dosen Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.

6. M. Iqbal, Aji GPS, Wahyu P., Ricky, dan kawan-kawan VLSI lainnya yang telah menemani penulis di siang dan malam baik suka maupun duka dalam menjalani perkuliahan di Institut Teknologi Bandung.

7. Teman-teman Bnet ITB, terima kasih atas waktu yang telah diberikan kepada penulis untuk menyegarkan kembali pikiran selama kuliah di ITB.

8. Teman-teman seperjuangan Matematika 2007 yang telah menemani dan mem- bantu penulis selama kuliah di ITB.

9. Putrasandy, Gilang TP, Febi, Napit, Prima, Maliki dan kawan-kawan MA05 lainnya karena telah memberikan banyak pengalaman yang berharga.

10. Teh Erma, Aby, Bayo, Dimas, Adit, dan teman-teman junker matematika (MA’JUNK) lainnya, terima kasih karena telah menemani, semoga kita masih tetap bisa bersilaturahmi.

11. Mas Dar, Bernad, Panji, Zehn, Ardin, dan kawan-kawan RC-OPPINET ITB lainnya atas dukungan doa dan batuannya dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

12. Rekan-rekan Teknik Perminyakan ITB yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan mata kuliah minor di Teknik Perminyakan ITB.

13. HIMATIKA ITB, kawan-kawan Matematika ITB, Ibu Diah, dan seluruh staf

Program Studi Matematika ITB.

(7)

PRAKATA v 14. Seluruh pihak yang telah membantu penulis tidak bisa penulis sebutkan satu

per satu.

Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan mereka dengan anugerah dan karunia. Akhir kata penulis berharap semoga laporan tugas akhir ini dapat berman- faat bagi kita semua.

Bandung, Juni 2011 Penulis

Raden Ahnaf Faqih Shaimy

(8)

Daftar Isi

Abstract i

Abstrak ii

Prakata iii

Daftar Isi vi

Daftar Gambar vii

Daftar Tabel viii

1 Pendahuluan 1

2 Contoh Masalah Nilai Eigen pada Kestabilan Hidrodinamika 3

2.1 Persamaan Tak Berdimensi . . . . 4

2.2 Persamaan Base Flow . . . . 5

2.3 Masalah Kestabilan Linier . . . . 5

3 Suku Banyak Chebyshev 8 3.1 Persamaan Diferensial Chebyshev . . . . 8

3.2 Suku Banyak Chebysev Jenis Pertama Berderajat n . . . 10

3.2.1 Sifat Suku Banyak Chebyshev Jenis Pertama . . . 11

3.3 Sifat Ortogonal dari T

n

(x) . . . 11

3.3.1 Deret Ortogonal dari Suku Banyak Chebyshev . . . 14

vi

(9)

Daftar Isi vii

3.3.2 Turunan dan Intergal pada Suku Banyak Chebyshev . . . 14

4 Penerapan Metode Chebyshev-τ pada PDB 16 4.1 Metode Chebyshev tau pada PDB Orde Dua . . . 16

4.1.1 Penerapan Suku Banyak Chebyshev Jenis Pertama . . . 18

4.1.2 Solusi Eksak . . . 23

4.1.3 Solusi Numerik . . . 24

4.2 Metode Chebyshev tau pada PDB Orde Empat . . . 29

4.2.1 Solusi Eksak . . . 31

4.2.2 Solusi Numerik . . . 35

5 Kesimpulan dan Saran 39

Daftar Pustaka 41

LAMPIRAN A 42

LAMPIRAN B 52

LAMPIRAN C 59

(10)

Daftar Gambar

4.1 Alur perhitungan nilai eigen dengan metode Chebyshev-τ pada PDB orde 2. . . 22 4.2 Solusi metode Chebyshev-τ pada PDB orde 2 dengan N=10. . . 26 4.3 Galat solusi metode Chebyshev-τ pada PDB orde 2 dengan N=10. . . 26 4.4 Solusi metode Chebyshev-τ pada PDB orde 2 dengan N=20. . . 27 4.5 Galat solusi metode Chebyshev-τ pada PDB orde 2 dengan N=20. . . 27 4.6 Solusi metode Chebyshev-τ pada PDB orde 2 dengan N=30. . . 28 4.7 Galat solusi metode Chebyshev-τ pada PDB orde 2 dengan N=30. . . 28 4.8 Alur perhitungan nilai eigen dengan metode Chebyshev-τ pada PDB

orde 4. . . 32 4.9 Grafik coth λ + cot λ = 0 (merah) dan tanh λ − tan λ = 0 (biru). . . . 34 4.10 Solusi genap dan solusi ganjil pada PDB orde 4 dengan N=10. . . 35 4.11 Galat solusi genap dan solusi ganjil metode Chebyshev-τ pada PDB

orde 4 dengan N=10. . . 36 4.12 Solusi genap dan solusi ganjil pada PDB orde 4 dengan N=20. . . 36 4.13 Galat solusi genap dan solusi ganjil metode Chebyshev-τ pada PDB

orde 4 dengan N=20. . . 37 4.14 Solusi genap dan solusi ganjil pada PDB orde 4 dengan N=30. . . 37 4.15 Galat solusi genap dan solusi ganjil metode Chebyshev-τ pada PDB

orde 4 dengan N=30. . . 38

viii

(11)

Daftar Tabel

3.1 Suku banyak Chebyshev jenis pertama . . . 10

5.1 Nilai eigen yang diperoleh pada PDB orde 2 dengan N = 10 . . . 52

5.2 Nilai eigen yang diperoleh pada PDB orde 2 dengan N = 20 . . . 53

5.3 Nilai eigen yang diperoleh pada PDB orde 2 dengan N = 30 . . . 54

5.4 Nilai eigen yang diperoleh pada PDB orde 4 dengan N = 10 . . . 55

5.5 Nilai eigen yang diperoleh pada PDB orde 4 dengan N = 20 . . . 56

5.6 Nilai eigen yang diperoleh pada PDB orde 4 dengan N = 30 . . . 57

ix