Pengukuran Besaran Fisis

(1)

§ Bab 1

Pengukuran Besaran Fisis

Kompetensi Umum:

Mahasiswa mampu melakukan pengukuran dan perhitungan serta menggambarkan besaran fisis dengan metode dan notasi ilmiah

Kompetensi Khusus:

1. Mahasiswa mampu menjelaskan beberapa satuan standar dalam fisika 2. Mahasiswa mampu mendefinisikan arti dimensi besaran fisika

3. Mahasiswa mampu melakukan konversi satuan besaran fisika 4. Mahasiswa mampu menuliskan notasi ilmiah secara tepat 5. Mahasiswa mampu menuliskan angka perhitungan secara tepat

6. Mahasiswa mampu melakukan koreksi terhadap pengukuran sistem fisika 7. Mahasiswa mampu menjelaskan secara matematis operasi dasar vektor

1.1 Satuan

Satuan dalam fisika adalah perbandingan antara besaran fisis sebuah sistem dengan sebuah standar baku yang telah diakui kebenarannya. Sebagai contoh, jika diketahui sebuah hasil pengukuran bernilai 5 m maka jarak tersebut tidak lain 5 kali panjang meter satuan. Artinya, meter standar tepat atau sesuai dengan jarak tersebut sebanyak 5 kali. Sebagai tambahan wawasan tentang fisika pada uraian berikut akan dipaparkan beberapa satuan standar.

Satuan standar untuk panjang adalah meter (disingkat m). Pada mulanya, satuan tersebut merupakan jarak antara 2 goresan yang dibuat pada sebuah batang kayu yang terbuat dari campuran platinum-iridium yang disimpan di In˜ternational Bureau of Weight and Measures di Sevres, Perancis. Ukuran ini

1

(2)

dip˜ilih agar jarak dari khatulistiwa ke kutub utara sepanjang meridian yang melalui Kota Paris sebesar 10.000.000 m. Saat ini, meter standar didefinisikan sebagai jarak tempuh cahaya dalam ruang hampa selama waktu 1/299.792.458 s yang menjadikan laju cahaya tepat pada angka 299.792.458 m/s dan digunakan untuk membuat meter standar sekunder.

Satuan standar untuk waktu adalah sekon (disingkat s). Pada awalnya didefi- nisikan sebagai ₆₀¹ × ₆₀¹ × ₂₄¹ dari rata-rata lama hari matahari yang berkenaan dengan rotasi bumi. Saat ini, waktu standar didefinisikan berdasarkan frekuensi cahaya. 1 sekon ditetapkan sedemikian hingga frekuensi cahaya yang dihasilkan oleh transisi tertentu dalam atom Cesium sebesar 9.192.631.770 siklus per sekon.

Artinya, 1 secon setara dengan waktu yang digunakan atom Cesium untuk bertran- sisi sebanyak 9.192.631.770 siklus.

Satuan standar untuk massa adalah kilogram (disingkat kg) setara dengan 1.000 gram (10³g) yang didefinisikan sebagai massa 1 kilogram standar yang juga disimpan di Sevres. Massa adalah sifat intrinsik sebuah benda untuk memperta- hankan dirinya terhadap percepatan.

Selain satuan standar yang telah dipaparkan, diketahui pula beberapa sat˜uan fisika yang terkait dengan termodinamika dan listrik. Selengkapnya, satuan standar atau besaran pokok dalam fisika diperlihatkan pada Tabel 1.1.

Tabel 1.1: Satuan-satuan standar SI

No Besaran Satuan Singkatan

1. Panjang meter m

2. Massa gram g

3. Waktu detik s

4. Arus listrik Ampere A

5. Temperatur Kelvin K

6. Jumlah zat mole mol

7. Intensitas cahaya candela cd

Satuan standar pada Tabel 1.1 sering dinyatakan dalam bentuk pembanding.

Dalam menyatakan besaran fisis, pembanding sangat dibutuhkan agar penulisannya lebih sederhana. Pembanding tersebut harus dinyatakan dengan kaidah yang baku dengan cara meletakannya pada awal satuan. Awalan-awalan yang lebih dari satu berasal dari Bahasa Yunani, sedangkan awalan yang kurang dari satu berasal dari Bahasa Latin, kecuali femto dan atto berasal dari Bahasa Denmark. Pada Tabel 1.2 diperlihatkan awalan-awalan pembanding yang lazim digunakan saat ini.

(3)

1.2. Dimensi Besaran Fisis 3

Tabel 1.2: Awalan-awalan pembanding dalam SI Faktor Awalan Simbol Faktor Awalan Simbol

10¹ deka da 10⁻¹ desi d

10² hekto h 10⁻² centi c

10³ kilo k 10⁻³ mili m

10⁶ mega M 10⁻⁶ mikro µ

10⁹ Giga G 10⁻⁹ nano n

10¹² Tera T 10⁻¹² piko p

10¹⁵ Peta P 10⁻¹⁵ femto f

10¹⁸ Eksa E 10⁻¹⁸ atto a

Contoh 1-1:

Kumpulan elektron yang bermassa 2 × 10⁻⁷ gram pada prinsipnya dapat melintasi aksektor sepanjang 5 × 10¹⁰ meter selama 2 × 10⁻¹⁶ sekon.

Tulis kalimat ini dengan memanfaatkan angka pembanding lainnya yang telah ada pada Tabel 1.2.

Solusi:

Kumpulan elektron yang bermassa 2 g pada prinsipnya dapat melintasi aksektor sepanjang 5 Mm selama 2 f s.

Pernyataan ini merupakan salah satu contoh pemberian awalan pada besaran fisis sehingga penulisannya sederhana.

Selain besaran pokok yang telah diuraikan pada Tabel 1.1, dikenal pula basaran turunan untuk merepresentasikan besaran fisis. Kombinasi beberapa besaran pokok yang telah diuraikan sebelumnya menghasikan satuan-satuan lain yang dinyatakan secara khusus, seperti: satuan gaya, kg.m/s² disebut Newton (disingkat N ); satuan daya, kg.m²/s³ disebut Watt (disingkat W ) dan beberapa satuan lain yang akan diuraikan pada Pembahasan selanjutnya.

1.2 Dimensi Besaran Fisis

Dimensi besaran fisis adalah ungkapan geometri dalam bentuk matematis besaran-besaran fisis baik berupa standar maupun berupa satuan khusus. Seba˜gai contoh, luas suatu persegi panjang dengan sisi-sisi 2 m dan 3 m adalah A = (2 m)(3 m) = 6 m². Satuan luas adalah meter persegi karena mempunyai dimensi panjang kali panjang yang dapat ditulis L². Gagasan tentang dimensi dapat diper- luas ke besaran-besaran non geometris, seperti kelajuan yang mempunyai dimensi panjang dibagi waktu yang dapat ditulis L/T .

(4)

Seringkali dimensi ini dapat digunakan untuk verifikasi kebenaran formula sistem fisis yang sedang ditinjau. Sebagai contoh penggunaan formula luas dan keliling lingkaran sering tebalik satu dengan lainnya. Hal ini dapat diverifikasi dengan memanfaatkan dimensi besaran fisis. Misal, luas lingkaran dinyatakan dengan A = 2πr dimensinya adalah L. Pernyataan tersebut salah karena luas mempunyai dimensi L². Jadi yang benar adalah A = πr² karena dimensinya L². Contoh 1-2

Apakah rumus jarak x = x₀+ vt +¹₂at sudah benar atau salah?

Solusi:

Dimensi x (jarak) adalah L (panjang) sehingga dimensi vt + ¹₂at harus L. Lebih jelasnya akan diperlihatkan dimensi kedua suku terakhir,

v.t = L/T . T = L 1

2at = 1

2L/T². T = L/T

Dimensi suku terakhir tidak sesuai dengan suku sebelumnya sehingga dapat disim- pulkan bahwa formula pada contoh ini salah. Jika formula pada contoh ini dituliskan dalam bentuk

x = x₀+ vt +1 2at² maka dimensi setiap suku pada persamaan ini adalah:

x = x₀ = L v.t = L/T . T = L

1

2at² = 1

2L/T². T² = L Jadi formula terakhir benar karena suku ¹₂at dijadikan ¹₂at².

1.3 Konversi Satuan

Konversi satuan dalam fisika adalah pengubahan sebuah satuan standar ke sat˜uan standar lainnya dengan metode perbandingan berdasarkan faktor konversi satuan. Sebagai contoh, sebuah hasil pengukuran sebesar 240 km akan diubah menjadi satuan mil. Jika diketahui 1 mil = 1, 61 km maka diperoleh sebuah ben- tuk perbandingan:

1 mil : 1, 61 km = X mil : 240 km X mil × 1, 61 km = 1 mil × 240 km X mil = 1 mil × 240 km

1, 61 km = 149 mil Jadi, 240 kilometer setara dengan 149 mil.

(5)

1.4. Notasi Ilmiah 5 Contoh 1-3:

Berapakah nilai ekivalen dari 90 km/jam dalam meter per sekon (m/s) dan dalam mil per jam (mil/jam)?

Solusi:

Data yang dibutuhkan untuk menyelesaikan kasus ini adalah:

1 km = 1000 m 1 jam = 3600 s 1 mil = 1, 61 km

Konversi dari km/jam ke m/s dapat dilakukan dengan dengan cara:

90 1

km

jam = 90000 3600

m s 90 km/jam = 25 m/s

Konversi dari km/jam ke mil/jam dapat dilakukan dengan dengan cara:

90 1

km

jam = 55, 9 1

mil jam

90 km/jam = 55, 9 mil/jam

1.4 Notasi Ilmiah

Notasi ilmiah adalah metode penulisan nilai besaran fisika dalam bentuk baku sesuai aturan penulisan dalam matematika. Dalam notasi ilmiah suatu bilangan ditulis sebagai hasil kali suatu bilangan antara 1 dan 10 dengan pangkat dari bilangan 10, seperti 100 dapat ditulis 10² dan 12.000.000 dapat ditulis 1, 2 × 10⁷. Contoh 1-4a:

Jika diketahui 1 liter adalah volume kubus yang berukuran 10 cm kali 10 cm kali 10 cm. Nyatakan 1 liter tersebut dalam sentimeter kubik dan dalam meter kubik dengan menggunakan notasi ilmiah!

Solusi:

Pernyataan 1 liter dalam sentimeter kubik atau cm³ dapat dilakukan secara langsung dengan cara:

V = 10 cm × 10 cm × 10 cm = 10³cm³

Pernyataan 1 liter dalam meter kubik atau m³ dapat dilakukan setelah terlebih dahulu melakukan konversi 10 cm menjadi 10⁻¹m kemudian dilakukan perhitu- ngan dengan cara:

V = 10⁻¹m × 10⁻¹m × 10⁻¹m = 10⁻³m³

(6)

Contoh 1-4b:

Bagaimanakah penulisan notasi ilmiah hasil perhitungan (2 × 10⁶) + (9 × 10⁻³) Solusi:

Hasil perhitungan diatas dengan notasi ilmiah adalah:

2 × 10⁶) + (9 × 10⁻³) = 2.000.000 + 0, 009

= 2.000.000, 009 ≈ 2 × 10⁶ dengan simbol ”≈” berarti ”mendekati sama dengan”.

1.5 Angka Signifikan

Angka signifikan atau angka berarti dalam fisika adalah angka yang dapat di- pastikan kecuali 0 (nol). Penulisan angka yang benar dalam sistem fisika sangat bergantung pada instrumen pengukuran dan metode perhitungan yang digunakan.

Jumlah angka signifikan pada proses pengukuran bergantung pada nilai skala terkecil (nst) dari alat ukur sedangkan pada proses perhitungan sangat bergantung pada angka signifikan terkecil yang dilibatkan. Pada Contoh 1-5 akan diperlihatkan konsekuensi dari alat ukur dan proses perhitungan dalam penyajian angka yang benar menurut aturan angka signifikan.

Contoh 1-5:

Sebuah plat berbentuk segi empat akan ditentukan volumenya dengan terlebih dahulu melakukan pengukuran tebal, panjang dan lebar. Misal, tebal diukur den- gan mikrometer sekrup (nst=0, 01 mm) diketahui 1, 21 mm sedangkan lebarnya diukur dengan jangka sorong (nst=0, 05 mm) diketahui 50, 55 mm dan dan pan- jangnya diukur dengan mistar biasa (nst=1 mm) diketahui 100 mm. Jelaskan konsekuensi instrumen pengukuran terhadap penulisan angka hasil pengukuran dan tentukan volume plat tersebut dengan menggunakan aturan angka signifikan dan tuliskan hasil akhirnya dengan notasi ilmiah.

Solusi:

Konsekuensi penulisan angka sebagai hasil pengukuran sangat ditentukan oleh nst alat ukur, hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

• Pengukuran tebal plat dengan mikrometer sekrup akan menghasilkan angka 2 (dua) digit angka desimal dengan kenaikan 0,01 karena nst=0, 01 mm

• Pengukuran lebar plat dengan jangka sorong akan akan menghasilkan angka 2 (dua) digit angka desimal dengan kenaikan 0,05 karena nst=0, 05 mm

(7)

1.6. Teori Ketidakpastian 7

• Pengukuran panjang plat dengan mistar biasa tidak menghasilkan angka desimal karena nst=1 mm

Perhitungan volume plat dapat dilakukan secara langsung karena satuan setiap besaran terukur sudah sama. Proses perhitungan dilakukan dengan memperhatikan konsep angka signifikan, yaitu:

V = tebal × lebar × panjang = 1, 21 mm × 50, 55 mm × 100 mm

= 6116, 55 mm³

Hasil di atas benar secara matematis namun penulisannya tidak sesuai dengan notasi ilmiah dan angka signifikan. Banyaknya angka signifikan terkecil yang dilibatkan dalam perhitungan adalah 3 sehingga hasil perhitungan harus terdiri atas 3 angka sigifikan. Jika hasil tersebut dituliskan dalam bentuk 3 angka signifikan maka hasil perhitungan tidak mendekati nilai sebenarnya. Oleh karena itu, notasi ilmiah diperlukan untuk menuliskan hasil perhitungan yang mendekati nilai sebenarnya sehingga dapat dituliskan dalam bentuk 6, 12 × 10³mm³. Penulisan tersebut disamping mendekati nilai sebenarnya juga sesuai dengan aturan angka signifikan (3 angka signifikan) dan notasi ilmiah.

1.6 Teori Ketidakpastian

Teori ketidakpastian adalah metode penentuan nilai besaran fisika dengan mempertimbangkan faktor koreksi pada proses pengukuran. Ketidakpastian pada proses pengukuran dapat dikoreksi berdasarkan metode pengukuran yang digunakan, yaitu: ketidakpastian pada pengukuran tunggal, ketidakpastian pada pengukuran berulang dan ketidakpastian fungsi variabel. Uraian lengkap tentang teori ketidakpastian akan diperlihatkan secara berturut-turut pada Contoh 1-6a, Contoh 1-6b dan Contoh 1-6c.

Perhitungan atau pengolahan data hasil pengukuran dan kriterianya dilakukan dengan prosedur berikut:

1. Menentukan nilai mutlak (x) hasil pengukuran berdasarkan metode koreksi yang digunakan, kriterianya adalah:

• koreksi pengukuran tunggal, nilai x adalah hasil pengukuran tunggal

• koreksi pengukuran berulang, nilai x adalah rata-rata hasil pengukuran tunggal yang dihitung dengan formula

x = Σx

n ; n : jumlah pengulangan (1.1)

• koreksi fungsi variabel, nilai f (x₁, x₂, x₃, · · · , x_n) adalah perhitungan hasil pengukuran tunggal maupun berulang berdasarkan variabel bebas yang dilibatkan

(8)

2. Menentukan nilai relatif (∆x) hasil pengukuran berdasarkan metode koreksi yang digunakan, kriterianya adalah:

• koreksi pengukuran tunggal, nilai ∆x adalah hasil pengukuran tunggal adalah

∆x = 1

2nst (1.2)

• koreksi pengukuran berulang, nilai ∆x adalah standar deviasi hasil pengukuran tunggal yang dihitung dengan formula

∆x = 1 n

rn Σx²− (Σx)²

n − 1 (1.3)

• koreksi fungsi variabel, nilai ∆x(x₁, x₂, x₃, · · · , x_n) adalah perhitungan hasil pengukuran tunggal maupun berulang berdasarkan variabel bebas yang dilibatkan dengan kriteria:

– semua x_n adalah pengukuran tunggal maka ∆x(x₁, x₂, x₃, · · · , x_n) dihitung dengan formula

∆x = µ∂x

∂x1

¶

∆x₁+ µ ∂x

∂x2

¶

∆x₂+ · · · (1.4) – semua xnadalah pengukuran berulang maka ∆x(x1, x2, x3, · · · , xn)

dihitung dengan formula

∆x =

"µ

∂x

∂x₁

¶₂

(∆x₁)²+ µ∂x

∂x₂

¶₂

(∆x₂)²+ · · ·

#¹

2

(1.5)

– variabel bebas x_n adalah perpaduan antara pengukuran tunggal dan pengukuran berulang maka nilai ∆f (x₁, x₂, x₃, · · · , x_n) dihitung dengan formula

∆x =

"µ

∂x

∂x₁

¶₂µ 2 3∆x₁

¶₂ +

µ ∂x

∂x₂

¶₂µ

∆x₂

¶₂ + · · ·

#¹

2

(1.6)

3. Menghitung nilai ketidakpastian relatif dengan formula Ketidakpastian relatif = ∆x

x × 100% (1.7)

4. Menghitung jumlah angka signifikan yang dapat digunakan dengan formula Jumlah angka signif ikan = 1 − log∆x

x (1.8)

berdasarkan formula ini maka dapat dikatakan bahwa:

(9)

• Ketidakpastian relatif mendekati 10%, 2 angka signifikan

• Ketidakpastian relatif mendekati 1%, 3 angka signifikan

• Ketidakpastian relatif mendekati 0,1%, 4 angka signifikan 5. Menuliskan nilai besaran fisis dengan kriteria:

Besaran f isis = x ± ∆x (1.9)

6. Menentukan nilai kebenaran hasil perhitungan dengan formula

Kebenaran = 100% − Ketidakpastian relatif (1.10) Contoh 1-6a:

Pengukuran tunggal dilakukan terhadap tebal plat dengan menggunakan mikro- meter sekrup (nst=0,01 mm). Jika hasil pengukuran adalah 1, 01 mm, bagaimana- kah teori ketidakpastian diberlakukan?

Solusi:

Perhitungan dengan teori ketidakpastian dilakukan dengan prosedur berikut:

1. Penentuan nilai x berdasarkan hasil pengukuran, yaitu x = 1, 01 mm 2. Penentuan nilai ∆x dengan formula ∆x = ¹₂nst sehingga ∆x = 0, 005 3. Penentuan nilai ketidakpastian relatif dengan formula seperti pada per-

samaan (1.7) sehingga Ketidakpastian relatif = 0, 5%

4. Penentuan angka signifikan dengan formula pada persamaan (1.8) sehingga Jumlah angka signif ikan = 3

5. Penulisan hasil pengukuran dilakukan berdasarkan aturan pada persamaan (1.9) sehingga tebal plat = (1, 01 ± 0, 01) mm

6. Perhitungan nilai keyakinan terhadap hasil pengukuran ditentukan dengan formula kebenaran pada persamaan (1.10) sehingga Kebenaran = 99, 45%

Contoh 1-6b:

Pengukuran berulang sebanyak 8 kali dilakukan terhadap tebal plat dengan menggunakan mikrometer sekrup. Jika hasil pengukuran secara berturut-turut adalah:

1, 01 mm; 1, 01 mm; 1, 02 mm; 1, 01 mm; 1, 01 mm; 1, 03 mm; 1, 02 mm; 1, 01 mm Bagaimanakah teori ketidakpastian diberlakukan?

(10)

Tabel 1.3: Tabulasi data pengukuran No x (mm) x²(mm²)

1 1,01 1,0201 2 1,01 1,0201 3 1,02 1,0404 4 1,01 1,0201 5 1,01 1,0201 6 1,03 1,0609 7 1,02 1,0404 8 1,01 1,0201 Σ 8,12 8,2422

Solusi:

Perhitungan dengan teori ketidakpastian dilakukan dengan terlebih dahulu menya- jikan hasil pengukuran dalam bentuk tabulasi data seperti pada Tabel 1.3

1. Penentuan nilai x dengan menghitung rata-rata nilai pengukuran, yaitu:

x = Σx

n = 8, 12

8 = 1, 015 mm

2. Penentuan nilai ∆x dengan menghitung standar deviasi nilai pengukuran, yaitu:

∆x = 1 n

rn Σx²− (Σx)² n − 1 = 1

8

r8 (8, 2422) − (8, 12)²

8 − 1 = 0, 0027 mm 3. Penentuan nilai ketidakpastian relatif dengan formula seperti pada per-

samaan (1.7) sehingga Ketidakpastian relatif = 0, 3%

5. Penulisan hasil pengukuran dilakukan berdasarkan aturan pada persamaan (1.9) sehingga tebal plat = (1, 015 ± 0, 003) mm

Contoh 1-6c:

Pengukuran berulang dilakukan terhadap sebuah plat berbentuk segi empat untuk menentukan besar volumenya. Hasil pengukuran diperlihatkan pada Tabel 1.4.

(11)

Tabel 1.4: Tabulasi data pengukuran plat segi empat No Tebal (x₁) Lebar (x₂) Panjang (x₃)

1 1,01 10,05 30,05

2 1,02 10,05 30,05

3 1,01 10,15 30,15

4 1,02 10,05 30,05

5 1,03 10,15 30,15

6 1,01 10,05 30,05

7 1,02 10,05 30,05

8 1,01 10,05 30,05

Solusi:

Perhitungan dengan teori ketidakpastian dilakukan dengan terlebih dahulu menya- jikan hasil pengukuran dalam bentuk tabulasi data seperti pada Tabel 1.5

Tabel 1.5: Tabulasi data dan perhitungan volume plat segi empat No x₁ (x₁)² x₂ (x₂)² x₃ (x₃)² V = x₁x₂x₃

1 1,01 1,0201 10,05 101,0025 30,05 903,0025 912,0325 2 1,02 1,0404 10,05 101,0025 30,05 903,0025 921,0626 3 1,01 1,0201 10,15 103,0225 30,15 909,0225 918,1127 4 1,02 1,0404 10,05 101,0025 30,05 903,0025 921,0626 5 1,03 1,0609 10,15 103,0225 30,15 909,0225 936,2932 6 1,01 1,0201 10,05 101,0025 30,05 903,0025 912,0325 7 1,02 1,0404 10,05 101,0025 30,05 903,0025 921,0626 8 1,01 1,0201 10,05 101,0025 30,05 903,0025 912,0325

Σ 8,13 - 80,60 - 240,60 - 7353,6911

¯

x_n 1,02 - 10,08 - 30,08 - 919,2114

∆x_n 0,003 - 0,016 - 0,016 - -

Berdasarkan hasil perhitungan pada Tabel 1.5 maka perhitungan volume plat dengan teori ketidakpastian dapat dilakukan lebih lanjut dengan prosedur:

1. Nilai V diketahui dari Tabel 1.5, yaitu: V = 919, 2114

2. Penentuan nilai ∆V ; (V = x₁x₂x₃) dengan menggunakan formula pada persamaan (1.5), ketentuan perhitugannya adalah:

(12)

∆V =

"µ

∂V

∂x₁

¶₂

(∆x1)²+ µ∂V

∂x₂

¶₂

(∆x2)²+ µ∂V

∂x₃

¶₂

(∆x3)²

#¹

2

= h¡

x2x3

¢₂

(∆x1)²+¡ x1x3

¢₂

(∆x2)²+¡ x1x2

¢₂

(∆x3)² i¹

2

= h¡

303, 006¢₂¡

0, 003¢₂ +¡

30, 564¢₂¡

0, 016¢₂ +¡

10, 239¢₂¡

0, 016¢₂i¹

2

= 0, 955826983

3. Penentuan nilai ketidakpastian relatif dengan formula seperti pada per- samaan (1.7) sehingga Ketidakpastian relatif = 0.1%

5. Penulisan hasil pengukuran dilakukan berdasarkan aturan pada persamaan (1.9) sehingga V = 919, 2 ± 0, 956

1.7 Konsep dan operasi Dasar Vektor

Vektor merupakan ungkapan matematis fenomena pergeseran yang mempunyai besar dan arah. Dalam beberapa referensi telah diuraikan konsep dasar vektor dengan menggambarkannya sebagai sebuah anak panah yang berpangkal (sebagai posisi awal) dan berujung (sebagai posisi akhir). Penggunaan vektor dalam fisika lebih sering digunakan dalam sebuah sistem koordinat. Dalam uraian ini, vektor hanya akan dibahas dalam sistem koordinat kartesius. Pemahaman mendasar tentang vektor diperlihatkan pada beberapa kasus pada Contoh 1.7a,Contoh 1.7b, dan Contoh 1.7c.

Contoh 1.7a:

Sebuah mobil begerak ke arah timur sejauh 30km, kemudian berbelok ke utara dan berhenti setelah menempuh jarak 40km. Tentukan resultan dan arah vektor perpindahan mobil tersebut.

(13)

1.7. Konsep dan operasi Dasar Vektor 13 Solusi:

Vektor perpindahan mobil pada contoh ini dapat digambarkan dalam bentuk

Gambar 1.1: Vektor perpindahan mobil Komponen resultan vektor dinyatakan dalam bentuk:

~r_x = 30 km + 0 = 30 km

~r_y = 0 + 40 km = 40 km

~r = p

~rx+ ~ry =p

(30 km)²+ (40 km)² = 50 km Arah perpindahan dinyatakan dalam bentuk:

tan θ =~r_x

~r_y = 30 km

40 km = tan⁻¹(1, 33) = 53^o

Jadi vektor pergeseran resultan r adalah 50 km dengan arah 53^o ke utara dari arah timur.

Contoh 1.7b:

Sebuah pesawat terbang menempuh jarah sejauh 209 km dalam arah garis lurus yang membentuk sudut 22, 5^o ke timur dari arah utara. Berapa jauh ke utara dan berapa jauh ke timur dari titik asal jarak yang ditempuh pesawat itu?

Solusi:

Vektor perpindahan pesawat dapat digambarkan dalam bentuk:

(14)

Gambar 1.2: Vektor perpindahan pesawat Dari Gambar 1.2 diketahui:

θ = 90ô− 22, 5ô= 67, 5ô . Resultan vektor diuraikan dalam komponen r_x dan r_y,

r_x = r cos θ = 209 km cos (67, 5^o) = 80, 5 km r_y = r sin θ = 209 km sin (67, 5^o) = 193 km

Jadi, jarak dari titik awal ke timur adalah 80, 5 km dan ke utara sebesar 193 km.

Contoh 1.7c:

Diketahi dua buah vektor yang dibangun dalam sistem koordinat kartesius 3 dimensi, yaitu:

~a = 2 x êx+ xy êy + 3 z êz

~b = 5 xyz ê_x− 2 z ê_y + 2 x ê_z

Lakukan operasi vektor: ˆa · ˆb (dot product) dan ˆa × ˆb (cross product) Solusi:

Operasi dot product pada contoh ini dilakukan dengan cara:

~a · ~b = (2 x ê_x+ xy ê_y+ 3 z ê_z) · (5 xyz ê_x− 2 z ê_y+ 2 x ê_z)

= 10 x²yz (ê_x· ê_x) − 4 xz (ê_x· ê_y) + 4 x²(ê_x· ê_z) + 5 x²y²z (ê_y · ê_x) − 2 xyz (ê_y · ê_y) + 2 x²y (ê_y· ê_z) + 15 xyz²(êz· êx) − 6 z²(êz · êy) + 6 xz (êz· êz)

(15)

1.7. Konsep dan operasi Dasar Vektor 15 Dari sistem persamaan ini diberlakukan aturan perkalian dot product berdasarkan delta kronecker , yaitu:

ˆ

e_α· ˆe_β = δ_αβ =

½_{0 ⇔ α6=β}

1 ⇔ α=β

sehingga diperoleh:

~a · ~b = 10 x²yz − 2 xyz + 6 xz → persamaan skalar Operasi cross product pada contoh ini dilakukan dengan cara:

~a × ~b = (2 x ê_x+ xy ê_y+ 3 z ê_z) × (5 xyz ê_x− 2 z ê_y+ 2 x ê_z)

= 10 x²yz (ê_x× ê_x) − 4 xz (ê_x× ê_y) + 4 x²(ê_x× ê_z) + 5 x²y²z (ê_y × ê_x) − 2 xyz (ê_y × ê_y) + 2 x²y (ê_y× ê_z) + 15 xyz²(ê_z× ê_x) − 6 z²(ê_z× ê_y) + 6 xz (ê_z× ê_z)

Dari sistem persamaan ini diberlakukan aturan perkalian cross product berdasarkan permutasi siklik , yaitu:

ˆ

e_α× ˆe_β = ˆe_γL_αβγ ; L_αβγ =

( 1 ⇔ αβγ : siklik

0 ⇔ αβγ : identik

−1 ⇔ αβγ : tidak siklik

sehingga diperoleh:

~a × ~b = −4 xz (ê_z) + 4 x²(−ê_y) + 5 x²y²z (−ê_z) + 2 x²y (ê_x) + 15 xyz²(ê_y) − 6 z²(ê_x)

= (2 x²y − 6 z²) ê_x+ (15 xyz²− 4 x²) ê_y− (5 x²y²z + 4 x²) ê_z

→ persamaan vektor

Dari Contoh 1.7c ini terlihat bahwa dot product akan menghasilkan skalar sedangkan cross product akan menghasilkan vektor

(16)

Soal-soal Latihan:

1. Satuan 2. Dimensi

3. Pada Tahun 1995, PT IPTN (Industri Pesawat Terbang Nusantara) yang dipimpin oleh Bapak Prof. Dr.Ing. B.J. Habibie, Dipl. Eng. berhasil mem- produksi pesawat N250. Pesawat tersebut merupakan karya emas putra- putri Indonesia yang kecepatannya sekitar 500 knots. Lakukan konversi dari kecepatan tersebut ke satuan km/jam, mil/jam, dan m/s !.

4. Notasi Ilmiah 5. Angka penting

6. Teori Ketidakpastian (Pengolahan Data Praktikum) 7. Vektor