ANALISIS PENGARUH PENCILAN PADA DATA DERET WAKTU DOMAIN FREKUENSI

i

ANALISIS PENGARUH PENCILAN PADA DATA DERET WAKTU DOMAIN FREKUENSI

SKRIPSI

ST. SURYA RAHMI H 121 13 013

PROGRAM STUDI STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR

2017

ii

“ANALISIS PENGARUH PENCILAN PADA DATA DERET WAKTU DOMAIN FREKUENSI”

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Program Studi Statistika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar

ST. SURYA RAHMI H121 13 013

PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR

2017

iii

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini menyatakan dengan sungguh-sungguh bahwa skripsi yang saya buat dengan judul:

Analisis Pengaruh Pencilan Pada Data Deret Waktu Domain Frekuensi

adalah benar hasil kerja saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah dipublikasikan dalam bentuk apapun.

Makassar, 15 Agustus 2017

ST. SURYA RAHMI NIM. H121 13 013

iv

ANALISIS PENGARUH PENCILAN PADA DATA DERET WAKTU DOMAIN FREKUENSI

Disetujui oleh :

Pada tanggal : 15 Agustus 2017

v

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh:

Nama : ST. SURYA RAHMI

NIM : H121 13 013

Program Studi : STATISTIKA

Judul Skripsi : Analisis Pengaruh Pencilan Pada Data Deret Waktu Domain Frekuensi.

Telah berhasil dipertahankan dihadapan dewan penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin.

Ditetapkan di : Makassar

Tanggal : 15 Agustus 2017

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan kepada Allah SWT Tuhan semesta alam dan shalawat serta salam penulis curahkan kepada Nabi yang paling dimuliakan, Nabi Muhammad SAW. Alhamdulillah, berkat rahmat, karunia serta hidayah yang diberikan oleh Allah akhirnya skripsi dengan judul “Analisis Pengaruh Pencilan Pada Data Deret Waktu Domain Frekuensi” yang disusun sebagai salah satu syarat akademik untuk meraih gelar sarjana pada Program Studi Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin ini dapat dirampungkan. Penulis berharap skripsi ini bisa memberikan tambahan pengetahuan bagi pembelajar statistika.

Pertama-tama, ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya penulis haturkan kepada yang teristimewa Ibunda dan Ayahanda tercinta Ibu Hj.

Ilahang dan Bapak H. Muh. Ridwan yang tak henti-hentinya memberi semangat motivasi, dan do’a hingga penulis bisa sampai pada tahap ini. Kepada saudara- saudariku tersayang kak Mukhlis, kak Sarlina, kak Arafah, kak Musafir, kak Surianti, Syukur, Akbar dan Raodah terima kasih banyak atas segala dukungan dan kasih sayang yang telah diberikan kepada penulis.

Tak lupa pula penulis mengucapkan banyak-banyak terima kasih kepada seluruh pihak yang senantiasa membantu baik berupa materi, tenaga dan dukungan moral selama proses penyelesaian tulisan ini :

1. Ibu Prof. Dr. Dwia Aries Tina Pulubuhu, M.A. selaku Rektor Universitas Hasanuddin.

2. Bapak Dr. Eng. Amiruddin, selaku pelaksana tugas Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

3. Bapak Prof. Amir Kamal Amir, M.Sc., selaku Ketua Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

4. Bapak Dr. Amran, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing utama dan Bapak Dr.

Eng. Mawardi, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing pertama yang telah bersedia

vii

meluangkan begitu banyak waktunya dan senantiasa memberikan masukan dalam penulisan skripsi ini.

5. Ibu Dr. Nurtiti Sunusi, S.Si., M.Si. selaku ketua penguji dan Bapak Drs. M. Saleh AF, M.Si. selaku sekretaris penguji. Terima kasih telah memberikan kritikan yang membangun dalam penyempurnaan penyusunan tugas akhir ini serta waktu yang telah diberikan kepada penulis.

6. Bapak Andi Galsan Mahie, S.Si., M.Si., selaku Penasehat Akademik sekaligus sebagai Anggota Tim Penguji dalam penulisan tugas akhir ini. Terima kasih atas segala masukan bantuan, nasehat serta motivasi yang diberikan kepada penulis selama menjalani pendidikan di Jurusan Matematika.

7. Sahabat-sahabatku Kikoy, Indah dan Amel yang selama beberapa tahun terakhir menjadi teman jalan, teman nongkrong, serta menjadi teman disaat susah dan senang.

8. Teman-teman tercinta terkhusus Tina, Leha dan Hikmah yang banyak memberi bantuan dan masukan selama penyusunan skripsi ini, Nuni, Nirma, Puji, Kharisma, Mentari, Arwan, Jum, Yumi yang setia menemani keseharian penulis. Jum, Rere, Riska, Ulfa, Ayu, Eka, dan Iin teman seperjuangan penulis serta teman-teman Statistika 2013 lainnya yang tidak sempat penulis sebutkan satu per satu. Semoga Allah membalas kebaikan-kebaikan kalian dengan yang lebih baik.

9. Teman-teman seperjuangan Matematika 2013 dan BINOMIAL 2013. Terima kasih atas pertolongan kalian kepada penulis.

10. Teman-teman MIPA 2013, Keluarga besar HIMATIKA FMIPA UNHAS, dan keluarga besar BEM FMIPA Unhas. Orang-orang yang begitu luar biasa.

11. Teman-teman Belawers, mahasiswa KKN Unhas Gel.93 Kec. Belawa Kel. Belawa Aik, Unhy1, Unhy2, Aswin, Akram, Hanif dan Ardi yang telah menjadi teman serta keluarga baru dan semoga ke depannya silaturahmi yang telah dibangun bersama tetap terjalin dengan baik.

viii

12. Semua pihak yang telah banyak berpartisipasi, baik secara langsung maupun tidak langsung, dalam penyusunan skripsi ini yang tak sempat penulis sebutkan satu persatu.

Semoga segala bantuan dan partisipasinya bernilai ibadah dan mendapat pahala yang setimpal di sisi Allah SWT.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi skripsi yang lebih baik lagi. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi semua pihak.

Makassar, 15 Agustus 2017

Penulis

ix

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Hasanuddin, saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : St. Surya Rahmi

NIM : H121 13 013

Program Studi : Statistika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis karya : Skripsi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Hasanuddin Hak Prediktor Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty-Free Right) atas tugas akhir saya yang berjudul:

“Analisis Pengaruh Pencilan Pada Data Deret Waktu Domain Frekuensi”

Beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Terkait dengan hal di atas, maka pihak universitas berhak menyimpan, mengalih-media/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Makassar pada tanggal, 15 Agustus 2017

Yang menyatakan

(St. Surya Rahmi)

x

ABSTRAK

Deteksi pencilan adalah suatu tahapan penting dalam analisis deret waktu.

Deteksi pencilan dapat dilakukan pada deret waktu domain waktu dan domain frekuensi. Deteksi pencilan pada domain frekuensi dapat dilakukan dengan menggunakan metode spektral. Pencilan data deret waktu diasumsikan berbentuk aditif maupun multiplikatif. Parameter dari model yang diberi pencilan ditaksir dengan menggunakan metode ordinary least square. Tujuan penaksiran parameter ini adalah untuk memperoleh koefisien Fourier 𝑎̂₀, 𝑎̂_𝑘, dan 𝑏̂_𝑘. Selanjutnya dianalisis pengaruh pencilan aditif dan multiplikatif pada koefisien Fourier 𝑎̂₀, 𝑎̂_𝑘, dan 𝑏̂_𝑘. Data yang digunakan adalah data simulasi. Koefisien-koefisien 𝑎̂₀ untuk model aditif dan model multiplikatif diperoleh dengan cara menghitung rata-rata penjumlahan dan perkalian antara data simulasi dengan magnitude dan indikator waktu secara kumulatif. Pengaruh pencilan terhadap model aditif adalah ketika data diberi magnitude positif, plot koefisien-koefisien 𝑎̂₀^𝑎 monoton naik dan ketika data diberi magnitude negatif plot koefisien-koefisien 𝑎̂₀^𝑎 monoton turun. Untuk model multiplikatif, plot koefisien- koefisien 𝑎̂₀^𝑚 dari data yang diberi magnitude positif membentuk grafik parabola terbuka ke atas. Plot koefisien-koefisien 𝑎̂₀^𝑚dari data yang diberi magnitude negatif membentuk grafik parabola terbuka ke bawah.

Kata Kunci : pencilan, domain frekuensi, ordinary least square, aditif, multiplikatif.

xi

ABSTRACT

Outlier detection is an important step in time series analysis. Outlier detection can be done on time domain and frequency domain time series. Detection of outlier in frequency domain can be done by using the spectral method. Time series data is assumed to be either additive or multiplicative. Parameters of the model that given outliers estimated using by ordinary least square method. The objective of this parameter estimation is to obtain the Fourier coefficients 𝑎̂₀, 𝑎̂_𝑘, dan 𝑏̂_𝑘. Then we analyzed the effect of additive and multiplicative on Fourier coefficients 𝑎̂₀, 𝑎̂_𝑘, dan 𝑏̂_𝑘. The data used is the simulation data. The 𝑎̂₀ coefficients for the additive model and the multiplicative model is obtained by calculating the average of summation and multiplication between simulation data with magnitude and time indicator cumulatively. The effect of outliers on additive model is when the data is given positive magnitude, the plot of 𝑎̂₀^𝑎coefficients is increasing monotone and when the data is given negative magnitude the plot of 𝑎̂₀^𝑎coefficients is decreasing monotone. For the multiplicative model, 𝑎̂₀^𝑚coefficients plot of the data that given the positive magnitude is forming an open up parabola graph. The plot of 𝑎̂₀^𝑚coefficients from data that given a negative magnitude is forming an open downward parabola graph.

Keywords : outlier, frequency domain, ordinary least square, additive, multiplicative

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL

HALAMAN JUDUL ... ii

HALAMAN PERNYATAAN KEOTENTIKAN ... iii

HALAMAN PENGESAHAN PEMBIMBING ... iv

HALAMAN PENGESAHAN PENGUJI ... v

KATA PENGANTAR ... vi

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... ix

ABSTRAK ... x

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

DAFTAR LAMPIRAN ... xv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 2

1.3 Batasan Masalah ... 2

1.4 Tujuan Penulisan ... 3

1.5 Manfaat Penulisan ... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 4

2.1 Pencilan ... 4

2.2 Analisis Deret Waktu ... 4

2.3 Estimasi Parameter Model Deret Waktu Domain Frekuensi Menggunakan Metode Ordinary Least Square.... ... 5

2.4 Notasi Euler ... 7

2.5 Ordinary Least Square (OLS) ... 7

2.6 Model Aditif dan Multiplikatif ... 9

2.7 Turunan Matriks ... 10

BAB III METODE PENELITIAN ... 13

3.1 Jenis Data ... 13

xiii

3.2 Variabel Penelitian ... 13

3.3 Metode Analisis ... 13

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 15

4.1 Estimasi Parameter Model Deret Waktu Domain Frekuensi Yang Mengandung Pencilan ... 15

4.1.1 Model Aditif ... 15

4.1.2 Model Multiplikatif ... 23

4.2 Simulasi Data Deret Waktu yang Mengandung Pencilan ... 26

4.2.1 Simulasi Model Aditif... ... 27

4.2.2 Simulasi Model Multiplikatif ... 28

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 31

5.1 Kesimpulan ... 31

5.2 Saran ... 32

DAFTAR PUSTAKA ... 33

LAMPIRAN ... 34

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Plot Koefisien-koefisien 𝑎̂₀ Model Aditif dengan 𝐷 Positif ... 27 Gambar 4.2 Plot Koefisien-koefisien 𝑎̂₀ Model Aditif dengan 𝐷 Negatif ... 28 Gambar 4.3 Plot Koefisien-koefisien 𝑎̂₀ Model Multiplikatif

dengan 𝐷 Positif ... 29 Gambar 4.4 Plot Koefisien-koefisien 𝑎̂₀ Model Multiplikatif

dengan 𝐷 Negatif ... 30

xv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Koefisien 𝑎̂₀ Untuk Model Aditif dengan 𝐷 Positif ... 34

Lampiran 2 Koefisien 𝑎̂₀ Untuk Model Aditif dengan 𝐷 Negatif ... 37

Lampiran 3 Koefisien 𝑎̂₀ Untuk Model Multiplikatif dengan 𝐷 Positif ... 40

Lampiran 4 Koefisien 𝑎̂₀ Untuk Model Multiplikatif dengan 𝐷 Negatif... 43

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu langkah untuk mendapatkan analisis yang baik adalah deteksi pencilan pada pengamatan. Pencilan merupakan hasil dari pengamatan yang menyimpang jauh dari pengamatan lain dan menimbulkan kecurigaan bahwa pengamatan tersebut dihasilkan oleh mekanisme yang berbeda (Hawkins, 1980).

Barnet dan Lewis (1994) menyatakan bahwa pengamatan terpencil (pencilan) adalah suatu pengamatan yang tampaknya menyimpang dari anggota lain pada sampel.

Pencilan sering dianggap sebagai penyimpangan, tetapi pencilan dapat membawa informasi yang penting. Misalnya, jika menganalisa data produksi susu sapi dan ada sapi yang menghasilkan susu sapi yang jauh melebihi sapi-sapi lainnya. Data ini merupakan pencilan yang apabila diabaikan atau membuang informasi seperti ini berarti membuang sapi unggul.

Salah satu jenis data yang sering mengandung pencilan adalah data deret waktu.

Data deret waktu merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu yang tetap. Data deret waktu terbagi menjadi dua domain yaitu domain waktu dan domain frekuensi. Domain waktu menggunakan fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dalam mempelajari perubahan data deret waktu dengan model parametrik. Sementara untuk domain frekuensi, deret waktu dianggap sebagai akibat dari adanya komponen siklus pada frekuensi berbeda yang sulit diperoleh dalam domain waktu.

Penelitan tentang deteksi pencilan pada deret waktu domain waktu telah dikaji oleh Aris (2008) yang menerapkan prosedur iteratif untuk mendeteksi dan memodifikasi Additive Outlier (AO) dan Innovative Outlier (IO) untuk model ARIMA.

Hasil yang diperoleh adalah pemodelan ARIMA pada data ekspor minyak mentah dengan mereduksi efek pencilan memiliki hasil yang lebih baik daripada model ARIMA tanpa modifikasi, hal ini dapat dilihat dari nilai ramalannya yang memiliki nilai MAPE yang kurang dari nilai MAPE model ARIMA tanpa modifikasi.

2

Shittu & Shangodoyin (2008) menggunakan metode Spektral untuk mengidentifikasi dan mendeteksi pencilan dalam domain frekuensi. Dengan mengasumsikan kedua efek aditif dan multiplikatif dari pencilan, parameter dari model tersebut kemudian ditaksir menggunakan metode maksimum likelihood dan diperoleh hasil bahwa deteksi pencilan pada deret waktu domain frekuensi lebih jelas dibandingkan pada deret waktu domain waktu.

Penelitian ini mengusulkan pendekatan analisis deret waktu domain frekuensi untuk mendeteksi pencilan pada data deret waktu. Analisis deret waktu ini merupakan suatu pendekatan yang menganalisis deret waktu dalam domain frekuensi. Penaksiran parameter dilakukan pada model yang memuat pencilan dengan asumsi memiliki efek aditif dan multiplikatif. Adapun metode yang digunakan untuk menaksir parameter tersebut adalah ordinary least square.

Berdasarkan hal tersebut, dalam penelitian ini dibahas pendeteksian pencilan dalam domain frekuensi yang berjudul “Analisis Pengaruh Pencilan Pada Data Deret Waktu Domain Frekuensi”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan dari uraian pada latar belakang di atas, maka rumusan masalah dari penulisan Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana estimasi parameter model deret Fourier yang mengandung pencilan menggunakan metode Ordinary Least Square ?

2. Bagaimana pengaruh adanya pencilan terhadap pola deret Fourier ?

1.3 Batasan Masalah

Penelitian ini dibatasi pada estimasi parameter model deret waktu domain frekuensi dengan mengasumsikan efek aditif dan multiplikatif pada model. Estimasi parameter model digunakan metode Ordinary Least Square. Adapun data yang digunakan merupakan data simulasi hasil bangkitan distribusi normal.

3 1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dalam penelitian ini adalah :

1. Mendapatkan estimasi parameter model deret Fourier yang mengandung pencilan menggunakan metode Ordinary Least Square.

2. Mengetahui pengaruh adanya pencilan terhadap pola deret Fourier.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah mengembangkan konsep estimasi parameter model deret waktu domain frekuensi yang diberi efek aditif dan multiplikatif menggunakan metode Ordinary Least Square.

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pencilan

Barnet dan Lewis pada tahun 1994 mendefinisikan pencilan sebagai suatu data yang muncul dan menyimpang secara jelas dari gugus data keseluruhan. Definisi lain dari pencilan diutarakan oleh Liu et al. (2004), yaitu suatu pengamatan yang menyimpang secara nyata dari sebagian besar pengamatan. Sementara itu menurut Beckman dan Cook (1983), istilah pencilan dapat digantikan dengan “discordant observation”, “contaminants”, atau “dirty data”.

Kemunculan dari pencilan menurut Adya et al. (2001) dapat ditunjukkan karena kejadian tidak biasa, kejadian yang mengubah kenampakan umum, atau karena adanya kesalahan dalam transkripsi data. Chen dan Liu (1993) menyatakan bahwa isu penting yang terkait dengan pencilan adalah :

1. Keberadaan pencilan menyebabkan pemodelan yang tidak tepat.

2. Jika model yang tepat dapat ditetapkan, pencilan masih berpengaruh melalui bias dalam pendugaan parameter dan dapat mempengaruhi efisiensi dalam deteksi pencilan. Kesulitan yang umumnya dihadapi dalam pencilan adalah perubahan tipe dan lokasi pencilan dari perbedaan jumlah iterasi.

3. Beberapa pencilan mungkin tidak teridentifikasi karena masalah dampak tutupan (masking effect).

2.2 Analisis Deret Waktu

Analisis deret waktu diperkenalkan pada tahun 1970 oleh George E.P.Box dan Gwilym M.Jenkins melalui bukunya yang berjudul Time Series Analysis: Forecasting and Control. Sejak saat itu, deret waktu mulai banyak dikembangkan. Deret waktu (time series) merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu tetap. Analisis deret waktu adalah salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk meramalkan struktur probabilistik

5

keadaan mendatang dalam rangka pengambilan keputusan. Suatu urutan pengamatan memiliki model deret waktu jika memenuhi dua hal berikut (Aswi & Sukarna, 2006) : 1. Interval waktu antar indeks waktu t dapat dinyatakan dalam satuan waktu yang

sama (identik).

2. Adanya ketergantungan antara pengamatan 𝑦_𝑡 (deret waktu ke-t) dengan 𝑦_𝑡+𝑘 (deret waktu ke-𝑡 + 𝑘) yang dipisahkan oleh jarak dan waktu berupa kelipatan ∆_𝑡 sebanyak 𝑘 kali (dinyatakan sebagai lag 𝑘).

Tujuan analisis deret waktu antara lain untuk : 1. Meramalkan kondisi di masa mendatang.

2. Mengetahui hubungan antar peubah.

3. Kepentingan kontrol (untuk mengetahui apakah proses terkendali atau tidak).

2.3 Estimasi Parameter Model Deret Waktu Domain Frekuensi Menggunakan Metode Ordinary Least Square

Diberikan data deret waktu dengan 𝑛 pengamatan dalam bentuk polinomial trigonometrik:

𝑦_𝑡 = ∑ (𝑎_𝑘cos 𝜔_𝑘𝑡 + 𝑏_𝑘sin 𝜔_𝑘𝑡) + 𝑒_𝑡

[𝑛/2]

𝑘=0

(2.1)

𝑦_𝑡 = 𝑎₀cos 𝜔₀𝑡 + 𝑏₀sin 𝜔₀𝑡 + 𝑎₁cos 𝜔₁𝑡 + 𝑏₁sin 𝜔₁𝑡 + ⋯ + 𝑎_𝑘cos 𝜔_𝑘𝑡 + 𝑏_𝑘sin 𝜔_𝑘𝑡 + 𝑒_𝑡.

dimana 𝜔_𝑘 =^2𝜋𝑘

𝑛 , 𝑘 = 0,1, … , [𝑛/2] adalah frekuensi Fourier. Selanjutnya 𝑎_𝑘 dan 𝑏_𝑘 merupakan koefisien Fourier yang dapat diperoleh dengan menggunakan metode OLS.

Penggambaran Fourier pada Persamaan (2.3) dapat dipandang sebagai model regresi sederhana sebagai berikut (Shittu & Shangodoyin,2008):

𝑦_𝑡= 𝑥_𝑡𝛽 + 𝑒_𝑡 (2.2)

Dimana 𝒙_𝒕 = [cos 𝜔₀𝑡 sin 𝜔₀𝑡 cos 𝜔₁𝑡 sin 𝜔₁𝑡 … cos 𝜔_𝑘𝑡 sin 𝜔_𝑘𝑡], dan

6 𝛽 =

[ 𝑎₀ 𝑏₀ 𝑎₁ 𝑏₁

⋮ 𝑎_𝑘 𝑏_𝑘]

,

serta 𝑒_𝑡~𝑁(0, 𝜎²).

Dengan menggunakan metode OLS diperoleh nilai 𝛽̂ sebagai berikut : 𝑒_𝑡² = (𝑦_𝑡− 𝒙_𝑡𝛽)², untuk setiap 𝑡 ∈ 𝑅

= ∑ 𝑦_𝑡²

𝑛

𝑡=1

− ∑ 𝑦_𝑡𝒙_𝑡𝛽

𝑛

𝑡=1

− ∑ 𝛽^′𝒙_𝑡′𝑦_𝑡

𝑛

𝑡=1

+ ∑ 𝛽^′𝒙_𝑡′𝒙_𝑡𝛽

𝑛

𝑡=1

= ∑ 𝑦_𝑡²

𝑛

𝑡=1

− ∑ 2𝛽^′𝒙_𝑡′𝑦_𝑡

𝑛

𝑡=1

+ ∑ 𝛽^′𝒙_𝑡′𝒙_𝑡𝛽

𝑛

𝑡=1

Selanjutnya dicari nilai 𝛽̂ yang meminimumkan ∑^𝑛_𝑡=1𝑒_𝑡² menggunakan Persamaan

𝜕(∑^𝑛_𝑡=1𝑒_𝑡²)

𝜕𝛽 = 0

𝛽̂ = (∑𝒙_𝑡′𝒙_𝑡

𝑛

𝑡=1

)

−1

(∑𝒙_𝑡′𝑌_𝑡

𝑛

𝑡=1

). (2.3)

Hasil dari penyelesaian Persamaan 2.5 berupa estimator 𝑎̂₀, 𝑎̂_𝑘 dan 𝑏̂_𝑘 sebagai berikut 𝑎̂₀ = 1

𝑛 ∑ 𝑦_𝑡

𝑛

𝑡=1

𝑎̂_𝑘 = 2

𝑛∑ 𝑦_𝑡cos 𝜔_𝑘𝑡

𝑛

𝑡=1

𝑏̂_𝑘 = 2

𝑛∑ 𝑦_𝑡sin 𝜔_𝑘𝑡

𝑛

𝑡=1

7 2.4 Notasi Euler

Bentuk umum notasi Euler dapat dituliskan :

𝑒^𝑖𝜔 = cos 𝜔 + 𝑖 sin 𝜔, (2.4)

dan identitas notasi Euler diberikan (Wei,2006) : sin 𝜔 =𝑒^𝑖𝜔− 𝑒^−𝑖𝜔

2𝑖 = 1

2𝑒^𝑖𝜔−1

2𝑒^−𝑖𝜔, (2.5)

cos 𝜔 = 𝑒^𝑖𝜔+ 𝑒^−𝑖𝜔

2 =1

2𝑒^𝑖𝜔+1 2𝑒^𝑖𝜔.

2.5 Ordinary Least Square (OLS) Misalkan model statistik linier

𝑦 = 𝛽₁𝑋₁+ 𝛽₂𝑋₂+ ⋯ + 𝛽_𝑘𝑋_𝑘+ 𝑒. (2.6) Dengan sejumlah 𝑛 data observasi maka model linier ini dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai :

[ 𝑦₁ 𝑦₂

⋮ 𝑦_𝑛

] = [ 𝑥₁₁ 𝑥₁₂

⋮ 𝑥_1𝑛

𝑥₂₁ 𝑥₂₂

⋮ 𝑥_2𝑛

⋯⋯

⋱

⋯

𝑥_𝑘1 𝑥_𝑘2

⋮ 𝑥_𝑘𝑛

] [ 𝛽₁ 𝛽₂

⋮ 𝛽_𝑘

] + [ 𝑒₁ 𝑒₂

⋮ 𝑒_𝑛

]. (2.7)

Sehingga model ini dapat disederhanakan sebagai

𝑦 = 𝑋𝛽 + 𝑒. (2.8)

Variabel 𝑒 sangat memegang peran dalam model ekonometrika, tetapi variabel ini tidak dapat diteliti dan tidak pula tersedia informasi tentang bentuk distribusi kemungkinannya. Disamping asumsi mengenai distribusi probabilitasnya, beberapa asumsi lainnya khususnya tentang sifat statistiknya perlu dibuat dalam menerapkan metode OLS.

8

Berkaitan dengan model regresi yang telah dikemukakan sebelumnya, Gauss telah membuat asumsi mengenai variabel 𝑒 sebagai berikut :

1. Nilai rata-rata atau harapan variabel 𝑒 adalah sama dengan nol atau

𝐸(𝑒) = 0. (2.9)

Yang berarti nilai bersyarat 𝑒 yang diharapkan adalah sama dengan nol dimana syaratnya yang dimaksud tergantung pada nilai 𝑥. Dengan demikian, untuk nilai 𝑥 tertentu mungkin saja nilai 𝑒 sama dengan nol, mungkin positif atau negatif, tetapi untuk banyak nilai 𝑥 secara keseluruhan nilai rata-rata 𝑒 diharapkan sama dengan nol.

2. Tidak terdapat korelasi serial atau korelasi antar variabel untuk setiap observasi.

Dengan demikian dianggap bahwa tidak terdapat hubungan yang positif atau negatif antara 𝑒_𝑖 dan 𝑒_𝑗. Dan tidak terdapat heteroskedastisitas antar variabel 𝑒 untuk setiap observasi, atau dikatakan bahwa setiap variabel 𝑒 mempunyai varian yang positif dan konstan yang nilainya 𝜎², yaitu

𝑣𝑎𝑟 (𝑒_𝑖, 𝑒_𝑗) = {𝜎², 𝑖 = 𝑗

0, 𝑖 ≠ 𝑗 (2.10)

3. Variabel 𝑥 dan variabel 𝑒 adalah saling tidak tergantung untuk setiap observasi sehingga

𝐶𝑜𝑣(𝑥_𝑖, 𝑒_𝑖) = 0.

Dari ketiga asumsi ini diperoleh:

𝐸(𝑦) = 𝑋𝛽 𝐶𝑜𝑣(𝑦) = 𝜎²𝐼_𝑛

Misalkan sampel untuk 𝑦 diberikan. Maka aturan yang memungkinkan pemakaian sampel tadi untuk mendapatkan taksiran dari 𝛽 adalah dengan membuat 𝑒 = 𝑦 − 𝑋𝛽 sekecil mungkin. Dengan aturan ini, diharapkan akan menghasilkan komponen sistematik yang lebih berperan daripada komponen stokastiknya. Karena

9

bila komponen stokastik yang lebih berperan artinya hanya diperoleh sedikit informasi tentang 𝑦. Dengan kata lain, 𝑋 tidak mampu menjelaskan 𝑦.

Untuk tujuan ini maka perlu memilih parameter 𝛽 sehingga

𝑆 = 𝑒^′𝑒 = (𝑦 − 𝑋𝛽)^′(𝑦 − 𝑋𝛽) (2.11) sekecil mungkin (minimal).

Persamaan (2.11) adalah skalar, sehingga komponen-komponennya juga skalar.

Dan akibatnya, transpose skalar tidak merubah nilai skalar tersebut. Sehingga 𝑆 dapat ditulis sebagai

𝑆 = (𝑦 − 𝑋𝛽)^′(𝑦 − 𝑋𝛽) = 𝑦^′𝑦 − 2𝛽^′𝑋^′𝑦 + 𝛽^′𝑋^′𝑋𝛽. (2.12) Untuk meminimumkannya dapat diperoleh dengan melakukan turunan parsial pertama 𝑆 terhadap 𝛽.

𝑑𝑆

𝑑𝛽 = −2𝑋^′𝑦 + 2𝑋^′𝑋𝛽. (2.13)

Dan menyamakannya dengan nol diperoleh

𝑋^′𝑋𝛽 = 𝑋^′𝑦. (2.14)

Yang dinamakan sebagai Persamaan normal, dan

𝛽̂_𝑜𝑙𝑠 = (𝑋^′𝑋)⁻¹𝑋^′𝑦. (2.15)

Yang dinamakan sebagai penaksir (estimator) parameter 𝛽 secara kuadrat terkecil (Azis, 2007).

2.6 Model Aditif Outlier (AO) dan Multiplikatif Outlier (MO) Model aditif diberikan sebagai berikut :

𝑦_𝑡 = 𝑍_𝑡+ 𝐷𝜉_𝑡^(𝑇). (2.16)

Misalkan pencilan memiliki efek multiplikatif pada himpunan data, diasumsikan model bangkitan pencilan multiplikatif :

10

𝑦_𝑡 = 𝑍_𝑡𝐷𝜉_𝑡^(𝑇). (2.17)

Dimana 𝑦_𝑡 adalah deret yang diamati dan 𝑍_𝑡 adalah deret yang bebas dari pencilan serta 𝐷 adalah magnitude dari pencilan. Dengan 𝜉_𝑡^(𝑇) adalah indikator waktu dari pencilan sedemikian sehingga (Shittu & Shangodoyin,2008)

𝜉_𝑡^(𝑇)= {1, 𝑡 = 𝑇

0, 𝑡 ≠ 𝑇 (2.18)

2.7 Turunan Matriks

Misalkan terdapat dua vektor A dan X, dengan

𝑨 = [

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

⋮ 𝑎_𝑛]

, maka 𝑨^′ = [𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ ⋯ 𝑎_𝑛] (2.19)

𝑿 = [

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃

⋮ 𝑥_𝑛]

, maka 𝑿^′= [𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ ⋯ 𝑥_𝑛] (2.20)

Dan 𝑿^′𝑨 = 𝑨′𝑿, maka

𝜕(𝑿^′𝑨)

𝜕𝑥 =𝜕(𝑨′𝑿)

𝜕𝑥 = 𝑨 (2.21)

Bukti :

1. 𝜕(𝑿^′𝑨)

𝜕𝑥 =𝜕(𝑥₁𝑎₁+ 𝑥₂𝑎₂+ 𝑥₃𝑎₃+ ⋯ + 𝑥_𝑛𝑎_𝑛)

𝜕𝑥

11

=

[

𝜕(𝑥₁𝑎₁+ 𝑥₂𝑎₂+ 𝑥₃𝑎₃+ ⋯ + 𝑥_𝑛𝑎_𝑛)

𝜕𝑥₁

𝜕(𝑥₁𝑎₁+ 𝑥₂𝑎₂+ 𝑥₃𝑎₃+ ⋯ + 𝑥_𝑛𝑎_𝑛)

𝜕𝑥₂

⋮

𝜕(𝑥₁𝑎₁+ 𝑥₂𝑎₂+ 𝑥₃𝑎₃+ ⋯ + 𝑥_𝑛𝑎_𝑛)

𝜕𝑥_𝑛 ]

= [

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

⋮ 𝑎_𝑛]

= 𝑨

2. 𝜕(𝑨′𝑿)

𝜕𝑥 = 𝜕(𝑎₁𝑥₁+ 𝑎₂𝑥₂ + 𝑎₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛)

𝜕𝑥

=

[

𝜕(𝑎₁𝑥₁+ 𝑎₂𝑥₂+ 𝑎₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛)

𝜕𝑥₁

𝜕(𝑎₁𝑥₁+ 𝑎₂𝑥₂+ 𝑎₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛)

𝜕𝑥₂

⋮

𝜕(𝑎₁𝑥₁+ 𝑎₂𝑥₂+ 𝑎₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛)

𝜕𝑥_𝑛 ]

= [

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

⋮ 𝑎_𝑛]

= 𝑨

Jadi, terbukti ^𝜕(𝑿

′𝑨)

𝜕𝑥 =^{𝜕(𝑨′𝑿)}

𝜕𝑥 = 𝑨 Misalkan fungsi linier 𝒀 = 𝑨𝑿

𝑨 = [ 𝑎₁ 𝑎₂

⋮ 𝑎_𝑛

]

𝑦_𝑡= 𝑎_𝑡𝑥

Dimana 𝑎_𝑡 adalah elemen-elemen baris ke-𝑖 dari 𝑨, maka

[

𝜕𝑦₁

𝜕𝑥

𝜕𝑦₂

𝜕𝑥

⋮

𝜕𝑦_𝑛

𝜕𝑥 ]

= [ 𝑎₁ 𝑎₂

⋮ 𝑎_𝑛

]

Sehingga ^𝜕𝑨𝑿

𝜕𝑥 = 𝑨.

Suatu persamaan

12 𝑿^′𝑨𝑿 = [𝑥1 𝑥₂ 𝑥₃ ⋯ 𝑥_𝑛] [

𝑎₁₁ 𝑎₂₁

⋮ 𝑎_𝑛1

𝑎₁₂ 𝑎₂₂

⋮ 𝑎_𝑛2

⋯

⋯⋱

⋯ 𝑎_1𝑛 𝑎_2𝑛

⋮ 𝑎_𝑛𝑛

] [

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃

⋮ 𝑥_𝑛]

(2.22)

= 𝑎₁₁𝑥₁₁²+ 2𝑎₁₂𝑥₁𝑥₂+ 2𝑎₁₃𝑥₁𝑥₃+ ⋯ + 2𝑎_1𝑛𝑥₁𝑥_𝑛+ 𝑎₂₂𝑥₂₂²+ 2𝑎₂₃𝑥₂𝑥₃+ ⋯ + 2𝑎_2𝑛𝑥₂𝑥_𝑛+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛𝑥_𝑛𝑛²

Jika diambil turunan parsial terhadap elemen-elemen 𝑿 akan diperoleh hasil sebagai berikut :

𝜕(𝑿′𝑨𝑿)

𝜕𝑥₁ = 2(𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂+ 𝑎₁₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛)

𝜕(𝑿′𝑨𝑿)

𝜕𝑥₂ = 2(𝑎₁₂𝑥₁+ 𝑎₂₂𝑥₂+ 𝑎₂₃𝑥₃ + ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛)

⋮

𝜕(𝑿′𝑨𝑿)

𝜕𝑥_𝑛 = 2(𝑎_1𝑛𝑥₁ + 𝑎_2𝑛𝑥₂+ 𝑎_3𝑛𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛𝑥_𝑛)

(2.23)

Jika diperhatikan hasil persamaan (2.23), 𝑎_1𝑛𝑥₁+ 𝑎_2𝑛𝑥₂ + 𝑎_3𝑛𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛𝑥_𝑛 merupakan elemen-elemen dari hasil matriks 𝑨 dan vektor 𝑿, yaitu 𝑨𝑿 dan memberikan suatu vektor kolom dengan 𝑛 elemen. Jadi hasil di atas dapat diringkas sebagai berikut:

𝜕(𝑿′𝑨𝑿)

𝜕𝑥 = 2𝑨𝑿 (2.24)