KORELASI KENDALL (τ) UNTUK ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI CLAYTON-COPULA BIVARIAT DAN
PENERAPANNYA PADA DATA HARGA SAHAM S&P100 DAN S&P600
Apriliana Wiji Nurcahyani, Dewi Retno Sari Saputro, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Untuk membentuk fungsi distribusi bersama dari dua variabel random yang berdistribusi ekstrem diperlukan fungsi penghubung. Fungsi penghubung terse-but adalah copula. Copula dibagi ke dalam beberapa kelas, salah satunya Clayton-copula. Copula juga dapat digunakan untuk menjelaskan korelasi dari dua variabel random. Sedangkan untuk mengetahui korelasi antara dua variabel random digunakan korelasi Kendall (τ). Korelasi Kendall (τ) digunakan karena terdapat perbedaan
an-tara peluang dari konkordan dan diskordan untuk dua variabel random yang depen-den. Tujuan penelitian ini untuk estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivari-at dengan koreasi Kendall (τ) dan menerapkannya pada data harian harga saham
S&P100 dan S&P600. Hasil dari estimasi parameterθpada distribusi Clayton-copula
bivariat dengan korelasi Kendall (τ) adalah ˆθ = 2τ
1−τ dan hasil estimasi parameter
pada penerapan data harian harga saham S&P100 dan S&P600 adalah 1.7120530 denganτ sebesar 0.4612146.
Kata Kunci: estimasi parameter, korelasi Kendall (τ), distribusi Clayton-copula
1. Pendahuluan
Indeks harga saham merupakan indikator utama yang menggambarkan per-gerakan harga saham dengan memiliki fungsi sebagai indikator tren pasar, indika-tor tingkat keuntungan, dan tolak ukur kerja portofolio. S&P100 dan S&P600 merupakan indeks harga saham yang berada di Amerika Serikat. Kedua harga saham tersebut masih dalam satu stok index market yaitu Standar and Poor’s (S&P). S&P100 adalah indeks gabungan dari 100 jenis harga saham di Ameri-ka SeriAmeri-kat dan S&P600 adalah pasar bursa saham yang berisiAmeri-kan perusahaan yang memiliki penguasaan pasar sebesar 300 juta dolar sampai 2 miliar dolar di Amerika Serikat. Kedua harga saham tersebut memiliki tingkat dependensi artinya kedua harga saham tersebut saling mempengaruhi sehingga tidak mudah untuk melakukan estimasi parameternya.
Menurut Embrechts et al. [2], keluarga copula dibagi menjadi tiga yaitu elliptical copula, archimedean copula, dan Marshall-Olkin-copula. Keluarga el-liptical copula merupakan copula dari distribusi elips. Terdapat dua tipe copula yang termasuk dalam kelas elliptical copula yaitu gaussian copula dan student-t copula. Archimedean copula terdiri dari tiga kelas yaitu Frank-copula, Gumbel-copula, dan Clayton-copula. Archimedean copula paling banyak digunakan dalam kasus bivariat. Hal ini disebabkan karena kemudahan dalam menentukan fungsi copula-nya dan kelas padaarchimedean copula memiliki fungsi pembangkit yang berbeda-beda. Fungsi pembangkit archimedean copula adalah kontinu, mono-ton turun, dan memiliki fungsi φ : [0,1] → [0,∞) dengan φ(1) = 0. Nilai dari
φ[−1] =φ−1(u) untuk 0 ≤ u ≤φ(0) dan φ[−1] = 0 untuk φ(0) ≤ u≤ ∞. Fungsi
C(u, v) = φ[−1](φ(u) + φ(v)) adalah copula bivariat dan disebut archimedean
copula bivariat dengan fungsi pembangkit φ (Kort [4]).
Menurut Kort [4], terdapat dua perilaku ekor dependen yaitu ekor dependen atas (upper tail dependence) dan ekor dependen bawah (lower tail dependence). Ekor dependen atas dapat didekati dengan distribusi Gumbel-copula dan ekor dependen bawah dapat didekati dengan distribusi Clayton-copula.
Penelitian yang pernah dilakukan oleh Shamiri et al. [6] adalah Clayton-copula pada financial market risk management. Pada penelitian tersebut, di-gunakan gabungan dari dua kelas archimedean copula yaitu Clayton-copula dan Gumbel-copula. Pada penelitian tersebut Shamiri et al. [6] fokus menggunakan kelas Clayton-copula karena lebih baik digunakan dalam bidang financial mar-keting. Dalam penelitian yang dilakukan oleh Shamiriet al. [6] estimasi yang di-gunakan untuk fungsi distribusi Clayton-copula dan Gumbel-copula adalah max-imum likelihood estimation (MLE). Copula juga dapat digunakan untuk menje-laskan korelasi dari suatu distribusi (Syuhada [8]). Menurut Mahfoud [5], ko-relasi Kendall (τ) dapat digunakan untuk mengkonstruksi parameter dari kelas Clayton-copula dan Gumbel-copula.
Menurut Genest dan Segers [3], korelasi Kendall (τ) merupakan salah satu korelasi yang sesuai untuk mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula. Kelebihan korelasi Kendall (τ) adalah tidak terpengaruh oleh nilai-nilai outlier dan dapat digunakan meskipun bentuk hubungan antara variabel random tidak bersifat linear. Pada penelitian ini dikaji ulang estimasi parameter distribusi Clayton-copula pada kasus bivariat dengan korelasi Kendall (τ) dan diterapkan pada data harian harga saham S&P100 dan S&P600.
2. Copula
Menurut Zimmer dan Trivedi [9],copulaadalah fungsi dari distribusi bersama multivariat yang dapat dibentuk hanya menggunakan informasi dari distribusi marginal variabel random dependen. Copula juga dapat digunakan untuk meng-ukur korelasi dari suatu distribusi. Ukuran korelasi yang dikenal antara lain korelasi linear Paerson, korelasi rank (rank correlation), dan koefisien kebergan-tungan ekor (coefficient of tail dependence). Korelasi rank dan koefisien keber-gantungan ekor digolongkan sebagai korelasi yang berbasis copula (Syuhada [8]). Copula berperan dalam menggabungkan struktur depedensi untuk membentuk distribusi bersama dari dua variabel randomU danV. Dependensi dalam konteks ini dapat dianggap dari kejadian ekstrem. Copula dengan variabel random yang memiliki nilai ekstrem termasuk ke dalam keluarga archimedean copula. Secara umum fungsi distribusi archimedean copula didefinisikan
C(u1, ..., un) = φ−1[(φ(u1), ..., φ(un)], (2.1)
dengan n = 1,2, ..., k; k ∈ N. Fungsi distribusi pada persamaan (2.1) meru-pakan archimedean copula berdimensi-n dengan C(u1, ..., un) adalah fungsi
dis-tribusi Clayton-copula, φ(u1) merupakan fungsi pembangkit pada variabel ran-dom ke-1, φ(un) merupakan fungsi pembangkit pada variabel random ke-n, dan
φ−1[(φ(u1), ..., φ(u
n)] merupakaninverse dari fungsi pembangkit variabel random
u1 sampai dengan un.
3. Distribusi Clayton-copula
Distribusi Clayton-copula merupakan fungsi distribusi gabungan dari dua variabel random yang berdistibusi Clayton. Fungsi distribusiarchimedean copula bivariat dibutuhkan untuk membentuk distribusi bersama tersebut. Menurut Kort [4], fungsi distribusi archimedean copula bivariat dituliskan sebagai
C(u, v) =φ−1(φ(u) +φ(v)), (3.1)
dengan φ(u) = 1θ(u−θ −1) dan φ(v) = 1θ(v−θ −1) merupakan fungsi pembang-kit Clayton-copula pada variabel random u dan v dan θ sebagai parameternya. Fungsi distribusi bersama Clayton-copula bivariat dengan variabel random u
danv diperoleh dengan mensubstitusi fungsi pembangkit Clayton-copula masing-masing variabel random udan v ke dalam persamaan (3.1) sehingga diperoleh
C(u, v) =φ−1[(1
θ(u
−θ−1)) + (1
θ(v
−θ−1))],
dengan φ−1 merupakan inverse dari fungsi pembangkit variabel randomu dan v
pada distribusi Clayton-copula bivariat menggunakan fungsi pembangkitφ(u) = 1
θ(u
persamaan y = φ(u) menjadi bentuk u sebagai fungsi dari y, hasil perubahan bentuk u menjadi fungsi y dinyatakan φ(y)−1, selanjutnya mengubah y menjadi
u.
φ(u) = 1
θ(u
−θ−1)
y = 1
θ(u
−θ−1)
(θy+ 1)−1θ = u
(θy+ 1)−1θ = φ(y)−1
(θu+ 1)−1θ = φ(u)−1
sehingga inverse dari φ(u) adalah
φ(u)−1 = (θu+ 1)−1θ. (3.2)
Berdasarkan fungsi inverse pada persamaan (3.2) diperoleh
C(u, v) = φ−1[(1
θ(u
−θ−1)) + (1
θ(v
−θ−1))]
= [θ(1
θ(u
−θ
−1) + 1
θ(v
−θ
−1)) + 1]−1θ
= [u−θ+v−θ−1]−1θ.
Dengan demikian distribusi Clayton-copula bivariat dituliskan sebagai
CC(u, v;θ) = [u−θ+v−θ−1]−1θ. (3.3)
Selanjutnya parameter θ pada persamaan (3.3) akan diestimasi menggunakan korelasi Kendall (τ).
4. Peak-Over Threshold (POT)
Menurut Dharmawan [1], salah satu cara untuk mengidentifikasi nilai eks-trem dengan metode peak-over threshold (POT). Metode POT mempertimbang-kan distribusi data ekstrem yang melebihi ambang yang telah ditetapmempertimbang-kan atau disebut threshold. Karena Clayton-copula bekerja pada nilai ekstrem minimum sehingga untuk semua nilai yang kurang dari threshold disebut sebagai nilai eks-trem.
5. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian teori dengan estimasi parameter dis-tribusi Clayton-copula bivariat dan penerapannya pada data harian harga sa-ham S&P100 dan S&P600. Untuk uraian langkah-langkahnya diuraikan sebagai berikut.
Untuk teori dilakukan estimasi parameter distribusi Clayton-copula meng-gunakan korelasi Kendall (τ), dengan menentukan fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula, menentukan turunan pertama fungsi pembangkit distribusi Clay-ton-copula, mensubstitusi fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula ke per-samaan
menghitung nilai φφ′((uu)), mensubstitusi hasil perhitungan φ(u)
φ′(u) ke persamaan (5.1),
menghitung nilai ∫01 φφ′((uu))du, dan mensubstitusikan hasil integral ke persamaan
(5.1).
Untuk penerapannya pada data harian harga saham S&P100 dan S&P600 dilakukan dengan langkah memilih variabel random, dengan variabel U untuk data harga saham S&P100 dan variabel V untuk data harga saham S&P600, melakukan uji kenormalan untuk masing-masing variabel randomUdanV, menen-tukan sampel yang mempunyai nilai ekstrem dengan metode peak-over threshold (POT), mentransformasikan variabel U dan V pada interval [0,1], menentukan tingkat dependensi antara variabel random U dan V, menguji korelasi variabel
U dan V dengan pendekatancopula, dan menentukan nilai estimasi parameter θ
fungsi Clayton-copula dengan nilai korelasi Kendall (τ).
6. Hasil dan Pembahasan
6.1. Estimasi Parameter Distribusi Clayton-copula. Menurut Genest dan Rivers (1993) dalam Syahrir dkk. [7] untuk mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula digunakan korelasi Kendall τ nilai Kendall (τ) yang dituliskan sebagai
pertama adalah menentukan turunan pertama fungsi pembangkitnya yaitu
φ′(u) = d φ(u)
du =
d(1θ(u−θ−1))
du
= −u−(θ+1).
Langkah berikutnya adalah mensubstitusi persamaan (6.1) ke persamaan (5.1),
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial pada persamaan (6.2) ruas kanan suku kedua yaitu
Untuk memperoleh estimasi parameterθ pada persamaan (3.3), persamaan (6.3) disubstitusi ke persamaan (6.2) sehingga diperoleh
τ = 1 + 4
Dari persamaan (6.4) dapat diperoleh estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat yaitu
ˆ
θ = 2τ
1−τ. (6.5)
6.2. Penerapan. Dalam penelitian ini diterapkan estimasi parameter distribusi Clayton-copula pada data harian harga saham Amerika Serikat S&P100 dan S&P600 dari bulan Januari 2010 sampai dengan bulan September 2014. Sum-ber data dari http://finance.yahoo.com, 2014. Indeks harga saham merupakan indikator utama yang menggambarkan pergerakan harga saham dengan memiliki
fungsi sebagai indikator tren pasar, indikator tingkat keuntungan, dan tolak ukur kerja portofolio.
Pada umumnya data harga saham tidak berdistribusi normal karena memu-at dmemu-ata ekstrem. Harga saham S&P100 dan S&P600 memiliki hubungan yang saling mempengaruhi atau dependen karena keduanya masih dalam satu stock market index yaitu Standard & Poor’s (S&P). Pada penelitian ini dimisalkan data S&P100 sebagai variabel randomU dan data S&P600 sebagai variabel randomV. Pada penelitian ini dilakukan dengan pendekatancopula. Copula digunakan pada data ekstrem serta harus memenuhi syarat bahwa data tidak berdistribusi normal dan antara kedua data tersebut haruslah dependen. Oleh karena itu, dilakukan uji kenormalan untuk variabel random U dan V serta uji dependensi untuk ke-dua variabel random tersebut. Untuk mengetahui kenormalan variabel random dapat digunakan uji kolmogorov-smirnov. Uji kenormalan kolmogorov-smirnov untuk masing-masing variabel random U dan V diperoleh nilai p-value = 0.01 karena nilai p-value < α = 0.05 berarti bahwa variabel random U dan V tidak berdistribusi normal. Karenacopula digunakan pada data ekstrem, berarti bahwa kedua variabel random tersebut memuat nilai ekstrem.
Untuk mengetahui nilai ekstrem yang terdapat pada data digunakan metode peak-over threshold (POT). Metode POT menggunakan nilai ambang batas (thres-hold). Jika data berada di bawah threshold, maka data tersebut dikatakan data ekstrem. Berdasarkan perhitungan diperoleh threshold sebesar 623.3360 untuk variabel random U dan 128.9610 untuk Variabel random V. Dengan demikian diperoleh data ekstrem sebanyak 610 untuk variabel random U dan 750 untuk variabel random V. Setelah didapatkan data dengan nilai ekstrem, selanjutnya dilakukan pengujian dependensi antara dua variabel menggunakan pendekatan copula.
Pengujian dependensi antara dua variabel yang memiliki nilai ekstrem meng-gunakan pendekatan copula yaitu menggunakan asumsi korelasi rank dan koe-fisien kebergantungan ekor. Langkah pertama adalah melakukan transformasi variabel U dan V pada domain [0,1]. Selanjutnya menentukan nilai koefisien korelasi pada variabel U dan V dengan menggunakan korelasi Kendall (τ) dan memperoleh nilai τ = 0.4612146. Kemudian melakukan pengujian korelasi rank untuk mengatasi masalah dependensi nilai ekstrem dengan menggunakan korelasi Kendall (τ). Berdasarkan perhitungan didapatkan nilaip−value = 2.4758×10−7.
Berdasarkan persamaan (6.5) didapatkan estimasi parameter dengan kore-lasi Kendall (τ). Nilai τ dalam penelitian ini untuk data harga saham S&P100 dan S&P600 adalah 0.4612146 yang berarti terdapat korelasi positif antara kedu-anya. Dengan demikian estimasi parameter Clayton-copula yaitu ˆθmenggunakan korelasi Kendall (τ) adalah sebesar 1.7120530 dengan nilaiτ sebesar 0.4612146.
7. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh dua kesimpulan sebagai berikut.
(1) Estimasi parameter distribusi Clayton-copula dengan korelasi Kendall (τ) adalah
ˆ
θ = 2τ 1−τ.
(2) Berdasarkan data harian harga saham S&P100 dan S&P600 diperoleh hasil estimasi parameter yaitu ˆθ = 1.7120530.
Daftar Pustaka
[1] Dharmawan, K., Estimasi Nilai VaR Dinamis Indeks Saham Menggunakan Peak-Over Threshold dan Block Maxima, Jurnal Matematika2(2012), no. 2, 1394-1693.
[2] Embrechts, P., F. Lindskog, and A. McNeil,Modelling Dependence with Copulas and App-lications to Risk Management, Department of Mathematics ETHZ, 2001.
[3] Genest, C. and J. Segers,On the Covariance of The Asymptotic Empirical Copulas Process, Journal of Multivariate Analysis101(2010).
[4] Kort, J.,Modeling tail dependence using copulas-literature review, ResearchGate, 2007. [5] Mahfood, M.,Bivariat Archimedean Copulas: An Application to Two Stock Market Indices,
Vrije Universteit, Amsterdam, 2012.
[6] Shamiri, A., N. A. Hamzah, and A. Pirmoradian, Tail Dependence Estimate in Financial Market Risk Management: Clayton-Gumbel Copula Approach, Sains Malaysiana (2011), 927-935.
[7] Syahrir, I., I. Zaini, dan H. Kuswanto, Estimasi Parameter Copula Archimedean dan Ap-likasinya dalam Klimatologi, Paper ITS, no. 17984-1309201001.
[8] Syuhada, K. I. A., Analisis Data Dengan Copula ”Dependency is not Necessarily Bad”, Kelompok Keilmuan Statistika, FMIPA ITB, Bandung, 2013.
[9] Zimmer, D. M. and P. K. Trivedi, Using Triviate Copulas to Model Sample Selection and Treatment Effects: Application to Family Healt care Demand, Journal of Business and Eco-nomic Statistics24 (2006), no. 1, 63-67.
