KARAKTERISTIK OPERATOR PENGALI SEBAGAI PEMBANGUN NORM PADA RUANG ORLICZ.

(1)

Indra Rukmana, 2014

KARAKTERISTIK OPERATOR PENGALI SEBAGAI PEMBANGUN NORM PADA RUANG ORLICZ

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

KARAKTERISTIK OPERATOR PENGALI

SEBAGAI PEMBANGUN NORM PADA RUANG ORLICZ

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar

Sarjana Sains

Program Studi Matematika Konsentrasi Analisis

Oleh

INDRA RUKMANA

0902130

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

(2)

Indra Rukmana, 2014

KARAKTERISTIK OPERATOR PENGALI

Oleh Indra Rukmana

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Januari 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

Indra Rukmana, 2014

INDRA RUKMANA

KARAKTERISTIK OPERATOR PENGALI

DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING :

Pembimbing I

Dra. Encum Sumiaty, M.Si.

NIP. 196304201989032002

Pembimbing II

Drs. H. Cece Kustiawan, M.Si.

NIP. 196612131992031001

Mengetahui

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Drs. Turmudi, M.Ed, M.Sc, Ph.D.

(4)

ii Indra Rukmana_, 2014

ABSTRAK

Ruang Orlicz (L_) merupakan perluasan dari ruang L_p, p1 yang diperkenalkan oleh Z.W Rirnbaum dan W. Orlicz pada tahun 1931. Diketahui bahwa ruang Orlicz merupakan salah satu dari ruang Banach. Shally Gupta (2001) mengkaji operator pengali dengan ruang Orlicz yang kemudian dikembangkan oleh Al Azhary Masta (2013) dengan mendefinisikan norm pada ruang Orlicz yang dibangun oleh operator pengali. Pada tulisan ini dipelajari tentang karakteristik dari norm pada ruang Orlicz yang dibangun oleh operator pengali dan ditemukan ketidaksamaan Holder dengan norm tersebut, yang kemudian menjadi dasar pendefinisian ruang dual pada ruang Orlicz. Dijelaskan pula mengenai karakteristik operator pengali dan kekonvergenan pada ruang Orlicz dengan menggunakan norm yang dibangun oleh operator pengali.

Kata Kunci: Ruang Orlicz, Operator Pengali, Ruang Banach, Ruang Dual, Ketidaksamaan

(5)

v

Indra Rukmana_, 2014

DAFTAR ISI

LEMBAR PERNYATAAN………. i

ABSTRAK……… ii

KATA PENGANTAR………. iii

DAFTAR ISI……… v

DAFTAR SIMBOL……….. vii

BAB 1 PENDAHULUAN……… 1

1.1 Latar Belakang Masalah ...……… 1.2 Rumusan Masalah………. 1.3 Tujuan Penelitian ……… 1.4 Manfaat Penelitian ……….. 1.5 Sistematika Penulisan ………. 1 2 2 3 3 BAB 2 LANDASAN TEORI………... 5

2.1 Barisan Fungsi………... 2.2 Kekontinuan Fungsi……….. 2.3 Fungsi Monoton dan Fungsi Genap……….. 2.4 Fungsi Konveks………. 2.5 Himpunan Terukur dan Fungsi Terukur………... 2.6 Integral Lebesgue……….. 2.7 Ruang Banach ……….. 2.8 Ruang L_p……….. 2.9 Ruang Orlicz………. 2.10 Operator Linier……….. 5 6 7 8 9 16 21 24 26 40 BAB 3 OPERATOR PENGALI SEBAGAI PEMBANGUN NORM PADA RUANG ORLICZ……… 43

3.1 Karakteristik Norm pada Ruang Orlicz yang Dibangun Oleh Operator Pengali..

3.2 Karakteristik Operator Pengali Pada Ruang Orlicz………..

3.3 Kekonvergenan Pada Ruang Orlicz………..

43

58

(6)

vi

Indra Rukmana, 2014

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN……… 70

4.1 Kesimpulan………...

4.2 Saran………...

70

71

(7)

vii

DAFTAR SIMBOL

: Himpunan bilangan asli

: Himpunan bilangan real  : Fungsi Young

 : Fungsi komplemen dari  L_ : Ruang Orlicz

p

L : Ruang Lebesgue

( )

B X : Himpunan fungsi terukur terbatas yang terdefinisi pada X

E_ : Klosur dari B X( )

u

M : Operator pengali

 : Norm Luxemburg

,

u : Norm yang dibangun oleh operator pengali

,

  : Norm Orlicz

p : Norm pada Lp

X

 : Fungsi karakteristik dari himpunan X F : Fungsional linier

u

M : Norm operator pengali

AC : Kontinu Mutlak

X : Himpunan Terukur

( )X

(8)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang Masalah

Misalkan  adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real. Fungsi  dinamakan fungsi Young jika  merupakan fungsi genap, kontinu, dan konveks, dengan (0) 0, dan ( )  . Dari pendefinisian fungsi Young, kemudian Z.W

Rirnbaum dan Wladyslaw Orlicz sekitar tahun 1931, mengembangkan suatu ruang

baru yang diberi nama ruang Orlicz. Ruang Orlicz didefinisikan sebagai himpunan

semua fungsi terukur f sedemikian sehingga



(af d)   untuk suatu a0_,

yang kemudian dinotasikan dengan L_ (Rao, 1991:49). Wladyslaw Orlicz

mengemukakan bahwa L_ merupakan perluasan dari ruang Lebesgue L_p,p1.

Selanjutnya, W.A.J. Luxemburg pada tahun 1955 mendefinisikan suatu norm yang

terdefinisi dengan baik pada ruang Orlicz yang dikenal sebagai norm Luxemburg,

dimana

0 : 1

inf

X

f

f b d

b

  

 _{ } 

 _  _{ }  _

 





.

Pengkajian atau penelitian lebih dalam mengenai ruang Orlicz banyak

dilakukan, diantaranya oleh Christian Leonard (2007) yang mengatakan bahwa ruang

Orlicz merupakan ruang Banach. B.S Komal dan Shally Gupta (2001) mengkaji

operator pengali yang dinyatakan dengan M f_u untuk setiap f L_ dimana

:

u X  sedemikian sehingga uf L_, serta sifat-sifat dari operator pengali pada

ruang Orlicz yang mencakup konsep keterbatasan, invertible dan kekompakkan.

Kemudian Al-Azhary Masta (2013) telah mengembangkan suatu norm pada

ruang Orlicz yang dibangun oleh operator pengali yang ekuivalen dengan norm

(9)

2 Indra Rukmana_, 2014

KARAKTERISTIK OPERATOR PENGALI SEBAGAI PEMBANGUN NORM PADA RUANG ORLICZ

,

( )( )

inf 0 : u 1

X u

M f x

f b d

b

  

 _ _ 

 _  _ _  _

 







dengan u adalah fungsi terukur terbatas dan u x( )0 hampir dimana-mana pada X .

Berdasarkan uraian di atas, penulis termotivasi untuk mengkaji sifat-sifat

operator pengali serta norm pada ruang Orlicz yang dibangun oleh operator pengali.

Lebih dari itu, di dalam skripsi ini juga akan dibahas kekonvergenan pada ruang

Orlicz melalui norm pada ruang Orlicz yang dibangun oleh operator pengali.

1.2Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian pada latar belakang masalah sebelumnya, yang

menjadi masalah dalam skripsi ini adalah bagaimana karakteristik dari operator

pengali sebagai pembangun norm pada ruang Orlicz. Secara khusus permasalah

tersebut dirumuskan sebagai berikut;

1. Sifat-sifat apa saja yang berlaku pada norm yang dibangun oleh operator

pengali pada ruang Orlicz?

2. Sifat-sifat apa saja yang berlaku pada operator pengali di ruang Orlicz?

3. Sifat kekonvergenan apa saja yang berlaku pada ruang Orlicz dengan norm

yang dibangun oleh operator pengali?

1.3Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang diuraikan di atas, maka tujuan dari

(10)

1. Mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada operator pengali pada ruang Orlicz.

2. Mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada norm operator pengali pada ruang

Orlicz.

3. Mengetahui sifat-sifat kekonvergenan yang berlaku pada ruang Orlicz.

1.4Manfaat Penelitian

Melalui penelitian ini diharapkan memberikan konstribusi yang berarti

baik bagi pengembangan matematika, bagi peneliti, maupun bagi mahasiswa

lainnya.

1. Memperluas dan memperdalam penguasaan materi tentang ruang Orlicz,

khususnya norm ruang Orlicz yang telah dibangun oleh operator pengali.

2. Memberikan inspirasi bagi peneliti lain yang ingin meneliti lebih dalam

tentang ruang Orlicz, dan karakteristik operator pengali.

1.5Sistematika Penulisan

Skripsi ini dibagi menjadi empat bab. Sebagaimana yang telah diuraikan

di atas, BAB 1 adalah pendahuluan yang berisi Latar Belakang Masalah,

Rumusan Masalah, Tujuan Penelitian, dan Sistematika Penulisan.

Berikutnya, BAB 2 adalah landasan teori sebagai konsep dasar untuk

pembahasan bab-bab selanjutnya, seperti sistem bilangan real dan keterbatasan,

(11)

KARAKTERISTIK OPERATOR PENGALI SEBAGAI PEMBANGUN NORM PADA RUANG ORLICZ

fungsi genap, fungsi konveks, himpunan dan fungsi terukur, integral Lebesgue,

ruang Banach, ruang L , ruang Orlicz serta operator linear. p

BAB 3 merupakan isi dari skripsi ini. Diawali dengan pendefinisian

operator pengali, kemudian pembahasan mengenai norm yang dibangun oleh

operator pengali, ruang Banach L_, ketidaksamaan Holder, dan kekonvergenan

monoton pada ruang L_.

BAB 4 berisi kesimpulan dari hasil kajian yang telah dibahas pada bab

(12)

43

Indra Rukmana, 2014

BAB III

OPERATOR PENGALI SEBAGAI PEMBANGUN NORM

PADA RUANG ORLICZ

Telah dibahas pada bab sebelumnya mengenai konsep-konsep dasar sebagai

teori pendukung untuk membuktikan sifat-sifat dari operator pengali pada ruang Orlicz

(L_). Pada bab ini akan dipelajari tentang definisi operator pengali yang membangun

norm pada L_ beserta sifat-sifat yang berlaku.

3.1 Karakteristik Norm pada Ruang Orlicz yang Dibangun Oleh Operator Pengali

Pengkonstruksian norm pada L_ yang dibangun oleh operator pengali

melibatkan pendefinisian suatu operator pengali yang memetakan L_ ke L_. Syarat

cukup untuk menyatakan bahwa operator pengali tersebut terpetakan pada L_ adalah

pengali pada operator yang dinotasikan dengan u merupakan fungsi terbatas esensial.

Teorema 3.1.1

Misalkan f L_ dan u adalah fungsi terukur yang terdefinisi pada X . Jika

:

u X R adalah fungsi terbatas esensial, maka M f_u u f. yang didefinisikan

dengan (M f_u )( )x u x f x( ) ( ) untuk semua xX termuat pada L_

Bukti:

Misalkan u X: R adalah fungsi terbatas esensial, maka berdasarkan Definisi 2.8.4

terdapat konstanta N 0 sedemikian sehingga

| ( ) |u x N

hampir dimana-mana pada X . Akan ditunjukkan bahwa u f. termuat pada L_.

Misalkan f L_. Berdasarkan Definisi 2.9.15, terdapat konstanta a0 sedemikian

sehingga ( ( ))

X

af x d

  



. Pilih b a 0 N

  , sedemikian sehingga

( ) ( )

( )

X X

u

au x f x

bM f d d

N

  _{ } _ 

 

(13)

44

Indra Rukmana, 2014

( )

X

aNf x d N

  

 



_ _

( ( )) .

X

af x d

 





 

Terbukti bahwa M f_u L_.∎

Selanjutnya akan dibahas tentang operator pengali pada L_.

Definisi 3.1.2: Operator Pengali (Kubrusly, 2001: 497)

Misalkan f L_ dan uL_. Operator pengali M_u adalah suatu pemetaan dari L_ ke

L_ yang didefinisikan oleh

.

u

M f u f

,untuk setiap fL_, dimana (M f_u )( )x u x f x( ) ( ) untuk semua xX .

Contoh :

Didefinisikan suatu fungsi Young ( ) | | x  x p, 1  p .

Misalkan

( ) 0 k u x  



jika

[0,1] [0,1] \ x

x 



dan

1 ( )

0 x f x   



jika

[0,1]

[0,1] \ x

x 

 .

Jelas bahwa .u f L_.

Definisi 3.1.3 (Masta, 2013: 3)

Misalkan X  _, adalah fungsi Young, uL_. Jika terdapat  0 sedemikian

sehingga u x( )_{untuk setiap x}X , maka untuk sebarang fungsi terukur f di X ,

(14)

45

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu ,

( )( )

inf 0 : u 1

X u

M f x

f b dx

b    _ _   _  _ _  _   





Akan ditunjukkan bahwa ,

u

f _ merupakan suatu norm. Terlebih dahulu akan

diberikan beberapa sifat yang berlaku pada ,

u

f _.

Lemma 3.1.4

Misalkan  adalah fungsi Young dan f :X adalah sebarang fungsi terukur.

1) Jika 0 f _u_,_   maka

, ( )( )

1

u

X u

M f x dx f _

_  _

 



.

2) f _u_,_ 1 jika dan hanya jika (( _u )( )) 1

X

M f x dx

 



.

3) f _u_,_ 0 jika dan hanya jika ( u )( ) 1

X

M f x dx    _{ }    



untuk setiap  0.

Bukti :

1) Ambil sembarang barisan

, 1 0 n _u b f n 

   untuk setiap n sedemikian

sehingga ( )( ) 1 u n X

M f x dx b

_  _

 



.

Jelas bahwa b adalah barisan monoton turun yang konvergen ke _n f _u_,_.

Karena  adalah fungsi kontinu dan berdasarkan teorema 2.6.16 maka

,

( )( ) ( )( )

lim inf 1

u u

n

X u X

M f x M f x dx

f _ b

_  _ _ _ _

 



.

2) Jika (( _u )( )) 1

X

x M f dx

 



dari definisi f _u_,_ diperoleh

, 1

u

(15)

46

Indra Rukmana, 2014

Sebaliknya, jika f _u_,_ 1 maka , 1

1

u

f _  . Karena  adalah fungsi monoton

naik dan fungsi genap, maka

, ( )( )

1 u (( )( ))

u

X u X

M f x

dx M f x dx f _

  

 _ _ 

 



.

3) () Misalkan

, 0

u

f _  dan sebarang xX . Akan ditunjukkan bahwa

( )( )

1

u X

M f x dx

_ _  _

 



.

Diambil sebarang  0. Berdasarkan Definisi 3.1.3 diperoleh f _u_,_  .

Sehingga

,

1 1

u

f _ 

,

| ( _u )( ) | | ( _u )( ) |

u

M f x M f x f _   ,

Karena  fungsi naik dan fungsi genap, maka

,

( _u )( ) ( _u )( )

u

M f x M f x f _      _ _  _{  } _   _ _   .

Berdasarkan Lemma 2.9.9 diperoleh

u,θ

1 ( u )( ) ( u )( )

X X

M f x M

f x dx f dx      _ _    _ _ _{ } _    



.

Sehingga terbukti bahwa ( u )( ) 1

X

M f x dx

_ _  _

 



.

Diambil sebarang  0 sedemikian sehingga u 1

X M f d _ _ _   



. Perhatikan bahwa

, inf 0 : 1 .

u

X u

M f f _   d



 _ _ 

 _  _ _  _

 

(16)

47

Indra Rukmana, 2014

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Sehingga diperoleh

, ε

u

f _  . Karena  diambil sebarang, maka terbukti

bahwa

, 0

u

f _  .∎

Teorema 3.1.5

Untuk sebarang fungsi terukur f pada X ,

, 0

u

f _  jika dan hanya jika f 0

hampir dimana-mana pada X .

Bukti :

Diambil sebarang  0.

Misalkan f x( )0 maka 0 1

X u

M f d

_ _ _  

 



. Hal ini berarti

( )( )

0 : 1

X

u

M f x

b d

b

 _ _ _  _

 





, sehingga f u, . Karena  diambil sebarang maka

, 0

u

f _  .

misalkan

, 0

u

f _  , berarti inf 0 : u 1 0

X

M f

b d

b

 

 _ _ _ _{ }

 _ _ 





 .

Perhatikan bahwa ( ) (1 )0 u u

u

aM f aM f

aM f

 _  _ _ ___ _ _

   

  untuk a0.

Berdasarkan Teorema 3.1.6, jika f _u_,_ 0 maka 1

X

u

aM f d

 



  _

 

 



.

Sehingga

( )

X

u u

X

aM f aM f d

    _ _ _

 



.

Karena  diambil sebarang, haruslah ( _u ) 0

X

aM f d

 



.

Sehingga (aM f_u )0 hampir dimana-mana. Karena  adalah fungsi Young, dan

0

(17)

48

Teorema 3.1.6 (Masta, 2013: 4)

Jika X adalah sebarang himpunan tak kosong, maka

, inf 0 : 1

u u

X

M f

f b d

b     _ _   _  _ _  _   



.

adalah norm pada L_.

Bukti :

1)

, 0

u

f _  jelas.

2) Terbukti berdasarkan Teorema 3.1.5.

3) Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang a ,

, ,

u u

af _  a f _.

Misalkan a0, jelas terbukti. Misalkan b c

a  , dengan a0. Perhatikan

bahwa

, inf 0 : 1

u u

X

aM f

af b d

b     _ _   _  _ _  _   





inf 0 : 1

/ u X M f b d b a    _ _   _  _ _  _   





Untuk a0, maka

inf 0 : u 1

X M f b d b a        _ _ _ _   _ _   _ _  





inf 0 : 1

X u M f ac d c    _ _   _  _ _  _   





inf 0 : 1 .

X u

M f

a c d

c    _ _   _  _ _  _   





Untuk a0, maka

inf 0 : u 1

X M f b d b a        _ _ _ _   _ _   _ _  





inf 0 : u 1

X M f ac d c    _ _   _  _ _  _    





inf 0 : 1

X u

M f

a c d

(18)

49

Indra Rukmana, 2014

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Sehingga

, ,

u u

af _  a f _.

4) Akan dibuktikan bahwa

, , ,

u u u

f g _  f _  g _.

Perhatikan bahwa _, inf 0 : u( ) 1

u

X

M f g

f g b d

b           _  _ _  _   



.

Berdasarkan Lemma 3.1.4, misalkan

, ,

0

u u

f _ g _

   , maka

, ,

( )

u

u u

X

M f g d f _ g _

_  _ 



 



, ,

, , , , , ,

u u u u

u u u

X u u u

f _{M f} g _{M g}

d

f g f f g g

            _  _    



Karena adalah fungsi konveks, maka

, ,

( )

u

u u

X

M f g d f _ g _

_  _    



, , , , , , , , 1.

u u u u

u u X u u u X u

f _{M f} g _{M g}

d d

f g f f g g

               _ _  _ _  



_ _ 



_ _ Sehingga , , ,

u u u

f g _  f _  g _.∎

Contoh :

1) Misalkan M X , 0(M) . Jika _M adalah fungsi karakteristik pada M

maka , 1 1 ( ) M u u M    _         

dimana 1

adalah invers dari .

Bukti :

Berdasarkan Definisi 3.1.3

,

( )( )

inf 0 : u 1

X u

M f x

f b dx

(19)

50

Indra Rukmana, 2014

Akan diperiksa jika

1 1 ( ) u b M  _        

maka ( )( ) 1

X

u

M f x dx b

_  _

 



.

Perhatikan bahwa jika

1 1 ( ) u b M  _        

maka 1 1

( ) u

b   M



 _  

 

 , sehingga

1 ( ) u b M _  _{ }_ _       .

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh,

( )

( ) _M( ) M

X X

u x

u x x

dx dx b b        _     _ _



 

1 1 (M)_X M dx 







Hal ini berarti

1 1 ( ) u M  _        

adalah infimum dari b .

2) Untuk ( )

p

x x

p

  (p1) maka

1

,

1 p _p

u p

f f u

p

     

  .

Teorema 3.1.7 (Masta, 2013:5)

,

u

f _ dan f _ ekuivalen.

Bukti :

Misalkan uL_. Akan dicari c C, 0 sedemikian sehingga

, ,

u u

c f _  f _ C f _.

(20)

51

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu ( _u )( ) ( ) ( )

X X

M f x u x f x

dx dx

u f _ u f _

                    



( ) X

u f x dx u f _

      _ _  



( ) f x dx f _    _ _   1  . Jadi f _u_,_  u _ f _

Selanjutnya akan dicari C0 sedemikian sehingga f _ C f _u_,_. Karena terdapat

0

  sedemikian sehingga u x( )  0 untuk setiap xX maka diperoleh :

, ,

( ) ( ) ( )

( )

X u X u

f x u x f x

dx dx

f _ u x f _

  _ _  _ _    



, ( )( ) ( ) u X u

M f x dx u x f _

    _ _  



, ( _u )( )

X u

M f x dx f _   _   _ _  



, ( _u )( )

X u

M f x dx f _    _ _  



1. 

Akibatnya f _ 1 f _u_,_ 

 .∎

Lemma 3.1.8

Misalkan f L_, maka

1)

, ( _u )

u x

M f d f _

 



jika

, 1

u

(21)

52

2)

,

( u ) _u

x

M f d f _

 



jika

, 1

u

f _  .

Bukti :

1) Misalkan f _u_,_ 1. Berdasarkan Teorema 2.9.2.2 dan definisi 3.1.3 diperoleh

, ,

,

( ) u

u _u _u

x X u

M f

M f d f d f

f      _ _   



. 2) Misalkan , 1 u

f _  . Diambil sebarang  0 sedemikian sehingga

, ,

1

u u

f _  f _

   . Jelas bahwa

,

u

f _  bukan batas bawah dari ,

u

f _,

sehingga , 1 u X u M f d f _          _   



. Karena

, 1

1

u

f _  maka

, ,

1

1 u ( )

u

X u u X

M f

d M f d

f _ f _

 _  _  

 _ _ 

 

 



.

Dengan demikian _u_, ( _u )

x

f _  



 M f d. Karena  0 diambil sebarang, maka

terbukti _u_, ( u )

x

f _ 



 M f d.∎

Berikut ini akan dibahas mengenai keberlakuan ketidaksamaan Holder dengan

norm ,

u yang didefinisikan pada Definisi 3.1.3. Selanjutnya akan dibahas pula syarat

cukup untuk menyatakan bahwa L_ merupakan ruang dual dari L_ dimana L_ adalah

ruang Orlicz dengan  adalah fungsi komplemen dari .

Teorema 3.1.9

Misalkan f L g_, L_, dan uL_. Jika v adalah invers dari u di L_ maka

, ,

( ) ( ) 2

X

u v

f x g x d f _ g _



(22)

53

Bukti:

Jika

, 0

u

f _  atau

, 0

v

g _  , maka f x( )0 dan g x( )0. Asumsikan bahwa

, , , 0

u v

f _ g _  dan misalkan fungsi vL_ adalah invers dari uL_ sedemikian

sehingga u x v x( ) ( ) 1 untuk semua xX . Berdasarkan ketidaksamaan Young pada

Teorema 2.9.6, untuk semua s t, R diperoleh

( ) ( ) st s  t .

Perhatikan bahwa

, , , ,

( ) ( ) 1.( ( ) ( ))

u v u v

f x g x f x g x f _ g _  f _ g _

, ,

( ( ) ( ))( ( ) ( ))

u v

u x f x v x g x f _ g _



, ,

( ) ( ) ( ) ( )

u v

u x f x v x g x

f _ g _

   

 _ _ _ _

   

.

Diperoleh

, , , ,

1 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2

u v X X u X v

u x f x v x g x f x g x d

f _ g _   f _  g _

 

 

 _ _ _ _

   



.

Jadi terbukti bahwa ( ) ( ) 2 _, _,

X

u v

f x g x d f _ g _



.∎

Teorema 3.1.10

Misalkan  , fungsi Young yang saling komplemen dan xX . Jika f L g_, L_

dan v invers dari u di L_ maka

1

( ) ( ) ( )

2_X

F f 



f x g x dx

mendefinisikan fungsional linear terbatas F pada L_ dan

,

v

F  g _ dimana F

(23)

54

Bukti :

Berdasarkan Teorema 3.1.9 diperoleh

, ,

| ( ) |

u v

F f  f _ g _.

Sehingga F adalah fungsional linear terbatas pada L_. Dengan mengambil supremum

atas semua f dengan norm 1, diperoleh

,

v

F  g _.∎

Teorema 3.1.11

Misalkan f L g_, L_ dan v invers dari u di L_ dan xX . Jika  tidak memenuhi

kondisi ₂ maka terdapat fungsional linear terbatas pada L_ yang tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk fungsional linear ( ) 1 ( ) ( ) 2_X

F f 



f x g x dx.

Bukti :

Misalkan  tidak memenuhi kondisi ₂, maka berdasarkan Teorema 2.9.23 E_ØL_,

sehingga terdapat fungsi f₀L_ tetapi f₀E_.

Misalkan F adalah fungsional linear terbatas pada L_ dimana

0 ( ) 1

F f  , F f( )0 untuk f E_

Misalkan F adalah fungsional linear terbatas yang didefinisikan pada Teorema 3.1.10

dengan gL_ dan misalkan pula g n_n(  ) adalah fungsi-fungsi terukur terbatas

dimana

( ) ( )

0

n

g x g x  



untuk

| ( ) |

| ( ) | g x n

g x n   .

Karena g fungsi terukur terbatas maka berdasarkan Definisi 2.9.20, haruslah _n g_nE_.

Sehingga

1

( ) ( ) ( ) 0

2

n n

X

(24)

55

Indra Rukmana, 2014

Ini menunjukkan bahwa g x( )0 hampir dimana-mana pada X sehingga diperoleh

0 ( ) 0

F f  , yang kontradiksi dengan F f( ) 1₀  . ∎

Teorema 3.1.12

Jika F adalah fungsional linear terbatas pada E_ maka terdapat tepat satu gL_

sedemikian sehingga

1

( ) ( ) ( )

2_X

F f 



f x g x d, f E_.

Bukti :

1. Keberadaan dari g .

Untuk suatu subhimpunan terukur M dari X , misalkan _M fungsi karakteristik

dari M . Diambil

( ) ( _M) G M F  .

Sehingga

,

1 | ( ) | | ( ) |

1 ( )

M _{M u}

u

G M F F F

M



 

 _





 

 

   _ _

 

 _ _

 

dan diperoleh

(limM) 0G M( ) 0

   . Berdasarkan Teorema 2.8.2, GAC[ ] .

Berdasarkan Teorema Radon-Nikodym 2.8.3, terdapat tepat satu gL₁ sedemikian

sehingga

( ) ( )

M

G M 



g x dx.

Jika f E_ maka terdapat barisan fungsi-fungsi terbatas f n_n(  ) yang konvergen

ke f dimana | f x_n( ) | | ( ) | f x hampir dimana-mana pada X . Berdasarkan Teorema

2.9.8,

, ,

n u u

f _  f _, dan

lim | _n( ) ( ) | | ( ) ( ) |

(25)

56

Indra Rukmana, 2014

hampir dimana-mana pada X . Berdasarkan Lemma Fatao 2.6.16, mengakibatkan

1 1

( ) ( ) sup | ( ) ( ) |

2 _X 2 n _X n

f x g x dx f x g x dx

 











1

sup | ( ) | sgn( ( )) ( ) sup | | sgn

2 n n

n _X n

f x g x g x dx F f g

 







, ,

sup _{n u}

u n

F f _ F f _



   .

Sehingga berdasarkan Teorema 2.9.24 diperoleh gL_.

Misalkan didefinisikan suatu fungsional ₁( ) 1 ( ) ( ) 2_X

F f 



f x g x dx yang terdefinisi

pada E_. Karena E_ adalah klosur dari B X( ) (himpunan semua fungsi terukur

terbatas pada X ) dan B X( ) padat di E_, maka F f₁( )F f( ) untuk semua f E_

2. Ketunggalan dari g

Misalkan g g₁, ₂L_ sedemikian sehingga

1 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2_X 2_X

F f 



f x g x dx



f x g x dx,

untuk sebarang fL_. Perhatikan bahwa

1 2

1

0 ( )( ( ) ( ))

2_X f x g x g x dx





 .

Karena f L_ diambil sebarang, sedangkan g₁ g₂ L_ tepat satu, maka haruslah

1( ) 2( )

g x g x hampir dimana-mana pada X .∎

Teorema 3.1.13

L_ adalah ruang dual dari E_.

Bukti :

Berdasarkan Teorema 3.1.10, untuk sebarang gL_ terdapat fungsional F di E_

(26)

57

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu 1

( ) ( ) ( )

2_X

F f 



f x g x dx

untuk setiap f E_. Jelas bahwa F linear dan terbatas, sehingga diperoleh * FE_.

Sampai sini telah dibuktikan bahwa F gL_ suatu pengaitan dari *

E_ ke L_ yang

bersifat onto. Selanjutnya dengan mengacu pada Teorema 3.1.9 diperoleh

, ,

1

| ( ) | ( ) ( )

2 u v

X

F f 



f x g x dx  f _ g _.

Dengan mengambil supremum atas semua f dengan norm 1, diperoleh

,

v

F  g _.

Kemudian perhatikan bahwa

, 1

( ) ( )

2 u

X

f x g x dx  F f _  



. Berdasarkan Definisi 2.9.18 dan Teorema 3.1.17

dengan mengambil supremum atas semua f dengan norm 1

2 diperoleh norm g  ,

yang ekuivalen dengan ,

v

g _. Sehingga diperoleh ,

v

g _  F .

Dengan demikian telah dibuktikan pengaitan F gL_ bersifat isometris. Oleh

karena itu disimpulkan *

E_ L_.∎

Teorema 3.1.14

Jika ₂ maka dual dari L_ adalah L_, dan

Jika ₂ maka dual dari L_ adalah L_.

Bukti :

Berdasarkan Teorema 3.1.12 diketahui bahwa L_ adalah ruang dual dari E_ dan pada

(27)

58

3.2 Karakteristik Operator Pengali pada Ruang Orlicz

Pada subbab ini, akan dibahas sifat-sifat yang berlaku pada operator pengali

yaitu kelinearan, invertible, keterbatasan, dan kekontinuan operator.

Teorema 3.2.1

Operator pengali M pada ruang L_u _ merupakan operator linear.

Bukti :

Akan dibuktikan M linear. Diambil sebarang _u f f pada ruang L₁, ₂ _ dan konstanta

,

a bR.Karena u f. fungsi linear maka

1 2 1 2

( )( ) ( )( ( ) ( ))

u

M af bf x u x af x bf x

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) u x af x u x bf x

 

1 2

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) a u x f x b u x f x

 

1 2

u u

aM f bM f

  .

Terbukti bahwa M operator linear._u ∎

Teorema 3.2.2 (Komal-Gupta, 2001: 396)

Operator pengali M pada L_u _ memiliki invers di L_ jika dan hanya jika u memiliki

invers di L_( ) .

Bukti:

Misalkan M invertible, maka _u 1

u

M merupakan operator pengali pada ruang

Orlicz, sedemikian sehingga M_u1 M_v untuk suatu vL_. Hal ini berarti v adalah

invers dari u .

Jika terdapat vL_ yang merupakan invers dari u , maka 1

1

u _u v

M M  M .

(28)

59

Indra Rukmana, 2014

Teorema 3.2.3

Jika M adalah suatu operator pengali pada ruang L_u _ dan uL_, maka M adalah _u

operator terbatas.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa M adalah operator linear terbatas. Akan dicari konstanta _u c0

sedemikian sehingga ,

u

f _ c f _. Perhatikan bahwa

( _u )( ) ( ) ( )

X X

M f x u x f x

d d

u f _ u f _

   

 

   



   

   



( )

X

u f x d u f _

  



 

 _ _

 



( )

1

X

f x d f _

  

 _ _ 

 



Diperoleh ,

u

f _  u _ f _. Selanjutnya dipilih c u _. Jadi terbukti bahwa

adalah operator terbatas.∎

Perhatikan bahwa M adalah operator linear terbatas pada L_u _. Artinya terdapat

konstanta c0 sedemikian sehingga ,

u

f _ c f _. Kemungkinan nilai terkecil dari c

adalah supremum dari f u, f



dimana f x( )0 untuk semua xX , dan dinotasikan

dengan M_u . (untuk f x( )0, mengakibatkan (M f_u )( )x 0, sehingga supremum dari

,

u

f _ adalah 0). Didefinisikan

,

0 sup u

u f L

f

f M

f



 

(29)

60

Indra Rukmana, 2014

Kemudian misalkan a f _, dan dikonstruksi suatu fungsi dimana

1

( ) ( )

g x f x a  

  _{ } . Jelas bahwa g _ 1. Karena M linear, maka _u

, ,

,

0 0 1

1

sup sup sup

u _u _u

f L f L _u f L

f f g

f

M f g

a a                 .

Sehingga diperoleh _,

1 sup u u f L f M f       . Lemma 3.2.4

Jika M adalah operator pengali linear terbatas pada ruang L_u _, maka M_u adalah

norm dari operator pengali M yang didefinisikan oleh _u

, 1 sup u _u f L f M f       Bukti:

Akan dibuktikan bahwa M_u suatu norm.

(1) M_u 0 jelas.

(2) Jelas bahwa M_u 0 jika dan hanya jika M f_u 0 untuk semua f L_.

(3) Untuk sebarang aR , diperoleh

, 1 sup

u _u

f

aM a f

   _, 1 sup u f a f    _, 1 sup u f a f    .

(4) Perhatikan bahwa

'

, 1

( _u _u) sup '_u

f

M M f f

 

  

, ,

1

) sup ( _u '_u

f f f      , , 1 1

sup sup '

(30)

61

Indra Rukmana, 2014

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Berdasarkan (1), (2), (3), dan (4) terbukti bahwa M_u suatu norm.∎

Teorema 3.2.5

Jika M_u:L_ L_ adalah operator pengali linear terbatas, maka uL_( ) dan

berlaku M_u  u _.

Bukti :

Misalkan M terbatas. Andaikan u_u L_, maka untuk setiap nN , terdapat himpunan

{ : ( ) }

n

E  x X u x n dengan (E_n)0. Misalkan

n E

 fungsi karakteristik dari E _n pada X , maka

, ,

( ) ( ) ( )

1 En En

u

X X u

u x x n x

d d

f _ f _

 

     

 _ _  _ _

   



.

Sehingga ,

u

f _ n f _.

Ini kontradiksi dengan M terbatas, sehingga haruslah u_u L_.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa u _ M_u .

Misalkan  0. Karena u _ sup{ : ({ :n  xX u x: ( )n})0}, maka himpunan

{ : ( ) }

E x X u x  u _ memiliki ukuran positif. Diperoleh

, ,

( ) ( ) _{( ) ( )}

1

X u X u

u f x _{u x f x}

d d

f _ f _



_  _  _ _ _ _

   

   



.

Artinya 1 _,

( ) u

f f

u

 _ 

 

 . Dengan mengambil supremum atas semua f dengan

norm 1, diperoleh u _  M_u . Karena  diambil sebarang, maka u _ M_u .

(31)

62

Indra Rukmana, 2014

Teorema 3.2.6

Misalkan M adalah operator pengali pada ruang L_u _ dan uL_. M terbatas jika _u

dan hanya jika M kontinu. _u

Bukti :

Misalkan M_u 0. Asumsikan bahwa M terbatas. Diambil sebarang _u f₀L_ dan

0

  . Untuk setiap f L_ sedemikian sehingga,

0

f  f _  dimana

u

M



 

diperoleh ₀ ₀

, u u

u

f  f _  M f  f _  M   .

asumsikan bahwa M kontinu pada sebarang _u f₀L_. Untuk sebarang  0,

terdapat  0 sedemikian sehingga f  f₀ _u_,_  untuk semua f L_ dimana

0

f  f _ . Diambil sebarang fungsi gL_ sehingga g x( )0 untuk semua xX

dan di konstruksi

0

( ) ( ) ( )

f x f x g x g _



 

sedemikian sehingga

0 0

( ) ( )

inf 0 : 1

X

f x f x

f f b d

b

  

    

  _  _ _  _

 







( )

inf 0 : 1

X

g x

b d

g _b 

 

   

 

   _ _  

   







Misalkan c g b



 , maka

0

( )

inf 0 : 1

X

g x

f f c d g

g c g

 

  __ _ _   _

  _  _ _  _ 

 





 .

(32)

63

Indra Rukmana, 2014

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu 0

0 ,

( )( ( ) ( ))

inf 0 : 1

X u

u x f x f x

f f b d

b

  

    

  _  _ _  _

 







( ) ( )

inf 0 : 1

X

u x g x

b d

g _b 

 

   

 

   _ _  

   







( ) ( )

inf 0 : 1

X

u x g x

c d

g _ c

  __ _ _ 

 _  _ _  _

 







,

u

g g _ 



 .

Ini mengakibatkan bahwa

,

u

g g _ 

 __ _sehingga

,

u

g _  g _ 

 .

Selanjutnya, dengan memilih konstanta K  

 , maka terbukti bahwa M terbatas._u ∎

Teorema 3.2.7 (Komal-Gupta, 2001: 328)

Misalkan M linear operator pengali terbatas. _u M memiliki range tertutup jika dan _u

hanya jika ada  0 sedemikian sehingga u x( ) hampir dimana-mana pada X

Bukti :

Jika u x( ) hampir dimana-mana pada X , maka

, ,

( ) ( ) ( )

1

X u X u

f x u x f x d

f _ f _



_ _   _ _

   



.

Diperoleh

,

u

f _ f _

 

untuk semua fL_. Berdasarkan Teorema 2.10.9, maka M memiliki range tertutup. _u

Karena M memiliki range tertutup, berarti terdapat _u  0 sedemikian sehingga

,

u

f _ f _

(33)

64

Indra Rukmana, 2014

untuk semua f L_. Misalkan himpunan { :| ( ) | } 2

E x X u x  memiliki ukuran

positif, misalkan pula _E fungsi karakteristik, sehingga

( )

( ) ₂

1

( ) ( )

2 2

E

E E

X X X

u x

d d d

f

f _ f _ _



 _    _  _   _ __  __ _

    _ _

   



.

Diperoleh

, 2

u

f _  f _.

Ini kontradiksi dengan M memiliki range tertutup, maka haruslah _u u x( ) .∎

3.3 Kekonvergenan pada Ruang Orlicz

Pada subbab ini, akan dibahas mengenai kekonvergenan pada ruang Orlicz.

Definisi 3.3.1

Misalkan { }f_{n n}_₁ adalah barisan fungsi terukur di L_. Barisan { }f_{n n}_₁ dikatakan

konvergen ke f L_ jika untuk setiap  0 terdapat N sedemikian sehingga

untuk setiap nN berlaku

,

n _u

f  f _  .

Definisi 3.3.2

Misalkan { }fn n1



 adalah barisan fungsi terukur di L. { }fn n1



 dikatakan Cauchy jika

untuk setiap  0 terdapat N sedemikian sehingga untuk setiap ,m nN berlaku

,

n m u

f  f _ 

.

Teorema 3.3.3

(34)

65

Bukti:

Diambil sebarang barisan fungsi f_n di L_ yang konvergen ke f sedemikian sehingga

u n

M f konvergen ke g. Akan ditunjukkan bahwa f L_ dan gM f_u .

Misalkan a  0, perhatikan bahwa

n

( ( )) lim ( _n( )) .

X X

f x d f x d



   _   



Karena f_nL_, maka ( )

X n

f d

  



terbatas, katakan terbatas di M , sehingga

( )

X

f d

  



juga terbatas di M. Berdasarkan definisi ruang Orlicz pada Definisi 2.9.15, f L_. Kemudian karena  u x( ) untuk suatu  0,maka

n n

lim ( ( )) lim ( ( ) ( ))

X X

n n

f x d u x f x d

      





 



( ( ) ( ))

X

u x f x d

 





( )

X

g d

 





 

Terbukti bahwa tutup.∎

Teorema 3.3.4

Misalkan f₁,f₂L_ dan uL_. Jika 0 f x₁( ) f x₂( ) hampir dimana-mana pada X

dan  0 sedemikian sehingga u x( ) maka ₁ ₂

, ,

u u

f _  f _.

Bukti :

Perhatikan bahwa karena u x( )  0, maka 0u x f x( ) ( )₁ u x f x( ) ₂( ). Sehingga

untuk setiap  0 berlaku

1 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1

X X

u x f x u x f x

f f

_ __ _ _ __ _

   

(35)

66

Jadi ₁ ₂

, ,

u u

f _  f _ . Karena  0 diambil sebarang, maka haruslah ₁ ₂

, ,

u u

f _  f _

.∎

Teorema 3.3.5: Teorema Kekonvergenan Monoton pada Ruang Orlicz

Misalkan uL_ dan { }f_{n n}_₁ adalah barisan fungsi terukur di L_ dimana

1

0 f xj( ) fj( )x hampir dimana-mana pada X , untuk semua j . Jika

lim _j( ) ( )

n f x  f x dan terdapat  0 sedemikian sehingga u x( ) maka

, ,

lim _j _u

u

n f   f . Bukti :

Misalkan { }f_{n n}_₁ adalah barisan fungsi di L_ dimana 0 f x_j( ) f_j_₁( )x hampir

dimana-mana pada X . Berdasarkan Teorema 3.3.4 diperoleh

, ,

j u u

f f _

 

untuk semua j . Asumsikan bahwa f 0, kemudian diambil sebarang  0

sedemikian sehingga

,

u

f _

  . Berdasarkan Definisi 3.1.3,  0 bukan merupakan

infimum dari ,

u

f _. Sehingga diperoleh

1

u X

M f d