BAB II TEORI ANTRIAN
2.1. Sejarah Teori Antrian
Teori tentang antrian ditemukan dan dikembangkan oleh seorang insinyur Denmark yang bernama A.K.Erlang, yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Dimana Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon berhubungan dengan automatic dialling equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Pada waktu-waktu yang sibuk operator sangat kewalahan dalam melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri untuk menunggu giliran yang mungkin cukup lama. Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator, lalu pada tahun 1917 Erlang melanjutkan penelitian untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of Some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exhange. Setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian[1].
2.2. Teori Antrian
mempertahankan pelanggan, sebuah perusahaan selalu berusaha untuk memberikan pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya adalah memberikan pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan terlalu lama mengantri[1].
2.2.1. Komponen Sistem Antrian
Proses antrian yang terjadi sangat kompleks. Dalam sistem antrian komponen dasar proses antrian adalah kedatangan dan pelayanan[2]. Gambar 2.2 merupakan proses dasar dalam suatu antrian.
Gambar 2.1 Proses Dasar Antrian
Proses suatu antrian merupakan proses yang meliputi dimana pelanggan akan masuk dalam sistem kemudian akan mengalami antrian hingga pelanggan akan dilayani dan akhirnya selesai dilayani oleh sistem. Komponen dasar proses antrian ada 3 yaitu[2] :
1. Sumber Kedatangan
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil atau panggilan telepon untuk dilayani. Unsur ini sering disebut proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan (calling population) dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya proses random.
Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Contohnya jalan tol memiiki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop.
3. Antrian
Inti dari analisis antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tidak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan. Penentu antrian yang lain adalah disiplin antrian.
2.2.2. Disiplin Antrian
Disiplin antrian adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri. Istilah disiplin antrian menyatakan metode atau suatu set aturan yang digunakan untuk menentukan urutan pekerjaan yang akan dilayani. Dalam antrian diasumsikan bahwa pekerjaan akan dilayani menurut “ First Come First Serve” , yaitu menurut urutan yang sama sebagaimana mereka datang dalam antrian. Disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut urutan kedatangan antara lain adalah[3] :
antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket pembelian tiket kereta api.
2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya, sistem antrian pada elevator untuk lantai yang sama, sistem bongkar muat barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun dia datang paling akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.
3. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS), di mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi tidak menjadi permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya, pada arisan di mana penarikan berdasarkan nomor undian.
4. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun mungkin yang dahulu tiba di garis tunggu adalah yang terakhir datang[3].
2.2.3. Struktur Dasar Proses Antrian
Proses antrian pada umumnya dikelompokkan kedalam empat model struktur dasar menurut sifat-sifat dan pelayanan, yaitu[3]:
1. Satu Saluran Satu Tahap (Single Channel – Single Phase)
pembelian tiket pada loket penjualan tiket theater. Gambar 2.2 memperlihatkan sebuah sistem antrian satu saluran satu tahap.
Gambar 2.2 Satu saluran satu tahap
2. Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel – Multi Phase)
Satu saluran banyak tahap (single channel multi phase) adalah model antrian yang mempunyai satu barisan pelayanan dan beberapa pelayanan. Gambar 2.3 memperlihatkan sebuah sistem antrian satu saluran banyak tahap.
Gambar 2.3 Satu saluran banyak tahap
Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda ini menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Contoh model antrian ini adalah dalam urutan suatu pekerjaan, mengurus izin usaha melalui beberapa orang pejabat pemerintah.
3. Banyak Saluran Satu Tahap (Multi Channel – Single Phase)
pelayanan potong rambut dimana terdapat lebih dari satu tukang potong rambut. Gambar 2.4 memperlihatkan sebuah sistem antrian banyak saluran satu tahap.
Gambar 2.4 Banyak saluran satu tahap
4. Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel – Multi Phase) [3] .
Sistem Multi Channel – Multi Phase ini menunjukkan bahwa setiap sistem mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap sehingga terdapat lebih dari satu pelanggan yang dapat dilayani pada waktu bersamaan. Contoh pada model ini adalah pada pelayanan registrasi ulang mahasiswa baru pada sebuah universitas. Gambar 2.5 berikut ini memperlihatkan sebuah sistem antrian banyak saluran banyak tahap.
Dari beberapa masalah penerapan teori antrian, perlu dibuat beberapan dasar asumsi tentang aspek-aspek khusus disistem antrian. Dalam model dasar teori antrian, asumsi-asumsi yang dibuat adalah:
1. Sumber Populasi
Pekerjaan atau pengantri yang datang ke suatu sistem dapat berasal dari suatu populasi yang terbatas atau tidak terbatas. Bila jumlah pekerjaan tidak mempunyai limit diperbolehkan menunggu dalam suatu antrian, maka ini disebut sebagai antrian tidak terbatas sebaliknya antrian mempunyai limit disebut antrian yang terbatas.
2. Pola Kedatangan
Cara yang umum dipakai untuk menggambarkan pola kedatangan adalah dengan menggunakan waktu antar kedatangan yang didefenisikan sebagai interval antara kedatangan yang didefenisikan sebagai interval antara kedatangan yang berurutan. Bila kedatangan berubah-ubah secara stokastik, dibutuhkan pendefenisian fungsi probabilitas antar waktu kedatangan. Untuk membahas pola kedatangan, digunakan notasi sebagai berikut[3] :
tk = rata-rata waktu antar kedatangan λ = tingkat kedatangan
Besaran besaran tersebut dihubungkan oleh rumus:
λ = 1/tk (2.1)
Ao(t) = 1-F(t) (2.2) 3. Pola Kedatangan Poisson
Kedatangan biasanya dikatakan terjadi secara acak. Artinya kedatangan dapat terjadi setiap saat dan hanya dipengaruhi oleh kendala bahwa tingkat kedatangan memiliki suatu nilai tertentu. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa waktu kedatangan berikutnya tidak tergantung pada kedatangan sebelumnya dan terdistribusi dalam interval Δt. Jika λ merupakan jumlah kedatangan rata-rata persatuan waktu, maka probabilitas waktu antar kedatangan[3] :
f(t) = λe-λta (t>0) (2.3) Dan distribusi kedatangannya adalah :
Ao(t) = e-λta
Suatu model antrian sederhana mempunyai karakteristik berikut[3] : (2.4)
Angka λ merupakan kedatangan rata-rata persatuan waktu. Jumlah
kedatangan sebenarnya dalam periode waktu t merupakan variabel acak. Hal ini dapat menunjukkan bahwa dengan distribusi waktu antar kedatangan, probabilitas r kedatangan yang terjadi dalam periode waktu t diberikan oleh :
P(r)=(λt) P(t) = Probabilitas r kedatangan λ = Tingkat kedatangan rata-rata
e = Kedatangan natural 2,7/828 r! = r(r-1)(r-2)
1. Waktu datangnya pekerjaan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi Poisson.
2. Waktu pelayanan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi exponential. 3. Fasilitas pelayan tunggal.
4. Disiplin antrian adalah First Come Fisrt Served Based . 5. Jumlah pelanggan (populasi) tak berhingga.
Dalam memecahkan masalah antrian yang sederhana formula –formula yang diguanakan berdasarkan pada asumsi bahwa λ < π, yaitu tingkat pelayanan π
harus dapat melebihi tingkat kedatangan pengantri λ, dengan demikian semua
pengantri akan dapat dilayani. Jika tidak maka antrian akan semakin panjang sehingga tidak ada solusi keseimbangan. Adapun karakteristik dari operasi sistem yang ada adalah[3]:
1. Wq adalah rata –rata waktu antri untuk setiap orang
Wq =� λ
(�−λ ) (2.6)
2. W adalah rata –rata lamanya seseorang diproses dalam sistem
W = 1
�−λ (2.7)
3. Lq adalah rata –rata banyaknya pengantri dalam antrian
Lq = λ²
�−λ (2.8)
4. L adalah rata – rata banyaknya pengantri dalam sistem
L = λ
�−λ (2.9)
dimana ;
λ = jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu.
2.4. Simulasi
Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata. Simulasi merupakan suatu model pengambilan keputusan dengan mencontoh atau mempergunakan gambaran sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya pada keadaan yang sesungguhnya. Simulasi adalah suatu teknik yang dapat digunakan untuk memformulasikan dan memecahkan model – model dari golongan yang luas. Golongan atau kelas ini sangat luasnya sehingga dapat dikatakan , “ Jika semua cara yang lain gagal, cobalah simulasi”. Khosnevis mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan eksperimental. Keterbatasan metode analisis dalam mengatasi sistem dinamis yang kompleks membuat simulasi sebagai alternatif yang baik[3]. Dalam menggunakan simulasi, pada umumnya terdapat langkah pokok yang diperlukan. Ada 5 langkah pokok yang diperlukan dalam menggunakan simulasi, yaitu :
1. Menentukan persoalan atau sistem yang hendak disimulasi. 2. Formulasikan model simulasi yang akan digukan
3. Ujilah model dan bandingkan tingkah lakunya dengan tingkah laku dari sistem nyata, kemudian berlakukanlah model simulasi tersebut.
4. Rancang percobaan-percobaan simulasi. 5. Jalankan simulasi dan analisis data
Salah satu model paling sederhana dalam sistem antrian adalah model saluran tunggal ( single-channel model ) yang ditulis dengan notasi “sistem M/M/1”. Sesuai dengan notasi Kendalnya, sistem M/M/1 menunjukkan sistem antrian tersebut memiliki distribusi interarrival time dan distribusi service time berbentuk distribusi eksponensial dan juga memiliki jumlah server = 1. Jika dianggap bahwa sebuah ‘state’ adalah suatu ukuran suatu populasi, maka ia bisa bertambah pada suatu waktu (birth) dengan satu anggota dari populasi tersebut bisa berkurang satu (death). Dalam suatu sistem yang sesungguhnya sebuah ‘state’ bisa berupa : Jumlah paket didalam sebuah prosesor, jumlah panggilan baru didalam sentral telepon, dan lain-lain[3].
Kedatangan
Paket
Buffer
Server
Keberangkatan
Paket
Gambar 2.6 Model Antrian Pelayanan Tunggal
Pada Gambar 3.1 dapat dilihat sebuah model antrian pelayanan tunggal (single server). Paket – paket tiba secara acak, kemudian paket antri di dalam buffer sebelum dilayani oleh server. Setelah selesai dilayani, maka paket meninggalkan sistem antrian.
2.6. Notasi Sistem Antrian
Dalam suatu sistem antrian digunakan sebuah notasi untuk mengetahui ciri dari suatu antrian. Notasi merupakan kombinasi proses kedatangan dengan pelayanan. Pada umumnya notasi antrian ini dikenal sebagai notasi Kendall, yaitu[7]:
(a/b/c):(d/e/f)
dimana simbol a,b,c,d,e, dan f ini merupakan unsur – unsur dasar dari model sistem antrian. Penjelasan dari simbol – simbol ini adalah sebagai berikut:
a = Distribusi kedatangan (Arrival Distribution)
b = Distribusi waktu pelayanan atau keberangkatan (Service Time Departure)
e = Jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem (Queue and System)
f = Jumlah paket yang ingin memasuki sistem sebagai sumber
Notasi standar ini dapat diganti dengan kode – kode yang sebenarnya dari distribusi – distribusi yang terjadi dan bentuk – bentuk lainnya, seperti:
M = Distribusi kedatangan atau keberangkatan dari proses Poisson. Dapat juga menggunakan distribusi eksponensial.
D = Konstanta atau deterministic interarrival atau service time (waktu pelayanan).
k = Jumlah pelayanan dalam bentuk paralel atau seri.
N = Jumlah maksimum paket dalam sistem.
Ed = Distribusi Erlang atau Gamma untuk waktu antar kedatangan atau waktu
pelayanan denganparameter d.
G = Distribusi umum dari service time atau keberangkatan (departure).
GI = Distribusi umum yang independen dari proses kedatangan.
GD = General Discipline (disiplin umum) dalam antrian.
NPD = Non-Preemptive Discipline
PRD = Preemptive Discipline
(M/M/k):(GD/∞/∞)
Kode di atas berarti:
M = Distribusi Poisson atau Eksponensial
M = Distribusi yang sama untuk waktu pelayanan
k = Jumlah server
GD = General Discipline
∞ = Paket yang masuk dan sumber yang tak terhingga
2.7. Pembangkit Bilangan Acak (Random Number Generator)
Pembangkit bilangan acak (Random Number Generator) adalah suatu algoritma untuk dapat menghasilkan urutan-urutan atau squence dari angka-angka sebagai hasil dari perhitungan dengan komputer yang diketahui distribusinya sehingga angka-angka tersebut muncul secara random dan digunakan terus menerus.
angka penentu bagi angka random berikutnya. Walaupun random number ini saling berkaitan namun angka-angka yang muncul dapat berlain-lainan[4].
2.7.1 Pengertian Bilangan Acak
Bilangan acak merupakan bilangan sembarang tetapi tidak sembarangan yang tidak dapat diprediksi. Dasar pengembangan studi simulasi adalah kemampuan untuk menghasilkan bilangan acak, dimana suatu bilangan acak mewakili nilai suatu variabel acak yang didistribusikan secara seragam pada (0,1). Bilangan acak semula dihasilkan secara manual atau mekanis dengan menggunakan teknik seperti mesin pemintal, melempar dadu atau mengocok kartu. Sementara pendekatan modern menggunakan komputer agar menghasilkan bilangan acak. Jadi bilangan acak adalah barisan angka Ui (0 ≤ Ui ≤ 1), yang dihasilkan dari suatu algoritma tertentu (algoritma ini disebut dengan pembangkit bilangan acak atau random number generator)[4].
Dalam penentuan random number pada umumnya terdapat beberapa sumber yang dipergunakan,antara lain :
a. Tabel Random Number
Tabel Random Number ini sudah banyak ditemukan mulai dari enam digit sampai dengan dua belas digit.
b. Electronic Random Number
Electronic Random Number ini banyak juga dipergunakan dalam percobaan penelitian.
• Additive (Arithmatic) Random Number Generator
• Multiplicate Random Number Generator
• Mixed Congruential Random Number Generator
2.7.2. Penyelesaian Random Number Generator
Beberapa pendekatan untuk menghasilkan bilangan acak antara lain adalah:
1. Pembangkit Bilangan Acak Additive/Arithmatic RNG
Bentuk Rumus dari pembangkit bilangan acak Additive/Arithmatic RNG adalah sebagai berikut[6]:
Zi = (a∗Zi + c)mod. m (2.10)
Dimana:
Zi = Angka Random Number yang baru
Zi-1 = Angka random number yang lama / yang semula c = Angka konstan yang bersyarat
m = Angka modulo
Bagi additive RNG ini diperlukan perhatian syarat-syaratnya sebagai berikut[6] : a. Konstanta a harus lebih besar dari √�. Dan biasanya dinyatakan dengan syarat:
�
100 <�< � − √�
�
100+ � >� > √�
c. Untuk modulo m harus bilangan prima atau bilangan tidak terbagikan, sehingga memudahkan dan memperlancar perhitungan-perhitungan didalam komputer dapat berjalan dengan mudah dan lancar.
d. Untuk pertama Zo harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan cukup besar.
2. Pembangkit Bilangan Acak Multiplicate
Bentuk Rumus dari pembangkit bilangan acak Multiplicate adalah sebagai berikut[6]:
Zi+1=(a∗Zi)mod. m (2.11)
Dimana :
Zi = Angka random number semula Zi+1 = Angka random number yang baru
a > 1 ; c = 0 ; m > 1
Syarat-syarat lainnya adalah sama dengan pembangkit bilangan acak Additive. Dalam perumusan multiplicate ini terdapat tiga variabel yang menentukan untuk nilai-nilai random number yang dapat diperoleh seterusnya dengan tidak ada pengulangan pada angka-angkanya[6].
Dan untuk pemilihan nilai-nilai yang terbaik dijabarkan sebagai berikut: a. Pemilihan nilai : m (modulo) merupakan satu angka integer yang cukup besar dan merupakan satu kata (word) dari yang dipakai pada komputer.
c. Pemilihan untuk Z0, yang dikenal dengan : Seed = Z0 mengharuskan relative
bilangan prima terhadap m. Hal ini dapat diperhatikan dengan mudah apabila dicari untuk m adalah angka berpangkat 2 (dua) atau angka eksponen dari angka 2. Dengan demikian untuk Z0 adalah setiap angka-angka yang ganjil (odd
number) seperti : ISeed = Z0 = 12357. Dapat diambil sembarangan asalkan
bilangan ganjil, dan biasanya cukup besar.
d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga harus bilangan ganjil.
3. Pembangkit Bilangan Acak Mixed Pseduo
Pseduo Random Number dapat dirumuskan dengan: Zn =an Z0 + �
�−1
�−1 C (mod.m) (2.12) Rumus Pseudo Random Number Generator diatas adalah dengan syarat utama n harus sejumlah bilangan integer (bulat) dan lebih besar dari nol, rumus ini dikenal juga dengan nama “linier Congruential R.N.G”. Namun apabila nilai c = 0 maka akan diperoleh rumus yang dikenal Multiplicative Congruen RNG. Rumus Multiplicative ini cukup baik untuk masa-masa yang akan datang karena sedikit sekali storage memori yang dibutuhkan[6].
Adapun beberapa kondisi syarat-syarat dari Mixed Congruential Generator sebagai berikut :
2. a = 1 (mod.q) untuk setiap faktor prima q dari m yang berarti a – q ��
�� = 1.
Apabila k = ���� akan dapat diperoleh untuk a = 1 + qk. Dimana q adalah faktor
prima dari m.
3. a = 1 (mod 4) apabila 4 adalah suatu faktor dari m yang berarti a = 1 + 4k. Jika m/4 adalah integer, maka m merupakan bilangan bulat dapat dibagi 4.
Kebanyakan bahasa komputer telah memiliki pembangkit bilangan acak terpasang yang dapat dipanggil untuk membangkitkan bilangan acak. Sebagai contoh, pascal menggunakan perintah RANDOMIZE. Hasil dari instruksi randomize adalah permintaan bagi pemakai untuk memasukkan benih Xo[4].
Dalam problem sebelumnya, telah didapatkan nilai W , Wq, L, dan Lq dari sebuah sistem antrian M/M/1, dengan penurunan rumus dan hubungannya dengan
μ dan λ. Namun, masih ada sebuah problem lagi yang perlu dicari
penyelesaiannya, yaitu bagaimana menghitung seberapa besar peluang sebuah sistem antrian memiliki waktu total kurang dari sebuah nilai tertentu P(W ≤ t).
Untuk mencari peluang/probabilitas sebuah sistem memiliki waktu total tertentu, dapat dilakukan dengan melakukan penelusuran dan perumusan dari fungsi distribusi peluang yang digunakan oleh sistem tersebut. Dalam kasus ini hanya akan dibahas mengenai probabilitasnya pada sistem antrian M/M/1 dimana fasilitas layanan direpresentasikan dengan fungsi distribusi eksponensial, dan kedatangan customer yang acak sesuai dengan distribusi Poisson[4].
2.8. Distribusi Poisson
kedatangan dan kepergian suatu peristiwa. Perlu diketahui bahwa jika waktu antar kejadian berdistribusi eksponensial maka jumlah kejadian yang terjadi pada selang waktu tertentu akan berdistribusi Poisson. Proses Poisson adalah proses kedatangan yang paling mendasar yang merupakan proses kedatangan acak yang murni. Cara memandangnya adalah sebagai berikut. Anggap bahwa sumbu waktu dibagi-bagi kedalam sejumlah segmen waktu yang kecil dengan lebar Δt. Kemudian diambil probabilitas satu pelanggan tiba pada sebuah segmen (Δt), dengan konstanta perbandingan λ yang mewakili rata-rata laju kedatangan,
maka[4] :
P ( tepatnya, kedatangan pada [t, t+ Δt] ) = λΔt
P ( tidak ada kedatangan pada [t, t+ Δt] ) = 1- λΔt P ( lebih dari 1 kedatangan pada [t, t+ Δt] ) = 0
Selanjutnya dapat dibuat analogi antara proses kedatangan dengan pelemparan koin. Anggap bahwa setiap segmen sama dengan satu pelemparan koin dengan probabilitas kedatangan λ Δt (sebut sebagai kepala) dan 1- Δt adalah
2.8.1. Dasar-Dasar Proses Poisson
Berikut ini akan diturunkan persamaan differensial dari proses Poisson dengan menggunakan argumen-argumen persamaan perbedaan dan menganggap bahwa Δt 0. Ambil Pn(t) = P ( # kedatangan = n pada waktu t) dan ambil bahwa
Pi,j (Δt) adalah probabilitas berangkat dari i kedatangan menuju ke j kedatangan
didalam interval waktu Δt detik. Jumlah kedatangan adalah state dari sistem, yang berisi semua informasi yang diperlukan untuk menjelaskan sistem secara keseluruhan. Hal ini dapat dituliskan sebagi berikut[4] :
Pn(t+Δt) = Pn(t)pn,nR(Δt)+Pn-1(t)p
n−1,nR(Δt)
Persamaan diatas menyatakan bahwa pelanggan dapat tiba pada suatu keadaan dengan n pelanggan pada waktu t+ Δt dari salah satu memiliki n
pelanggan pada waktu t, atau memiliki n-1 pelanggan pada waktu t. Gambar 3.1 memperlihatkan diagram transisi kondisi proses poisson.
λ λ λ λ λ λ
Gambar 2.7 Diagram transisi proses poisson
Lingkaran mewakili state dari sistem (jumlah kedatangan). Dan laju transisi λ adalah bersesuaian dengan tiap-tiap transisi. Selanjutnya diperlukan
persamaan khusus untuk state 0 untuk menyelesaikan persamaan differensial, yaitu[4] :
P0(t+ Δt) = P0R(t)P0,0R(Δt)
Jika dilakukan substitusi terhadap ekspresi sebelumnya untuk probabilitas tepatnya satu kedatangan dan probabilitas tidak ada kedatangan di dalam interval (t, t+ Δt), diperoleh :
Pn(t+ Δt) = Pn(t) (1- λΔt) + Pn-1(t) (λΔt)
P0 (t+ Δt) = P0(t) (1- λΔt)
Dengan mengalikan dan menyusun kembali ekspresi diatas diperoleh : Pn(t + Δt)− Pn(t)
Δt = −λ Pn(t +Δt)+ λPRn-1(t)
P0(t + Δt)− P0(t)
Δt = −λP0R
Jika dianggap Δt 0 maka persamaan diatas menjadi persamaan differensial berikut:
Yang ingin diperoleh dari persamaan differensial diatas adalah Pn(t).
Sedangkan P0(t) = e-λt,sehingga persamaan berikutnya dapat diperoleh : dP1(t)
Bila dilanjutkan terus maka diperoleh rumus distribusi Poisson yaitu :
Pn(t) =
(λt)n n! e
-λt
Pn (t) merupakan probabilitas terdapat n kedatangan didalam interval t
2.8.2. Waktu Antar Kedatangan
Waktu diantara event-event yang berurutan didalam suatu proeses kedatangan ( inter arrival times ). Untuk proses Poisson, waktu antar kedatangan ini adalah variabel acak yang terdistribusi secara eksponensial yang berdiri sendiri (independent). Untuk membuktikan bahwa hal ini benar, kita dapat menulis probabilitas bahwa antar kedatangan ≤ t sebagai berikut[4] :
P (waktu antar kedatangan ≤ t) = 1-P (waktu antar kedatangan > t) P (waktu antar kedatangan ≤ t) = 1-P0(t)
P (waktu antar kedatangan ≤ t) = 1- e-λt
Jika didifferensialkan maka diperoleh kerapatan waktu antar kedatangan (t) = λe-λt
. Pada sistem antrian M/M/1 dinyatakan bahwa laju kedatangan tidak pernah lebih besar dari laju pelayanan.
2.9. Distribusi Eksponensial
Pada suatu sistem antrian M/M/1 waktu pelayanan adalah variabel acak yang terdistribusi secara eksponensial yang berdiri sendiri (independent)[4]. Banyak masalah simulasi membutuhkan pemecahan dengan menggunakan distribusi eksponensial, khususnya problem-problem yang melibatkan suatu rentetan kedatangan dan kepergian, seperti simulasi antrian pada bank, pembayaran di supermarket, airport dan lain-lain.
Fungsi umum untuk densitas peluang dari distribusi eksponensial adalah sebagai berikut[5]:
Dimana � adalah location parameter dan � adalah scale parameter (sering dikenal sebagai λ yang sama dengan 1/�). Kasus dimana � = 0 dan � = 1 disebut
sebagai standard eksponential distribution (distribusi eksponensial yang standar). Berikut ini adalah persamaan dari standar distribusi eksponensial[5] :
f (x) = e –x , dimana x≥ 0 (2.16)
Dan berikut ini adalah persamaan fungsi dari distrubusi eksponensial[5]:
f (x) = 1- e-x/β , dimana x ≥0 ; �> 0 (2.17)
Dimana :
� = rata-rata yang didekati dengan X
X = nilai tengah
e = bilangan napier= 2,7182818...
2.9.1. Waktu Pelayanan Eksponensial
Pada suatu sistem antrian M/M/1, waktu pelayanan adalah variabel acak yang terdistribusi secara eksponensial yang berdiri sendiri (independent). Waktu pelayanan terjadi sesuai dengan probabilitas density μe-μt
Utilisasi (ρ) dari suatu sistem antrian probabilitas yaitu bahwa sistem antrian tersebut tidak kosong. Kuantitas ρ dapat juga dipandang sebagai beban yang ditawarkan, yaitu λ dapat berubah - ubah dari mendekati nol hingga
dimana μ adalah rata
-rata waktu pelayanan dan 1� adalah rata-rata waktu pelayanan. Jenis pelayanan
mendekati� tetapi tidak lebih besar dari �. Jadi dapat berubah – ubah diantara 0 dan 1. Pada sistem antrian M/M/1, laju kedatangan tidak pernah lebih besar laju pelayanan. Dengan kata lain, ρ tidak pernah lebih besar dari 1 karena ukuran
antrian menjadi bertambah hingga tak berhingga yang menyebabkan sistem antrian tidak lagi didalam kondisi setimbang[4].
Nilai utilisasi (ρ) diperoleh dengan persamaan[4] :
ρ = �λ (2.18)
dimana : ρ = utilisasi
