BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Mekanika Kuantum
2.1.1. Sejarah Awal Mekanika Kuantum
Dasar dimulainya periode mekanika kuantum adalah ketika mekanika
klasik tidak bisa menjelaskan gejala-gejala fisika yang bersifat mikroskofis dan
bergerak dengan kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya. Oleh karena itu,
gejala fisika tersebut ternyata hanya ada satu kumpulan, dan mekanika kuantum
mengungkapkan usaha kita yang terbaik sampai saat ini untuk merumuskannya.
Perkembangan teori atom menunjukkan adanya perubahan konsep susunan atom
dan reaksi kimia antaratom.Kelemahan model atom yang dikemukakan
Rutherford disempurnakan olehNiels Henrik David Bohr.Bohr mengemukakan
gagasannya tentang penggunaan tingkat energi elektron pada struktur atom.Model
ini kemudian dikenal dengan model atom Rutherford-Bohr.Tingkat energi
elektron digunakan untuk menerangkan terjadinya spektrum atom yang dihasilkan
oleh atom yang mengeluarkan energi berupa radiasi cahaya.
Setiap memasuki pemahaman dunia atom, ilmuan mengalami kesulitan
yang luar biasa.Teori-teori mapan tidak berdaya, bahasa yang digunakan
mengalami kebuntuan, bahkan imajinasi terhadap dunia atom dipengaruhi
pandangan emosional. Pengalaman ini dilukiskan Heisenberg: “Saya ingat
pembicaraan saya dengan Bohr yang berlangsung selama berjam-jam hingga larut
malam dan mengakhirinya dengan putus asa; dan ketika perbincangan itu berakhir
saya berjalan-jalan sendirian di taman terdekat dan mengulangi pertanyaan pada
diri saya sendiri berkali-kali: Mungkinkah alam itu absurd sebagaimana yang
tampak pada kita dalam eksperimen-eksperimen atom ini?” (Fritjof Capra, 2000)
Situasi psikologis Heisenberg, pada akhirnya merupakan salah satu kata
kunci dalam perkembangan revolusioner dunia atom.Benda/materi yang diamati
tidak terlepas dari pengalaman pengamat.benda/materi bukan lagi sebagai objek
benda/materi sendiri yang berbicara dan mempunyai keinginan sesuai fungsi dan
kedudukannya dalam suatu benda/materi.Sub-atom bukan ‘benda’ tetapi,
merupakan kesalinghubungan dalam membentuk jaringan dinamis yang terpola.
Sub-subatom merupakan jaring-jaring pembentuk dasar materi yang merubah
pandangan manusia selama ini yang memandang sub atom sebagai blok-blok
bangunan dasar pembentuk materi.
Meminjam istilah Kuhn, mekanika kuantum merupakan paradigma sains
revolusioner pada awal abad 20.Lahirnya mekanika kuantum, tidak terlepas dari
perkembangan-perkembangan teori, terutama teori atom.Mekanika kuantum,
bukan untuk menghapus teori dan hukum sebelumnya, melainkan Mekanika
kuantum tidak lebih untuk merevisi dan menambal pandangan manusia terhadap
dunia, terutama dunia mikrokosmik.Bisa jadi, sebenarnya hukum-hukum yang
berlaku bagi dunia telah tersedia dan berlaku bagi setiap fenomena alam, tetapi
pengalaman manusialah yang terbatas.Oleh sebab itu, sampai disini kita harus
sadar dan meyakini bahwa sifat sains itu sangat tentatif.
Mengapa teori kuantum merupakan babak baru cara memandang alam?
Vladimir Horowitz pernah mengatakan bahwa “mozart terlalu mudah untuk
pemula, tetapi terlalu sulit untuk para ahli”. Hal yang sama juga berlaku untuk
teori kuantum. Secara sederhana teori kuantum menyatakan bahwa “partikel pada
tingkat sub atomik tidak tunduk pada hukum fisika klasik”.“Entitas seperti
elektron dapat berwujud [exist] sebagai dua benda berbeda secara simultan
materi atau energi, tergantung pada cara pengukurannya”. (Paul Strathern, 2002)
Kerangka mendasar melakukan penalaran dalam sains adalah berpikir dengan
metoda induksi.Apabila melakukan penalaran dengan metoda ini, maka
pengamatan terhadap wajah alam fisik dilakukan melalui premis-premis yang
khusus tentang materi-materi kecil atau mikro bahan alam fisik yang kasat
mata.Hukum-hukum sains klasik yang telah terpancang lama, ternyata terlihat
kelemahannya ketika berhadapan dengan fenomena mikrokosmik.
Gary Zukaf (2003) memberikan pengertian secara etimologis dari
mekanika kuantum.‘Kuantum’ merupakan ukuran kuantitas sesuatu, besarnya
tertentu.‘Mekanika’ adalah kajian atau ilmu tentang gerak.Jadi, mekanika
mengatakan bahwa alam semesta terdiri atas bagian-bagian yang sangat kecil
yang disebut kuanta [quanta, bentuk jamak dari quantum], dan mekanika kuantum
adalah kajian atau ilmu yang mempelajari fenomena ini.
2.1.2. Perkembangan Mekanika Kuantum
Pada tahun 1905, Albert Einstein berhasil menjelaskan efek foto listrik
dengan didasari oleh pendapat Planck lima tahun sebelumnya dengan
mempostulatkan bahwa cahaya atau lebih khususnya radiasi elektromagenetik
dapat dibagi dalam paket-paket tertentu yang disebut kuanta dan berada dalam
ruang. Energi berhasil menjelaskan bahwa untuk membuat elektron terpancar dari
permukaan logam diperlukan cahaya yang menumbuk.Cahaya tersebut harus
memiliki frekuensi melebih frekuensi ambang dari logam tersebut.Efek foto listrik
ini tidak bergantung pada intensitas cahaya yang ditembakkan seperti pandangan
mekanika klasik tetapi hanya bergantung pada frekuensinya saja.Walaupun
cahaya lemah ditembakkan tetapi memiliki frekuensi yang melebihi frekuensi
ambang ternyata ada elektron yang dipancarkan.
Pernyataan Einstein bahwa cahaya teradiasikan dalam bentuk paket-paket
energi yang kemudian disebut kuanta dinyatakan dalam jurnal kuantum yang
berjudul "On a heuristic viewpoint concerning the emission and transformation of
light" pada bulan Maret 1905.Pernyataan tersebut disebut-sebut sebagai
pernyataan yang paling revolusioner yang ditulis oleh fisikawan pada abad ke-20.
Paket-paket energi yang pada masa itu disebut dengan kuanta kemudian disebut
oleh foton, sebuah istilah yang dikemukakan oleh Gilbert & Lewis pada tahun
1926.Ide bahwa tiap foton harus terdiri dari energi dalam bentuk kuanta
merupakan sebuah kemajuan.Hal tersebut dengan efektif merubah paradigma
ilmuwan fisika pada saat itu yang sebelumnya menjelaskan teori gelombang.Ide
tersebut telah mampu menjelaskan banyak gejala fisika pada waktu itu.
2.1.3. Eksperimen-Eksperimen Yang Mendasari Perkembangan Mekanika Kuantum
Berikut ini adalah eksperimen–eksperimen yang mendasari perkembangan
1. Thomas Young dengan eksperimen celah ganda mendemonstrasikan sifat
gelombang cahaya pada tahun 1805,
2. Henri Becquerel menemukan radioaktivitas pada tahun 1896,
3. J.J. Thompson dengan eksperimen sinar katoda menemuka elektron pada
tahun 1897,
4. Studi radiasi benda hitam antara 1850 sampai 1900 yang dijelaskan tanpa
menggunakan konsep mekanika kuantum,
5. Einstein menjelaskan efek foto listrik pada tahun 1905 dengan
menggunakan konsep foton dan partikel cahaya dengan energi
terkuantisasi,
6. Robert Milikan menunjukan bahwa arus listrik bersifat seperti kuanta
dengan menggunakan eksperimen tetes minyak pada tahun 1909,
7. Ernest Rutherford mengungkapkan model atom pudding yaitu massa dan
muatan postif dari atom terdistribusi merata dengan percobaan lempengan
emas pada tahun 1911,
8. Otti Stern dan Walther Gerlach mendemonstrasikan sifat terkuantisasinya
spin partikel yang dikenal dengan eksperimen Stern-Gerlach pada tahun
1920,
9. Clinton Davisson dan Lester Germer mendemondtrasikan sifat gelombang
dari electron melalui percobaan difraksi electron pada tahun 1927,
10.Clyde L. Cowan dan Frederick Reines menjelaskan keberadaan neutrino
pada tahun 1955
2.1.4. Bukti dari Mekanika Kuantum
Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan perila
hukum-hukum
di mana elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar
elektron berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi (misalnya dari n=2 atau
atom tingkat ke-1), energi berupa sebuah partikel cahaya yang disebut
dilepaskan. Energi yang dilepaskan dapat dirumuskan sbb:
E= hf (2.1)
keterangan:E adalah energi
fadalah frekuensi dari cahaya
Dalam
dari atom yang di
gelombang tertentu garis-garis spektrum dapat dilihat. Ini adalah salah satu bukti
dari teori mekanika kuantum.
2.2. Persamaan Schrodinger
2.2.1. Perumusan Persamaan Schrodinger
Bila keadaan awal sebuah partikel dalam suatu lingkungan klasik (tidak
relativistik dan tidak kuantum) diketahui, maka dengan menggunakan hukum
Newton, perilaku selanjutnya dapat diramalkan dengan kepastian mutlak
berdasarkan hukum Newton, lalu pemecahannya diselesaikan secara matematik.
Dalam kasus fisika kuantum Takrelativistik, persamaan utama yang harus di
pecahkan adalah suatu persamaan diferensial orde dua, yang dikenal sebagai
Persamaan Schrodinger. Seperti halnya dengan hukum Newton, kita juga mencari
pemecahannya bagi suatu gaya tertentu. Berbeda dari hukum Newton, pemecahan
persamaan Schrodinger, yang disebut fungsi gelombang, memberikan informasi
tentang perilaku gelombang dari partikel.
Jadi dapat kita ikhtisarkan, bahwa dalam kasus mekanika klasik, persoalan
yang kita hadapi dicirikan oleh hadirnya gaya tertentu F. dengan menuliskan
hukum Newton bagi gaya tersebut, kita pecahkan permasalahan matematikanya
untuk memperoleh kedudukan dan kecepatan partikelnya. Dalam kasus
elektromagnet, kita berhadapan dengan persoalan yang dicirikan oleh sekumpulan
muatan dan arus; disini kita menuliskan persamaan Maxwell dan memecahkan
persoalan matematiknya untuk memperoleh medan elektrik dan medan magnet.
Dalam kasus fisika kuantum, persoalannya dicirikan oleh fungsi potensial
tertentu; kita tinggal menuliskan persamaan Schrodinger bagi potensial tersebut
dan mencari pemecahannya.Tentu saja, dalam masing masing kasus ini,
situasi yang lain, perlu dicari lagi pemecahan baru bagi persamaan yang berkaitan
dengan situasi tersebut.
2.2.2. Pembenaran Persamaan Schrodinger
Baik hukum Newton, persamaan Maxwell maupun persamaan Schrodinger tidak
dapat diturunkan dari seperangkat azas dasar, namum pemecahan yang diperoleh
darinya ternyata sesuai dengan pengamatan percobaan.Persamaan Schrodinger
hanya dapat dipecahkan secara eksak untuk beberapa potensial sederhana tertentu;
yang paling sederhana adalah potensial konstan dan potensial Osilator Harmonik.
Kedua kasus sederhana ini memang tidak Fisis, dalam artian bahwa
pemecahannya tidak dapat di periksa kebenarannya dengan percobaan atau tidak
ada contoh di alam yang berkaitan dengan gerak sebuah partikel yang
terkungkung dalam sebuah kotak satu dimensi, ataupun sebuah Osilator Harmonik
Mekanika kuantum Ideal, meskipun kasus seperti ini seringkali merupakan
hampiran yang cukup baik bagi situasi fisis yang sebenarnya. Namun demikian,
berbagai kasus sederhana ini cukup bermanfaat dalam memberikan gambaran
tentang tekhnik umum pemecahan persamaan Schrodinger.
Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan
untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu
persamaan differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika
kuantum, walaupun dihalangi oleh tidak adanya hasil percobaan yang dapat
digunakan sebagai bahan perbandingan. Untuk menghasilkan persamaan
Schrödinger, maka harus memenuhi 3 kriteria, sebagai berikut :
a. Taat asas dengan kekekalan energi
Hukum kekekalan energi adalah jumlah energi kinetik ditambah energi potensial
bersifat kekal, artinya tidak bergantung pada waktu maupun posisi.Persamaan
Schrödinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi. Secara matematis,
hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan rumusan:
K + V = Etot (2.2)
Suku pertama ruas kiri menyatakan energi kinetik, suku kedua menyatakan energi
potensial, dan ruas kanan menyatakan suatu tetapan yang biasanya disebut sebagai
energi total.Dimana energi kinetik digunakan bukanlah dalam bentuk:
K= 1
2 mv 2
b. Linear dan bernilai tunggal
Persamaannya haruslah “Berperilaku Baik” dalam pengertian matematikanya.
Pemecahannya harus memberi informasi tentang probabilitas untuk menemukan
partikelnya, walaupun ditemukan probabilitas berubah secara kontinu dan
partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari satu titik dan muncul kembali pada
titik lainnya, namun fungsinya haruslah bernilai tunggal, artinya tidak boleh ada
dua probabilitas untuk menemukan partikel di satu titik yang sama. Ia harus linear
agar gelombangnya memiliki sifat superposisi yang diharapkan sebagai milik
gelombang yang berperilaku baik.
c. Pemecahan partikel bebas sesuai dengan gelombang de Broglie tunggal.
Tahun 1924 de Broglie menyatakan bahwa materi mempunyai sifat gelombang
disamping sifat partikel.Bentuk persamaan diferensial apapun, haruslah taat azas
terhadap hipotesis de Broglie. Untuk menyelesaikan persamaan matematik bagi
sebuah partikel dengan momentum (p), maka pemecahannya harus berbentuk
fungsi gelombang dengan panjang gelombang λ yang sama dengan h / p. Sesuai dengan persamaan:
λ = h / p (2.4) Maka energi kinetik dari gelombang de Broglie partikel bebas haruslah:
K = p2 / 2m = ħ2 k2 / 2m (2.5)
Bentuk persamaan harus taat azas dengan kekekalan energi seperti yang
dijelaskan diatas ( V + K = E ), Kmuncul dalam pangkat satu danK = p2 / 2m =
ħ2
k2 / 2m, sehinggga satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang
mengandung k2adalah dengan mengambil turunan kedua dari ψ (x) = A sin
kxterhadap x (Kenneth,1992).
2.2.3. Probabilitas
Fungsi gelombang ψ(x)menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang
gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas.Masalah yang muncul
ketika hendak menafsirkan amplitudonya adalah apakah yang dinyatakan oleh
amplitudo ψ(x) dan variabel fisika apakah yang bergetar?Ini merupakan suatu
jenis gelombang yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas
dxmemberikan probabilitas untuk menemukan partikel dalam selang dxdi x. Rapat
probabilitas P(x)terhadap ψ(x)menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut:
P(x)dx=|ψ(x)|2 dx (2.6)
2.2.4. Penerapan Persamaan Schrödinger
Persamaan Schrödinger dapat diterapkan dalam berbagai persoalan fisika.Dimana
pemecahan persamaan Schrödinger yang disebut fungsi gelombang, memberikan
informasi tentang perilaku gelombang dari partikel.
2.2.4.a. Pada partikel Bebas
Yang dimaksud dengan “Partikel Bebas” adalah sebuah partikel yang bergerak
tanpa dipengaruhi gaya apapun dalam suatu bagian ruang, yaitu, F = - dV(x) / dx
= 0 sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan. Dalam hal ini,
bebas memilih tetapan potensial sama dengan nol.
Partikel bebas dalam mekanika klasik bergerak dengan momentum konstan P,
yang mengakibatkan energi totalnya jadi konstan.Tetapi partikel bebas dalam
mekanika kuantum dapat dipecahkan dengan persamaan Schrödinger tidak
bergantung waktu.
2.2.4.b.Pada partikel dalam kotak
Untuk meninjau sebuah partikel yang bergerak bebas dalam sebuah kotak dalam
dimensi yang panjangnya L, dimana partikelnya benar-benar terperangkap dalam
kotak. Potensial ini dapat dinyatakan:
V(x) = 0,0 ≤ x ≤ L dan V(x) = ∞, x< 0, x > L
Gambar.2.1.Sumur Potensial yang bersesuaian dengan sebuak kotak yang
Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan
bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x = 0dan x =
Ldisebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Misalnya, sebuah manik-manik
yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat yang ditegangkan antara dua
dinding tegar dan bertumbukan secara eksak dengan kedua dinding. Sebuah
partikel tidak akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding,
energi totalnya tetap konstan.
Dari perbandingan Mekanika Kuantum,energi potensial V dari partikel itu
menjadi tak hingga di kedua sisi kotak, sedangkan V konstan di dalam kotak,
dapat dikatakan V = 0 seperti yang terlihat pada gambar (2.1) di atas. Karena
partikel tidak bisa memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin
ditemukan di luar kotak, sehingga fungsi gelombang ψ = 0untuk 0 ≤ x ≤ L.
2.3. Osilator Harmonik
2.3.1. Gerak Harmonik Sederhana
Gerak harmonik terjadi jika suatu sistem jenis tertentu bergetar disekitar
konfigurasi setimbangnya. Sistemnya biasanya terdiri dari benda yang digantung
pada pegas atau terapung pada zat cair , molekul dwiatom, sebuah atom dalam
kisi kristal dan terdapat banyak sekali contoh dalam dunia mikroskopik dan juga
makroskopik. Persyaratan supaya gerak harmonik terjadi adalah terdapatnya gaya
pemulih yang bereaksi untuk mengembalikan ke konfigurasi setimbangnya jika
sistem itu digangagu; kelembaman massa yang bersangkutan menyebabkan benda
melampaui kedudukan setimbangnya, sehingga system itu berosilasi terus
menerus jika tidak terdapat proses disipatif.
Dalam kasus khusus gerak harmonik sederhana, gaya pemulih F pada
partikel bermassa m adalah linear; ini berarti F berbanding lurus pada pergeseran
partikel x dari kedudukan setimbangnya dan arahnya berlawanan.
Gerakannya diatur oleh hukum Hooke:
F = -kx = m.d2x/dt2 (2.7)
Dengan mengabaikan gaya friksi, maka persamaan (2.7) memiliki solusi umum:
X(t) = A Sin (��) + B Cos (��) (2.8)
Dimana: � ≡ �
Gambar 2.2 merupakan gaya pemulih yang bekerja pada suatu benda yang
dihubungkan dengan pegas sebanding dengan simpangannya dari kedudukan
setimbang, x=0. (a) ketika x=0, pegas bebas (gaya pemulihannya=0), (b) ketika x
positif, pegas ditarik (gaya pemulihan keatas) (c) ketika x negatif, pegas tertekan
(gaya pemulihan kebawah)
2.3.2. Fungsi Energi Potensial untuk Hukum Hooke
Pentingnya osilator harmonik sederhana dalam fisika klasik dan modern
tidak terletak pada persyaratan ketat bahwa gaya pemulih yang sebenarnya
memenuhi hukum Hooke yang jarang dijumpai, tetapi pada kenyataannya bahwa
gaya pemulihnya tereduksi agar memenuhi hukum Hooke untuk pergeseran yang
kecil. Sebagai hasilnya, setiap sistem yang melakukan getaran kecil terhadap
kedudukan setimbangnya berperilaku seperti osilator harmonik sederhana.
Fungsi energi Potensial V(x) yang bersesuaian dengan hukum gaya Hooke
dapat diperoleh dengan menghitung kerja yang diperlukan untuk membawa
partikel dari x = 0 ke x = x terhadap gaya semacam itu. Hasilnya adalah:
V(x) = 1
2 kx 2
(2.9)
Dan hasil ini di plot dalam gambar 2.3 kurva V(x) versus x merupakan parabola.
Jika energi osilator adalah E, partikelnya bergerak bolak balik antara x = -A dan x
= +A, dengan E dan A berhubungan menurut persamaan E = 1
2 kA 2
Gambar 2.3 Energi Potensial sebuah osilator harmonik berbanding lurus dengan
x2, dengan x menyatakan pergeseran dari kedudukan setimbang, Amplitude A dari
gerak itu ditentukan oleh energy total E dari Osilator tersebut yang secara klasik
dapat mengambil harga berapa saja.
2.3.3. Tingkat Energi Osilator Harmonik
Tingkat energi osilator Harmonik yang memiliki frekuensi klasik v diberikan oleh
rumus:
En = (n+ 1
2) hv dengan, n = 0, 1, 2, 3, . . . (2.10)
Jadi energi sebuah osilator harmonik terkuantisasi dengan langkah hv.
Kita lihat untuk n = 0, maka kita peroleh energi titik nol:
E0 = 1
2 hv (2.11)
Yang menyatakan energi terendah yang dapat dimiliki oleh osilator tersebut.
Harga ini disebut energi titik nol karena sebuah osilator harmonik dalam keadaan
Gambar 2.4 Osilator Harmonik, dalam setiap kasus tingkat energi bervariasi yang
bergantung pada bilangan kuantum n.
2.4. Aplikasi Osilator Harmonik Sederhana
4. Pegas
Pegas adalah salah satu contoh benda elastis. Oleh karena sifat elastisnyaini, suatu
pegas yang diberi gaya tekan atau gaya regang akan kembali kekeadaan
setimbangnya mula-mula apabila gaya yang bekerja padanyadihilangkan. Gaya
yang timbul pada pegas untuk mengembalikan posisinya ke keadaan setimbang
disebut gaya pemulih pada pegas.Gaya pemulih pada pegas banyak dimanfaatkan
dalam bidang teknikdan kehidupan sehari-hari, Misalnya:
• shockbreakerkendaraan.
Di dalam shockbreaker terdapat sebuah pegas yang berfungsi meredam getaran
saat roda kendaraan melewati jalanan yang tidak rata.Dengan demikian,
Gambar 2.5shockbreaker
• springbed.
Demikian juga dengan springbed, Pegas-pegas yang tersusun di dalam springbed
akan memberikan kenyamanan saat Anda tidur di atasnya.
Gambar 2.6springbed
5. Pendulum
Pendulum merupakan suatu partikelmassa yang tergantung pada suatu titik tetap
pada seutas tali yang dapat berayun secara bebas dan periodik, dimana massatali
dapat diabaikan dan tali tidak dapat bertambah panjang. Contoh aplikasi
pendulum ini dalam kehidupan sehari hari adalah:
Gambar 2.7 Jam Pendulum
Pendulum yang terdapat padajam merupakan salah satu contoh gerak harmonik.
Ayunanmatematis pendulum tersebutberfungsi untuk mengatur gerakjarum jam.
• Kereta mainan
Gambar 2.8memperlihatkan sebuah kereta mainan sedang bergerakmelingkar di
jalurnya. Dalam hal ini, kereta mainantersebut bergerak melingkar beraturan dan
bayangankereta mainan yang terbentuk akibat cahaya lampu yangdiarahkan
padanya akan bergerak bolak-balik yang merupakan gerak harmonik sederhana.
a.
Metode Deret Pangkat
Metode deret pangkat (power series method) merupakan suatu metode
umum untuk memecahkan persamaan diferensial linier, termasuk persamaan
diterapkan pada persamaan tak-homogen dan persamaan yang berordo lebih
tinggi. Metode ini menghasilkan solusi yang berbentuk deret pangkat, oleh
karenanya metode ini dinamai dengan metode deret pangkat.
Di dalam metode ini, diasumsikan solusi berbentuk deret pangkat ( dengan
sembarang pusat x0, misal x0=0):
y = ∑∞�=0��(x – x0) m (2.12)
y’ = ∑∞�=1���(x – x0) m-1 (2.13)
y’’ = ∑∞�=0�(� −1)��(x – x0) m-2 (2.14)
Jika p(x) dan q(x)analitik di x=x0 maka solusi akan berbentuk deret kuasa.
Jika p(x) dan q(x) tidak analitik di x=x0 , biasanya dinamakan singular di x=x0.
Jika kesingularannya tidak terlalu buruk sedemikian sehingga dapat dinyatakan
dalam:
y’’ + �(�)
�−�0 y’ +
�(�)
(�−�0)2 y = 0 (2.15)
dengan a(x) dan b(x) analitik di x=x0, maka setidaknya ada satu solusi. Metode
ini terangkum dalam Teorema Frobenius.Dalam persamaan diferensial ordo-2 ini,
ada beberapa persamaan yang sering digunakan dan diterapkan pada bidang
rekayasa dan fisika, sehingga diberi nama khusus ataupun lambang khusus.
Misalnya, persamaan Legendredan polinom-polinom Legendre, persamaan
hipergeometrik dan fungsi-fungsi hipergeometrik ataupun persamaan Bessel dan
Solusidaripersamaan iniadalah polinomialdalam y, melalui metodederet pangkat
diperolehrumusrekursiuntuk mendapatkan koefisiendaripolinomial.
Untukmelakukan perhitungan, kita misalkanfungsi sebagai berikut:
S(y,s) ≡ �−�2+2�� (2.18)
Dari ekspansi eksponential, dalam sebuah deret Taylor kita dapat menuliskan
persamaan diatas sebagai berikut:
MATLAB atau yang kita sebut dengan (Matrix Laboratory) yaitu sebuah
program untuk menganalisis dan mengkomputasi data numerik, dan MATLAB
juga merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan, yang dibentuk
dengan dasar pemikiran yang menggunakan sifat dan bentuk matriks.Matlab yang
merupakan singkatan dari Matrix Laboratory, merupakan bahasa pemrograman
yang dikembangkan oleh The Mathwork Inc. yang hadir dengan fungsi dan
karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih
dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++.
Pada awalnya program aplikasi MATLAB ini merupakan suatu interface
untuk koleksi koleksi rutin numerik dari proyek LINPACK dan EISPACK, dan
dikembangkan dengan menggunakan bahasa FORTRAN, namun sekarang ini
MATLAB merupakan produk komersial dari perusahaan Mathworks, Inc. yang
dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan dengan menggunakan bahasa
C++ dan assembler, (utamanya untuk fungsi-fungsi dasar MATLAB). MATLAB
telah berkembang menjadi sebuah environment pemrograman yang canggih yang
berisi fungsi-fungsi built-in untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar
linier, dan kalkulasi matematis lainnya.MATLAB juga menyediakan berbagai
fungsi untuk menampilkan data, baik dalam bentuk dua dimensi maupun dalam
bentuk tiga dimensi.
MATLAB juga bersifat extensible, dalam arti bahwa seorang pengguna
dapat menulis fungsi baru untuk menambahkan pada library, ketika fungsi-fungsi
built-in yang tersedia tidak dapat melakukan tugas tertentu. Kemampuan
pengalaman dalam pemrograman bahasa lain seperti C, PASCAL, atau
FORTRAN.MATLAB (Matrix Laboratory) yang juga merupakan bahasa
pemrograman tingkat tinggi berbasis pada matriks, sering kita gunakan untuk
teknik komputasi numerik, yang kita gunakan untuk menyelesaikan
masalah-masalah yang melibatkan operasi matematika elemen, matrik, optimasi,
aproksimasi dll. Sehingga Matlab banyak digunakan pada :
• Matematika dan komputansi,
• Pengembangan dan algoritma,
• Pemrograman modeling, simulasi, dan pembuatan prototipe,
• Analisa data , eksplorasi dan visualisasi,
• Analisis numerik dan statistik,
• Pengembangan aplikasi teknik,
Matlab juga merupakan bahasa pemrograman computer berbasis window
dengan orientasi dasarnya adalah matrik, namun pada program ini tidak menutup
kemungkinan untuk pengerjaan permasalahan non matrik. Selain itu matlab juga
merupakan bahasa pemrograman yang berbasis pada obyek (OOP), namun disisi
lain karena matlab bukanlah type compiler, maka program yang dihasilkan pada
matlab tidak dapat berdiri sendiri.Namun agar hasil program dapat berdiri sendiri
maka harus dilakukan transfer pada bahasa pemrograman yang lain, misalnya
C++. Pada matlab terdapat tiga windows yang digunakan dalam operasinya yaitu:
• Command windows (layar perintah)
• Figure windows (layar gambar),
• Note Pad (sebagai editor program). (sumber
d.
Osilator Anharmonik
Sebuah osilator harmonik mematuhi Hukum Hooke dan merupakan ekspresi ideal
yang mengasumsikan bahwa sistem pengungsi dari keseimbangan merespon
dengan gaya pemulih yang besarnya sebanding dengan perpindahan. Di alam,
situasi ideal memiliki kendala dan gagal untuk menggambarkan persamaan linear
sebagai OsilasiAnharmonik. Osilasi Anharmonik digambarkan sebagai gaya
pemulih yang tidak lagi sebanding dengan perpindahan.
Osilator Anharmonik dapat diperkirakan solusinya melalui
pendekatanpada solusi osilator harmonik,tetapi jika ketidakharmonisannya sangat
besar, maka tehknik numerik lain harus digunakan. Ketidakharmonisan dapat
dihitung dengan menggunakan teori gangguan.
Dua bentuk non-linear digunakan untuk menggambarkan situasi dunia nyata
adalah sebagai berikut:
1. Ketidakharmonisan Elastis
2. Ketidakharmonisan Redamam
Dalam sistem osilator dengan frekuensi alami, hasil ketidakharmonisan di
osilasi mendapat tambahan frekuensi . Ketidakharmonisan juga
memodifikasi profil dari kurva resonansi, yang menyebabkan fenomena yang
menarik dapat terjadi seperti “efek foldover” dan “resonansi superharmonik”.
Gambar 2.9HClMolekulsebagai osilatoranharmonikbergetar padatingkat
energiE3.D0adalahdisosiasienergidi sini, panjang ikatanr0, Uenergi potensial.
Energidinyatakan dalambilangan gelombang. Molekul hidrogenkloridamelekat
Pada Osilator Anharmonik, Pendekatan dari energi potensial pada
parabola tidak bisa dibenarkanpada semua ekstensi, karena tidak mengizinkan
disosiasi ikatan. Pada Eksitasi getaran tinggi (yaitu daerah daerah
dengannilai-nilaibilangan kuantum νyang tinggi), pendekatan parabola sangat kecil. Gerak pada posisi seperti itu digambarkan sebagai Anharmonik, sebagai gaya pemulihan
yang tidak lagi sebanding dengan kuadrat dari perpindahan dari posisi
kesetimbangannya.Salah satu cara untuk mengakomodasi masalah ini adalah
dengan menggunakan metode yang lebih daripada parabola, atau sebuah fungsi
yang lebih mirip bentuk sebenarnya dari energi potensial . Salah satu fungsi yang
umum digunakan adalah potensi Morse:
V = hc De (1- e-a(R-Re))2 dimana a = � (µ�2)
(2ℎ���) (2.20)
Ingat ω = ( k / μ ) ½ ) . R adalah panjang ikatan dan Re adalah panjang ikatan pada kesetimbangan . De adalah kedalaman minimum dalam kurva:
Gambar 2.10merupakan kurva Tingkat energi vibrasi dengan diberi label nilai
bilangan kuantum ν. Energi ikatan disosiasi Do, termasuk untuk perbandingan dengan De.
Mendekati nilai minimum potensinya, kurva memang diperkiraan
menyerupai bentuk parabola, tapi tidak parabola.Kurva Morse tidak
jumlah tingkat getaran osilator Morse terbatas (adanilai νmax diluar energi dari
osilator yang tidak terhitung tetapi kontinu). Hal ini dimungkinkan untuk
menyelesaikan persamaan Schrodinger dimana kurva Morse digunakan untuk
perubahan tingkat energi potensial sebagai berikut:
G(v) = (v + 1
Dengan kuantitas xe dikenal sebagai konstanta ketidakharmonisan.
Untuk osilator Morse, dengan bilangan gelombang transisi Δν = 1 diberikan oleh:
∆G = v-2(v + 1)xe D (2.22)
Transisi tersebut dikenal sebagai nada, dan muncul karena aturan seleksi
diturunkan dengan asumsi bahwa itu adalah osilator harmonik. Jika itu tidak
berperilaku secara harmonis sempurna, maka aturan seleksi tidak harus dipenuhi.
untuk Osilator Anharmonik, transisi dengan setiap nilai Δν dapat diamati
meskipunsangat lemah.Cara lain untuk memecahkan masalah Ketidakharmonisan
yang lebih sering digunakan dalam praktek daripada osilator Morse, adalah
menulis tingkat energi yang diijinkan sebagai rangkaian istilah:
G(v) = (v + 1
di mana xe, ye, dll adalah konstanta empiris yang memberikan kesesuaian yang
terbaik dengan data eksperimen.
Sebuah versi umum dari osilator harmonik adalah hubungan antara gaya
dan perpindahan yang nonlinear. Osilator Harmonik adalah sistem yang sangat
ideal yang berosilasi dengan frekuensi tunggal, terlepas dari jumlah energi yang
disuntikkan ke dalam sistem. Akibatnya, frekuensi dasar osilator harmonik
getaran adalah bebas dari amplitudo getaran. Aplikasi dari model osilator
harmonik berlimpah di berbagai bidang, tapi mungkin sistem yang paling umum
dipelajari adalah hukum sistem massa-pegas Hooke. Dalamhukum sistem Hooke
gaya pemulih yang bekerja pada massa sebanding dengan perpindahan massa dari
posisi keseimbangannya. Hubungan ini linear antara gaya dan perpindahan yang
menyatakan bahwa frekuensi osilasi dari massa akan terlepas dari amplitudo
perpindahan.
Ada banyak sistem di seluruh dunia fisika yang dapat dimodelkan
contoh, sebuah atom yang terdiri dari inti bermuatan positif dikelilingi oleh awan
elektronik bermuatan negatif, mengalami perpindahan antara pusat massa dari inti
dengan awan elektronik ketika medan listrik hadir. Jumlah perpindahan itudisebut
momen dipol listrik, terkait linear dengan bidang kecilyang diterapkan pada
medan magnet, tetapi seiring meningkatnya medan magnet, hubungan bidang
momen dipol menjadi nonlinier, seperti dalam sistem mekanis.
Contoh lebih lanjut dari osilator anharmonikadalah pendulum dengan
sudut besar, yang menunjukkan keadaan acak sebagai akibat dari
ketidakharmonikannya; semikonduktor non-equilibrium yang memiliki populasi
pembawa panas yang besar, yang menunjukkan perilaku nonlinier berbagai jenis
terkait dengan massa efektif dari operator dan plasma ionosfer yang juga
menunjukkan perilaku nonlinier berdasarkan ketidakharmonisan plasma. Bahkan,
hampir semua Osilator menjadi Anharmonik ketika amplitudonya meningkat
melampaui ambang batas tertentu, dan sebagai hasilnya perlu menggunakan
persamaan nonlinear gerak untuk menggambarkan perilaku mereka.
Contoh lainnya; Atom dalam molekul bergetar kuat melewati posisi
keseimbangan mereka. Ketika getaran ini memiliki amplitudo kecil mereka dapat
dijelaskan oleh osilator harmonik. Namun, ketika getaranamplitudonya besar,
misalnya pada suhu yang tinggi, ketidakharmonisan menjadi penting. Contoh efek
ketidakharmonisan adalah ekspansi termal dari padatan, yang biasanya dipelajari
dalam pendekatan quasi-harmonik, dan dinamika sistem triple pendulum juga
merupakan contoh Osilator Anharmonik. Pendulum juga banyak digunakan untuk
berbagai aplikasi, seperti: perusahaan konstruksi yang menggunakan bola perusak
besar dalam gerakan seperti pendulum ketika menghancurkan bangunan dan
beberapa penghipnotis menggunakan sebuah jam saku gantung yang juga
bergerak mengikuti gerakan pendulum untuk menghipnotis objek. Pada keadaan
seperti inilah osilator Anharmonik diperlukan untuk menjelaskan peristiwa fisika
