BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Optimasi
2.1.1. Pengertian Optimasi
Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di bawah
keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah
meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit) yang diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan dapat
dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat
didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai
minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Optimasi dapat diartikan sebagai
aktivitas untuk mendapatkan nilai minimum suatu fungsi karena untuk
mendapatkan nilai maksimum suatu fungsi dapat dilakukan dengan mencari
minimum dari negatif fungsi yang sama.
Tidak ada metode tunggal yang dapat dipakai untuk menyelesaikan semua
masalah optimasi. Banyak metode optimasi telah dikembangkan untuk
menyelesaikan tipe optimasi yang berbeda-beda seperti metode Lagrange.
Dalam optimasi diselidiki masalah penentuan suatu titik minimum suatu
fungsi pada subset ruang bilangan riil tak kosong. Untuk lebih spesifik dirumuskan
sebagai berikut: Misalkan � ruang bilangan riil dan � subset tak kosong dari �, dan misalkan : � → � sebuah fungsi yang diberikan. Kita akan mencari titik minimum
pada �. Sebuah elemen ̅ � dikatakan titik minimum pada � jika
̅ untuk semua �
Metode pencari titik optimum juga dikenal sebagai teknik pemrograman
matematikal dan menjadi bagian dari penelitian operasional (operations research).
Penelitian operasional adalah suatu cabang matematika yang menekankan kepada
aplikasi teknik dan metode saintifik untuk masalah-masalah pengambilan
keputusan dan pencarian solusi terbaik atau optimal. Teknik pemrograman
matematikal sangat berguna dalam pencarian minimum suatu fungsi beberapa
variabel di bawa kendala yang ada. Teknik proses stokastik dapat digunakan untuk
menganalisis masalah yang didiskripsikan dengan sekumpulan variabel acak
dimana distribusi probabilitasnya diketahui. Metode statistikal dapat digunakan
untuk menganalisis data eksperimen dan untuk membangun model secara empirik
2.1.2. Perumusan Masalah Optimasi
Optimasi atau masalah pemrograman matematika dapat dinyatakan sebagai berikut.
Tabel 2.1. Metode Penelitian Operasional
Teknik Pemrograman
Matematikal
Teknik Proses Stokastik Metode Statistikal
Metode Kalkulus
Metode Jaringan : CPM & PERT
Optimasi Tanpa Kendala
Masalah optimasi yang tidak melibatkan sebarang kendala dinamakan optimasi
tanpa kendala dan dinyatakan sebagai:
Minimumkan = (2.1)
= , , … ,
Optimasi Dengan Kendala
Masalah optimasi yang melibatkan sebarang kendala dinamakan optimasi
terkendala dan dinyatakan sebagai:
Minimumkan = (2.2)
= , , … ,
dengan kendala:
= , , … ,
= = , , … ,
dimana adalah sebuah vektor berdimensi- yang dinamakan vektor disain atau
variabel keputusan, disebut fungsi obyektif, dan dikenal sebagai
kendala ketaksamaan dan kendala kesamaan.
2.1.3. Klasifikasi Masalah Optimasi
Masalah optimasi dapat diklasifikasikan dalam 6 (enam) cara, seperti diuraikan
berikut.
1. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Keberadaan Kendala
Seperti dinyatakan sebelumnya, sebarang masalah optimasi dapat
optimasi terkendala, tergantung kepada ada tidaknya kendala dalam
masalah optimasi.
2. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Bentuk Persamaan Fungsi yang Terlibat
Masalah optimasi dapat juga diklasifikasikan berdasarkan kepada bentuk
fungsi obyektif dan fungsi kendala. Menurut klasifikasi ini, masalah
optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman linier,
nonlinier, geometrik, dan kuadratik.
Masalah Pemrograman Linier
Jika fungsi obyektif dan semua kendala adalah fungsi linier dari variabel
keputusan, maka masalah pemrograman matematika tersebut dinamakan
pemrograman linier (LP). Masalah pemrograman linier dapat dinyatakan
dalam bentuk standar berikut:
Minimumkan = ∑= (2.3)
=
dengan kendala
∑ =
, = , , … , .
, = , , … ,
dimana , dan adalah konstanta (yang selanjutnya dinamakan sebagai
parameter).
Masalah Pemrograman Nonlinier
Jika terdapat fungsi nonlinier di antara fungsi obyektif dan fungsi-fungsi
kendala, maka masalah tersebut dinamakan masalah pemrograman
Masalah Pemrograman Kuadratik
Suatu masalah pemrograman kuadratik adalah suatu masalah pemrograman nonlinier dimana fungsi obyektif berbentuk kuadratik dan fungsi kendala berbentuk linier. Masalah pemrograman kuadratik dapat dinyatakan sebagai berikut:
Sebuah fungsi ℎ dinamakan posynomial suku jika ℎ dapat dituliskan
sebagai ℎ = � � … � + + � �� �� … ��
dimana dan adalah konstanta dengan > dan > .
Suatu masalah pemrograman geometric (GMP) adalah masalah
pemrograman nonlinier dimana fungsi obyektif dan fungsi kendala
dinyatakan sebagai posynomial dalam variabel keputusan. Jadi masalah
dengan kendala
= ∑ �
=
(∏ =
) > , > , > .
dimana dan berturut-turut menyatakan banyaknya suku posynomial
dari fungsi obyektif dan fungsi kendala ke-k.
3. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Variabel Keputusan yang Diperbolehkan Berdasarkan kepada nilai variabel keputusan yang diperbolehkan, masalah
optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman bilangan
bulat (integer) dan pemrograman bilangan riil.
Masalah Pemrograman Bilangan Bulat (Integer)
Jika beberapa atau semua variabel keputusan ( = , , … , dari suatu
masalah optimasi dibatasi hanya bernilai bilangan bulat (integer) atau diskrit, masalah optimasi tersebut dinamakan pemrograman bilangan bulat.
Masalah Pemrograman Bilangan Riil
Jika semua variabel keputusan bernilai bilangan riil maka masalah optimasi
dinamakan masalah pemrograman riil.
4. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Parameter yang Diperbolehkan
Berdasarkan kepada nilai parameter yang diperbolehkan, masalah optimasi
dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman stokastik dan masalah
pemrograman deterministik.
Masalah Pemrograman Stokastik
Suatu masalah pemrograman stokastik adalah masalah optimasi dimana
beberapa atau semua parameter dalam optimasi bersifat probabilistik (non
Masalah Pemrograman Deterministik
Jika semua parameter dalam optimasi bersifat deterministik, masalah
optimasi tersebut dinamakan masalah pemrograman deterministik.
5. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Separabilitas Fungsi
Masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman
separabel atau nonseparabel berdasarkan kepada separabilitas fungsi
obyektif dan fungsi kendala.
Masalah Pemrograman Separabel
Suatu fungsi dikatakan separabel jika dapat dituliskan sebagai jumlah
dari fungsi tunggal , … , yaitu
= ∑ =
.
Masalah pemrograman separabel adalah masalah optimasi dimana
fungsi obyektif dan fungsi kendala adalah separabel dan dapat dituliskan
dalam bentuk standar:
Minimumkan = ∑= (2.10)
= , , … ,
dengan kendala
= ∑ =
, = , , … , .
dimana konstanta.
Masalah Pemrograman Nonseparabel
Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dari masalah optimasi non
separabel, masalah tersebut dinamakan masalah pemrograman
6. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Banyaknya Fungsi Obyektif
Bergantung kepada banyaknya fungsi obyektif yang diminimumkan,
masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman
obyektif-tunggal dan multi obyektif.
Masalah Pemrograman Obyektif-Tunggal
Masalah optimasi yang hanya melibatkan sebuah fungsi obyektif
dinamakan pemrograman obyektif-tunggal. Pemrograman linier merupakan
salah satu contoh dari masalah pemrograman obyektif-tunggal.
Masalah Pemrograman Multiobyektif
Suatu masalah pemrograman multiobyektif dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Minimumkan , , … , (2.12)
= , , … ,
dengan kendala
, = , , … , (2.13)
dimana , , … , adalah fungsi-fungsi obyektif yang diminimumkan
secara simultan.
2.1.4. Teknik Optimasi
Metode klasik kalkulus diferensial dapat digunakan untuk mendapatkan maksima
dan minima suatu fungsi multi variabel tanpa kendala. Metode ini mengasumsikan
bahwa fungsi tersebut dapat didiferensialkan dua kali terhadap variabel keputusan
dan turunannya kontinu. Untuk masalah optimasi dengan kendala kesamaan,
metode pengali Lagrange (Lagrangian multiplier method) dapat digunakan. Jika masalah optimasi melibatkan kendala kesamaan, syarat Kuhn-Tucker dapat
sekumpulan persamaan non linier secara simultan yang boleh jadi sukar untuk
diselesaikan (Parwadi Moengin, 2011).
Penerapan perhitungan penurunan parsial penting sekali dalam bidang
ekonomi, terutama di dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi multivariat.
Nilai optimum yang dimaksud ialah nilai yang diperoleh dari proses penentuan
pemecahan yang paling terbaik dari pemecahan-pemecahan dalam suatu kendala
yang ada. Nilai yang diperoleh ini bias maksimum atau minimum.
2.2. Maksimum Dan Minimum
2.2.1. Teorema keberadaan Maksimum-Minimum
Gambar 2.1. Fungsi Maksimum-Minimum
Nilai ektrem suatu fungsi bisa nilai maksimum atau nilai minimum. Disini
dibedakan antara nilai maksimum global atau absolut dengan maksimum lokal atau
relatif dan nilai minimum global atau absolut dengan maksimum lokal atau relatif.
Dari gambar diketahui bahwa titik B adalah titik maksimum global
sedangkan titik E adalah titik maksimum lokal. Titik D adalah minimum global
sedangkan titik F adalah titik minimum lokal. Titik C bukanlah titik maksimum
atau minimum suatu fungsi, titik ini disebut titik belok suatu fungsi.
Titik maksimum terjadi jika koefisien arah dari garis singgung pada garis
tersebut adalah nol dan kurva terbuka kebawah, sedangkan titik minimum terjadi
jika koefisien arah dari garis singgung pada titik tersebut adalah nol dan kurva
terbuka ke atas (Legowo, 1984). A
B
C
D E
Jika kontinu pada sebuah himpunan � tertutup terbatas, maka mencapai
nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.
Misalkan adalah fungsi dengan daerah asal �, dan misalkan � adalah
sebuah titik di �.
1. � adalah nilai maksimum global dari di � jika � � untuk seluruh � di �.
2. � adalah nilai minimum global dari di � jika � � untuk seluruh � di �.
3. � adalah nilai ekstrem global dari di � jika � bukan nilai maksimum global dan bukan nilai minimum global.
Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi adalah dengan menentukan titik di
daerah asal fungsi, sedemikian sehingga mencapai nilai maksimum atau
minimum. Titik-titik demikian disebut dengan titik kritis.
Masalah mencari nilai maksimum atau minimum akan sangat sulit jika
bentuk umum daripada kurva belum diketahui. Di dalam hal ini sangatlah sukar
menentukan apakah titik kritisnya adalah titik maksimum, titik minimum, atau titik
lainnya. Cara yang paling mudah ialah dengan mencari turunan pertama atau
turunan kedua yang dekat nilai kritisnya.
2.2.2. Teorema Titik Kritis
Misalkan didefinisikan pada sebuah himpunan � yang mengandung � . Jika
� � adalah sebuah nilai ekstrem, maka � harus merupakan sebuah titik kritis, yaitu � adalah
(i) Sebuah titik batas di �
(ii) Sebuah titik stasioner dari
(iii) Sebuah titik tunggal dari
Dari definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu agar fungsi dua
dibahas dalam hal ini adalah titik stasioner. Ada kemungkinan bahwa fungsi tidak
mempunyai titik stasioner, akan tetapi mempunyai nilai ekstrem. Pengertian titik
stasioner didefinisikan dengan menggunakan turunan parsial pertama (Edwin J.
Purcell, 2003).
2.2.3. Titik Stasioner - Uji Turunan Pertama
Titik , dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi bilamana,
, = dan , = (2.14)
Definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrem fungsi dua
variabel adalah fungsi mempunyai turunan parsial pertama, dan adanya titik yang
memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol.
Jika = adalah titik kritis maka:
Jika ′ merubah tanda dari positif ke negatif ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka
adalah nilai maksimum dari fungsi tersebut.
Jika ′ merubah tanda dari negatif ke positif ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka
adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.
Jika ′ tidak merubah tanda ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka adalah bukan nilai
maksimum atau minimum dari fungsi tersebut.
Cara yang lebih mudah bisa diperoleh dengan melalui turunan kedua. Jika
turunan kedua hasilnya negatif pada suatu titik menunjukkan bahwa kurvanya pada
titik tersebut terbuka ke bawah (concave down ward) dan jika hasil turunan keduanya positif pada suatu titik menunjukkan kurvanya terbuka ke atas (concave
Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi, di samping dipersyaratkan adanya titik
kritis diperlukan penyelidikan lanjutan untuk mengetahui apakah titik kritis tersebut
memberikan nilai ekstrem. Penyelidikan pada titik kritis demikian disebut
pengujian syarat kecukupan nilai ekstrem. Uji syarat cukup yang digunakan adalah
uji turunan kedua, khususnya bilamana titik kritisnya adalah titik stasioner.
Andaikan , mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalam
lingkungan , dimana , = dan , = . Misalkan,
= , = , , − [ , ] (2.15)
Maka
(i) Jika > dan , < , , adalah sebuah nilai maksimum
lokal;
(ii) Jika > dan , > , , adalah sebuah nilai minimum
lokal;
(iii) Jika < dan , bukan sebuah nilai ekstrem ( , adalah sebuah
titik pelana);
(iv) Jika = , uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat
disimpulkan.
Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi dua variabel, langkah-langkah yang
harus dilakukan adalah,
1. Tentukanlah turunan-turunan parsial pertama dan kedua dari , yakni
, , , , , , , dan , atau ,
2. Tentukanlah titik kritis (stasioner) fungsi yakni dengan menetapkan,
, = dan , =
3. Bentuklah persamaan pembantu,
= , = , , − [ , ] (2.16)
Dan selanjutnya selidikilah jenis nilai ekstrem pada titik kritis dengan
Turunan kedua juga bisa digunakan mencari titik-titik belok dari fungsi
tersebut jika ada, yaitu suatu titik pada mana suatu fungsi berubah bentuknya dari
terbuka ke atas ke terbuka ke bawah.
Suatu titik belok dapat terjadi jika turunan keduanya sama dengan nol. Tidak
semua titik-titik dimana turunan keduanya sama dengan nol, adalah titik belok.
Titik belok bisa juga terjadi pada nilai = dimana ′′ tidak tentu. Dengan
demikian suatu titik belok suatu fungsi pada = bisa terjadi:
1. ′′ =
2. ′′ tidak tentu.
2.3. Metode Pengali Lagrange
Andaikan akan dicari nilai ekstrem relatif fungsi dari dengan variabel dan
kendala kesamaan seperti berikut:
Minimumkan (2.17)
= , , … ,
dengan kendala
= , = , , … ,
Ada suatu ketentuan bahwa , hal ini dikarenakan jika > maka
persamaan tersebut tidak bias diselesaikan.
Fungsi Lagrange untuk kasus ini didefinisikan dengan memperkenalkan
pengali Lagrange � untuk setiap kendala sebagai
, , … , , � , � , … , � = + ∑ � =
, , … , .
Dengan memperlakukan sebagai sebuah fungsi + variabel
, , … , , � , � , … , � , maka syarat perlu untuk ekstrimum dari yang juga merupakan solusi masalah asal, diberikan oleh
�
�� = = , = , , … , .
Persamaan di atas melibatkan + persamaan dalam + variabel tak
diketahui dan � . Penyelesaian dari persamaan di atas adalah
