Disusun Oleh : Disusun Oleh : Debi Rianto Debi Rianto (1301683)(1301683) Desi Anriani Desi Anriani (13016610)(13016610) Elfi Susilawati Elfi Susilawati (1301672(1301672)) Wela Yulianda Wela Yulianda (1301669(1301669)) Dosen Pembimbing : Dosen Pembimbing : Hidayati, M.Si Hidayati, M.Si Rio Anshari, S.Pd, M.Si Rio Anshari, S.Pd, M.Si
JURUSAN FISIKA JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PADANG UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2015 2015
ii
Maha Esa atas segala limpahan Rahmat dan Karunia-Nyalah sehingga Penulis Maha Esa atas segala limpahan Rahmat dan Karunia-Nyalah sehingga Penulis dapat menyelesaikan makalah ini sesuai dengan jangka waktu yang telah dapat menyelesaikan makalah ini sesuai dengan jangka waktu yang telah ditentukan.
ditentukan.
Dalam makalah ini diangkat judul “
Dalam makalah ini diangkat judul “ Difraksi Difraksi Fraunhofer Fraunhofer ”. Untuk memenuhi”. Untuk memenuhi predikatnya
predikatnya sebagai sebagai makalah, makalah, tentu tentu saja saja penyajian penyajian teori teori dipaparkan dipaparkan lebih lebih detaildetail serta tetap memperhatikan bahan pustaka yang diambil sebagai sumber landasan serta tetap memperhatikan bahan pustaka yang diambil sebagai sumber landasan teori, sehingga makalah ini dapat dijadikan sebagai bahan referensi untuk teori, sehingga makalah ini dapat dijadikan sebagai bahan referensi untuk masyarakat luas.
masyarakat luas.
Penulis sadari sepenuhnya dalam penyusunan makalah ini masih terdapat Penulis sadari sepenuhnya dalam penyusunan makalah ini masih terdapat kekurangan karena keterbatasan pengetahuan yang Penulis miliki. Oleh karena kekurangan karena keterbatasan pengetahuan yang Penulis miliki. Oleh karena itu, Penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun bagi itu, Penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun bagi kesempurnaan makalah ini.
kesempurnaan makalah ini.
Akhir kata Penulis ucapkan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita Akhir kata Penulis ucapkan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amin.
semua. Amin.
Padang,
Padang, November November 20152015
Penulis Penulis
ii BAB I PENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Rumusan Masalah ... 1 C. Tujuan Penulisan ... ... 2 BAB II PEMBAHASAN ... 3 A. Difraksi Fraunhofer ... 3
B. Transformasi Fourier Melalui Sebuah Lensa ... 8
C. Gambaran Tentang Gelombang Datang ... 12
D. Difraksi Pada Celah Segiempat ... 13
E. Difraksi Pada Celah Lingkaran ... 16
F. Teorema Array ... 20
BAB III PENUTUP ... 24
A. Kesimpulan ... 24
B. Saran ... 24 DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Difraksi merupakan salah satu ciri khas dari gerak gelombang. Pada umumnya, gelombang merambat lurus pada medium homogen (serba sama), jika terhalang oleh sesuatu, gelombang akan mengalami pembelokan. Pembelokan seperti itu disebut lenturan gelombang atau difraksi. Difraksi bisa diamati apabila gelombang terdistorsi oleh perintang yang mempunyai dimensi sebanding dengan panjang gelombang tersebut. Perintang itu bisa berupa sebuah layar dengan celah kecil. Difraksi dapat juga disebut sebagai proses interferensi gelombang tertentu dengan dirinya sendiri.
Berdasarkan jumlah celah, difraksi terbagi dua yaitu difraksi pada celah tunggal dan difraksi pada celah ganda. Difraksi ditentukan oleh panjang gelombang dan besarnya penghalang atau lebar celah. Gelombang yang frekuensinya kecil dan panjang gelombangnya besar lebih mudah terdifraksi daripada gelombang dengan panjang gelombang pendek. Jika gelombang mengenai penghalang kecil, efek peristiwa difraksi tidak begitu tampak, akan tetapi jika mengenai penghalang besar, efek difraksi akan lebih tampak. Hal sebaliknya berlaku jika suatu celah dilewati oleh gelombang, jika celah lebar dilewati oleh gelombang, efek difraksi tidak tampak, jika celah sempit oleh gelombang, efek difraksi akan tampak jelas.
Berdasarkan jarak pengamatan, difraksi dibagi dua jenis, difraksi Fraunhofer dan difraksi Fresnel. Difraksi yang dihasilkan dari celah tertentu dan layar dengan geometri sederhana dalam keadaan khusus dinamakan dengan difraksi Fraunhofer. Pada difraksi ini, sinar datang dianggap sejajar, dan pola difraksi diamati pada jarak cukup jauh, sehingga sinar yang diterima secara efektif sinar terdifraksi sejajar. Dengan menggunakan sebuah lensa yang sinar terdifraksinya difokuskan dalam arah sama ke posisi sama pada layar, kondisi ini dapat disempurnakan. Pada difraksi Fresnel, sinar datang berasal dari sebuah sumber titik, atau sinar terdifraksi diamati di sebuah titik ruang tertentu. Perhitungan matematika untuk difraksi Fresnel lebih rumit daripada perhitungan untuk difraksi Fraunhofer, tetapi ide fisisnya tetap sama.
Berdasarkan latar belakang tersebut maka dapat dirumuskan rumusan masalah sebagai berikut :
1. Bagaimana bentuk difraksi fraunhofer pada celah tunggal? 2. Bagaimana tranformasi fourier melalui suatu lensa?
3. Bagaimana gambaran gelombang bidang?
4. Bagaimana difraksi oleh suatu rectangular aperture? 5. Bagaimana difraksi dari suatu circular aperture? 6. Bagaimana bentuk teorema array?
C. Tujuan Penulisan
Adapun tujuan penulisan dari makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Mengetahui bentuk difraksi fraunhofer pada celah tunggal. 2. Mengetahui tranformasi fourier melalui suatu lensa.
3. Mengetahui gambaran gelombang bidang.
4. Mengetahui difraksi oleh suatu rectangular aperture. 5. Mengetahui difraksi dari suatu circular aperture. 6. Mengetahui bentuk teorema array.
BAB II PEMBAHASAN A. Difraksi Fraunhofer
Difraksi adalah penyebaran arah gelombang karena melewati celah sempit dimana intensitas cahaya dari difraksi akan semakin berkurang disetiap titiknya. Terdapat beberapa macam difraksi salah satu diantaranya yaitu difraksi Fraunhofer.
Difraksi Fraunhofer adalah difraksi yang terjadi apabila pola dari sebuah gelombang cahaya berubah atau berbeda dengan pola asalnya setelah menabrak sebuah hambatan. Difraksi Fraunhofer terjadi apabila jarak penangkap pola interferens jauh lebih panjang daripada ukuran celah, maka sinar-sinar membentuk pola interferens itu boleh dipandang sejajar sehingga analisisnya lebih sederhana.
Untuk memperoleh persamaan yang menjelaskan diffraksi Fraunhofer, Kita asumsikan bahwa sumber berupa cahaya tak terbatas, z 1
pada gambar 1, jadi bahwa celah disinari oleh penjalaran paralel sebuah gelombang cahaya pada sumbu z. Kita akan dapat memperkirakan pernyataan, dapat pada (1) dari posisi vektor R pada gambar 10-2. Kita menghasilkan sebuah perkiraan pernyataan dari posisi vektor pada pengamatan titik Po, relativ terhadap lubang, dengan asumsi bahwa lubang berukuran kecil, relatif terhadap jarak pada titik pengamatan. Menggunakan pernyataan dan perkiraan paraxial, kita bisa merumuskan integral Huygens-Fresnel pada 2 dimensi Transformasi Fourier.Gambar 1. Lubang satu dimensi dengan lebar yang digunakan untuk membuat bentuk Fraunhofer dan Fresnel.
Pada difraksi Fraunhofer, kita memerlukan sumber cahaya dan pengamatan titik Po menjauh dari celah, jadi peristiwa dan difraksi gelombang dapat diperkirakan pada gelombang cahaya. Syarat konsekuensinya untuk mengamati difraksi adalah segala bentuk gelombang yang melewati celah. Celah sempit dipandang sebagai medan gelombang cahaya sehingga setiap bagiannya adalah sumber gelombang yang koheren. Gambar 3 memperlihatkan sebuah gelombang datar jatuh tegak lurus pada sebuah celah sempit panjang yang lebarnya . Perhatikan titik sentral 0 pada layar . Semua sinar sejajar dari celah
ke 0 memiliki panjang lintasan optik yang sama. Karena pada bidang celah
semua sinar sefase, maka ketika tiba di 0 tetap sefase dan titik sentral pola
difraksi yang tiba pada layar memiliki intensitas cahaya maksimum.
Gambar 2. Difraksi Fraunhofer
Jarak dari suatu titik pada celah untuk pengamatan titik 0 pada Gambar 3 adalah
2 2 2 2 Z y x R
(1)Dari Gambar 3, kita lihat0 adalah jarak dari pusat layar sampai titik pengamatan 0 2 2 2 2 Z R o
(2)Perbedaan antara kedua vektor adalah
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R Z x 2 x y 2 y Z R o
2 2
2 x
y
x
y
(3)Kita dapat menulis perbedaan kedua vektor adalah
R R
R R
R
R2o
2
o
o
(4)Menggunakan persamaan (4), kita dapat menulis perhitungan dari posisi titik
pada celah pada persamaan (5)
R R R R R R r o o
0 2 2
R Ro y x y x
2 2 2 1 Perbandingan (Ro + R) dapat ditulis sebagai
Ro R Ro R Ro
2
1 1 1 2 1 2 1
Ro Ro R Ro (5)Sekarang gunakan persamaan (5) hasilnya
1 2 2 2 1 2
Ro R Ro Ro y x Ro y x R Ro Jika integral difraksi memiliki nilai terbatas (tidak nol), kemudian kRo
R Ro
Persyaratan ini menyatakan bahwa seluruh gelombang Huygens, dihasilkan melebihi setengah celah dari pusat luar posisi r memiliki tingkat yang sama dan akan menghasilkan amplitudo ( A
0) pada . Persyaratan itu menghasilkanperubahan celah yang bentuknya kecil dapat ditulis sebagai berikut :
1 2 1 1 2 1 1
r Ro Ro R RoDengan membuat perkiraan, kita mendapakan integral difraksi
dxdy Ro y x Ro y x ik y x f Ro iAe ik Ro p
2 exp , 2 2 (6)Dimana adalah amplitudo gelombang cahaya yang menerangi celah.
Perubahan amplitudo pada gelombang karena perubahan sebagai perpindahan
gelombang silang pada celah diabaikan, lambang pada integral
Huygens-Fresnel digantikan menjadi dan dipindahkan keluar dari integral.
Argumen tentang eksponen pada (6) adalah
Ro y x Ro y x i Ro y x Ro y x ik 2 2 2 2 2 2 2 (7)Jika pengamatan, titik jauh dari layar, kita dapat mengabaikan rentang
waktu kedua dan menampilkan tingkat variasi bentuk jarak lintas pada celah adalah sebuah fungsi posisi linier. Persamaan ini diasumsikan bahwa difraksi gelombang adalah sebuah pengumpulan gelombang cahaya. Secara matematika, rentang waktu kedua pada persamaan (7) dapat diabaikan jika
2 2 2 2
Ro y x (8)Rentang waktu pertama pada persamaan (7) berisi aturan cosinus :
Ro L
,Ro
M
(9)Cosinus ini dapat membatasi medan jauh. Sebagai bagian ukuran dari celah layar, kita menggunakan perkiraan panjang gelombang bahwa koordinat celah dapat didefinisikan menjadi
x X
, y Y
(10)Kita dapat menulis kembali (6) dengan menggunakan perkiraan pada (8) dan didefinisikan sebagai (9) dan (10)
f
x y
i
LX MY
dXdY Ro iAe M L Ro ik p
, exp 2 , (11)Dari bentuk di atas, frekuensi ruang pada x dan y didefinisikan sebagai :
Ro kL x
2 , Ro kM y
2 (12)Dengan variabel didefinisikan pada (12), integral menjadi
f
x y
i
x y
dxdy Ro iAe y x Ro ik y x p
exp , , (13)Medan difraksi Fraunhofer
p sama dengan bentuk transformasi Fourier 2 dimensi pada fungsi transmisi celah. Untuk penyimpulan, dengan asumsi perkiraan bahwa gelombang cahaya dan pengamatan posisi pada medan yang jauh, difraksi pada celah ditemukan pada transformasi Fourier yang fungsinya melukiskan transmisi amplitudo pada celah. Akibatnya spektrum difraksi Fraunhofer terdistribusi anguler.
L M
p ,
Bahwa sama dengan spektrum frekuensi ruang pada layar difraksi. Amplitudo transmisi pada celah f(x,y) boleh jadi diterjemahkan sebagai superposisi dari
aturan diberikan oelh (L,M).
B. Transformasi Fourier Melalui Sebuah Lensa
Jika kita meletakkan sumber cahaya pada titik fokus lensa positif, maka jumlah bayangan dari sumber akan tak berhingga. bayangan tersebut berada pada titik fokus lensa. Untuk mendukung asumsi yang digunkan bahwa lensa akan menimbulkan pola difraksi Fraunhofer pada titik fokus lensa , kita akan menguji bagaimana lensa transformasi gelombang cahaya. Kita akan menjelaskan bagaimana lensa men-transformasi sebuah gelombang datang. Kita akan menunjukkan bahwa bentuk transformasi tersebut ekuivalen dengan transformasi fourier.
Gambar 4. Difraksi fraounhofer menggunakan dua lensa.
Untuk menyatakan bahwa sudut datang dari gelombang cahaya adalah pemetaan dari posisi spasial dibelakang titik fokus lensa. Pernyataan tersebut
dapat disempurnakan dengan menggunakan optik geometri. Kita akan mampu menunjukkan bahwa sebuah lensa dengan sumber berada di depan titik fokus akan menghasilkan gelombang yang merambat dan membentuk sudu dengan sumbu optik lensa.
Pada lampiran 5-A, kita akan mendefinisikan titik fokus depan dan titik fokus belakang dari lensa (5A-4) dan gambar (5A-2) sebagai bayangan dari objek yang tek berhingga. Maksudnya bahwa lensa akan menghasilkan gelombang cahaya jika sebuah sumber berada pada salah satu titik fokus lensa. Matrik ABCD dapat
untuk menentukan matrix ABCD jika sinar merambat dari depan ke belakang fokus lensa
o x f f f x 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1Dari sini, kita dapat menemukan
f xo
1 lalu, sebuah sumber diletakkan di depan titik fokus lensa, pada posisi xo diatas sumbu optikal, akan menghasilkan gelombang datang , dimana membuat sebuah sudut f xo
1 dengan sumbu optik pada bagian belakang titik fokus lensa. Pada gambar 5, kita memperlihatkan bahwa gelombang cahaya akan menjalar kebawah dengan sudut
1
disimbolkan dengan tanda negatif.
Akibat dari satu titik sumber, ditunjukkan pada gambar 5, sesuai dengan perhitungan transformasi Fourier pada Bab 6 (6-24) untuk sebuah fungsi delta. Transformasi Fourier dari fungsi delta pada daerah asal ( x)adalah konstan. Pada optik analog, fungsi delta mewakili titik sumber, yang terletak pada sumbu optik. Akibat transformasi Fourier yang dihasilkan oleh lensa, ini berhubungan dengan gelombang datang yang merambat secara paralel dengan sumbu optik. Ketika fungsi delta dipindahkan menjauhi sumbu, pergeseran transformasi Fourier (6A-5) dapat berlaku untuk hasil yang konstan dengan variasi phase ei xx. Pergeseran
dari fungsi delta ( x
xo) berhubungan dengan letak titik sumber pad sumbu pad posisi x0, gambar 5 , dan konstanta dari perubahan linier dari phase berhubungan dengan gelombang datang yang merambat dengan sudut 1
xterhadap sumbu optik.Gambar 5. Hubungan antara petunjuk dari gelombang datang dan posisi pada letak fokus cahaya.
Jika sebuah lensa ditambahkan pada dua celah percobaan Young’s untuk mengumpulkan cahaya dari dua celah, kemudian kita akan menemukan distribusi dari cahaya dibelakang titik fokus lensa yang merupakan transformasi Fourier dari distribusi cahaya pada bagian depan titik fokus lensa.
Dua celah yang terletak dibagian depan titik fokus cahaya pada lensa. Gelombang yang menyinari celah di polarisasi sepanjang sumbu y dan mermbat pada bidang x-z. Cahaya dari dua celah menutupi sebagian bagian belakang titik fokus lensa yang akan menghasilkan interferensi. Distribusi cahaya yang diberikan oleh (4-12) dengan bentuk sudut diberikan oleh (4-16). Untuk melihat hal tersebut, pertimbangan bahwa dua celah akan dibuat, pada satu dimensi, sebagai dua titik sumber. Transformasi cahaya lensa dari dua celah menjadi dua gelombang cahaya yang menyebar pada sudut 1dan dengan tanggap ke2
sumbu z. Kita dapat bentuk perbedaan antara dua gelombang cahaya sebagai
1 2
1 2
2
2
h
kz cos
cos
kx sin
sing
Dari gambar 4-6, kita mendapatkan
f h 2 1
f h 2 2
jadi bahwa f kxh f h kx h g
2 sin 2 2 2 (14)dimana sesuai dengan (4-16) jika kita menggantikan jarak antara celah dan pengamatan cahaya D dengan titik fokus cahaya suatu lensa. Kesimpulan yang
kita dapat lukiskan dari analisa ini adalah bahwa intensitas penyebaran di bagian belakang titik fokus cahaya pada lensa, dengan dua jarak celah yang sama untuk
f kxh 2 cos2Dua celah dapat dipandang sebagai gambaran dua fungsi delta
2 h x dan
2 h x Pada bab 6, transformasi Fourier N fungsi delta dihitung pada ( 6-26) dan ditunjukkan sama dengan fungsi kosinus dari N = 2. Untuk dua celah , pengamatan percobaan adalah equivalen untuk laporan matematika. Kita telah mempertunjukkan bahwa sebuah transformasi Fourier memiliki hubungan antara penyebaran amplitudo pada bagian depan titik fokus cahaya dan penyebaran amplitudo pada bagian belakang titik fokus cahaya pada lensa. Kelihatannya sesuai untuk memberikan akhir dari dua titik sumber sampai N sumber. Sebuah langkah yang lebih luas dalam alasan yang diperlukan untuk menyampaikan akibat dari penyebaran secara terus-menerus, tapi hal itu kelihatannya menjadi sebuah perluasan yagn sesuai dan pada lampiran 10-A itu akan menjadi pernyataan yang formal.
Oleh karena itu kita menyimpulkan bahwa sebuah lensa akan menghasilkan, pada bagian titik fokus cahaya, bentuk difraksi Fraunhofer dari penyebaran amplitudo di bagian depan titik fokus cahaya. (Perlu menjadi catatan bahwa lensa kedua akan menghasilkan gambar positif pada frekuensi tempat pada posisi koordinat pada bagian titik fokus cahaya dan mengubahnya menjadi negatif yang dilanjutkan dengan gelombang cahaya. Oleh karena itu, dua buah lensa melakukan dua transformasi Fourier, menghasilkan fungis asli. Perbaikan fungsi, bagaimanapun, ditampilkan pada sistem koordinat bahwa sisitem koordinat asli
Kita telah menjelaskan bahwa bentuk difraksi Fraunhofer dari sebuah celah adalah dihitung dengan menampilkan sebuah transformasi Fourier ruang pada celah fungsi penyebaran amplitudo. Kita menunjukkan bahwa titik pada Xo, di depan titik fokus datang pada lensa dalam gambar 10-3, menghasilkan sebuah gelombang datang yang menyebar pada sudut 'ke sumbu optik. Kita telah memberikan konsep ke sejumlah titik yang lebih luas, membolehkan kita untuk menyimpulkan bahwa bentuk difraksi Fraunhofer sama dengan bentuk interferensi yang dihasilkan oleh sekumpulan gelombang datang.
Karena hubungan timbal balik antara sebuah fungsi dan transformasi Fourier, kita harus mampu menampilkan gelombang datang dari bentuk difraksi seperti sebuah gambaran khusus dari sebuah celah . Dari pengamatan ini sama dengan untuk mengambil satu dari sejumlah kecil paket gelombang seperti pendistribusian frekuensi dari fungsi sinus dan cosinus (gambar 6-6 dan 6-7).
Kita dapat menegaskan bahwa celah seperti sekumpulan gelombang datang yang disalurkan melalui kelompok dari penyebaran. Pada bagian ini, kita akan menjelaskan bahwa gambaran ini mungkin untuk menampilkan pendistribusian ruang yang diperoleh dengan menggabungkan sebuah penyaluran gelombang datang. Integral akan mempunyai bentuk dari invers transformasi Fourier.
Kita lihat dalam pembahasan transformasi Fourier, gambar 6-7, bahwa sebuah gelombang terbatas dangan sementara lamanya tidak dapat menggambarkan dengan frekuensi tunggal tapi sementara diperlukan sebuah pendistribusian frekuensi. Kita sekarang menyimpulkan bahwa sebuah sinar datang yang memiliki lebar yang terbatas tidak dapat digambarkan dengan sebuah gelombang datang tunggal tapi memerlukan pendistribusian gelombang datang, disebarkan melalui arah penyebaran. Misalkan pendekatan penjalaran gelombang datang pada x,z dengan
z k x k r k
x
zPendistribusian gelombang dengan sebuah vektor gelombang antara
2 2 x x x x x dk k k dk k
Amplitudo A boleh menjadi fungsi , dimana berubah menjadi nol untk k x
Penjumlahan gelombang (Jika kita menggunakan prinsip superposisi dan menampilkan gelombang datang seperti gelombang yang koheren) adalah diberikan oleh integral dari (10-16). Maksud petunjuk dari penjumlahan gelombang adalah sepanjang arah z, tapi ditampilkan melalui sudut-sudut yang mewakili jarak dari vektor-vektor gelombang yang ditemukan dengan ketidaksamaan
k xKita akan menganggap gelombang pada t=0 untuk berpindah lamanya tergantung pada gelombang
ik x x x e dk k A x x
Ketika A
k x
0untuk nilai kx di luar jarak
, kita dapat memperluas limit untuk
x. Jika kita menggalikan integral dengan
2
1 kita telah invers
transformasi Fourier (6-14) dengan x mewakili t dan
k xmewakili . Kita telah menjelaskan bahwa pendistribusian gelombang datang menghasilkan resultan gelombang dengan diperluasnya tempat batas yang diberikan dengan invers transformasi Fourier (10-16). Akibat mendukung alasan bahwa celah dapat dilukiskan dalam jangka waktu penyaluran gelombang datang.D. Difraksi Pada Celah Segiempat
Kita sekarang akan menggunakan teori transformasi untuk menghitung bentuk difraksi Fraunhofer dari celah segiempat dan akan keluar titik yang mempunyai hubungan timbal-balik antara ukuran bentuk difraksi dan ukuran celah.
Gambar 6. Difraksi fraunhofer dengan delah segiempat
Misalkan sebuah celah yang berbentuk segiempat dengan fungsi transmisi diberikan dengan f (x,y) =
y dan x selain seluruhnya y y x x o o , 0 , , 1Karena celah adalah dua dimensi, kita perlu untuk mepergunakan transformasi Fourier dua dimensi (6-41). Fungsi transformasi amplitudo terpisah pada, x dan y, jadi kita bisa menggunakan (6-42) dan menulis pendistribusian difraksi amplitudo
dari celah segiempat seperti
x y e dx f
x y e dy f e R iA i y y y x i x x R ik o p y o x o o o
, , (17)Ketika keduanya f(x) dan f(y) ditemukan sebagai fungsi simetris, kita hanya memerlukan perhitungan transformasi cosinus (6-15a)
o y o y o x o xo R ik o o o p y y x x e R A y x i o sin sin 4
(18)Intensitas pendistribusian dari Difraksi Fraunhofer dihasilkan dari celah segiempat adalah
2 2 2 2 sin sin o y o y o x o x o p y y x x I I
(19)Gambar 7. Difraksi dari celah yang tidak terbatas. Fungsi sinus menjelaskan gelombang datang amplitudo yang akan ada pada arah x.
Dimana frekuensi ruang ditemukan seperti :
o x x R
2 sin
2 o y y R
2 sin
2Intensitas maksimum pada arah x dan y ditemukan pada x xo
yyo
0mengingat bahwa daerah dari celah segiempat ditemukan sebagai
4 xo yo, kita bisa menulis intensitas maksimum sebagaio o R A I 2 2 2 2
Fungsi terendah ditemukan ketika x xo
n atau y yo
m . Lokasi bernilai nol dapat ditetapkan sebagai suatu dimensi pada pengamatan datang atau, jika kita menggunakan perkiraan paraxial, dalam jangka waktu dari sebuah suduto o y y y m R 2 sin
Dimensi dari bentuk difraksi adalah karakteristik dari daerah nol pertama, contoh n=m=1 dan diberikan dengan Pengamatan koordinat – koordinat datang dan . Dimensi dari bentuk difraksi merupakan kebalikan dari perbandingan dimensi-dimensi celah . Seperti celah dimensi-dimensi perluasan, lebar bentuk difraksi berkurang
delta.
Gambar 7 adalah teoritis bentuk difraksi dari celah segiempat. Gambar 8 adalah percobaan yang menghasilkan bentuk difraksi Fraunhofer.
Gambar 8. Percobaan bentuk difraksi Fraunhofer dari celah segiempat.
E. Difraksi Pada Celah Lingkaran
Dari pembahasan transformasi dua dimensi pada bab 6, kita dapat secara langsung , menghasilkan bentuk difraksi dari celah yang berbentuk lingkaran diameter menggunakan transformasi (6-44). Cara kedua yang akan digunakan di sini untuk menghasilkan bentuk difraksi. Geometri silinder ditunjukkan dalam gambar 10-5 yang menggunakan Perubahan integral Huygens-Fresnel dari
Gambar 9. Geometri untuk difraksi dari lubang yang berbentuk lingkaran.
Koordinat silinder. Untuk perubahan ke system koordinat baru, kita menggunakn persamaan. Pada lubang cahaya,
cos
s x y
s
sin f(x,y) = f(s, ), dxdy = s ds d (20) Pada pengamatan cahaya,
cos ,
sin (21)Yang baru, system koordinat silinder pada pengamatn cahaya, frekuensi ruang dapat ditulis sebagai berikut
cos o o x R k R k
sin o o y R k R k
(22)Menggunakan (10-20) dan (10-22), kita dapat menulis
cos cos
sin sino y x R ks y x
cos o R ks (23)Integral Huygens-fresnel dapat sekarang ditulis pada rentang waktu pada koordinat silinder yaitu
sdsd R s ik s f e R iA o a R ik o p o
cos exp , 2 0 2 0 (24)Kita dapat menjelaskan (24) dengan menggunakannya untuk menghitung amplitudo disfraksi dari celah terang yang berdiameter a, ditemukan pada persamaan
2 , 0 , 2 , 1 , a s seluruh a s s f Gambar 10. Difraksi amplitudo dari lubang lingkaran.
Pengamatan pendistribusian cahaya yang dirancang dengan perputaran rotasi dari fungsi Bessel disekitar sumbu optik.
Permasalahan dari simetri ini adalah f
s,
f s , dimana membuat (10-24) identik dengan (6-44). Oleh karena itu kita dapat menggunakan (6-45) untuk menulis bentuk difraksi amplitudo
o R ik p R ka J k a e iA o 2 1 (10-25)Memplot fungsi dalam tanda kurung diberikan pada gambar 10-6a. Jika kita temukan
o R ka u 2
kemudian intensitas dari pendistribusian ruangan pada bentuk difraksi dapat ditulis dalam bentuk yang dikenal dalam formula Airy
2 1 2
u u J I I o (26)dimana kita telah menemukan
2
o o R A I A adalah daerah lubang2 2
a A Bentuk intensitas ditunjukkan dengan (26) dan dijelaskan pada gambar 10-6b yang disebut bentuk Airy. Intensitas pada u = 0 dalan (26) sama seperti yang dihasilkan dari lubang yang berbentuk segiempat pada daerah yang sama (19) karena dalam limit
1 2 lim 1
u u JGambar 11. Percobaan yang menghasilkan bentuk difraksi Fraunhofer dari lubang lingkaran.
Gambar 11. Perbandingan penyaluran amplitudo pada bentuk difraksi dari lubang segiempat dan lubang lingkaran.
Gambar 12. Distribusi intensitas dan distribusi medan pada difraksi fraunhofer dengan celah benebentuk lingkaran.
F. Teorema Array
Teorema array adalah teknik matematika yang bagus untuk penyampaian celah yang lebih dari satu disebut teorema array. Teorema ini adala dasar dalam integral yang sulit yang dibahas dalam bab 6 (6-35) dan kenyataannya dibuat dengan menggunakan transformasi Fourier yang sulit untuk dua fungsi yang merupakan hasil dari transformaasi Fourier fungsi tunggal. (6-38). Kita akan
membuktikan teorema untuk satu dimensi dimana fungsi-fungsi mewakili celah-celah lensa. Hasil dapat diberikan untuk dua dimensi padalam gelombang
Diasumsikan bahwa kita memiliki kumpulan celah-celah yang sama, ditunjukkan padala gambar 10-8 bagian kanan. Jika satu celah berletak pada asal celah cahaya, itu merupakan fungsi transmisi yaitu
x . Fungsi transmisi suatu celah terletak pada titik Xo dapat ditulis dalam jangka waktu yang sama ratafungsi celah
x
dengan menggunakan pemilihan fungsi delta (x - xn) =
( x
) (
x)d (10-28) Integral yang sulit akan dibolehkan aplikasi dari teorema yang sulit untuk derivasi yang lengkap dari teorema array.Celah menstransmisi fungsi diwakili celah array akan menjumlahkan pendistribusian celah individual, mewakili grafik pada gambar 10-8 dan
matematika dengan disajikan
xe i xdx x x x x
Dari (6A-3), kita dapat menulis
N
i x n o x x e x x
1Kita sekarang menggunakan kenyataan bahwa
x
xo
dapat dinyatakan dalam jangka waktu dari integral yang sulit. Transformasi Fourier dari
x
xo
adalah bentuk teorema yang sulit (6A-8) hasil transformasi Fourier dari fungsi tunggalyang merupakan tersulit.
Gambar 13. Convolution sebuah celah dengan fungsi delta akan menghasilkan celah identik,, setiap lokasi pada posisi dari satu fungsi delta.
o
n x
f x
f x
x
1
N
o
n x x f x f
1kemudian menggunakan (6A-3) menghasilkan
N n o x f x f x x 1 (28)Transformasi pertama pada (28) adalah bentuk fungsi pada celah tunggal dan transformasi kedua adalah bentuk difraksi yang dihasilkan oleh satu set titik sumber dengan persamaan pendistribusian ruang sebagai array dari celah-celah identik. Kita akan menyebutkan transformasi kedua dari fungsi array. Pada satu dimensi, fungsi array adalah fungsi yang dicari dengan teliti dari transformasi fourier yang telah dihitung. (6-28).
Disimpulkan, bahwa keadaan teorema array bentuk difraksi array serupa dengan celah , diberikan oleh hasil dari bentuk difraksi.dari celah tunggal dan bentuk difraksi (atau interferensi) dari penyaluran yang identik dengan array pada
titik sumber.
Gambar 14 adalah realisasi fisika dari teorema array. Penyaluran dalam gambar 14a adalah bentuk difraksi yang secraa acak pada celah lingkaran yang ditunjuukan pada gambar 14b. Keseluruhan dari bentuk difraksi adalah bentuk Airy yang sama dengan difraksi dari celah lingkaran yang identik. Intensitas pendistribusian dalam disk Airy adalah pendistribusian secara acak yang memilki
intensitas maksimal dan minimal. Pendistribusian bintik disebut gangguan bintik dan sama untuk interfernsi antara gelombang dari array secara acak pada celah lingkaran. Kita akan menyebutkan kembali gangguan bintik pada lampiran 10-C.
Gambar 14. Secara acak dari celah yang berbentuk lingkaran, seperti ditunjukkan dalam (a) hasil dari bentuk difraksi Fraunhofer, (b) sebagai hasil dari teorema array., bentuk keseluruhan difraksi adalah bentuk dari Airy dari celah lingkaran, sedangkan intensitas distribusi dalam disk airy adalah sama untuk interfernsi antara gelombang dari array secara acak dari celah. Bentuk intensitas bintik yang dihasilkan oleh interfernsi yang disebut gangguan bintik.
PENUTUP A. Kesimpulan
1. Dua dimensi transformasi Fourier dari fungsi transmisi celah f(x,y) dengan frekuensi ruang
2. Intensitas dari difraksi cahaya pada celah persegi
3. Intensitas dari gelombang difraksi pada celah bundar
2 1 2 2
u u J R A I o p 4. Teorema array digunakan untuk menemukan pola difraksi dari sebuah array dari celah yang sama yaitu N. Distribusi intensitas dari pola difraksi menjadi
Dimana variabel α didefinisikan sebagai
Dan a adalah dimensi x dari sebuh celah tunggal. Varibel β didefinisikan sebagai
Dimana d adalah pemisah dalam direksi x dari celah individual.
B. Saran
Melalui makalah ini penulis berharap agar tulisan ini dapat menjadi referensi bagi masyarakat dan sumber ilmu baru yang perlu dikaji lebih jauh.
0 0 2 2 R R y x
2 0 0 2 2 0 0 2 0 sin sin y y x x I I y y x x P
2 2 2 2 0 sin sin sin N I I
x ka sin 2
x kd sin 2
DAFTAR PUSTAKA
D.Guenther, Robert. 1990. Modern Optics. John Wiley and Sons, Inc : Canada E. Hechts. 2002.”Optics”.Adison wesley, 2002
