OPTIMALISASI KONTROLER PD-LQR DENGAN ALGORITMA
UPSO UNTUK MENINGKATKAN PERFORMANSI CRANE ANTI
AYUN
Muh. Chaerur Rijal1), Mochammad Rameli 2), dan Rusdhianto Efendi 3)
1) Jurusan Teknik Elektro Politeknik Negeri Ujuang Pandang, Makassar,
e-mail:ch_rijal@yahoo.co.in
2) ,3) Jurusan Teknik Elektro FTI-ITS Surabaya
ABSTRAK
Crane merupakan salah satu komponen yang penting dalam proses bongkar muat logistik
di pelabuhan. Saat crane bergerak akan terjadi ayunan beban seperti gerakan pendulum. Semakin cepat crane bergerak, ayunan yang terjadi semakin besar, menjadi tidak terkendali dan dapat membahayakan, Jika gerak crane terlalu lambat akan memperlama waktu proses pemindahan beban. Olehnya perlu suatu kontroler yang dapat mengurangi ayunan beban saat pengoperasian crane tanpa mengurangi waktu proses pemindahan beban dari satu titik ke titik lain. Kontroler yang optimal adalah kontroler yang memiliki daya tanggap yang cepat dan stabil, tetapi tidak memerlukan energi yang berlebihan. Kontroler yang optimal dapat dicapai melalui pengaturan index performance dan fitness value yang tepat. Kontroler yang umum dipakai untuk pengaturan crane adalah kontroler
Proporsional-Derivative Linear Quadratic Regulator (PD-LQR). Namun performa
kontroler PD-LQR sangat dipengaruhi oleh pemilihan matriks bobot Q dan R yang paling sesuai. Ada beberapa cara pemilihan matriks Q dan R, dimana pada penelitian ini dipakai metode algoritma cerdas Unified Particle Swarm Optimization (uPSO). Kontroler PD-LQR-uPSO ini akan dibandingkan dengan kontroler lain yang sudah diteliti sebelumnya. Ditemukan fakta bahwa pada kontroler PD-LQR-uPSO, pemilihan matriks Q diagonal lebih mempercepat proses optimalisasi dan pencapaian nilai minimum. Juga terlihat bahwa bahwa kontroler PD-LQR yang dioptimasi dengan algoritma uPSO memiliki ouput lebih baik dibanding dengan kontroler lain yang diujikan.
Kata kunci: Crane, LQR, PD-LQR, PSO, uPSO, Matriks Q, Matriks R.
PENDAHULUAN
Untuk mengurangi ayunan beban crane, dikembangkan teknik pengaturan crane anti ayun, namun hal ini akan menyebabkan waktu pergerakan crane menuju target lokasi menjadi lambat, oleh karenanya perlu dikembangkan suatu sistem pengaturan crane anti ayun yang mampu mengoptimalkan fungsi biaya, waktu kerja, persentase simpangan dan juga mampu meminimalkan error ayunan pada beban. Untuk pengaturan crane anti ayun dipilih kontroler jenis PD-LQR dengan pemilihan matriks bobot Q dan R yang diproses melalui algoritma uPSO (unified Particle Swarm Optimization) sehingga diperoleh suatu sistem crane anti ayun yang optimal.
Dengan penelitian ini diharapkan dapat meningkatkan efisiensi kerja crane dengan menyelesaikan persoalan ayunan beban (load swing) sehingga crane dapat memindahkan beban dari satu titik ketitik yang lain dengan cepat dengan membatasi sudut ayunan beban tidak lebih dari 2.5derajat (0.0436 rad). uPSO juga dapat membantu dalam pemilihan
matriks pembobot Q dan R suatu kontroler PD-LQR untuk menghasilkan kontroler yang paling optimal.
METODE PENELITIAN
Obyek penelitian menggunakan prototipe plant sistem pendulum kereta (SPK) dengan motor DC sebagai penggerak utama crane dan dilengkapi dengan rotary encoder untuk mengamati besarnya sudut ayun beban. Untuk penyederhanaan sistem, ayunan dipandang hanya terjadi pada arah maju dan mundurnya crane, sehingga ayunan ke arah menyamping tidak diperhatikan. Pada simulasi Matlab dinamika dan nonlinieritas motor penggerak diabaikan termasuk elastisitas dan massa tali. Faktor yang akan diobservasi dalam penelitian ini adalah besarnya sudut ayunan beban. Kontroler ini akan dibandingkan dengan kontroler yang sudah pernah diteliti sebelumnya semisal kontroler PD basic dan kontroler SMC-PI
Pemodelan Dinamik Crane
Suatu sistem crane sederhana dapat dimodelkan seperti gambar dibawah ini:
Gambar 1. Model crane sederhana [1]
Berdasarkan gerak crane pada bidang dua dimensi, energi kinetik dan energi potensial pada sistem crane dirumuskan dengan persamaan [1] :
) cos 2 ( 2 1 2 1 . 2 1 . 2 1 2 2 2 2 θ θ θ x l l x m x M r r m r r M W W W b b v v b v k + + + = + = + = θ cos mg mgy Wp m − = =
Dengan memakai persamaan Lagrangian[2] L = Wk - Wp, diperoleh persamaan dinamika gerak non-linear sistem orde 2 sebagai berikut[2]:
θ θ θ θ θ θ
θcos sin ) 2 cos sin
( ) (M m x ml 2 ml ml Fx = + + − + + 0 sin cos 2 + + = + θ θ θ θ l x g l
Selanjutnya turunan dari persamaan (3) dan (4) didapatkan dengan menggunakan fungsi Lagrangian, diperoleh persamaan [1]:
(1)
(2)
(3) (4)
) cos ( sin sin cos 2 2 θ θ θ θ θ m m M ml mg F x x − + + + = ) sin ( sin sin sin cos cos 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ m M l mg Mg ml Fx + − − − − = Dimana : x = posisi horizontal trolley [m]
ẋ = kecepatan trolley [m/s] θ = deviasi sudut beban [rad] θ̇ = kecepatan sudut beban [rad/s] l = panjang tali hoisting [m] M = massa troley [kg] m = massa beban [kg]
g = percepatan gravitasi [m/s2]
Dapat dibentuk dalam persamaan state-space sebagai berikut:
+ − − − − − + + + = ) sin ( sin sin sin cos cos ) cos ( sin sin cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 2 2 2 2 4 3 4 3 2 1 m M l mg Mg ml F m m M ml mg F x x x x x x x x
Untuk proses simulasi, dipilih parameter plant sebagai berikut: l = 0,3 meter
M = 1 kg m = 0,225 kg g = 9,8 m/s2
Jarak target = yref = 1 m
Dengan metode Jacobian untuk linearisasi disekitar titik (0,0) diperoleh persamaan state berikut:
Kontroler Linear Quadratic Regulator (LQR) [3]
Regulator pada suatu sistem pengaturan bertujuan untuk pengendalian perubahan state sistem pada sekitar steady state. Pada sistem kontrol optimal berdasarkan index
performance (J) kuadratis, index performance dapat dihitung dengan persamaan : (t)R]dt u + (t)Qx(t) x [ 2 1 )] )Sx(t (t [x 2 1 = J(t) T a a + ∫ T 2
Sebuah LQR standar dapat digunakan untuk pengaturan input step tracking/command tracking. Kelemahan dari LQR tipe 0 ini yaitu bahwa error steady state tidak persis mencapai nol tapi masih dalam nilai yang dapat diterima.
− = = 333 . 3 1 0 0 0 0 40.0167 -0 0 0 205 . 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 B A (5) (7) (8) (9) (6)
Gambar 2. LQR command tracking type 0 Untuk kontroler LQR command tracking berlaku:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t Hx t z t Fr t Cx t y t Bu t Ax t x = + = + =
Untuk solusi kontrol optimal u(t) dapat ditulis sebagai: y(t)
K t u*( )= *.
dengan gain Kdidefinisikansebagai: S(t)
B R K = −1 T
Solusi persamaan Riccati, S(t) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan: S(t) B S(t)BR Q S(t)+S(t)A (t) = A S T + . 1 T
Sehingga diperoleh persamaan state close loop system untuk Gambar 2 adalah sebagai berikut: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t Hx t z t u BKF t x BKC A t x = − + − =
Pemilihan Matriks Pembobot Q dan R [4]
Nilai dari matriks pembobot Q dan R akan menentukan hasil dari persamaan Riccati, dan akan berpengaruh pada keseluruhan performansi sistem suatu kontroler LQR. Beberapa cara yang dapat digunakan dalam pemilihan matriks pembobot Q dan R adalah : a. Dengan memilih matriks Q = I dan R = ρI , memenuhi persamaan L = ║x║2 +ρ║u║2 b. Dengan memilih matriks Q dan R berupa matriks diagonal.
c. Dengan menggunakan bobot output z, dimana z = Hx, maka Q = HT.H dan R = ρI.
d. Dengan metode trial and error (TEM) hingga diperoleh respon yang memuaskan. e. Dengan algoritma cerdas semisal uPSO, GA, dan lainnya
Unified Particle Swarm Optimization (uPSO)[5]
UPSO merupakan salah satu algortima cerdas yang merupakan pengembangan algortima Particle Swarm Optimization (PSO). Dalam uPSO populasi disebut dengan
swarm dan individu disebut dengan particle. Adapun prosedur algoritma uPSO adalah:
1. Inisialisasi secara acak komponen matriks Q dan R dalam bentuk matriks swarm (partikel) dimensi x jumlah partikel, beserta dengan matriks kecepatan swarm masing-masing.
2. Dapatkan solusi persamaan Riccati untuk masing-masing partikel komponen matriks
Q dan R tersebut dengan menggunakan persamaan:
0 1 = − + − S(t) B S(t)BR Q S(t)+S(t)A AT T (10) (11) (12) (13) (14) (15)
dan hitung nilai gain feedback K =−R−1BTS(t)
3. Simulasikan respon sistem x = (A - BK)xuntuk tiap-tiap pasangan Q dan R yang bersesuaian.
4. Hitung nilai fitnes (fitness value) output dari sistem untuk tiap-tiap pasangan Q dan R tersebut.
5. Tentukan partikel dengan nilai fitnes terbaik dari tiap-tiap partikel Q dan R yang ada. Dimana akan dicari 3 nilai terbaik untuk tiap iterasi yaitu terbaik global (gbest), terbaik lokal (lbest), dan terbaik ketetanggaan (nbest)
6. Update kecepatan partikel dengan menggunakan persamaan:
𝒢𝒢𝒢𝒢(𝑡𝑡 + 1) = 𝜒𝜒�𝒱𝒱𝒢𝒢(𝑡𝑡) + 𝑐𝑐1𝑟𝑟1�𝑃𝑃𝒢𝒢(𝑡𝑡) − 𝑋𝑋𝒢𝒢(𝑡𝑡)� + 𝑐𝑐2𝑟𝑟2�𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑡𝑡) − 𝑋𝑋𝒢𝒢(𝑡𝑡)�� ℒ𝒢𝒢(𝑡𝑡 + 1) = 𝜒𝜒�𝒱𝒱𝒢𝒢(𝑡𝑡) + 𝑐𝑐1𝑟𝑟′1�𝑃𝑃𝒢𝒢(𝑡𝑡) − 𝑋𝑋𝒢𝒢(𝑡𝑡)� + 𝑐𝑐2𝑟𝑟′2�𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑡𝑡) − 𝑋𝑋𝒢𝒢(𝑡𝑡)�� 𝒱𝒱𝒢𝒢(𝑡𝑡 + 1) = 𝑢𝑢𝒢𝒢𝒢𝒢(𝑡𝑡 + 1) + (1 − 𝑢𝑢)ℒ𝒢𝒢(𝑡𝑡 + 1), 𝑢𝑢 ∈ [0,1]
7. Update kecepatan partikel dengan menggunakan persamaan: 𝑋𝑋𝒢𝒢(𝑡𝑡 + 1) = 𝑋𝑋𝒢𝒢(𝑡𝑡) + 𝒱𝒱𝒢𝒢(𝑡𝑡 + 1)
8. Ulangi prosedur dimulai dari point 2 hingga terakhir sampai diperoleh nilai fitnes minimum yang diinginkan atau jumlah maksimum iterasi sudah terpenuhi.
Adapun flowchart proses tuning PD-LQR dengan metode uPSO seperti tampak pada gambar dibawah ini:
Gambar 3. Flowchart PD-LQR optimasi uPSO Penentuan Nilai Fitness (Fitness value) dan syarat batas
Kontrol optimal berkaitan dengan masalah menemukan hukum kontrol untuk system tertentu dengan pencapaian kriteria optimalitas. Kondisi ini dicapai dengan memperhatikan kondisi dan kendala dari suatu sistem sehingga perlu didefinisikan rumusan nilai fitnes yang sesuai.
Adapun beberapa parameter yang ingin dioptimalkan pada penelitian ini adalah: 1. Time settling (Ts), semakin kecil nilainya semakin baik.
2. Ayunan beban maksimum (Swing), dengan batasan maksimum kurang dari 2.5 derajat. 3. Indeks performance (J), semakin kecil semakin baik.
4. Persentase over shoot (%OS) dimana jika melebihi batas 4% akan ditolak. 5. Error stady state (ESS), dibatasi tidak melebihi 0.02 dari nilai referensi.
(16)
Kelima parameter ini akan membentuk persamaan fitnees dengan:
𝐹𝐹𝒢𝒢𝑡𝑡𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = �𝜔𝜔1. 𝑇𝑇𝐹𝐹 + 𝜔𝜔2. 𝑆𝑆𝑆𝑆𝒢𝒢𝐹𝐹𝑃𝑃 + 𝜔𝜔3. 𝐽𝐽𝐽𝐽 + 𝜔𝜔4. %𝑂𝑂𝑆𝑆 + 𝜔𝜔5. 𝐸𝐸𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑄𝑄 ≥ 0300, 𝑄𝑄 < 0 dimana: 𝜔𝜔1+𝜔𝜔2+𝜔𝜔3+𝜔𝜔4+𝜔𝜔5
100 = 100%
Untuk penelitian ini dipilih nilai bobot ω1=ω3=ω4=20%, ω2=30%, dan ω5=10% Perancangan dan Simulasi Sistem
Dalam membentuk kontroler PD-LQR yang dioptimalkan dengan uPSO, diperlukan nilai
Q dan R yang optimal sehingga dihasilkan nilai gain K yang optimal. Untuk proses pencarian
(tuning) bobot matriks Q dan R optimal ini dibuat suatu aplikasi dengan memakai software Matlab. Adapun blok simulink aplikasinya seperti gambar dibawah ini.
Gambar 4. Blok Matlab/simulink sistem kontrol PD-LQR optimasi uPSO HASIL DAN PEMBAHASAN
Proses tuning matriks Q dan R dengan uPSO
Untuk pemilihan matriks Q type diagonal, nilai awal matriks Q yang dibangkitkan secara acak telah memenuhi syarat utama berupa matriks Q positif semidefinit, oleh karenanya pada saat iterasi ke-1, nilai fitness mula-mula adalah 10.95. Nilai fitness ini akan terus berkurang dimana pada saat iterasi ke-4 diperoleh nilai fitnes sebesar 4.925.
Adapun progres pencapaian nilai optimal dapat dilihat pada grafik dibawah ini.
Gambar 5. Progres pencapaian nilai fitness matriks Q diagonal kontroler PD-LQR
Pada iterasi ke-10 nilai fitness mencapai 3.89. Pada iterasi ke-20 nilai fitness semakin menurun menjadi sebesar 1.943. Pada iterasi ke-50 turun menjadi 1,59 dan nilai fitness ini mulai stabil dikisaran 1,487 dimulai sejak. iterasi ke-100 hingga iterasi ke-200.
Dapat dilihat pula proses sebaran swarm menuju daerah Q dan R yang optimal, dimana terlihat pada saat iterasi ke-10, terdapat sekitar 18 swarm yang belum memenuhi syarat batasan kriteria output sistem, namun mulai iterasi ke-65 hingga iterasi ke-200, semua partikel tampak berkumpul pada daerah yang sama dan telah memenuhi syarat batasan kriteria output yang diharapkan
Gambar 6. Sebaran swarm matriks Q dan R kontroler PD-LQR optimasi uPSO Dari hasil proses optimasi ini diperoleh nilai matriks Q dan R sebagai berikut:
𝑄𝑄𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = � 0.0695 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1029 0 0 0 0 8.5636 � dan 𝑅𝑅𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = [0.0001]
Dengan menyelesaikan persamaan Riccati untuk perhitungan LQR, diperoleh besarnya gain
K:
𝐾𝐾 = [26.3713 − 587.6922 65.2415 − 273.8326] Dan diperoleh output sistem seperti gambar dibawah ini:
Gambar 7. Output sistem kontroler crane PD-LQR optimasi uPSO
Sehingga dapat dibuatkan tabel perbandingan karakteristik respon output untuk tiap-tiap kontroler berikut ini:
Tabel 1. Perbandingan karakteristik respon tiap-tiap kontroler
Karakteristik respon PD basic SMC-PI PD-LQR-uPSO PD-LQR-TEM
Ts 8.2861 12.8000 4.9933 12.3000
ess 0.0019 0.0022 0.0023 0.0173
%OS 7.2564 0 0.1071 4.5144
Maksimum ayunan 2.0390 3.4440 1.5661 0.9359
Integral Square Error 1.9302 2.3230 2.0668 2.5872
RMS energy drive 0.1374 0.1415 0.1299 0.1977
KESIMPULAN
Dari penelitian yang dilakukan, terlihat bahwa kontroler PD-LQR yang dioptimalisasi dengan algoritma uPSO memiliki respon yang lebih baik dibandingkan kontroler lain yang pernah diteliti sebelumnya. Selain itu dalam implementasi realnya juga relatif lebih sederhana. Untuk besar sudut ayunan beban kontroler LQR dengan TEM masih lebih kecil dibanding kontroler PD-LQR dengan uPSO, namun untuk kontroler PD-PD-LQR-TEM memiliki persen overshoot maksimum yang tidak memenuhi batas persyaratan output sebesar 4%.
DAFTAR PUSTAKA
Raubar, Edvin dan Vrancic, Damir. (2012). Anti-Sway System for Ship-to-Shore Cranes,
Journal of Mechanical Engineering, Vol58.
Ahmad, M.A. (2009). Sway Reduction on Gantry Crane System using Delayed Feedback Signal and PD-type Fuzzy Logic Controller: A Comparative Assessment,Word
Academy of Science, Engineering and Technology, Vol26.
Lewis, Frank L. (1986). Optimal Control, John-Wiley, New Jersey.
Murray,R.M. (2006). Control and Dynamical Systems, CALIFORNIA INSTITUTE OF TECHNOLOGY.
Parsopoulos., K.E danVrahatis.,M.N. (2007). Parameter selection and adaptation in Unified Particle Swarm Optimization,Mathematical and Computer Modelling, Vol. 46, pp.
