DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

(1)

Masalah Path Terpendek (The Shortest Path

Problem)

Masalah path terpendek merupakan kasus khusus dalam masalah network flow biaya minimum. Didefinisikan panjang untuk sembarang path berarah dalam suatu network

sebagai jumlah biaya semua sisi berarah dalam

path tersebut. Dalam masalah ini akan dicari

suatu path terpendek, yakni path berarah dari suatu simpul asal ke simpul tujuan dengan

panjang terkecil.

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

Suatu perusahaan yang memproduksi pulp harus mengirimkan beberapa produknya pada para pelanggan yang ada di dalam negeri maupun diekspor ke luar negeri. Pengiriman dalam negeri dapat dilakukan dengan menggunakan truk atau kereta, dan pengiriman ke luar negeri dapat dilakukan dengan kapal pengangkut (shipping vessels) ke terminal-terminal dan dilanjutkan dengan truk atau kereta sampai kepada para pelanggan. Terdapat dua jenis terminal, yaitu terminal pelabuhan dan terminal inland. Terminal

inland adalah suatu terminal berukuran lebih

kecil daripada terminal pelabuhan dan terdapat di pesisir sungai. Terminal inland dapat dicapai dari terminal pelabuhan dengan menggunakan kapal yang berukuran lebih kecil daripada kapal pengangkut, truk, atau kereta. Setelah menurunkan semua muatan di terminal pelabuhan, kapal yang telah kosong tersebut diharuskan kembali ke pabrik untuk pengiriman produk selanjutnya.

Pengiriman produk dari pabrik ke pelanggan membutuhkan biaya yang besar, dan besarnya biaya tersebut dipengaruhi oleh jarak yang ditempuh dari pabrik pulp

(pulpmill) ke pelanggan, baik dalam negeri

maupun luar negeri. Selain itu, terdapat pula biaya tetap untuk penggunaan terminal, kereta, truk, dan kapal. Setiap produk yang masuk ke terminal dikenai biaya cukai per tonnya.

Rute pengiriman dari pabrik ke terminal-terminal ditunjukkan oleh Gambar 9. Terdapat dua tipe rute, yaitu rute sederhana yang ditunjukkan dengan rute-A dan rute gabungan yang ditunjukkan dengan rute-B. Rute-A dimulai dari satu pabrik pulp dan menuju satu terminal untuk pembongkaran. Sedangkan untuk pemuatan rute-B dimulai dari satu pabrik pulp dan berkunjung ke satu atau beberapa pabrik pulp atau terminal dan berakhir pada satu terminal. Beberapa contoh rute ditunjukkan pada Tabel 1.

(2)

B rijp

x

=

Tabel 1 Contoh-contoh rute

Rute Tipe rute Pabrik-Terminal Pabrik-Terminal-Terminal Pabrik-Pabrik-Terminal Pabrik-Pabrik-Terminal-Terminal Rute-A Rute-B Rute-B Rute-B

Rencana bulanan dari pemakaian rute dan terminal memerlukan beberapa jenis keputusan. Dengan mempertimbangkan rute yang ada, para perencana harus menentukan terminal mana yang digunakan, dan seberapa banyak (seberapa besar) biaya yang akan dikeluarkan untuk setiap terminal. Perencana pun harus memutuskan rute-A dan rute-B mana yang harus digunakan untuk mengirimkan produk-produk pada para pelanggan sehingga biaya pengiriman minimum.

Formulasi Masalah

Rute-A dimulai dari satu pabrik pulp langsung ke terminal akhir. Pelayaran yang menggunakan rute-A selalu bermuatan penuh. Tetapi permintaan pelanggan sangat beragam, tidak selalu merupakan kelipatan dari kapasitas kapal pengangkut (shipping vessels). Tidak ada kemungkinan untuk menyimpan produk di terminal atau di suatu gudang tertentu. Hal tersebut dikarenakan pihak produksi hanya memproduksi sesuai permintaan pelanggan, dan dikhawatirkan apabila produk terlalu lama disimpan akan mengurangi kualitas produk.

Untuk permintaan yang tidak dapat dipenuhi oleh rute-A digunakanlah rute-B. Rute-B mengunjungi beberapa tempat terlebih dahulu sebelum sampai pada tujuan akhir, sehingga membutuhkan waktu lebih lama dan biaya yang lebih besar daripada Rute-A.

Kereta yang digunakan sebagai alat transportasi pada pengiriman lokal, antarterminal, dan pengiriman asing selalu bermuatan penuh sesuai kapasitas kereta. Kapal yang digunakan untuk pengiriman antarterminal pun selalu bermuatan penuh. Untuk pengiriman yang tidak dapat dipenuhi oleh kereta dan kapal, dapat dipenuhi dengan truk. Semakin banyak jumlah kereta, truk, dan kapal yang digunakan, semakin besar pula biaya sewa yang dikeluarkan oleh perusahaan. Karena itu, jumlah kereta, truk, dan kapal yang digunakan harus minimum. Diasumsikan bahwa kereta, truk, dan kapal disewa hanya untuk sekali pengiriman, tidak harus kembali ke daerah asal.

Model Matematika

Model matematika dari masalah penentuan lokasi terminal dan rute kapal adalah model

mixed integer programming (MIP). Model

dideskripsikan dengan memasukkan himpunan yang diperlukan. Misalkan I menyatakan himpunan pabrik pulp, J himpunan terminal pelabuhan, K himpunan terminal inland, P himpunan produk, Q himpunan pelanggan _A

lokal, Q himpunan pelanggan asing, R _B

himpunan rute, I_R himpunan pabrik pulp yang termasuk himpunan bagian dari pabrik pulp pada rute ke

r

, J_R himpunan terminal pelabuhan pada rute ke r. Secara umum, digunakan indeks i untuk pabrik-pabrik pulp,

j untuk terminal-terminal pelabuhan, k untuk

terminal inland, r untuk rute-rute, p untuk produk-produk, q untuk pelanggan.

Variabel keputusan dari masalah ini adalah:

Flow produk ppada rute-A ke r dari pabrik pulp i ke terminal pelabuhan j,

Flow produk ppada rute-B ke r dari pabrik pulp i ke terminal pelabuhan j,

Semua rute berakhir di terminal pelabuhan. Untuk memodelkan batasan waktu pada rute-A dan rute-B, diperlukan variabel yang menggambarkan flow/arus balik pada rute-rute dari terminal pelabuhan kembali ke pabrik.

Flow tersebut tidak memuat produk apapun.

Flow/arus balik dari terminal pelabuhan j ke pabrik pulp i,

Variabel yang berkaitan dengan pengiriman produk dari pabrik ke pelanggan lokal dengan menggunakan kereta dan truk didefinisikan sebagai:

Flow produk p dari pabrik pulp i ke pelanggan lokal q

dengan menggunakan kereta,

Flow produk p dari pabrik pulp i ke pelanggan lokal q

dengan menggunakan truk. Variabel pada terminal-terminal dapat didefinisikan sebagai:

Total flow produk-produk pada terminal pelabuhan j,

Total flow produk-produk pada terminal inland k.

R ji

x

= lokal - kereta iqp

y

=

lokal - truk iqp

y

=

term j

y

=

inland k

y

=

A rijp

x

=

(3)

Variabel terkait pengiriman produk dari terminal pelabuhan dan terminal inland ke pelanggan asing dengan menggunakan kereta dan truk dapat didefinisikan sebagai:

Flow produk p dari terminal

pelabuhan j ke pelanggan asing q dengan menggunakan kereta,

pelabuhan j ke pelanggan asing q dengan menggunakan truk,

Flow produk p dari terminal inland k ke pelanggan asing q

dengan menggunakan kereta,

Flow produk p dari terminal inland k ke pelanggan asing q

dengan menggunakan truk.

Variabel terkait pengiriman produk dari terminal pelabuhan ke terminal inland dengan menggunakan kereta, truk, dan kapal dapat didefinisikan sebagai:

.

pelabuhan j ke terminal inland k dengan menggunakan kereta,

pelabuhan j ke terminal inland k dengan menggunakan truk,

pelabuhan j ke terminal inland k dengan menggunakan kapal.

Diperlukan juga himpunan variabel biner dalam formulasi model. Himpunan variabel mengenai rute-rute dapat ditunjukkan sebagai:

1, jika rute A yang ke digunakan 0, selainnya A r r

u

=







1, jika rute B yang ke digunakan 0, selainnya B r r

u

=







Himpunan variabel-variabel yang berkaitan dengan penggunaan terminal didefinisikan sebagai:

1, jika terminal pelabuhan digunakan 0, selainnya term j j

z

=







1, jika terminal digunakan 0, selainnya inland k inland k

z

=







Tujuan utama dari penentuan lokasi terminal dan rute kapal adalah menentukan terminal dan rute mana yang digunakan oleh perusahaan tersebut agar biaya pengiriman minimum, maka fungsi objektif dari permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai berikut:

Min

routes lokal J -K asing

return flow fix-term rent-kereta rent-truk rent-kapal voy

z

C

=

+

dengan

biaya pengangkutan produk pada rute-rute,

biaya pengangkutan produk dari pabrik pulp ke pelanggan lokal, biaya pengangkutan produk dari terminal pelabuhan ke terminal

inland,

biaya pengangkutan produk dari terminal pelabuhan dan terminal

inland ke pelanggan asing,

biaya rute balik dari terminal pelabuhan ke pabrik pulp,

biaya cukai produk per ton pada terminal,

biaya tetap terminal,

biaya sewa kereta, biaya sewa truk,

biaya sewa kapal, dan

biaya pelayaran untuk rute-rute, baik rute-A maupun rute-B.

Misalkan

c

_rijpA adalah biaya pengangkutan produk p per ton dari pabrik pulp i sampai terminal pelabuhan j untuk rute-A ke r, dan

B rijp

c

adalah biaya pengangkutan produk p per ton dari pabrik pulp i sampai terminal pelabuhan j untuk rute-B ke r. Total biaya pengangkutan untuk rute-rute dapat diformulasikan sebagai

A r r B r r A A rijp rijp r R i I j J p P B B rijp rijp r R i I j J p P routes

C

x c

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

=

+

∑ ∑∑ ∑

=

asing

C

=

lokal

C

=

J-K

C

=

return

C

=

flow

C

=

fix-term

C

=

routes

C

=

voy

C

asing -kereta jqp

y

=

asing -truk jqp

y

=

asing -kereta kqp

y

=

asing -truk kqp

y

=

JK -kereta jkp

y

=

JK -kapal jkp

y

=

JK -truk jkp

y

=

rent-kereta

C

=

rent-truk

C

=

rent-kapal

C

(4)

Misalkan

c

_iqplokal -kereta adalah biaya pengiriman produk p per ton dari pabrik pulp i ke pelanggan lokal q yang menggunakan kereta, dan

c

_iqplokal -truk adalah biaya pengiriman produk p per ton dari pabrik pulp i ke pelanggan lokal q yang menggunakan truk. Total biaya pengiriman antara pabrik pulp dan pelanggan domestik dapat diformulasikan sebagai

A A lokal-kereta lokal-kereta iqp iqp i I q Q p P lokal-truk lokal-truk iqp iqp i I q Q p P lokal

C

y

c

y

c

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

=

∑ ∑ ∑

+

∑ ∑ ∑

Misalkan

c

JK -kereta_jkp adalah biaya pengangkutan produk p per ton dari terminal pelabuhan j ke terminal inland k dengan menggunakan kereta,

c

JK -truk_jkp adalah biaya pengangkutan produk p per ton dari terminal pelabuhan j ke terminal inland k dengan menggunakan truk, dan

c

JK -kapal_jkp adalah biaya pengangkutan produk p per ton dari terminal pelabuhan j ke terminal inland k dengan menggunakan kapal. Biaya pengangkutan produk antarterminal dapat diformulasikan sebagai

JK -kereta JK -kereta jkp jkp j J k K p P JK -truk JK -truk jkp jkp j J k K p P JK -kapal JK -kapal jkp jkp j J k K p P J-K

C

y

c

y

c

y

c

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

=

+

∑∑∑

Misalkan

c

asing -kereta_jqp biaya pengangkutan produk p per ton dari terminal pelabuhan j ke pelanggan asing q dengan menggunakan kereta,

c

asing -truk_jqp biaya pengangkutan produk

p per ton dari terminal pelabuhan j ke pelanggan asing q dengan menggunakan truk,

c

biaya pengangkutan produk p per ton dari terminal inland k ke pelanggan asing q dengan menggunakan kereta, dan

c

_kqpasing -truk

biaya pengangkutan produk p per ton dari terminal inland k ke pelanggan asing q dengan

menggunakan truk. Biaya total pengangkutan antara terminal pelabuhan dan terminal inland ke pelanggan asing dapat diformulasikan sebagai

B B B B asing-kereta asing-kereta jqp jqp j J q Q p P asing-truk asing-truk jqp jqp j J q Q p P asing-kereta asing-kereta kqp kqp k K q Q p P asing-truk kqp q Q p P asing

C

y

c

y

c

y

c

y

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

=

+

∑ ∑ ∑

∑ ∑

asing-truk kqp k K

c

∈

∑

Misalkan

c

R_ji biaya untuk flow balik dari terminal pelabuhan j ke pabrik pulp i . Formulasi dari biaya total flow balik tersebut adalah R R ji ji j J i I return

C

x c

∈ ∈

=

∑∑

Misalkan

c

pel_j adalah biaya cukai produk per ton pada terminal pelabuhan j , dan misalkan

c

_kind biaya cukai produk per ton pada terminal inland

k

. Misalkan pula f_jpel

adalah biaya tetap pada terminal pelabuhan j , dan f_kindadalah biaya tetap terminal inland

k

. Total biaya flow dan total biaya tetap terminal dapat diformulasikan sebagai

pel pel ind ind

j j k k j J k K flow

C

y c

∈ ∈

=

∑

+

∑

pel pel ind ind

j j k k j J k K fix-term

C

f

z

f

z

∈ ∈

=

_∑

+

_∑

Misalkan f_iqplokal -kereta dan

w

_iqplokal -kereta

berturut-turut menyatakan biaya sewa dan banyaknya kereta yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari pabrik i ke pelanggan lokal q, f_jkpJK -kereta dan

w

JK -kereta_jkp

berturut-turut menyatakan biaya sewa dan banyaknya kereta yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal pelabuhan j ke terminal inland k, f_jqpasing -kereta

dan

w

asing -kereta_jqp berturut-turut menyatakan biaya sewa dan banyaknya kereta yang

(5)

digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal pelabuhan j ke pelanggan asing q,

f dan

w

_kqpasing -kereta berturut-turut

menyatakan biaya sewa dan banyaknya kereta yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal inland k ke pelanggan asing q. Total biaya sewa kereta dapat diformulasikan sebagai

A B lokal-kereta lokal-kereta iqp iqp i I q Q p P JK-kereta JK-kereta jkp jkp j J k K p P asing-kereta asing-kereta jqp jqp j J q Q p P rent-kereta

C

f

w

f

w

f

w

f

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

=

+

∑∑ ∑

∑∑∑

∑∑ ∑

B asing-kereta asing-kereta kqp kqp k K q Q p P

w

∈ ∈ ∈

∑ ∑ ∑

Misalkan f_iqplokal -truk dan

w

_iqplokal -truk

berturut-turut menyatakan biaya sewa dan banyaknya truk yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari pabrik i ke pelanggan lokal q, f_jkpJK -truk dan

w

JK -truk_jkp

berturut-turut menyatakan biaya sewa dan banyaknya truk yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal pelabuhan j ke terminal inland k, f_jqpasing -truk

dan

w

asing -truk_jqp berturut-turut menyatakan biaya sewa dan banyaknya truk yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal pelabuhan j ke pelanggan asing q,

asing -truk kqp

f dan

w

_kqpasing -truk berturut-turut

menyatakan biaya sewa dan banyaknya truk yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal inland k ke pelanggan asing q. Total biaya sewa truk dapat diformulasikan sebagai

A B lokal-truk lokal-truk iqp iqp i I q Q p P JK-truk JK-truk jkp jkp j J k K p P asing-truk asing-truk jqp jqp j J q Q p P asing-truk kqp p P rent-truk

C

f

w

f

w

f

w

f

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

=

+

∑∑ ∑

∑∑∑

∑∑ ∑

∑

B asing-truk kqp k K q Q

w

∈ ∈

∑ ∑

Misalkan f_jkpJK -kapal dan

w

JK -kapal_jkp

berturut-turut menyatakan biaya sewa dan banyaknya kapal yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal pelabuhan j ke terminal inland k, Total biaya sewa kapal dapat diformulasikan sebagai

JK-kapal JK-kapal jkp jkp j J k K p P rent-kapal

C

f

w

∈ ∈ ∈

=

∑∑∑

Misalkan

c

_rvA adalah biaya pelayaran untuk rute-A dan

c

vB_r biaya pelayaran untuk rute-B. Misalkan

v

_rA adalah banyaknya pelayaran pada rute-A dan

v

_rB adalah banyaknya pelayaran pada rute-B. Biaya total pelayaran untuk rute-rute dapat diformulasikan sebagai A B A vA B vB r r r r r R r R voy

C

v c

∈ ∈

=

∑

+

∑

dengan kendala-kendala sebagai berikut: 1. Misalkan

s

_ip adalah supply produk p

yang terdapat di pabrik pulp i . Untuk memastikan bahwa flow produk yang keluar dari pabrik pulp tidak melebihi

supply, diformulasikan kendala sebagai

berikut ,

,

A r B r A A A B rijp rijp r R j J r R j J lokal-kereta lokal-truk iqp iqp ip q Q q Q i I p P

x

y

s

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈

+

≤

∑ ∑

∑

2. Kendala keseimbangan flow untuk terminal pelabuhan dapat ditunjukkan sebagai , .

,

A r B r A A A B rijp rijp r R i I r R i I JK -kereta JK -truk jkp jkp k K k K JK -kapal asing-kereta jkp jqp k K q Q asing-truk jqp q Q j J p P

x

y

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈

+

=

+

∑ ∑

∑

(6)

Kendala ini memastikan bahwa flow dari setiap produk yang masuk ke terminal pelabuhan sama dengan flow yang keluar dari terminal pelabuhan.

3. Total flow produk-produk yang masuk ke terminal pelabuhan menjadi

. A r B r A B pel rijp rijp j r R i I p P r R i I p P j J

x

y

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∀ ∈

+

=

∑ ∑∑

Kendala (3) memastikan bahwa total flow produk-produk yang masuk ke terminal pelabuhan sama dengan total flow produk pada rute-A dan rute-B.

4. Flow yang keluar dari terminal pelabuhan dapat diangkut ke terminal

inland atau langsung kepada pelanggan.

Kendala keseimbangan flow untuk terminal inland menjadi

, .

,

B B

JK -kereta JK -truk JK -kapal

jkp jkp jkp j J j J j J asing-kereta asing-truk kqp kqp q Q q Q k K p P

y

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈

+

=

+

∑

Kendala (4) membuat total flow dari setiap produk ke setiap terminal inland sama dengan total flow dari tiap produk yang berasal dari terminal inland kepada para pelanggan asing.

5. Total flow dari produk-produk yang masuk ke sebuah terminal inland menjadi

+

,

ind JK-kereta JK-truk

k jkp jkp j J p P j J p P JK-kapal jkp j J p P k K

y

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∀ ∈

=

∑∑

+

∑∑

Kendala (5) memastikan bahwa seluruh

flow produk yang tersalurkan dari

terminal pelabuhan ke sebuah terminal

inland sama dengan total flow pada

terminal inland.

6. Misalkan kapasitas terminal pelabuhan

j ditunjukkan oleh b_j dan kapasitas terminal inland k ditunjukkan oleh b_k. Kendala kapasitas pada terminal pelabuhan dan inland dapat diformulasikan sebagai

,

pel j j ind k k pel j ind k j J k K

b z

y

∀ ∈ ∀ ∈

≤

Kendala (6) juga memastikan bahwa tidak ada yang dapat disalurkan dari atau ke terminal yang tidak dibuka ( pel

0

j

z

=

atau ind

0

k

z

=

).

7. Harus ditunjukkan kendala yang memastikan bahwa permintaan para pelanggan terpenuhi. Misalkan permintaan produk p dari pelanggan lokal q dinyatakan oleh d_qpA dan permintaan produk p dari pelanggan asing q dinyatakan oleh d_qpB . Kendala yang memastikan bahwa permintaan para pelanggan terpenuhi diformulasikan sebagai

,

A B lokal-kereta lokal-truk A iqp iqp qp i I i I asing-kereta asing-truk jqp jqp j J j J asing-kereta asing-truk B kqp kqp qp k K k K Q Q q p P q p P

d

y

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈

+

=

+

=

∑

8. Misalkan T menunjukkan total waktu (dalam contoh kasus ini per bulan), s menunjukkan kapasitas total dari setiap kapal pengangkut, dan m menunjukkan banyaknya kapal yang tersedia di pabrik. Selanjutnya, misalkan

t

_rA menunjukkan waktu yang terpakai (dalam hari) untuk rute-A yang ke r dan misalkan

t

_rB menunjukkan waktu yang digunakan untuk rute-B yang ke r. Waktu yang digunakan untuk kembali ke pabrik pulp

i dari terminal j dinyatakan oleh

t

R_ji. Untuk memastikan bahwa batas waktunya tidak terlewati diformulasikan sebagai A r r B r r A A R R r rijp ji ji r R i I j J p P j J i I B B r rijp r R i I j J p P

T s m

t x

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ × ×

+

≤

∑ ∑∑ ∑

∑∑

∑ ∑∑ ∑

(7)

9. Kendala keseimbangan rute diformulasikan sebagai

,

A r B r A B rijp rijp r R j J p P r R j J p P R ji j J

x

i

I

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

+

=

∀ ∈

∑ ∑ ∑

∑

Kendala (9) memastikan bahwa flow yang keluar dari pabrik pulp sama dengan flow yang kembali ke pabrik pulp yang sama.

10. Untuk menjamin bahwa tidak ada yang ditransportasikan pada rute-A dan rute-B yang tidak terpilih, diperlukan kendala

,

A B r r r r A A rijp r i I j J p P B B rijp r i I j J p P M r R M r R

x

u

x

u

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

≤

∑∑ ∑

Konstanta M adalah angka yang relatif besar dan dalam kasus ini digunakan

M=100000. Bila variabel biner untuk rute

adalah nol, sisi kanan pada kendala menjadi nol, dan tidak ada kemungkinan untuk menggunakan variabel flow yang berkaitan pada rute.

11. Misalkan

v

_rAdan

v

_rB menotasikan banyaknya pelayaran pada rute-A dan rute-B. Untuk mendapatkan banyaknya pelayaran pada setiap rute, diperlukan kendala berikut

,

A B r r r r A A A rijp r r i I j J p P B B B rijp r r i I j J p P r R r R

x

v su

x

v su

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

≤

∑∑ ∑

12. Untuk membedakan antara rute-A dan rute-B, diperlukan kendala

A r r A rijp r R i I j J p P

x

as

∈ ∈ ∈ ∈

=

∑ ∑∑ ∑

dengan a sembarang bilangan bulat positif. Kendala (12) memastikan bahwa

flow yang dimuat oleh rute-A selalu

bermuatan penuh sesuai dengan kapasitas kapal.

13. Misalkan

s

_iqpkereta dan

s

_iqptruk berturut-turut menyatakan kapasitas kereta dan truk

yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari pabrik i ke pelanggan lokal

q. Untuk mendapatkan banyaknya kereta

dan truk yang digunakan dalam pengiriman lokal diperlukan kendala

A

lokal-kereta lokal-kereta kereta

iqp iqp iqp

i I q Q p P

lokal-truk lokal-truk truk

iqp iqp iqp

i I q Q p P

y

w

s

y

w

s

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

=

≤

∑ ∑ ∑

14. Misalkan

s

kereta_jkp ,

s

truk_jkp , dan

s

kapal_jkp

berturut-turut menyatakan kapasitas kereta, truk, dan kapal yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal pelabuhan j ke terminal inland

k. Untuk mendapatkan banyaknya kereta,

truk, dan kapal yang digunakan dalam pengiriman antarterminal diperlukan kendala

JK -kereta JK -kereta kereta

jkp jkp jkp

j J k K p P

JK -truk JK -truk truk

jkp jkp jkp

j J k K p P

JK -kapal JK -kapal kapal

jkp jkp jkp j J k K p P

y

w

s

y

w

s

y

w

s

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

=

≤

=

∑∑∑

15. Misalkan

s

kereta_jqp dan

s

truk_jqp berturut-turut menyatakan kapasitas kereta dan truk yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal pelabuhan j ke pelanggan asing q, dan misalkan

s

_kqpkereta

dan

s

truk_kqp berturut-turut menyatakan kapasitas kereta dan truk yang digunakan untuk mengirimkan produk p dari terminal inland k ke pelanggan asing q. Untuk mendapatkan banyaknya kereta dan truk yang digunakan dalam pengiriman asing diperlukan kendala