Studi Perpindahan Panas Dengan Menggunakan Sistem Koordinat Segitiga

(1)

Abstrak— Salah satu Persamaan Diferensial Parsial (PDP) yang banyak diaplikasikan pada masalah sains dan teknik adalah Persamaan Diferensial Parsial (PDP) Laplace, yang dapat diaplikasikan pada persamaan konduksi panas. Konduksi panas adalah suatu proses yang jika dua benda/materi atau dua bagian benda/materi temperaturnya disentuhkan dengan yang lainnya maka akan terjadilah perpindahan panas. Konduksi panas pada benda berbentuk segitiga mempunyai model matematika dalam koordinat cartesius. Namun untuk memudahkan perhitungan, model matematika konduksi panas tersebut ditransformasikan ke dalam koordinat segitiga. Penyelesaian numerik dari PDP Laplace diselesaikan menggunakan metode beda hingga. Simulasi dilakukan pada segitiga dengan beberapa nilai sudut dan .

Kata Kunci—PDP Laplace, perpindahan panas, sistem

koordinat segitiga

I. PENDAHULUAN

EIRING dengan perkembangan sains dan teknologi, matematika sebagai dasar dari ilmu pengetahuan mempunyai pengaruh yang sangat besar dalam perkembangannya. Berbagai permasalahan baik teknik maupun non teknik dapat diselesaikan menggunakan matematika berdasarkan metode yang sesuai dengan syarat batasnya. Metode numerik sangat besar penerapannya dalam menyelesaikan permasalahan pada bidang sains dan teknik. Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan [1].

Pada bidang sains dan teknik, metode numerik memiliki peran yang besar dalam pemecahan masalah yang terkait dengan perpindahan panas. Salah satu penerapan tersebut dinyatakan dalam Persamaan Diferensial Parsial (PDP) Laplace. Perpindahan panas (heat transfer) adalah ilmu untuk meramalkan perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan suhu diantara benda atau material [2]. Energi ini tidak dapat diukur atau diamati secara langsung tetapi arah perpindahan dan pengaruhnya dapat diamati dan diukur. Salah satu jenis perpindahan panas yaitu konduksi. Konduksi adalah suatu proses yang jika dua benda/materi atau dua bagian benda/materi temperaturnya disentuhkan dengan yang lainnya maka akan terjadilah perpindahan panas [3]. Proses perpindahan panas terjadi dari satu tempat ke tempat lain atau dari satu titik ke titik lain. Dan arah perpindahan panas tersebut membentuk suatu pola. Titik-titik yang dihasilkan oleh perpotongan vektor-vektor perpindahan panas kadang

membentuk segitiga. Pola ini yang kemudian akan diselesaikan menggunakan koordinat segitiga. Sebelumnya, untuk memudahkan proses perhitungannya maka suatu persamaan dalam sistem koordinat cartesius ditransformasikan menjadi persamaan dalam sistem koordinat segitiga.

Berdasarkan latar belakang di atas maka dikaji permasalahan perpindahan panas yang terjadi pada plat logam berbentuk segitiga. Persamaan awal terdapat di koordinat cartesius yang kemudian ditransformasikan ke dalam koordinat segitiga. Persamaan konduksi panas dalam bentuk Persamaan Diferensial (PDP) Laplace, dan untuk kemudian diselesaikan secara numerik mengggunakan metode beda hingga, dengan ini domain didiskritisasi atas elemen-elemen kecil yang dibatasi oleh titik-titik node. Melalui titik-titik node inilah sistem persamaan linier yang terbentuk diselesaikan.

II. URAIANPENELITIAN

Pada bab ini dijelaskan rangkaian proses penelitian yang dilakukan dalam menyusun tugas akhir ini. Penelitian merupakan proses yang terkait secara sistematis. Setiap tahapan merupakan bagian yang menentukan tahapan selanjutnya. Untuk mencapai tujuan yang diinginkan, maka metodologi yang akan dilakukan dalam menganalisa perpindahan panas menggunakan sistem koordinat segitiga adalah sebagai berikut :

A.Menguraikan Landasan Teori

Pada tahap ini akan diuraikan teori-teori dasar yang mendukung pembahasan masalah.

B. Analisa Perpindahan Panas menggunakan sistem koordinat segitiga

Pada tahap ini terdapat beberapa langkah yaitu :

1. Proses transformasi koordinat dari sistem koordinat cartesius menjadi sistem koordinat segitiga

2. Menentukan bentuk numerik dari persamaan sistem menggunakan metode beda hingga

3. Membangun solusi numerik dari persamaan sistem

4. Menyusun algoritma dan program dalam bahasa pemrograman MATLAB

5. Running program 6. Analisis hasil

7. Menarik kesimpulan dan menyusun laporan tugas akhir

Studi Perpindahan Panas Dengan Menggunakan

Sistem Koordinat Segitiga

Farda Nur Pristiana, Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail: lukman@matematika.its.ac.id

(2)

III. ANALISADANPEMBAHASAN A. Model Perpindahan Panas

Diketahui suatu sistem perpindahan panas mempunyai fungsi f(x,y,t) untuk menaikkan suhu sebesar

∆T

=

0

Setelah diterapkan asumsi-asumsinya bentuk persamaan penyelesaiannya yaitu

0 =

∆T

Atau [2] 0 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 = +

∂

y

x

y x T y x T (PDP Laplace)

B. Transformasi Sistem Koordinat Segitiga

Sistem koordinat segitiga dapat digambarkan sebagai berikut :

Transformasi koordinat dari koordinat Cartesius (x,y) ke dalam koordinat segitiga (u,v,w) [4] :

β

α

β

α

sin sin cos cos w v y w v u x + = + + =

α,βkonstan

Dengan demikian didapat transformasi koordinatnya,

                                      − − − − − −− − − − + − =                       ∂

∂

w

v

u

y

x

T T T T xy T T 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) cos ) 2 (cos( ) cos 2 ( ) cos ) 2 (cos( ) cos 2 ( sin sin cos cos ) cos ) 2 (cos( sin ) cos ) 2 (cos( sin sin sin 2 ) sin(1 0 0 α α β α β α β β β α β α β α α α β α β β β α β α

Subtitusi hasil transformasi ke model perpindahan panas,

0 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 = +

∂

y

x

y x T y x T 0 ) cos ) 2 (cos( ) cos 2 ( ) cos ) 2 (cos( ) cos 2 ( sin sin cos cos 1 2 2 2 2 2 2 =       − − − +       − − − +       ₊

∂

w

v

u

T T T α α β α β α β β β α β α

Jika dimasukkan beda hingganya,maka dapat diperoleh persamaan umum numerik

∆

T

yaitu :

0 =

∆T

( )

        ₋ ₊

∆

∆ + ∆ −

u

T

u uvw uvw u uvw a ( ,, )

2

( ,,₂) ( ,, ) +

( )

+        ₋ ₊

∆

∆ + ∆ −

v

T

uv vw uvw uv vw b ( , , )

2

( ,,₂) ( , , )

( )

        ₋ ₊

∆

∆ + ∆ −

u

T

u uvw uvw uvw w a ( ,, )

2

(,,₂) (,, )

0 =

∆T

( )

( ) ( ) ( )

 +         ₋ − − − − +

∆

−∆

T

w

v

u

T

u

u uvw uvw c b a a ) , , ( 2 2 2 ) , , ( 2 2 2 2

( )

u

a

∆

2 + ∆ +

T

(u u,v,w)

( )

v

b

∆

2 + ∆ −

T

(u,v v,w)

( )

v

b

∆

2

+

∆ +

T

(u,v v,w)

( )

w

c

∆

2 + ∆ −

T

(u,v,w w)

( )

w

c

∆

2 0 ) , , ( +∆ =

T

uvw w

Maka didapat bentuk umum persamaan numerik

0 =

∆T

s

1

T

(u−∆u,v,w)

+

s

2

T

(u,v,w)

+

s

3

T

(u+∆u,v,w)+

s

4 + ∆ −

T

(u,v v,w)

s

5

T

(u,v+∆v,w)

+

s

6

T

(u,v,w−∆w)+

s

7 0 ) , , ( +∆ =

T

uvw w

(2)

dengan,

=

s

1

( )

u

a

∆

2

,

_s

₂

=

( ) ( ) ( )

        ₋ − − − −

∆

u

v

w

c b a 2 2 2 2 2 2

,

s

₃

=

( )

u

a

∆

2

,

s

4

=

( )

v

b

∆

2

,

_s

₅

=

( )

v

b

∆

2

,

_s

₆

=

( )

w

c

∆

2

,

_s

₇

=

( )

w

c

∆

2 C. Proses Perpindahan Panas

Jika diketahui dan subtitusi ke persamaan (1). Maka didapat koefisien untuk persamaan sistem, 0 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 = +

∂

y

x

y x T y x T 0 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 = + +

∂

w

v

u

T T T

Pada tahap ini dijelaskan proses perpindahan panas pada diskritisasi 7x7x7. Dengan syarat batas pada sisi sumbu

diberi suhu , dan untuk sisi yang lain dan suhunya . Berikut perhitungan proses perpindahan panas pada plat segitiga.

Diskritisasi adalah pembagian domain menjadi daerah-daerah kecil dengan ditandai

node.

Kumpulan dari node disebut node network atau mesh [5]. Maka diskritisasi 7x7x7 adalah pembagian domain menjadi segitiga-segitiga kecil sebanyak 7 segitiga. Untuk proses perpindahan panas pada diskritisasi 7x7x7 dapat dilihat pada gambar 2

β

α

v w

Gambar 1. Sistem Koordinat Segitiga

(3)

.

Gambar 2. Diagram penyebaran panas untuk diskritisasi 7x7x7

Kemudian dari gambar 2 diatas, dibagi kembali

menjadi beberapa elemen pada gambar 3, 4, dan 5

dibawah ini ,

Gambar 3. Diagram penyebaran panas dari titik

sampai

kemudian masukkan ke persamaan sistem (2),

s

T= ₁ ∆

_T

₆

+

_s

₂

_T

₇

+

_s

₃

_T

₈+

_s

₄

_T

+ 2

s

5

T

11+

s

6

T

3+

s

7

T

10

100 .

1

s

=

+

_s

₂

_T

₇

+

_s

₃

_T

+ 8

0 +

s

5

T

11+

0 +

s

7 100

s

2

T

7

+

s

3

T

8+

s

5

T

11=−100(

s

1

+

s

7

)

Gambar 4. Diagram penyebaran panas dari titik

sampai

kemudian masukkan ke persamaan sistem (2),

s

T= ₁ ∆

_T

₇

+

_s

₂

_T

₈+

_s

₃

_T

₉+

_s

₄

_T

+ 3

s

5

T

12+

s

6

T

4+

s

7

T

11

s

1

=

_T

7

+

s

2

T

8+

0 +

s

7

T

11

s

2

T

7

+

s

2

T

8+

s

7

T

11=0

Gambar 5. Diagram penyebaran panas dari titik sampai kemudian masukkan ke persamaan sistem (2),

s

T 1 = ∆

_T

₁₀

+

_s

₂

_T

+ 11

s

3

T

12+

s

4

T

7+

s

5

T

14+

s

6

T

8+

s

7

T

13

100 .

1

s

=

+

_s

2

T

11+

0 +

s

4

T

7+

0 +

s

6

T

8+

s

7100

s

2

T

11+

s

4

T

7+

s

6

T

8=−100(

s

1

+

s

7

)

dengan

4

1 =

∆

=

∆

=

∆

u

v

w

maka koefisien persamaan numeriknya :

67 , 10 ; 67 , 10 ; 67 , 10 ; 99 , 63 ; 67 , 10 5 4 3 2 1=

s

=−

s

=

s

=

s

=

s

67 ,

10 ;

67 ,

10

₇ 6

=

s

=

s

          + + =                     ) 100( -0 ) 100( -7 1 7 1 11 8 7 2 6 4 7 2 1 5 3 2

s

T

s

          − − =                     − − − 2134 0 2134 99 , 63 67 , 10 67 , 10 67 , 10 99 , 63 67 , 10 67 , 10 67 , 10 99 , 63 11 8 7

T

=          

T

11 8 7













−

99 ,

63

67 ,

10

67 ,

10

67 ,

10

99 ,

63

67 ,

10

67 ,

10

67 ,

10

99 ,

63

1













−

2134

0 2134

          − −           − − − − − − − − − =           2134 0 2134 0167 , 0 0034 , 0 0034 , 0 0034 , 0 0167 , 0 0034 , 0 0034 , 0 0034 , 0 0167 , 0 11 8 7

T

Maka untuk penyebaran panas pada diskritisasi 7x7x7 didapatkan suhu pada :

89 , 42 ; 5112 , 14 ; 89 , 42 ₈ ₁₁ 7=

T

=

T

=

T

Dan apabila digambarkan sebagai berikut

Gambar 6. Diagram penyebaran panas pada diskritisasi 7x7x7 setelah diberi suhu

D. Simulasi Dan Analisis

Dari hasil perhitungan pada C sebelumnya kemudian

dilakukan simulasi. Dengan mengubah beberapa parameternya, yaitu mengubah sudut ( dan mengubah

T(u=, v= ,w)= T(u,v,w= )=

(4)

jarak antar titik/node . Hal ini dilakukan untuk mengetahui penyebaran panasnya.

Gambar 7. Grafik penyebaran panas diskritisasi 7x7x7 dengan

1 , ,

₁₂₀

60

= ∆ =∆ =∆ = = ° ° w v u

β

α

5 , 0 , ,

₁₂₀

60

= ∆ =∆ =∆ = = ° ° w v u

β

α

5 , 0 ; 1 ; 25 , 0 , ,

₇₀

110

= ∆ = ∆ = ∆ = = °

β

° u v w

α

Berdasarkan gambar 7 diatas pada sumbu v di titik 2, tampak bahwa warna biru agak menjorok ke depan dengan 2 titik yang letaknya sama Hal tersebut menunjukkan bahwa pada titik tersebut terjadi perubahan suhu yang sama yaitu pada suhu 42,8. Setelah itu pada titik 3, juga terjadi perubahan suhu yaitu suhu pada 14,5. Ketika jarak antar titik/node

dirubah yaitu menjadi , maka tidak

terjadi perubahan suhu pada plat. Hal tersebut dapat ditunjukkan dengan gambar 8 dimana gambar tersebut sama

dengan gambar 7. Apabila sudutnya diubah yaitu , dengan jarak antar titik/node juga diubah, maka menurut gambar 9 terjadi perubahan suhu yang cukup signifikan. Yaitu pada sumbu v titik 2 suhu berubah pada kisaran suhu antara 50-60. Sedangkan di titik 3 sumbu v perubahan suhunya sangat kecil, yaitu antara 20-30.

E. Aplikasi

Model ini dapat diterapkan pada rangka alumunium di atap rumah. Penggunaan alumunium ini lebih baik daripada penggunaan kayu. Karena rangka atap yang terbuat dari kayu (kaso) usia pakainya terbatas karena rayap, keropos oleh air hujan, jamur dan lain-lain, permintaan kayu yang meningkat menyebabkan merajalelanya kasus ilegal logging yg merusak ekosistem dan lingkungan. Oleh karena itu dengan penggunaan rangka atap alumunium tersebut dapat diperkirakan kapan dan sebesar apa pemuaian terhadap rangka alumunium.

Gambar 10. Rumah yang memakai kerangka atap segitiga

Gambar 11. Rangka atap alumunium

[7]

(5)

IV. KESIMPULAN

Kesimpulan yang dapat diperoleh adalah transformasi koordinat dari sistem koordinat cartesius menjadi sistem koordinat segitiga dilakukan agar perhitungan perpindahan suhu pada plat segitiga lebih efisien dan tidak banyak interpolasi. Setelah diterapkan asumsi-asumsinya, dengan mengubah jarak antar titik / node, yaitu maka tidak terjadi perubahan suhu pada plat jika . Semakin besar sudut maka semakin besar pula perubahan suhunya. Dan semakin besar sudut semakin kecil perubahan suhunya.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Djojodiharjo,H.(1983).’’Metoda Numerik’’, Penerbit PT Gramedia

Pustaka Utama, Jakarta

[2] Holman,J.P. (1997).’’Heat Transfer’’, Eight Edition, McGraw-Hill

Companies, America.

[3] Kreith, F. (2005). “Principles Heat Transfer”, Harper & Row

Publisher, University of Colorado, America.

[4] Affandi,J. (2009).‘’Komputasi Numerik Pada System Koordinat Sisi Miring’’. Tugas Akhir, Jurusan Matematika ITS. Surabaya.

[5] Lam,C. (1994).”Applied Numerical Methods For Partial Differential Equations”, Prentice Hall, Singapore.

[6] Hanafi, L. (2006). "Aplikasi metode Beda Hingga Dalam Sistem Koordinat Segitiga ada Persamaan Diferensial Parsial Laplace". Prosiding Seminar Nasional matematika. Surabaya, 25 Nopember. Jurusan

Matematika-ITS, Surabaya

[7] http://suksesmandiriteknik.wordpress.com/tag/atap-baja-ringan-murah/

(diakses tanggal 7 juli 2012)