Telaah Fundamental Neutrino Dirac dan Majorana dalam Gravitasi Einstein Rabiudin1, Muhammad Yusuf2, Mursalin3
Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji persamaan Dirac dan Majorana yang menerangkan keberadaan neutrino dan pengaruh gravitasi Einstein terhadap Neutrino. Beberapa parameter dimasukan untuk menunjang kemantapan teoritisnya mulai dari persamaan Langgrangian hingga sampai pada kasus relativitas, alternatif utama dalam penyelesaiannya dengan melibatkan keadaan momentum angular neutrino dan diagram Feyman hingga menghasilkan asumsi teoritis dalam kasus neutrino dalam penelitian ini mengkaji tentang kaitan antara neutrino Dirac-Majorana dengan gravitasi Einstein yang melibatkan faktor bentuk elektromagnetik dan fase gravitasi, hingga mengambil fokus penelitian ini dalam analisis teoritis perubahan panjang osilasi neutrino hingga didapatkan energi gangguan gravitasi dalam neutrino Dirac-Majorana.
Kata kunci: Neutrino Dirac, Neutrino Majorana, Gravitasi Einstein.
Latar Belakang
Sesuai dengan Asumsi dari model standar bahwa partikel neutrino tidak bermassa, Partikel tersebut dianggap unik karena fermion tergolong bermassa kecuali neutrino yang memiliki anti neutrino sebagai pasangannya. Sifat utama neutrino selain tidak bermassa, juga tidak bermuatan, maka antipartikelnya (anti-neutrino) juga tidak bermuatan. Dengan kata lain partikel tersebut merupakan partikel Majorana, yang terjadi jika neutrino tidak bermassa dan tidak bermuatan atau netral.
Dari berbagai pengkajian fisika partikel terkini hingga sampai pada munculnya persamaan Dirac dan Majorana sampai pada belum diketahuinya massa neutrino secara pasti, namun demikian para fisikawan seakan menggambarkan bahwa neutrino tidak bermassa. Sementara itu gaya gravitasi masi menjadi misteri dalam kehidupan manusia, sehingga semua apa yang ada di bumi seakan tunduk dalam pengaruhnya. Di lain pihak peran dari neutrino dalam kosmologi dan fisika partikel tidak dapat diabaikan lagi, hal ini sesuai dengan
1.Rabiudin. Mahasiswa Jurusan Fisika, F MIPA Universitas Negeri Gorontalo
2.Muhammad Yusuf S.Si, M.Si. Dosen Jurusan Fisika, F MIPA Universitas Negeri Gorontalo 3.Dr. H. Mursalin, M.Si. Dosen Jurusan Fisika, F MIPA Universitas Negeri Gorontalo
gambaran pakar fisika Paul Dirac dan Etore Majorana, yang keduanya menjelaskan keberadaan neutrino dengan detail dalam makalah-makalah ilmiah. Suatu hal cukup menarik adalah ketika ingin mengaitkan antara neutrino dalam kajian Dirac dan Majorana dengan pengaruh dari gravitasi Einstein yang dikenal dengan pendekatan kurvaturnya, dimana topik ini jugalah yang menjadi perhatian para pengagum fisika teori terkini. Maka dari itu peneliti dengan fikiran terbuka ingin menelaah secara fundamental Neutrino Dirac-Majorana dalam gravitasi Einstein.
Telaah Pustaka
Ada banyak pengamatan yang menunjukkan bahwa neutrino merupakan partikel superluminal seperti dalam (Tsao Chang: 2013), meskipun Oscillation Project with Emulsion-t Racking Apparatus (OPERA) mengklaim adanya kesalahan dalam mengukur kecepatan neutrino. Dalam beberapa tahun terakhir, banyak bukti yang meyakinkan bahwa neutrino berasal dari matahari dan atmosfer (Rasulkhozha dan Sharafiddinov:2010).
Kuadrat dari massa neutrino diukur dengan percobaan peluruhan beta pada tritium dengan memasangkan bentuk spektrum beta di dekat titik akhir dan dalam berbagai percobaan ia ditemukan negatif
1. Persamaan Dirac-Majorana
Dalam (Abdukhakimov: 2011) disebutkan bahwa persamaan Dirac dan Majorana merupakan dua persamaan yang berbeda, meski demikian keduanya dapat digolongkan dalam kasus khusus utamanya persamaan yang bersifat umum. Dimulai dengan persamaan Dirac yang ditulis dengan aturan komponen spinor kiri
dan kanan
1 0 3 1 2 1 2 1 2 0 3 2 , i im i (1) 1 0 3 1 2 1 2 1 2 0 3 2 . i im i (2)
Sekilar dapat ditinjau bahwa persamaan Majorana mempunyai kesamaan dengan persamaan Dirac, akan tetapi hanya terjadi penambahan keadaan invarian lorents (yang disebut dengan keadaan Majorana atau keadaan netral)
2 1 1 2 (3) 1 2 2 1 (4)
Jika dimasukkan persamaan (3) dan (4) ke dalam persamaan (1) dan (2), maka didapatkan 1 1 0 3 1 2 1 2 1 2 0 3 i im i (5) 1 2 0 3 1 2 2 1 1 2 0 3 i im i (6)
karenanya keadaan Majorana membuat dua buah persamaan Dirac yang sebanding dan hanya menyisahkan satu persamaan bebas (Czakon, et all. 1999).
Dengan persamaan yang lebih umum dalam persamaaan Dirac maka matriks massa M 1 1 1 2 2 2 1 2 , M M M M M (7)
dan matriks kompleks konjugatnya M
1 1 1 2 2 2 1 2 . M M M M M (8)
Hasil dari modifikasi persamaannya menjadi
1 1 1 0 3 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 0 3 2 1 2 i M M i M M (9) 1 1 1 0 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 3 2 1 2 . M M i i M M (10)
Jika spinor kiri menjadi vektor eigen pada matriks M dan spinor kanan
merupakan vektor eigen pada matriks M , maka kedua paduan ini akan memiliki nilai eigen yang sama
M
im
(11)M im (12)
Dalam (Palash, 2010), penyusunan struktur dari persamaan Dirac dengan jenis dari persamaan (Dirac, Majorana atau Weyl) tergantung pada pilihan khusus pada matriks M , untuk itu dimasukan M sebagai
0 , 0 m M m (13) 0 , 0 m M m (14)
dimana vektor eigen dipadukan dalam nilai eigen
im
hingga menjadi
1 D x i (15)
1 D x i (16)Persamaan ini hanya berlaku dalam kasus Fermion Dirac dan sebagai alternatif dipilihlah M sebagai 0 , 0 im M im (17) 0 , 0 im M im (18)
dan vektor eigen dipadukan dalam nilai eigen
im
hingga menjadi
0 1 . 1 0 M x M x (19)Hal ini digunakan untuk memeriksa bahwa spinor M dan memenuhi M keadaan Majorana seperti halnya dalam (Singh, et.all: 2008).
Bentuk yang lebih umum untuk matrik massa M dalam generalisasi persamaannya mengikuti 3 1 2 1 2 3 , k k F F iF M F F iF F (20)
dengan k 1, 2, 3 dan nilai eigennya adalah
1 2 2 2 3 2.
F F F
(21)
Matriks M memenuhi aljabar Lie dalam Group SL
2C hal ini secara jelas
diiterangkan dalam (Esposito dan Tancredi: 1998).2. Gravitasi Einstein
Ditinjau dari bentuk tensor Riemann-Christoffel dalam medan lemah melalui pendekatan tensor metrik dengan memasukan nilai lambang Christoffel
1 1 . 2 2 g g g h h h g x x x x x x (21)
Jika nilai perkalian h diabaikan, nilai tensor Ricci untuk bernilai
0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 1 2 2 1 . 2 R h h h h h h x x x x x x h h h h (22) Jika distribusi materi bersifat statis maka h bukan fungsi t atau0h 0,
(23) sehingga persamaan (22) menjadi
11 22 33
2 00 00 1 1 2 2 3 3 0 0 00 00 1 1 , 2 2 R h h h h (24) dengan 2 2 2 2 2 2 2 x y z (25)sehingga didapatkan
2
00 4 ,
R G (26)
Dengan tensor energi-momentum fluida sempurna dirumuskan sebagai
.T p V V gp (27)
Karena distribusi materi bersifat statik, materi tersebut tidak memiliki tekanan internal sehingga persamaan (27) tereduksi ke bentuk
. T V V
(28)
Selain itu vektor 4 kecepatan adalah
1,
, V 0(29)
sehingga seluruh komponen T lenyap kecuali T00. Skalar T dapat dihitung dengan perkalian dalam, antara tensor metrik kontravarian dengan tensor energi-momentum kovarian (Zee, 2013). untuk debu memenuhi
00 00 , 1 2 T g T g T (30)
Dengan menggunakan persamaan (30), maka nilai R adalah 00
00 00 00 1 1 1 1 2 . 2 2 1 2 2 R g T T (31)Ketika dihubungkan dengan persamaan (30), maka diperoleh ,
G
(32)sehingga persamaan gravitasi Einstein menjadi 1
8 ,
2
R g R GT
(33) persamaan gravitasi Einstein dengan tetapan kosmologi dirumuskan sebagai
1
8 .
2
R g R g GT
(34) Persamaan ini merupakan persamaan medan Einstein yang menerangkan unsur kurvatur ruang dalam kajian kosmologi (Capozziello dan Faraoni: 2010).
Penelitian ini adalah penelitian teoritis yang menggunakan kajian pustaka, dimana peneliti mengkolaborasikan buku-buku yang relevan dan sumber dari internet. Studi pustaka dilakukan untuk memahami konsep dasar dari persamaan Dirac dan persamaan Majorana, kemudian dikaitkan dengan keberadaan neutrino dalam fisika partikel, serta relasinya terhadap pengaruh gravitasi Einsein, parameter kajian utamanya adalah dengan meninjau paket gelombang neutrino dan gravitasi, relasi antara keduanya, momentum angular neutrino dan kesimetrian puncak serta efek energi gangguan gravitasi terhadap osilasi neutrino.
Hasil dan Pembahasan Energi Gangguan Gravitasi
Ketika telah didapatkan kaitan antara neutrino Dirac-Majorana dalam gravitasi Einstein yang melibatkan faktor bentuk gravitasi dan elektrmagnetik, maka untuk lebih menadalami masalah ini bisa ditinjau keadaaan energi gangguan gravitasi terhadap osilasi neutrino dengan mengacu pada elemen matriks Dirac dan Majorana yang meliputi
2 Dirac 2 2 0 0 1 2 2 sin 0 1 2 G M M R r H r k C C m C m D Dm D m r r (54)Untuk neutrino Dirac dan
Majorana 2 0 0 1 2 1 2 1 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 2 2 0 1 2 sin sin G y x y y y x x x M r H r k C C m C m r M M R C C m C m D D m D m r r (55)Untuk neutrino Majorana, rumusan ini dibutuhkan untuk mengetahui energi gangguan gravitasi terhadap osilasi neutrino, untuk dapat mengemukakan hal ini maka perlu untuk meninjau metode Brillouin-Wigner (BW) tentang teori gangguan bebas waktu yang sering digunakan dalam materi terkondensasi. Dari ini maka nilai eigen energi gangguan yaitu
1 2 1 2 2 int 0 int 0int 1 1 int 2 2 int
, , n 0 0 ... n m m n m m m m m H n E E n H n E E n H m m H m m H n E E E E
(56)Dengan Hint merupakan interaksi Hamiltonian, n adalah keadaan eigen tanpa
gangguan dan E0 n merupakan gabungan energi nilai eigen dalam mengkaji pembenaran terhadap panjang osilasi neutrino kaitannya dengan gravitasi. Langkah awal dengan medefinisikan nilai eigen energi tanpa gangguan E0 dari bagian orde nol Hamiltonian H0, yang dimulai dengan persamaan
2 2 ˆ ˆ 0 3 3 3 2 2 2 4 1 3 1 1 2 5 5 z z M M M M R M R z H p m i r L r r r r r r r (57)hingga sampai pada persamaan
0 0 0 0 H r E r (58) dengan
2 2 2 ˆ 0 0 0 3 2 ˆ 2 0 3 2 4 5 2 2 1 4 1 2 5 2 z z M M R E k m k L r r M M R k m L r r (59)dimana Lˆz merupakan momentum angular orbital rotasi sepanjang sumbu sumber gravitasi. Dari persamaan di atas maka nampak jelas bahwa bagian bebas gangguan dari persamaan Dirac Hamiltonian tidak dapat dihasilkan dari koreksi gravitasi terhadap panjang osilasi neutrino.
Mengikuti persamaan (56) dan pengenalan mengenai keadaan nilai eigen massa tanpa gangguan, dengan
Dirac Majorana L R c L L (60)dan ditunjukan bahwa energi gangguan orde ke dua
2 0 G G m m m H E E H E E (61)
Maka persamaan ini dapat diselesaikan dengan tepat untuk Em menjadi
0 0 2 0 0 0 0 1 2 4 G G G G m E E E H E E H E H E H (62)yang direduksi ke E0 dalam batas 0
G
H
Untuk kasus neutrino Dirac, elemen matriksnnya dihitung dengan menggunakan persamaan (62) hingga menghasilkan
2 0 0 1 2 2 2 0 2 sin 0 1 2 G G M H k C C m C m r M R H k D D m D m r (63)Dengan Mengsubtitusikan persamaan (63) ke dalam persamaan (62) hingga didapatkan energi gangguan gravitasi adalah
2
ˆ 2 Dirac Dirac Dirac
0 0 0 1 2 3 4 2 1 1 5 2 z m M R M E L k m k F F F m r r (64)
Dalam (Fukugita dan Yanagida, 2003) serta dalam (Giunti dan Kim, 2007) persamaan akhir panjang osilasi neutrino menjadi
2 1
osc 2 m m
L E E hingga didapatkan perubahan energi
2 1 Dirac Dirac 2 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 m m E E k F m m F m m (64)Dengan batasan M r 1 dan 2 2
1
M R r untuk semua analisis numerik, hal ini
digunakan dalam menentukan kontribusi perbedaan energi yang bergantung massa yang ditunjukan oleh
2
ˆ 2 Dirac Dirac Dirac 2
0 0 0 1 2
3 2
Dirac Dirac Dirac 2
0 2 0 1 2 4 2 1 1 5 2 + z m M R M M E L k m k G G m G m r r r M R k K K m K m r (65) dan
2 1 2 2 2 Dirac Dirac 0 2 1 1 2 1 2 1 2 Dirac Dirac 2 2 2 2 1 2 2 1 2 m m M M R E E k m m G K m m r r M M R G K m m r r (66)Sementara itu bila menghitung Hamiltoniam fase gravitasi untuk neutrino Majorana didapatkan
2 ˆ ˆ ˆ 0 0 1 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 0 1 2 2 sin sin G y y y x x x x M H k C C m C m r M R D D m D m r (67)
2 ˆ ˆ ˆ 0 0 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 0 1 2 2sin sin cos sin cos G y y y x x x M H k C C m C m r M R D D m D m r (68) 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 2 2 0 1 2 cos sin G y y y x x x M M R H i C C m C m D D m D m r r (69)
Seperti yang disajikan dalam neutrino Dirac, neutrino Majorana juga memiliki energi gangguan gravitasi, dengan
2 ˆ
2
Maj
Maj
Maj
30 0 0 1 2 3 4 2 1 1 5 2 z m M R M E L k m k F F m F m r r (70) Ketika dikaitkan dengan perubahan panjang osilasi neutrino maka didapatkan
2 1 Maj Maj 2 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 m m E E k F m m F m m (71) Dengan energi gangguan totalnya adalah
2
ˆ 2 Maj Maj Maj 2
0 0 0 1 2
3 2
Maj Maj Maj 2
0 2 0 1 2 4 2 1 1 5 2 + z m M R M M E L k m k G G m G m r r r M R k K K m K m r (72)
Hingga didapatkan energi gangguan terhadap perubahan panjang osilasi neutrino Majorana adalah
2 1 2 2 2 Maj Maj 0 2 1 1 2 1 2 1 2 Maj Maj 2 2 2 2 1 2 2 1 2 m m M M R E E k m m G K m m r r M M R G K m m r r (73)Dari uraian di atas maka dengan jelas dalam penelitian ini didapatkan efek gravitasi Einstein terhadap osilasi neutrino di alam semesta, yaitu berupa keadaan osilasi neutrino ketika berada di bawa pengaruh energi gangguan gravitasi Einstein, seperti yang terlihat pada persamaan (72) dan (73).
Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat dikatakan terdapat perbedaan teoritis dalam kajian neutrino Dirac dan neutrino Majorana ketika dikaitkan dengan gravitas Einstein, hal ini bisa dilihat ketika ditinjau dari perubahan osilasi dan energi gangguan gravitasi, Dengan energi gangguan gravitasi untuk neutrino Dirac
2
ˆ 2 Dirac Dirac Dirac 2
0 0 0 1 2
3 2
Dirac Dirac Dirac 2
0 2 0 1 2 4 2 1 1 5 2 + z m M R M M E L k m k G G m G m r r r M R k K K m K m r
sementara itu energi gangguan gravitasi terhadap neutrino Majorana
2
ˆ 2 Maj Maj Maj 2
0 0 0 1 2
3 2
Maj Maj Maj 2
0 2 0 1 2 4 2 1 1 5 2 + z m M R M M E L k m k G G m G m r r r M R k K K m K m r
Dari dua persamaan energi gangguan gravitasi terhadap osilasi neutrino di atas dengan jelas terlihat adanya perbedaan kesamaan pola akan tetapi fase gravitasi yang bekerja dalam masing-masing osilasi disusun oleh struktur yang berbeda.
Referensi
Claude Itzykson dan Jean B. Zuber. 1980. Quantum Field Theory.Mc Graw- Hill
Czakon M, et al. 1999. Are Neutrinos Dirac or Majorana Particles?arXiv:hep-ph/9910357v3 Dinesh Singh, et al. 2008. Can Gravity Distinguish between Dirac and Majorana Neutrinos. arXiv:gr-qc/0605153v3.
Dinesh Singh, et al. 2013. The Distinction Between Dirac and Majorana Neutrino Wave Packets
Due to Gravity and Its Impact on Neutrino Oscillations. arXiv:gr-qc/0606134v1
Masataka Fukugita dan Tsutomu Yanagida. 2003. Physics of Neutrinos and Application to Astrophysics. Springer-Verlag
Menon A dan Arun M. Thalapilill. 2008. Interaction of Dirac and Majorana Neutrinos with Weak Gravitational Field. arXiv: 0804.3833v2.
Michele Maggiore. 2005. A Modern Introduction to Quantum Field Theory. Oxford University Press
Murod Abdukhakimov. 2011. How Dirac and Majorana Equations are Related. Palash B. Pal. 2010. Dirac, Majorana and Weyl fermions. arXiv:1006.1718v2.
Rasulkhozha dan Sharafiddinov. 2010. On the Compound Structures of the Neutrino Mass and Charge. arXiv:Physics/0305008v2.
Sabin Stoica. 2013. Neutrino Properties Probed by Lepton Number Violating Processes. Scientific Research.
Salvotare Capozziello dan Valerio Faraoni. 2010. Beyong Einstein Gravity, a Survey of
Gravitational Theories for Cosmology and Astrophysics. Universitas Di Napoli
Federico.
Salvatore Capozziello, et al. 2013. Weak Forces and Neutrino Oscillations under the standards of
Hybrid Gravity with Torsion. arXiv:1309.3856v3.
Salvatore Esposito dan Nicola Tancredi. 1998. Flavour Transitions of Dirac- Majorana Neutrinos. arXiv:hep-ph/9803471v1
Samoil Bilenky. 2010. Introduction to the Physics of Massive and Mixed Neutrinos. Springer Heidelberg . New York.
Suzuki dan Totsuka. 1998. Neutrino Physics and Astrophysics. Proceedings of the XVIII International Conference on Neutrino Physics and Astrophysics, Japan . Zee. 2013. Einstein Gravity in Nutshell. Princeton University Press
Zhi Zhong Xing dan Shun Zhou. 2010. Neutrinos in Particle Physics, Astronomy and Cosmology. Zhejiang University Press.
