TUGAS AKHIR – SS141501
PERBANDINGAN ESTIMASI CADANGAN KLAIM
MENGGUNAKAN METODE CHAIN LADDER DAN
GENERALIZED LINEAR MODELS (GLMs) DENGAN
PENDEKATAN OVER-DISPERSED POISSON (ODP)
PADA ASURANSI UMUM
RIFKY MUHARAM NRP 1313 100 024
Dosen Pembimbing Drs. Haryono, MSIE TUGAS AKHIR – SS141501
PERBANDINGAN ESTIMASI CADANGAN KLAIM
MENGGUNAKAN METODE CHAIN LADDER
DAN GENERALIZED LINEAR MODELS (GLMs)
DENGAN PENDEKATAN OVER-DISPERSED
POISSON (ODP) PADA ASURANSI UMUM
RIFKY MUHARAM NRP 1313 100 024
Dosen Pembimbing Drs. Haryono, MSIE
PROGRAM STUDI SARJANA DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
i
TUGAS AKHIR – SS141501
PERBANDINGAN ESTIMASI CADANGAN KLAIM
MENGGUNAKAN METODE CHAIN LADDER DAN
GENERALIZED LINEAR MODELS (GLMs) DENGAN
PENDEKATAN OVER-DISPERSED POISSON (ODP)
PADA ASURANSI UMUM
RIFKY MUHARAM NRP 1313 100 024
Dosen Pembimbing Drs. Haryono, MSIE
TUGAS AKHIR – SS141501
PERBANDINGAN ESTIMASI CADANGAN KLAIM
MENGGUNAKAN METODE CHAIN LADDER
DAN GENERALIZED LINEAR MODELS (GLMs)
DENGAN PENDEKATAN OVER-DISPERSED
POISSON (ODP) PADA ASURANSI UMUM
RIFKY MUHARAM NRP 1313 100 024
Dosen Pembimbing Drs. Haryono, MSIE
PROGRAM STUDI SARJANA DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
iii FINAL PROJECT – SS141501
COMPARISON OF CLAIMS RESERVE
ESTIMASION USING CHAIN LADDER METHOD
AND GENERALIZED LINEAR MODELS (GLMs)
WITH OVER-DISPERSED POISSON (ODP) IN
GENERAL INSURANCE
RIFKY MUHARAM NRP 1313 100 024 Supervisor Drs. Haryono, MSIE UNDERGRADUATE PROGRAM DEPARTMENT OF STATISTICSFACULTY OF MATHEMTICS AND NATURAL SCIENCES INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
v
vi
PERBANDINGAN ESTIMASI CADANGAN KLAIM
MENGGUNAKAN METODE CHAIN LADDER DAN GENERALIZED LINEAR MODELS (GLMs) DENGAN PENDEKATAN OVER-DISPERSED POISSON (ODP) PADA ASURANSI UMUM
Nama Mahasiswa
: Rifky Muharam
NRP
: 1313 100 024
Departemen
: Statistika
Dosen Pembimbing : Drs. Haryono, MSIE
Abstrak
Berdasarkan Peraturan Ketua Badan Pengawas Pasar Modal (BAPEPAM) dan Lembaga Keuangan (LK) Nomor PER 09, perusahaan asuransi wajib untuk membentuk cadangan teknis yang terdiri dari cadangan premi, dan cadangan klaim. Fokus pada penelitian ini adalah mengestimasi cadangan klaim yang dihitung berdasarkan model segitiga (run-off triangle). Metode Chain Ladder (C-L) yang merupakan model deterministik banyak diterapkan oleh para praktisi dalam estimasi cadangan klaim. Namun, metode Chain Ladder yang dikategorikan model deterministic ini tidak dapat memodelkan variasi dari klaim tersebut, sehingga perusahaan asuransi kurang dapat menarik informasi penting lainnya. Oleh karena itu, pada penelitian ini estimasi cadangan klaim dilakukan dengan pengembangan model Chain Ladder stokastik menggunakan Metode Generalized Linear Model (GLMs) dimana estimasi yang dihasilkan lebih informatif tidak hanya titik, tetapi juga memberikan selang kepercayaan dengan tingkat keyakinan tertentu dan juga persentase error dari estimasi. Pendekatan Over-Dispersed Poisson (ODP) dipilih karena dapat menangkap risiko yang lebih besar dari cadangan klaim tersebut. Dalam penelitian ini, data yang digunakan adalah data sekunder mengenai besar klaim perusahaan asuransi
vii
di Amerika Serikat United Services Automobile Asn Grp dari tahun 1988 sampai dengan tahun 1997 yang bersumber dari website resmi Casualty Actuarial Society. Hasil estimasi menunjukkan bahwa kedua metode memberikan cadangan klaim yang relatif sama, yaitu 1964890,133 dan 1964884,332 secara berturut-turut. Estimasi dengan Metode GLMs menunjukkan hasil yang kurang baik yaitu menghasilkan prediction error total cadangan klaim sebesar 142114,888 atau 7,23%.
Kata Kunci: C-L, Cadangan Klaim, GLMs, ODP, PER 09, Run-Off Triangle.
viii
COMPARISON OF CLAIMS RESERVE ESTIMATION USING CHAIN LADDER METHOD AND GENERALIZED LINEAR MODELS (GLMs) WITH OVER-DISPERSED POISSON (ODP) APPROACH IN GENERAL INSURANCE
Name
: Rifky Muharam
NRP
: 1313 100 024
Department
: Statistics
Advisor
: Drs. Haryono, MSIE
Abstract
Based on the regulation issued by Chairman of the Capital Market and Financial Institutions Supervisory Agency Number PER 09, every insurance company is required to established reserves that consist of premiums reserve and claims reserve. Focus in this research is estimating claims reserve that calculated based on run-off triangle model. Deterministic model such as Chain Ladder (C-L) method is the most popular method applied for many actuaries. However, the estimation only assumes that the payments delay tend to be constant and it only provide a point estimates of the reserves that lack of information to the company. Therefore, in this research the claims reserve was done with development of Stochastic Chain Ladder using Generalized Linear Models (GLMs) method, providing more useful information including the confidence interval of the reserves and also percentages of the error. Over-Dispersion Poisson approach isselected because it can capturing a greater risk of the reserves as these distribution have higher variance than the mean itself. Data used in this research is secunder data about paid claims at the insurance company in United States United Services Automobile Asn Grp from 1988 to 1997which taken from official website of Casualty Acuarial Society. The result shows that both of the method give the estimation of claims reserve that have no significant difference at all, which are 1964890,133 and1964884,332 respectively. The estimation using GLMs
ix
provides a less good result with prediction error of 142114,888 or 7,23%.
Key words: C-L, Claims Reserve, GLMs, ODP, PER 09, Run-Off Triangle.
x
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdullillah penulis panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan Laporan Tugas Akhir yang berjudul “Perbandingan Estimasi Cadangan Klaim Menggunakan Metode Chain Ladder dan Generalized Linear Models (GLMs) dengan Pendekatan Over-Dispersed Poisson (ODP) pada Asuransi Umum”.
Tugas Akhir ini dapat terselesaikan karena dukungan, bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, segenap ucapan terima kasih yang mendalam penulis sampaikan kepada:
1. Drs. Haryono, MSIE selaku dosen pembimbing dosen pembimbing tugas akhir dan Kasir Iskandar, M.Sc, MBA, FSAI yang telah memberikan banyak ilmu sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
2. Dr. Suhartono selaku Kepala Departemen dan Dr. Sutikno, S.Si, M.Si selaku Ketua Prodi S1 Jurusan Statistika ITS yang telah menyediakan fasilitas untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini.
3. Dr. Agus Suharsono selaku dosen penguji sekaligus dosen wali penulis, dan Prof. Nur Iriawan selaku dosen penguji yang telah memberikan saran-saran untuk kesempurnaan Tugas Akhir ini.
4. Keluarga yang penulis sayangi, Ayah dan Ibu, serta kakak-kakak saya Uda Rifan dan Uda Ryan, dan Uni Muthia atas dukungan dan kasih sayang yang luar biasa selama ini. Pembuatan laporan Tugas Akhir ini masih jauh dari kesempurnaan, besar harapan dari penulis untuk menerima kritik dan saran yang berguna untuk perbaikan di masa mendatang.
Surabaya, Juli 2017 Penulis
xi
xii DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ... i LEMBAR PENGESAHAN ... v ABSTRAK ... vii ABSTRACT ... ix KATA PENGANTAR ... xi
DAFTAR ISI ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR TABEL ... xvii
DAFTAR LAMPIRAN ... xix
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 5 1.3 Tujuan ... 6 1.4 Manfaat ... 6 1.5 Batasan Masalah ... 6
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Run-off Triangle ... 9
2.2 Chain Ladder ... 10
2.3 Generalized Linear Models (GLMs) ... 12
2.3.1 Distribusi Keluarga Eksponensial ... 13
2.3.2 Link dan Canonical Link... 13
2.3.3 Distribusi Tweedie ... 14
2.4 Model Distrbusi Over-Dispersed Poisson (ODP) ... 14
2.5 Prediction Error Cadangan Klaim ... 16
2.6 Cadangan Klaim ... 18
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Sumber Data ... 19
3.2 Variabel Penelitian ... 19
xiii
3.3 Diagram Alir ... 22
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN 4.1 Karakteristik Data ... 25
4.2 Estimasi Cadangan Klaim Menggunakan Metode Chain Ladder ... 28
4.3 Estimasi Cadangan Klaim Menggunakan Metode Generalized Linear Models (GLMs) dengan Pen- dekatan Over-Dispersed Poisson (ODP) ... 32
4.4 Predicton Error Estimasi Cadangan Klaim ... 38
4.5 Confidence Interval untuk Total Cadangan Klaim pada Metode GLMs ... 39
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 41
5.2 Saran ... 42
DAFTAR PUSTAKA ... 43
LAMPIRAN ... 47
xiv
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian ... 24 Gambar 4.1 Visualisasi Besar Klaim Incremental
setiap tahun kejadian ... 26 Gambar 4.2 Visualisasi Besar Klaim Cumulative
xv
xvi
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Run-off Triangle Incremental ... 9
Tabel 2.2 Distribusi Eksponensial ... 13
Tabel 2.3 Tabel Fungsi Link ... 14
Tabel 2.4 Distribusi Tweedie ... 14
Tabel 3.1 Variabel Penelitian dan Definisi Opera- sional ... 19
Tabel 3.2 Struktur Data Penelitian ... 20
Tabel 4.1 Run-off Triangle Incremental (USD) ... 25
Tabel 4.2 Hasil Perhitungan Faktor Tahun Pengem bangan ... 29
Tabel 4.3 Hasil Estimasi Jumlah Klaim-Klaim Meng- gunakan Metode Chan Ladder ... 30
Tabel 4.4 Cadangan Klaim Per Tahun Kejadian Meng- gunakan Metode Chain Ladder ... 31
Tabel 4.5 Estimasi Parameter GLMs... 33
Tabel 4.6 Hasil Estimasi Jumlah Klaim-Klaim Meng- gunakan Metode GLMs dengan Distribusi ODP ... 36
Tabel 4.7 Cadangan Klaim Per Tahun Kejadian Meng- gunakan Metode GLMs dengan Pendekatan Distribusi ODP ... .37
xvii
xviii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman Lampiran 1 Data Jumlah Klaim yang Telah
Dibayarkan Perusahaan Asuransi
Tahun 2007-2016 ... 47 Lampiran 2 Perhitungan Faktor Tahun Pengemba-
ngan ( ̂) ... 48 Lampiran 3 Perhitungan Estimasi Jumlah Klaim-
Klaim pada Bagian Bawah Run-off
Triangle Menggunakan Metode Chain
Ladder ... 49 Lampiran 4 Hasil Estimasi Cadangan Klaim Per-
Tahun Kejadian Menggunakan Metode
Chain Ladder ... 51 Lampiran 5 Perhitungan Estimasi Jumlah Klaim-
Klaim pada Bagian Bawah Run-off
Triangle Menggunakan GLMs ... 51
Lampiran 6 Hasil Estimasi Cadangan Klaim Per-
Tahun Kejadian Menggunakan GLMs ... 53 Lampiran 7 Sintak R Estimasi Cadangan Klaim
Menggunakan Metode GLMs ... 54 Lampiran 8 Hasil Estimasi Cadangan Klaim dan
Prediction Error Menggunakan Metode
GLMs ... 54
Lampiran 9 Hasil Uji Signifikansi Parameter Tahun Kejadian dan Tahun Pengembangan
Menggunakan Metode GLMs ... 55 Lampiran 10 Surat Pernyataan Data ... 57
xix
1 BAB I
PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
Selama beberapa tahun belakangan ini, perkembangan asuransi di Indonesia menunjukkan angka kemajuan yang cukup baik. Hal ini ditandai dengan meningkatnya Insurance Minded masyarakat Indonesia yang mulai melirik industri asuransi sebagai lembaga yang menjamin atau memberikan proteksi terhadap harta benda dan jiwa masyarakat yang menjadi nasabahnya. Hal ini tentu saja menjadi sebuah keuntungan tersendiri bagi perusahaan asuransi yang menyediakan layanan asuransi, di mana akan semakin luas pasar yang bisa diolah dan dijadikan sebagai sasaran penjualan produk yang mereka miliki. Berdasarkan data statistik yang dirilis oleh Otoritas Jasa Keuangan (OJK), asset industri asuransi meningkat rata-rata sebesar 18,8% tiap tahunnya sejak tahun 2009-2014. Disamping itu, prospek akan bisnis asuransi akan sangat cerah dikarenakan sampai Bulan September 2016 tingkat penetrasi dan densitas industri baru mencapai 2,63 persen dari PDB (Otoritas Jasa Keuangan, 2016). Di sisi lain, trend positif bagi para pelaku bisnis asuransi ini tentunya akan meningkatkan tanggung jawab perusahaan asuransi kepada para pemegang polis, yaitu dalam hal membayar kewajiban. Hal ini dikarenakan adanya kontrak asuransi yang sudah disepakati bersama, dimana pemegang polis diharuskan untuk membayar suatu iuran yang disebut premi sebagai biaya untuk mencover risiko yang dijaminkan dan perusahaan berkewajiban membayarkan pengganti yang disebut klaim apabila pemegang polis mendapatkan suatu kerugian. Untuk memenuhi kewajiban pembayaran klaim tersebut, perusahaan harus memiliki dana siap pakai untuk membayar klaim-klaim tersebut di masa yang akan datang, dana inilah yang disebut dengan cadangan (reserves).
Di Indonesia, dasar pembentukan cadangan adalah mengacu pada Peraturan Ketua Badan Pengawas Pasar Modal
2
(BAPEPAM) dan Lembaga Keuangan (LK) Nomor PER 09 tentang pedoman pembentukan cadangan teknis bagi perusahaan asuransi dan perusahaan reasuransi. Setiap perusahaan asuransi wajib melaporkan cadangan teknis secara berkala kepada Otoritas Jasa Keuangan (OJK). Pelaporan ini bervariasi, dapat dilakukan secara bulanan, kuartalan, ataupun tahunan. Secara garis besar, terdapat dua jenis cadangan teknis, yaitu cadangan premi dan cadangan klaim. Cadangan premi sejumlah uang yang dihimpun oleh perusahaan asuransi yang diperoleh dari selisih nilai santunan dan nilai tunai pembayaran pada suatu waktu pertanggungan sebagai persiapan pembayaran klaim (Black & Skipper, 1993). Sedangkan adalah cadangan klaim adalah sejumlah uang yang perusahaan asuransi siapkan untuk memenuhi pembayaran di masa mendatang terkait dengan klaim yang sudah terjadi namun belum dibayarkan/diselesaikan pada saat tanggal tertentu (Maher, 1992). Secara singkat, perbedaan mendasar antara keduanya adalah pada cadangan premi, kejadian yang diasuransikan belum terjadi, sedangkan pada cadangan klaim kejadian yang diasuransikan sudah terjadi tetapi pembayaran manfaat dari perusahaan asuransi ke pemegang polis belum diberikan/dibayarkan. Pada praktiknya, perusahaan asuransi tidak akan langsung membayar klaim yang terjadi kepada pemegang polis. Terdapat selang waktu (delay) antara terjadinya klaim dan pembayaran klaim. Hal ini dapat terjadi dalam asuransi karena pembayaran klaim asuransi dari suatu perusahaan pada periode tertentu terkadang tidak langsung ditindaklanjuti pada periode bersama Pada Pasal 11 peraturan PER 09, ada dua delay yang terjadi. Pertama adalah delay antara terjadinya klaim dan pelaporan klaim kepada perusahaan asuransi, disebut juga reporting delay. Pada tahap ini, tertanggung diharuskan untuk memenuhi persyaratan seperti pengumpulan berkas dan dokumen administratif klaim lainnya kepada perusahaan penanggung. Selanjutnya adalah delay antara setelah peloporan klaim sampai klaim dibayarkan, disebut juga settlement
3
pengajuan klaim yang diajukan pemegang polis. Hal ini penting untuk menentukan apakah klaim yang sudah tercatat nanti akan diputuskan untuk dibayar atau tidak kepada pemegang polis tertanggung. Lama total waktu delay ini bervariasi mulai dari harian, mingguan, bulanan, ataupun tahunan tergantung dari kondisi yang dihadapi. Oleh karena itu, penting bagi perusahaan asuransi untuk dapat melakukan estimasi yang baik terhadap cadangan klaim tersebut.
Pemodelan cadangan klaim dapat dilakukan dengan dua cara. Salah satunya adalah menggunakan model segitiga (run-off
triangle) dimana pada segitiga tersebut berisi jumlah klaim yang
telah dilaporkan pada periode tertentu dengan periode pengembangan (development). Pada penerapannya, sebagian besar perusahaan asuransi melakukan estimasi klaim menggunakan model deterministik. Salah satu metode populer yang sering digunakan adalah Metode Chain Ladder. Pada prinsipnya metode ini merupakan teknik dimana klaim pengembangan atau yang disebut dengan link factor didapatkan berdasarkan pengalaman klaim (claim experience). Asumsi utama yang mendasari metode ini adalah bahwa ada pola keterlambatan yang konsisten dalam pelaporan klaim (Life Insurance and Wealth Management Practice Committee, 2014). Link factor inilah yang digunakan dalam mengestimasi klaim yang belum dilaporkan di masa yang akan datang. Namun, metode Chain Ladder yang dikategorikan metode deterministik tidak dapat memodelkan variasi dari klaim tersebut, sehingga perusahaan asuransi kurang dapat menarik informasi penting lainnya. Pendekatan stokastik menjadi sangat penting untuk perusahaan asuransi, dalam hal ini adanya variasi sangat berguna karena perusahaan dapat mengetahui kemungkinan kecukupan liabilitas perusahaan dengan selang tertentu untuk tingkat keyakinan tertentu. Sebagai contoh, misalkan perusahaan asuransi berencana untuk menyiapkan cadangan klaim pada tahun 2017 sebesar Rp. 10 milyar untuk membayar kewajiban di masa yang akan datang. Dilain sisi, akan lebih baik lagi jika perusahaan tersebut
4
mengetahui bahwa dengan tingkat keyakinan 95%, perusahaan akan membayar klaim di tahun 2017 antara 9 – 11 Milyar rupiah. Dengan adanya informasi tambahan penting ini, perusahan asuransi dapat mengambil kebijakan-kebijakan dengan lebih tepat dan akurat terkait dengan urusan financial perusahaan. Seiring perkembangan teknologi komputer serta software yang memadai, banyak dikembangkan metode-metode statistik yang bersifat stokastik. Salah satu yang populer adalah metode Generalized
Linear Model (GLMs). Pada metode ini, tahun terjadinya klaim
dan payment delay diasumsikan bersifat stokastik. Variabel-variabel ini lah yang digunakan dalam mengestimasi cadangan klaim di masa yang akan datang. Metode stokastik ini dikembangkan oleh England dan Verral pada tahun 2002 pada publikasinya yang bejudul “Stochastic Claims Reserving in
General Insurance”. Keunggulan metode ini dalam mengestimasi
cadangan klaim adalah hasil estimasi tidak hanya dalam bentuk
expected values, namun juga dapat memodelkan variansi dari
klaim tersebut. Hal ini menjadi keunggulan tersendiri karena estimasi cadangan yang dihasilkan dapat diberikan juga dalam bentuk interval dengan tingkat keyakinan tertentu, sehingga seorang aktuaris dapat lebih fleksibel dan yakin dengan jumlah cadangan klaim yang akan disisihkan nantinya. Selain itu distribusi eror dari data klaim tidak harus berdistribusi normal, namun dapat memuat distribusi-distribusi lainnya seperti
distribusi tweedie. Hal ini membuat metode GLMs lebih fleksibel
untuk digunakan dan menghasilkan selang kepercayaan yang mampu menangkap risiko yang lebih tinggi daripada metode regresi biasa. Dalam Metode Generalized Linear Model ini, ada banyak pendekan distribusi yang digunakan seperti pendekatan
Over-Dispersed Poisson (ODP) dan Negative Binomial (NB).
Berdasarkan penelitian England dan Verral pada tahun 2002 tersebut, didapatkan kesimpulan bahwa estimasi cadangan klaim dengan kedua pendekatan tersebut memberikan hasil yang tidak berbeda signifikan dengan Metode Chain Ladder. Namun, adanya selang kepercayaan yang dihasilkan dengan metode GLMs ini
5
menjadi keunggulan dalam memberikan informasi yang lebih akurat terhadap perusahaan. Selain itu, metode stokastik dapat mengukur seberapa besar nilai eror yang dihasilkan dari cadangan klaim dan nilai eror yang dihasilkan tidak harus mengikuti distribusi normal sehingga lebih fleksibel dalam penggunaan data untuk analisis nantinya.
Berdasarkan uraian di atas, dapat diketahui bahwa fokus yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah estimasi cadangan klaim menggunakan Generalized Linear Model dengan pendekatan Over-Dispersed Poisson (ODP). Selanjutnya akan dibandingkan hasil estimasi klaim tersebut menggunakan Metode Chain Ladder. Pengaplikasian akan diterapkan pada data sekunder besar klaim yang sudah dibayarkan pada salah satu perusahaan asuransi umum di Amerika Serikat yaitu United Services Automobile Asn Grp dari tahun 1988 sampai dengan 1997 yang bersumber dari website resmi Casualty Actuarial
Society. Dengan demikian, adanya penelitian ini diharapkan dapat
memberikan masukan kepada perusahaan-perusahaan asuransi yang tertarik menggunakan metode ini sebagai rujukan dalam pembentukan cadangan klaim dalam rangka untuk mendapatkan hasil estimasi yang lebih akurat dan dan optimum sehingga kewajiban untuk melakukan pembayaran klaim kepada para nasabah dapat dilakukan dengan lancar dan sisa uang yang tidak disisihkan dapat digunakan untuk kegiatan operasional perusahaan ataupun melakukan investasi-investasi yang menguntungkan.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan sebelumnya, maka rumusan masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah melakukan estimasi cadangan klaim menggunakan Metode Chain Ladder dan Generalized Linear
Model (GLMs) dengan pendekatan Over-Dispersed Poisson
(ODP).Selanjutnya akan dilakukan perbandingan hasil dengan menggunakan kedua metode tersebut.
6
1.3. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Mengestimasi cadangan klaim menggunakan Metode Chain Ladder dan
2. Mengestimasi cadangan klaim menggunakan Metode
Generalized Linear Models (GLMs) dengan pendekatan Over-Dispersed Poisson (ODP)
3. Menghitung nilai prediction eror dari hasil estimasi cadangan klaim yang dihasilkan oleh Metode Generalized
Linear Models menggunakan pendekatan Mean Square Eror Prediction (MSEP).
4. Membandingkan hasil estimasi cadangan kedua metode tersebut
1.4. Manfaat Penelitian
Adapun beberapa manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Menambah wawasan mengenai aplikasi statistika dalam menerapkan Metode Chain Ladder dan Metode
Generalized Linear Model di bidang aktuaria dan asuransi.
2. Memberikan masukan kepada perusahaan-perusahaan asuransi yang tertarik menggunakan metode ini sebagai rujukan dalam pembentukan cadangan klaim.
3. Hasil penelitian ini dapat dijadikan referensi untuk penelitian-penelitian berikutnya.
1.5. Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah data yang digunakan merupakan data klaim polis asuransi yang sudah dibayarkan pada perusahaan asuransi umum di Amerika Serikat, yaitu United Services Automobile Asn Grp dari tahun 1988 sampai dengan tahun 1997. Data tersebut merupakan data yang sudah dibersihkan, sehingga data tersebut siap pakai. Selanjutnya, analisis cadangan klaim menggunakan Metode Generalized
7
Linear Models (GLMs) mengacu kepada asumsi Model Chain
8
9 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Run-off Triangle
Salah satu cara untuk mengestimasi cadangan klaim adalah menggunakan run-off triangle data. Run-off triangle data memuat gambaran klaim keseluruhan (aggregate) berdasarkan accident
period dan development period, dan merupakan ringkasan dari
suatu dataset klaim-klaim individu. Periode yang digunakan dalam run-off triangle bervariasi tergantung kebutuhan perusahaan, seperti menggunakan periode tahunan, kuartalan, ataupun bulanan. Data yang ada dalam run-off triangle biasanya merupakan salah satu dari dua kemungkinan berikut, yaitu besarnya klaim (claims amount) atau banyaknya klaim (number
of claims), dimana keduanya tersaji dalam bentuk incremental
atau cumulative. Untuk lebih terfokus, bahasan selanjutnya akan diilustrasikan adalah data besarnya klaim (claims amount).
Misalkan merupakan peubah acak besarnya klaim (claim amount) dalam bentuk incremental untuk klaim-klaim yang terjadi pada periode dan dibayarkan pada development
period j, dimana dan . Tabel 1
mengilustrasikan run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk incremental, dimana baris menunjukkan accident
period, kolom menunjukkan development period, sedangkan
diagonal (kiri bawah sampai kanan atas) merepresentasikan pembayaran klaim dalam setiap payment period. Run-off triangle data adalah sel-sel untuk yang berada dalam segiti bagian atas, sedangkan future triangle data adalah sel-sel untuk yang berada dalam segitiga bagian bawah.
Tabel 2.1. Run-off Triangle Incremental
Periode Kejadian Periode Pengembangan
1 2 … j … n-1 n
10
Tabel 2.1. Lanjutan
Periode Kejadian Periode Pengembangan
1 2 … j … n-1 n 1 … … 2 … … … … … … i … … … … … n-1 n
Sebagai contoh, adalah peubah acak yang menyatakan besar klaim yang terjadi pada accident period 1 dan dibayarkan pada development period ke-2. Run-off triangle data dalam bentuk cumulative, dapat dibentuk berdasarkan incremental melalui hubungan berikut,
∑ ; untuk (2.1) dimana adalah besar klaim kumulatif untuk klaim yang terjadi pada accident year i dan dibayarkan sampai dengan
development period j.
(Friedland, 2010) 2.2. Chain Ladder
Estimasi klaim menggunakan Metode Chain Ladder adalah dengan menggunakan data kumulatif besar klaim pada run-off
triangle berdasarkan faktor pengembangan atau link ratios. Tahap
awal dalam metode ini adalah membentuk run-off triangle kumulatif. Misalkan adalah besar klaim kumulatif untuk klaim yang terjadi pada accident year i dan dibayarkan sampai dengan development period j. Selanjutnya, estimasi cadangan klaim yang akan datang pada bagian run-off triangle dihitung berdasarkan faktor development menggunakan persamaan berikut.
11 ̂ ∑ ∑ untuk (2.2) Selanjutnya faktor development tersebut digunakan untuk menaksir total klaim pada run-off triangle kumulatif bagian bawah sampai development period j. Perhitungan estimasi tersebut dijelaskan berdasarkan persamaan di bawah ini.
̂ ̂ ̂ untuk (2.3) Setelah mendapatkan total klaim sampai development
period j, digunakan untuk mengestimasi cadangan klaim untuk accident period ke-i, untuk . Estimasi cadangan klaim tersebut dapat dihitung dengan persamaan berikut.
̂ ̂ ̂ (2.4) dimana ̂ adalah penaksir tak bias untuk . Selanjutnya estimasi total cadangan klaim dapat dihitung berdasarkan persamaan berikut.
̂ ∑ ̂ (2.5)
(England & Verrall, 2002) Model Chain Ladder terbagi menjadi dua bagian yakni Chain Ladder Rekursif dan juga Non-Rekursif (Verrall R. J., 2000). Dalam tugas akhir ini, model Chain Ladder Non-Rekursif digunakan sebagai acuan dalam analisis estimasi cadangan klaim menggunakan Generalized Linear Models (GLMs).
Model Chain Ladder Non-Rekursif ini memiliki dua asumsi, yaitu:
1. Nilai saling bebas untuk setiap dan
2. Untuk setiap dan j berlaku:
[ ]
~ Over-Dispersed Poisson ( )
Model di atas mengacu kepada asumsi bahwa mean merupakan eksponensial dari penjumlahan konstanta , dan parameter dari setiap tahun kejadian ( dan setiap tahun pengembangan ( pada run-off triangle. Model ini dikatakan
12
non-rekursif karena diasumsikan antara dan nilai sebelumnya tidak mempengaruhi satu sama lain. Oleh karena itu, diasumsikan berdistribusi Over-Dispersed Poisson (ODP).
(Verrall R. J., 2000) 2.3. Generalized Linear Models (GLMs)
Dalam pemodelan regresi terdapat dua jenis variabel, yaitu variabel respon dan prediktor. Variabel respon merupakan variabel terikat yang menjadi objek penjelasan suatu model. Sedangkan prediktor merupakan variabel tak terikat yang menjelaskan suatu model. Variabel respon dan prediktor dapat berupa variabel kontinu atau kategorikal.
Analisis regresi linier adalah salah satu analisis yang mengukur hubungan antara variabel prediktor dengan variabel responnya. Asumsi yang harus dipenuhi dalam regresi linier adalah eror berdistribusi normal dan memiliki variansi yang konstan (homoskedastik). Namun, pada kenyataannya, asumsi tersebut seringkali tidak terpenuhi, misalnya eror tidak berdistribusi normal dan variansinya tidak konstan (heteroskedastik). Sehingga, untuk menyempurnakan model tersebut, Nelder dan Wedderburn pada tahun 1972 menciptakan suatu model bernama Generalized Linear Model (GLMs), dimana asumsi tersebut dapat digunakan kepada variabel respon tidak hanya berdistribusi normal saja akan tetapi seluruh distribusi yang termasuk kedalam distribusi keluarga eksponensial.
GLMs digunakan untuk menaksir dan mengukur hubungan antara variabel respon dan prediktor. Pemodelan menggunakan GLMs berbeda dari pemodelan regresi linier biasa. Berikut ini adalah dua hal yang membedakan pemodelan menggunakan GLMs dengan pemodelan regresi linier biasa:
i. Distribusi variabel respon dipilih dari distribusi keluarga eksponensial
ii. Transformasi mean dari variabel respon berhubungan linier dengan kovariat.
13
Pemilihan distribusi variabel respon yang termasuk dalam distribusi keluarga eksponensial akan berpengaruh pada sifat variabel respon yang menjadi heterokedastik, yakni variansinya akan bervariansi terhadap mean bergantung pada kovariat-kovariatnya. Ini berbeda dengan asumsi homokedastik dari regresi linier pada umumnya, yang menyatakan bahwa variansinya akan konstan (McCullangh & Nelder, 1989).
2.3.1. Distribusi Keluarga Eksponensial
Bentuk umum dari fungsi distribusi keluarga eksponensial untuk variabel respon Y adalah :
(2.6) dengan dan masing-masing adalah parameter kanonik dan parameter disperse dari seuluruh distribusi yang ada. Sedangkan dan adalah fungsi yang sudah diketahui. Berikut ini adalah beberapa distribusi yang mungkin dari distribusi keluarga eksponensial:
Tabel 2.2. Distribusi Eksponensial
Distribusi E(Y) V( ) Normal ( 1 Poisson ( 1 Gamma ( ) Binomial ( 1
(McCullangh & Nelder, 1989) 2.3.2. Link dan Canonical Link
Fungsi Link merupakan fungsi yang menjelaskan hubungan yang linier antara fungsi dan transformasi dari mean dengan variabel respon dan prediktor, dinotasikan dengan . Adapun Fungsi Link secara umum yang sering digunakan adalah sebagai berikut.
14
Tabel 2.3. Tabel Fungsi Link
Link Function Canonical Link identity Normal
log Poisson power Gamma (p=-1)
logit Binomial
(McCullangh & Nelder, 1989) 2.3.3. Distribusi Tweedie
Distribusi tweedie merupakan salah satu anggota distribusi keluarga eksponensial. Untuk setiap variabel random y, terdapat hubungan antara nilai varians dan mean yang dijelaskan pada persamaan berikut.
(2.7) dimana nilai a dan p bernilai positif konstan. Nilai p tersebut akan menentukan distribusi yang dihasilkan. Berikut adalah beberapa distribusi yang merupakan anggota dari distribusi tweedie:
Tabel 2.4. Distribusi Tweedie
Nilai p Distribusi 0 Normal
1 Overdispersed Poisson (ODP) 2 Gamma
Secara umum, distribusi tweedie memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:
Khusus untuk Distribusi ODP, nilai .
(Taylor & McGuire, 2016) 2.4. Model Distribusi Over-Dispersed Poisson (ODP)
Distribusi ODP dikategorikan sebagai model Chain Ladder Non-Rekursif. Asumsi dari model non-rekursif tersebut adalah
15
nilai saling bebas untuk setiap dan . Distribusi ODP merupakan salah satu anggota dari distribusi tweedie dan distribusi tweedie merupakan salah satu anggota keluarga eksponensial. Artinya, distribusi ODP dapat dimodelkan kedalam bentuk generalized linear models (GLMs). Distribusi ODP berdasarkan Tabel 2.3 merupakan anggota distribusi tweedie dengan (McCullangh & Nelder, 1989).
Misalkan merupakan besar klaim incremental berdistribusi ODP dengan parameter , maka total klaim yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi adalah:
∑ ∑ (2.8) dimana adalah variabel random independen. Dengan menggunakan ekspektasi kondisional dan varian, didapatkan nilai ekspektasi dan variansi dari ODP tersebut sebagai berikut.
[ ] (2.9) [ ]
[ ]
(2.10) Perbedaan mendasar antara distribusi ODP dan Poisson adalah pada nilai varians nya. Pada distribusi ODP, nilai variansinya lebih besar daripada nilai mean nya., sedangkan distribusi poisson memiliki nilai mean dan variansi yang sama besar. Perbedaan itu disebabkan adanya parameter yang merupakan suatu parameter dispersi bernilai lebih dari 1. Dari persamaan (2.9) diketahui bahwa . Jika persamaan tersebut dibuat dalam bentuk ln maka persamaan tersebut menjadi:
( ) (2.11) dengan dan . Selanjutnya, parameter-parameter yang terdapat dalam fungsi GLMs tersebut akan diestimasi menggunakan metode Maximum Likelihood Estimator (MLE). Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan fungsi ln
16
likelihood dari model. Berikut adalah fungsi ln likelihood
tersebut. ( ) ∑ ∑ { } (2.12)
Setelah membentuk fungsi ln likelihood, kemudian untuk menda-patkan nilai maksimumnya fungsi ( ) didiferensialkan terhadap parameter yang akan dicari dan disamadengankan 0.
( ) ∑ ∑ (2.13) ( ) ∑ (2.14) ( ) ∑ (2.15)
Sehingga diperoleh persamaan dari setiap parameter sebagai berikut. ̂ *∑ ∑ ( )+ (2.16) ̂ *∑ + (2.17) ̂ *∑ + (2.18)
Setelah itu, estimasi parameter , , dan didapatkan dengan analisis numerik menggunakan software R. Selanjutnya, estimasi cadangan klaim dapat diperoleh dengan memasukkan parameter tersebut kedalam persamaan (2.10) dan meng-eksponenkannya, seperti dijelaskan pada persamaan berikut.
̂ ̂ (2.19) Selanjutnya, rumus untuk penghitung parameter dispersi adalah sebagai berikut. Langkah pertama adalah menghitung residual
pearson ( ) dengan rumus sebagai berikut. ̂ √ ̂
17
Selanjutnya, nilai digunakan untuk menaksir parameter ̂ menggunakan rumus berikut.
̂ ∑ ∑ ( ̂ √ ̂ ) (2.21)
dengan adalah jumlah data dan adalah jumlah parameter. Salah satu keunggulan metode stokastik pada estimasi cadangan klaim adalah dapat memberikan batas atas dan bawah dari estimasi atau yang disebut dengan confidence interval. Rumus dari confidence interval total cadangan klaim dengan tingkat signifikansi 5% adalah sebagai berikut.
̂ √̂ (2.22)
(England & Verrall, 2002) 2.5. Prediction Error Cadangan Klaim
Cadangan klaim merupakan proses yang sifatnya masih dugaan, yakni akan memprediksi besarnya klaim yang akan terjadi di masa yang akan datang sehingga dalam hal ini diperlukan suatu ukuran untuk melihatan keakuratan dari prediksi tersebut. Salah satu alat ukur tersebut yaitu menggunakan
prediction error yang merupakan akar dari mean square error of prediction (MSEP). Mean square error of prediction (MSEP)
untuk estimasi cadangan klaim ̂ dapat diaproksimasi sebagai berikut.
*( ̂ ) + ( [ ] [ ̂ ]) [ ̂ ] [ ̂ ]
[ ] [ ̂ ] (2.23) dengan [ ] disebut process variance dan [ ̂ ] adalah
estimation variance. Selanjutnya, karena bersifat unbiased, maka [ ̂ ] sehingga( [ ] [ ̂ ]) bernilai 0.
Untuk menghitung MSEP, hal pertama yang dilakukan adalah menghitung variansi dari . Diketahui sebelumnya
18
berdasarkan persamaan (2.8) dan (2.9) bahwa mean dan varians dari distribusi ODP adalah dan . Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan tersebut dan deret Taylor, didapatkan:
[ ̂ ] [ ̂ ] |
| ̂ (2.24) Dengan mensubstitusikan persamaan (2.9) dan (2.19) ke dalam persamaan (2.18) didapatkan:
( ̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ (2.25)
Prediction error dapat diperoleh dengan mengakar-kuadratkan
MSEP sehingga diperoleh persamaan:
√ ̂ ̂ ̂ ̂ (2.26) (England & Verrall, 2002)
2.6. Cadangan Klaim
Perusahaan asuransi mungkin tidak mengetahui biaya atau pengeluaran sebenarnya dari polis yang dijual selama periode pelaporan keuangan sampai beberapa tahun ke depan. Namun demikian, perusahaan asuransi diharuskan melaporkan hasil keuangan secara teratur. Cadangan klaim merupakan suatu estimasi kewajiban/liabilitas perusahaan asuransi di masa depan untuk klaim-klaim yang terjadi pada atau sebelum periode pelaporan pada laporan keuangan, tetapi belum dibayarkan oleh perusahaan kepada pemegang polis. Selain itu, cadangan klaim diklasifikasikan sebagai liabilitas pada laporan akuntasi dikarenakan adanya keharusan untuk membayar klaim-klaim tersebut di masa mendatang. Tingkat akurasi dalam memperkirakan klaim yang belum dibayar adalah suatu hal yang penting bagi perusahaan asuransi. Jumlah cadangan klaim dapat dihitung secara subyektif ataupun secara statistik (dengan mengevaluasi kerugian masa lalu untuk memproyeksikan kerugian di masa depan).
19 BAB III
METODOLOGI PENELITIAN 6.1. Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder merupakan data sekunder besar klaim polis asuransi yang sudah dibayarkan pada salah satu perusahaan asuransi umum di Amerika Serikat, yaitu United Services Automobile Asn Grp dari tahun 1988 sampai dengan tahun 1997. Data tersebut diambil dari website resmi Casualty Actuarial Society. Produk asuransi yang tersebut merupakan produk asuransi kecelakaan mobil untuk kepemilikan mobil yang bersifat private. Data yang digunakan adalah data yang telah dibersihkan, yaitu sudah melibatkan adanya unsur reasuransi dan expense sehingga data tersebut dapat langsung digunakan pada penelitian ini.
6.2. Variabel Penelitian
Variabel-variabel yang digunakan dalam penelitian ini terdiri atas variabel respon dan variabel prediktor. Variabel respon yaitu data klaim yang telah dibayarkan oleh perusahaan, sedangkan digunakan dua variabel prediktor, yaitu tahun saat klaim terjadi (tahun kejadian) dan tahun pengembangan. Penjelasan mengenai variabel yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 3.1 sebagai berikut.
Tabel 3.1 Variabel Penelitian dan Definisi Operasional
No Variabel Simboll Skala Definisi 1 Besar Klaim
Incremental Rasio
Besar klaim yang telah dibayarkan perusahaan asuransi kepada tertanggung pada periode ke- sampai dengan periode ke-i+j 2 Tahun Kejadian Rasio Tahun terjadinya klaim 3 Tahun
Pengembangan Rasio
Selang waktu penundaan antara terjadinya klaim dengan pembayaran klaim kepada
20
Struktur data dalam penelitian ini disajikan dalam Tabel 3.2a dan Tabel 3.2b. Pada Tabel 3.1 data yang telah dibersihkan kemudian dikelompokkan berdasarkan accident year dan
development year sehingga terbentuk suatu run-off triangle incremental. Selanjutnya Tabel 3.2b menjelaskan transformasi
struktur data dari run-off triangle incremental menjadi bentuk tabel yang khusus dibuat untuk analisis menggunakan Metode GLMs. Pada tabel tersebut, variabel prediktor (tahun kejadian) dan (tahun pengembangan) digunakan untuk Metode GLM dengan pendekatan Over-Dispersed Poisson (ODP).
Tabel 3.2. Struktur Data Penelitian
Accident Year (i) Development Year (j) 1 2 3 8 9 10 1988 1989 1996 1997 Tabel 3.2. Lanjutan Tahun Kejadian ( ) Tahun Pengem-bangan ( ) Log - Incremental Claim ( ) 1988 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1989 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1989 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1989 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1990 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1990 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1990 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0
21 Tabel 3.2. Lanjutan Tahun Kejadian ( ) Tahun Pengem-bangan ( ) Log - Incremental Claim ( ) 1990 9 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1991 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1991 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1991 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1991 8 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1996 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1996 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1997 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6.3. Langkah Analisis
Langkah analisis yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Mengelompokkan data klaim ke dalam segitiga klaim
(run-off triangle) incremental berdasarkan tahun kejadian dan
tahun pengembangan.
2. Mendeskripsikan karakteristik dari data klaim.
3. Menghitung estimasi cadangan klaim berdasarkan Metode Chain Ladder. Berikut adalah langkah-langkah dalam menerapkan metode Chain Ladder.
a. Menghitung parameter/development factor untuk setiap sel sampai development period j pada run-off triangle. b. Menghitung estimasi klaim yang akan datang pada
accident period ke-i untuk menggunakan parameter-parameter yang sudah didapatkan.
22
c. Menghitung estimasi total cadangan klaim untuk dengan melakukan menjumlahkan seluruh estimasi total klaim pada setiap tahun kejadian.
4. Mentransformasi data pada run-off triangle ke dalam struktur GLMs.
5. Menghitung estimasi cadangan klaim berdasarkan Metode GLMs dengan pendekatan ODP. Langkah-langkah dalam estimasi cadangan klaim adalah sebagai berikut.
a. Melakukan estimasi parameter-parameter dari distribusi ODP dengan menggunakan metode maximum likelihood dan fungsi link yang digunakan adalah fungsi link ln. b. Menghitung mean dari distribusi ODP berdasarkan
parameter-parameter yang sudah didapatkan untuk mencari estimasi klaim setiap accident year dan
development year yang akan datang.
c. Menghitung estimasi klaim yang akan datang pada
accident period ke-i untuk menggunakan parameter-parameter yang sudah didapatkan.
d. Menghitung estimasi total cadangan klaim untuk dengan melakukan menjumlahkan seluruh estimasi total klaim pada setiap accident period.
e. Menghitung prediction error dari estimasi total cadangan klaim yang menggunakan pendekatan Mean Square
Error Prediction (MSEP).
f. Menghitung Confidence Interval untuk total cadangan klaim
6. Membandingkan hasil estimasi cadangan klaim berdasarkan kedua metode.
7. Menarik kesimpulan berdasarkan analisis yang sudah didapatkan.
6.4. Diagram Alir
Langkah analisis yang telah disebutkan pada sub-bab 3.3 dapat ditulis secara umum dalam bentuk diagram alir. Gambar 3.1 menunjukkan diagram alir dari analisis perhitungan estimasi total
23
cadangan klaim berdasarkan data klaim yang sudah dibayarkan oleh perusahaan asuransi umum tersebut.
24
25
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan diuraikan hasil analisis perhitungan cadangan klaim berdasarkan pada data salah satu perusahaan asuransi umum. Analisis yang dipaparkan pada Bab ini meliputi analisis deskriptif, estimasi cadangan klaim pada menggunakan Metode Chain Ladder dan Generalised Linear Models (GLMs) dengan pendekatan Over-Dispersed Poisson (ODP), dan estimasi
prediction error pada Metode GLMs.
4.1 Karakteristik Data
Polis asuransi yang digunakan pada Data Tugas Akhir ini adalah polis asuransi yang memberikan manfaat asuransi kepada pemegang polis yang mengalami kecelakaan mobil. Untuk mengestimasi cadangan klaim menggunakan run-off triangle ke dalam struktur run-off triangle dimana dalam run-off triangle dalam bentuk klaim inceremental dapat dilihat pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1. Run-off Triangle Incremental (USD) Tahun Kejadian Tahun Pengembangan
1 2 3 4 5 1988 271778 258282 170611 82938 61371 1989 296828 304995 178348 108590 56209 1990 334331 341697 202556 112094 48326 1991 354530 387048 208552 113348 48730 1992 423048 432495 205477 96655 46835 1993 484849 470218 216864 98809 53992 1994 541361 474967 198627 105175 1995 547102 438923 199275 1996 561687 404475 1997 542021
26
Tabel 4.1. Lanjutan (USD)
Tahun Kejadian Tahun Pengembangan
6 7 8 9 10 1988 25626 9337 3927 1757 707 1989 23148 8047 3056 2927 1990 22054 9804 4675 1991 19007 7160 1992 22140 1993 1994 1995 1996 1997
Berdasarkan Tabel 4.1 terlihat bahwa jumlah tahun pengembangan (development year) adalah selama sepuluh tahun. Artinya, klaim-klaim yang terjadi pada tahun 1988 sebagian diselesaikan pada tahun pertama yaitu pada tahun 1988, sebagian diselesaikan pada tahun kedua yaitu tahun 1989 dan seterusnya sampai tahun 1997 sehingga seluruh klaim diselesaikan pada akhir tahun ke 10 secara tuntas.
Selanjutnya akan disajikan visualisasi dari besar klaim-klaim yang telah dibayarkan tersebut dalam bentuk incremental dan cumulative. Bentuk cumulative klaim ini didapatkan dari penjumlahan klaim-klaim yang telah dibayarkan perusahaan menurut tahun kejadian sampai tahun pengembangan ke-10. Visualisasi ini berguna untuk mengetahui trend dari besar klaim-klaim yang terjadi pada setiap tahun kejadian.
27
Gambar 4.1 Visualiasi Besar Klaim Incremental setiap tahun kejadian
dalam satu grafik (kiri) dan grafik terpisah (kanan)
Berdasarkan Gambar 4.1 bagian kiri terlihat bahwa besar klaim-klaim yang diselesaikan pembayarannya pada umumnya besar pada tahun pertama dan kedua kemudian semakin menurun pada tahun-tahun berikutnya. Hal ini memang wajar terjadi pada kenyataan real di perusahaan asuransi bahwa perusahaan akan cenderung membayar klaim-klaim pemegang polis pada saat tahun pertama kejadian atau dua tahun setelah kejadian. Setelah dua tahun awal tersebut, besar klaim pada setiap tahun kejadian akan menurun drastis dikarenakan sudah hampir semua klaim sudah selesai terbayarkan, hanya menyisakan klaim-klaim yang pembayarannya tertunda lama. Biasanya, klaim-klaim yang penundaannya hampir bertahun-tahun terjadi karena pengajuan klaim dari pemegang polis ditolak oleh perusahaan asuransi yang disebabkan oleh kurang lengkapnya data pendukung klaim. Selain itu, ada beberapa kasus klaim yang ditolak oleh perusahaan asuransi akan dibawa ke pengadilan tinggi oleh pemegang polis sehingga proses pada pengadilan tinggi inilah yang memakan waktu sampai bertahun-tahun.
Pada Gambar 4.1 bagian kanan, terlihat bahwa besar klaim pada tahun pengembangan pertama dan kedua sangat besar lalu
28
diikuti oleh penurunan drastis di tahun pengembangan selanjutnya dan besar klaim tersebut terus turun terhadap waktu.
Gambar 4.2 Visualiasi Besar Klaim Cumulative setiap tahun kejadian
dalam satu grafik (kiri) dan grafik terpisah (kanan)
Berdasarkan Gambar 4.2 bagian kiri terlihat bahwa secara umum, besar klaim-klaim terbesar yang telah dibayarkan oleh perusahaan asuransi adalah klaim-klaim yang terjadi pada tahun 1994 (ditandai dengan garis bernomor tujuh). Hal ini terlihat dari grafik pada tahun pengembangan pertama sampai keempat, besar klaim pada tahun 1994 selalu berada di paling atas. Disatu sisi, tahun 1989 (ditandai dengan garis bernomor satu) merupakan besar klaim-klaim terkecil diantara tahun-tahun kejadian lainnya, ditandai dengan konsisten nya tahun tersebut berada di garis paling bawah pada seluruh tahun pengembangan. Selanjutnya diberikan juga besar klaim kumulatif yang disajikan terpisah per tahun kejadiaan pada Gambar 4.2 bagian kanan. Pada grafik tersebut juga dapat dilihat tahun kejadian klaim yang terbesar dan terkecil yang memberikan kesimpulan yang sama dengan grafik sebelah kiri.
4.2 Estimasi Cadangan Klaim Menggunakan Metode Chain Ladder
Metode Chain Ladder merupakan metode deterministik yang paling populer dan banyak digunakan oleh para aktuaris di
29
perusahaan asuransi dalam mengestimasi cadangan klaim. Pada sub-bab ini akan diterapkan metode ini dengan menggunakan data yang sudah dijelaskan pada sub-bab sebelumnya. Data klaim-klaim tersebut yang digunakan adalah data yang sudah dibentuk ke dalam run-off triangle kumulatif. Berikut adalah perhitungan dari Metode Chain Ladder.
1. Mengestimasi Faktor Tahun Pengembangan ( ̂)
Langkah pertama adalah mengestimasi faktor tahun pengembangan pada setiap tahun kejadian dan tahun pengembangan menggunakan persamaan (2.2). ̂ adalah faktor pengembangan untuk klaim-klaim yang terjadi pada tahun dan diabayarkan pada tahun pengembangan .
̂ ̂
Perhitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 2. Berikut adalah ringkasan faktor tahun pengembangan yang dijelaskan pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2. Hasil Perhitungan Faktor Tahun Pengembangan
̂ 1.921 1.248 1.106 1.051 1.022 1.009 1.004
Tabel 4.2. Lanjutan (USD)
̂ 1.003 1.001
30
2. Mengestimasi Jumlah Klaim-Klaim pada Bagian Bawah
Run-off Triangle
Langkah selanjutnya adalah mengestimasi jumlah klaim-klaim pada bagian bawah run-off triangle menggunakan faktor tahun pengembangan yang sudah dihitung sebelumnya. Pada langkah ini akan disajikan untuk tahun kejadian 1989 dan 1990. Dengan menggunakan persamaan (2.3) didapat hasil sebagai berikut.
̂ 982932,053 ̂ 1078241,01 ̂ 1079101,77
Perhitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 3. Tabel 4.3 adalah hasil lengkap estimasi jumlah klaim-klaim pada bagian bawan run-off triangle. Hasil estimasi dibulatkan ke pembulatan terdekat. Kolom hasil perhitungan ditandai dengan warna kuning.
Tabel 4.3. Hasil Estimasi Jumlah Klaim-Klaim Menggunakan Metode
Chain Ladder (USD)
Tahun Kejadian Tahun Pengembangan 1 2 3 4 5 1988 271778 530060 700671 783609 844980 1989 296828 601823 780171 888761 944970 1990 334331 676028 878584 990678 1039004 1991 354530 741578 950130 1063478 1112208 1992 423048 855543 1061020 1157675 1204510 1993 484849 955067 1171931 1270740 1324732 1994 541361 1016328 1214955 1320130 1387791 1995 547102 986025 1185300 1311172 1378375 1996 561687 966162 1206137 1334223 1402607 1997 542021 1041081 1299666 1437684 1511371
31
Tabel 4.3. Lanjutan (USD) Tahun Kejadian Tahun Pengembangan 6 7 8 9 10 1988 870606 879943 883870 885627 886334 1989 968118 976165 979221 982148 982932 1990 1061058 1070862 1075537 1078241 1079101 1991 1131215 1138375 1142909 1145782 1146697 1992 1226650 1237102 1242029 1245152 1246146 1993 1353559 1365093 1370530 1373975 1375072 1994 1417991 1430073 1435769 1439379 1440528 1995 1408370 1420370 1426028 1429613 1430754 1996 1433129 1445341 1451098 1454746 1455907 1997 1544260 1557418 1563621 1567553 1568804
3. Menghitung Cadangan Klaim Pada Setiap Tahun Kejadian Jumlah klaim-klaim yang sudah didapat akan dapat diketahui cadangan klaim yang dibutuhkan perusahaan asuransi pada setiap tahun kejadian. Berikut adalah contoh perhitungan dari cadangan klaim tersebut dengan menggunakan persamaan (2.4).
̂ ̂ ̂
Perhitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 4. Tabel 4.4 adalah cadangan klaim per tahun kejadian dari perusahan asuransi tersebut.
Tabel 4.4. Cadangan Klaim Per Tahun Kejadian Menggunakan Metode
Chain Ladder (USD)
Tahun Kejadian Cadangan Klaim
32
Tabel 4.4. Lanjutan (USD) Tahun Kejadian Cadangan Klaim
1989 784,053 1990 3564,774 1991 8322,173 1992 19496,172 1993 50340,752 1994 120398,495 1995 245454,588 1996 489745,709 1997 1026783,415
4. Menghitung Total Cadangan Klaim
Cadangan klaim total dihitung dengan menjumlahkan seluruh cadangan klaim pada tahun-tahun kejadian, sesuai dengan persamaan (2.5). Berikut adalah perhitungan total cadangan klaim.
̂
Artinya, pada tahun 1998 perusahaan asuransi tersebut perlu menyiapkan cadangan sebesar USD 1964890,133 untuk dapat membayar klaim-klaim di masa yang akan datang. Selanjutnya, angka cadangan klaim inilah yang akan di submit dalam laporan keuangan awal tahun perusahaan asuransi pada tahun 1998.
4.3 Estimasi Cadangan Klaim Menggunakan Metode Generalized Linear Models (GLMs) dengan Pendekatan Over-Dispersed Poisson (ODP)
Metode Generalized Linear Models (GLMs) merupakan metode estimasi cadangan klaim yang bersifat stokastik. Metode ini juga dapat disebut sebagai Metode Chain Ladder Stokastik karena GLMs yang digunakan adalah berdasarkan model agregat
33
run-off triangle. Data klaim-klaim tersebut yang digunakan
adalah data run-off triangle incremental.
Pada Distribusi ODP ini, diasumsikan bahwa model mengikuti asumsi Model Chain Ladder Non-Rekursif dimana berdistribusi Over-Dispersed Poisson. Langkah pertama adalah mengestimasi parameter-parameter dari setiap variabel prediktor, yaitu variabel accident year dan development year. Hasil estimasi parameter disajikan pada Tabel 4.5.
Tabel 4.5. Estimasi Parameter GLMs
Paramter Estimate T-Hitung P-Value
Intercept 12,6321 192,097 0,000* 0,1035 1,232 0,2259 0,1968 2,393 0,02206* 0,2576 3,170 0,00311* 0,3407 4,259 0,0001* 0,4392 5,571 0,000* 0,4857 6,144 0,000* 0,4789 5,904 0,000* 0,4963 5,805 0,000* 0,5710 5,604 0,000* -0,0826 -1,949 0,05911 -0,7401 -13,498 0,000* -1,3679 -18,319 0,000* -1,9955 -18,606 0,000* -2,8022 -16,033 0,000* -3,7182 -11,939 0,000* -4,4703 -8,398 0,000* -4,9264 -5,874 0,000* -6,0711 -2,816 0,0078* *: Signifikan pada
34
Berdasarkan Tabel 4.5 simbol , , …, menyatakan estimasi untuk variabel prediktor tahun kejadian ( ), sedangkan , , …, menyatakan estimasi untuk variabel prediktor
Development Year ( ). Selanjutnya dilakukan pengujian hipotesis untuk mengetahui parameter-parameter tahun kejadian dan tahun pengembangan mana saja yang berpengaruh signifikan terhadap model regresi. Hipotesis untuk pengujian parameter tahun kejadian pada persamaan regresi adalah sebagai berikut.
Hipotesis
(Pengaruh variabel tahun kejadian ke-i terhadap estimasi cadangan klaim tidak signifikan)
(Pengaruh variabel tahun kejadian ke-i terhadap estimasi cadangan klaim signifikan)
dimana Tingkat Signifikansi Daerah Penolakan Tolak jika | atau .
Diketahui bahwa semua parameter tersebut signifikan, kecuali , yaitu tahun kejadian pada tahun 1989. Ini artinya, klaim-klaim yang terjadi pada tahun 1989 tidak berpengaruh signifikan terhadap estimasi cadangan klaim.
Selanjutnya dilakukan uji hipotesis untuk pengujian parameter tahun pengembangan pada persamaan regresi yang dijelaskan sebagai berikut.
Hipotesis
(Pengaruh variabel tahun pengembangan ke-j terhadap estimasi cadangan klaim tidak signifikan)
(Pengaruh variabel tahun pengembangan ke-j terhadap estimasi cadangan klaim signifikan) dimana
35
Daerah Penolakan
Tolak jika atau .
Diketahui bahwa semua parameter tersebut signifikan, kecuali , yaitu development year kedua. Ini artinya, tahun pengembangan kedua tidak berpengaruh signifikan terhadap estimasi cadangan klaim.
Model regresi yang terbentuk digunakan unuk mengestimasi cadangan klaim perusahaan di masa yang akan datang. Berikut adalah model regresi yang terbentuk berdasarkan estimasi parameter yang sudah didapatkan.
̂
Model regresi yang sudah didapatkan terdiri dari parameter konstanta, parameter tahun kejadian, dan parameter tahun pengembangan. Sebagai contoh, adalah parameter untuk variabel tahun kejadian 1989 dan adalah parameter untuk variabel tahun pengembangan kedua. Selanjutnya, model regresi ini akan digunakan untuk mengestimasi jumlah klaim-klaim pada bagian bawah run-off triangle menggunakan persamaan (2.12). Sebagai contoh akan dihitung estimasi klaim untuk tahun kejadian 1989 dan 1990.
̂ ̂ 784,056 ̂ ̂ 2704,007 ̂ ̂ 860,764
36
Perhitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 5. Tabel 4.6 adalah hasil lengkap estimasi jumlah klaim-klaim pada bagian bawah run-off triangle. Hasil estimasi dibulatkan ke pembulatan terdekat. Kolom hasil perhitungan ditandai dengan warna kuning.
Tabel 4.6. Hasil Estimasi Jumlah Klaim-Klaim Menggunakan Metode
GLMs dengan Pendekatan Distribusi ODP (USD)
Tahun Kejadian Tahun Pengembangan 1 2 3 4 5 1988 271778 258282 170611 82938 61371 1989 296828 304995 178348 108590 56209 1990 334331 341697 202556 112094 48326 1991 354530 387048 208552 113348 48730 1992 423048 432495 205477 96655 46835 1993 484849 470218 216864 98809 53992 1994 541361 474967 198627 105175 67661 1995 547102 438923 199275 125871 67202 1996 561687 404475 239974 128085 68383 1997 542021 499059 258585 138018 73686
Tabel 4.6. Lanjutan (USD) Tahun Kejadian Tahun Pengembangan 6 7 8 9 10 1988 25626 9337 3927 1757 707 1989 23148 8047 3056 2927 784 1990 22054 9804 4675 2704 860 1991 19007 7160 4534 2873 914 1992 22140 10452 4927 3122 994 1993 28827 11533 5437 3445 1096 1994 30199 12082 5695 3609 1149 1995 29994 12000 5657 3585 1141
37
Tabel 4.6. Lanjutan (USD) Tahun Kejadian Tahun Pengembangan 6 7 8 9 10 1996 30521 12211 5756 3648 1161 1997 32888 13158 6203 3931 1251
Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (2.13) didapatkan nilai parameter dispersi sebesar 3283,113. Setelah diketahui jumlah klaim-klaim yang akan datang, dapat diketahui cadangan klaim yang dibutuhkan perusahaan asuransi pada setiap tahun kejadian. Berikut adalah contoh perhitungan dari cadangan klaim tersebut.
̂
̂
̂
Perhitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6. Tabel 4.7 adalah cadangan klaim per tahun kejadian dari perusahan asuransi tersebut.
Tabel 4.7. Cadangan Klaim Per Tahun Kejadian Menggunakan Metode
GLMs dengan Pendekatan Distribusi ODP (USD)
Tahun Kejadian Cadangan Klaim
1989 784,056 1990 3564,771 1991 8322,173 1992 19496,150 1993 50340,560 1994 120397,997 1995 245452,772 1996 489743,509 1997 1026782,345
38
Total cadangan klaim dapat dihitung dengan menjumlahkan seluruh cadangan klaim pada tahun-tahun kejadian, sesuai dengan persamaan (2.5). Berikut adalah perhitungan total cadangan klaim.
̂
Artinya, pada tahun 1998 perusahaan asuransi tersebut perlu menyiapkan cadangan sebesar USD 1964884,332 untuk dapat membayar klaim-klaim di masa yang akan datang. Selanjutnya, angka cadangan klaim inilah yang akan di submit dalam laporan keuangan awal tahun perusahaan asuransi pada tahun 1998.
4.4 Prediction Error Estimasi Cadangan Klaim
Pada sub-bab ini, akan dipaparkan nilai prediction error dari Metode GLMs dengan pendekatan ODP. Pada sub-bab sebelumnya telah didapatkan total cadangan klaim yang dihasilkan dari Metode GLMs dengan pendekatan ODP.
Dengan menggunakan persamaan (2.26) didapatkan nilai
prediction error untuk Distribusi ODP. Berikut adalah nilai prediction error dari setiap tahun kejadian dan nilai total prediction error untuk Distribusi ODP.
Tabel 4.8. Nilai Prediction Error untuk Distribusi ODP Tahun Kejadian Prediction Error (USD) Prediction Error (%)
1989 2330,911 297,31% 1990 4509,067 126,48% 1991 6562,979 78,86% 1992 9699,278 49,75% 1993 15251,922 30,30% 1994 23501,424 19,52% 1995 34460,994 14,04%
39
Tabel 4.8. Lanjutan
Tahun Kejadian Prediction Error (USD) Prediction Error (%) 1996 53506,953 10,93% 1997 106222,199 10,35%
Total 142114,888 7,23%
Berdasarkan Tabel 4.8 terlihat bahwa nilai prediction error dari tahun 1989 sampai 1997 cenderung menurun secara signifikan. Total prediction error untuk Metode GLMs dengan pendekatan ODP adalah sebesar 142114,888 atau 7,23%. Hal ini berarti estimasi cadangan klaim yang dihasilkan kurang baik karena memiliki nilai total prediction error cukup besar.
4.5 Confidence Interval untuk Total Cadangan Klaim pada Metode GLMs
Salah satu keunggulan metode stokastik pada estimasi cadangan klaim adalah dapat memberikan batas atas dan bawah dari estimasi atau yang disebut dengan confidence interval. Dengan menggunakan persamaan (2.13) didapatkan nilai
confidence interval dengan sebesar 5% atau 0,05. √ √
Berdasarkan perhitungan di atas, dapat diketahui bahwa pada tahun 1998 cadangan yang diperlukan perusahaan asuransi tersebut untuk membayar klaim-klaim yang terjadi selama 10 tahun ke depan ada direntang USD 1964513,87 dan 1965254,79. Dengan adanya informasi ini, perusahaan tersebut dapat
