Computation Process using Scilab

Computation Process

using

Scilab

Komputasi

Komputasi

Proses

_Proses

1.

1.

Pengenalan

Pengenalan

Scilab

Scilab

2.

2.

Bahasa

Bahasa

pemrograman

pemrograman

dengan

dengan

Scilab

Scilab

3.

3.

Metoda

Metoda

Numerik

Numerik

4.

4.

Aplikasi

Aplikasi

Komputasi

Komputasi

Proses

Proses

dengan

dengan

Scilab

Introduction

Introduction

Physical & Mathematical MODELS Simplified picture of REALITY Engineers are symbolic analysts TOOL to solve PROBLEMS •Forecasting •Controlling Software

Language Programme

Interactive program

Numerical computation & data visualization

Scilab

Scilab

ƒ

ƒ

Software gratis:

Software gratis:

http://

http://

www.scilab.org

www.scilab.org

ƒ

ƒ

OS: Windows

OS: Windows

dan

dan

Linux

Linux

ƒ

ƒ

Mirip

Mirip

dengan

dengan

program

program

Matlab

Matlab

Tool Bar

-->r=6 r = 6. -->luas=0.25*%pi*r^2 luas = 28.274334 deff(‘(out1,out2,…)=modul(in1,in2,…)’,’persamaan’ Fungsi: mendefinisikan persamaan (rumus) pada jendela kerja

-->deff('A=luas(r)','A=0.25*%pi*r^2') -->ls=luas(3)

ls =

7.0685835 -->

Perintah membuka

Jendela Editor Hasil Dari menu bar: (klik)

Editor

Atau tekan [alt – d] Dari Tool bar: (klik) Dari Jendela kerja: (ketik) scipad()

Tips:

Cara lebih mudah, dapat dilakukan (pilih salah satu):

ƒ Pada menu bar “jendela editor”, pilih Execute (Alt+x) Æ Load into

Scilab

ƒ Pada menu bar “jendela editor”, Ctrl + l

ƒ Pada menu bar “jendela kerja”, pilih File Æ Exec… Æ pilih file yang

akan dieksekusi -->exec('c:\scilabc\luasbs.sci') -->function hsl=luasbs(r); --> hsl = 0.25*%pi*r^2; -->endfunction; -->

getf() Fungsi: mengambil / mengaktifkan file *.sci_{pada suatu fungsi yang lain}

1 function V=volbs(h,r)

2 getf('c:/scilabc/luasbs.sci') 3 V=h*luasbs(r)

ls file_dir Fungsi_{‘direktori file’}: menampilkan file pada -->ls c:/scinum ans = !volbs.sci ! ! ! !luasbs.sci ! -->

Apabila fungsi atau modul yang akan digunakan cukup banyak,maka penggunaan getf() tidak efektif

genlib(‘nama’,’file_dir’) Fungsi: membangun library dari fungsi (*.sci) pada_{‘direktori file’}

load(’file_dir/lib’) Fungsi: memanggil library dari fungsi_{pada ‘direktori file’}

DIFFERENSIASI NUMERIK

¾

Persamaan differensial merupakan

model matematis yang paling sering

muncul dalam bidang keteknikan

maupun saintifik

¾

Salah satu penyelesaiannya dengan

metode beda hingga (

finite

Definisi turunan (derivatif)

( ) _{( )} ( ) ( ) 0 0 x x 0 x x x x f x f lim x ' f dx x df 0 0 − − = = →

Jika h = x – x₀ = ∆x maka pendekatan turunan di atas adalah

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f h x f x f x ' f 0 0 0 _∆ − = − ≈

Diketahui suatu fungsi y = f (x), ingin dicari pada x = x₀. Penyelesaiannya dapat menggunakan 3 cara yaitu :

1. Forward Difference (Beda Maju)

2. Backward Difference (Beda Mundur)

3. Central Difference (Beda Pusat)

dx dy

1. Metode Beda Maju

(Forward Difference)

Beda hingga maju pertama dari y pada i atau x didefinisikan :

∆_{yi = yi+1 – yi}

Beda maju kedua pada i atau x didefinisikan :

∆2_y

i = yi+2 – 2yi+1 + yi

atau ∆2_{y(x) = y(x+2h) – 2y(x+h) + y(x)}

Sehingga penyelesaiannya bisa dituliskan : atau ∆y(x) = y(x+h) – y(x)

x ) x ( f ) x x ( f dx dy _{0 0} 0 x x ∆ − ∆ + ≅ =

(

_{i 1 i}

)

i y y h 1 dx dy − = ₊ atau

2. Metode Beda Mundur

(Backward Difference)

Beda hingga mundur pertama dari y pada i atau x didefinisikan :

∇_{yi = yi – yi-1}

Beda mundur kedua pada i atau x didefinisikan :

∇2_y

i = yi – 2yi-1 + yi-2

atau ∇2_{y(x) = y(x) – 2y(x-h) + y(x-2h)}

Sehingga penyelesaiannya bisa dituliskan : atau ∇y(x) = y(x) – y(x-h)

x ) x x ( f ) x ( f dx dy _{0 0} 0 x x ∆ ∆ − − ≅ =

(

_{i i 1}

)

i _{y y} h 1 dx dy − − = _atau

3. Metode Beda Pusat

(Central Difference)

Beda hingga terpusat pertama dari y pada i atau x didefinisikan : atau δy(x) = y(x+1/2 h) – y(x-1/2 h)

Turunan beda terpusat selanjutnya adalah :

2 1 2 1 _i i i y y y = ₊ − ₋ ∂ ( _{i 1 i 1}) i y y h 2 1 dx dy − + − = _{2 2} ( i 1 i i 1) i 2 y y 2 y h 1 dx y d − + − + = ; ( _{i 2 i 1 i 1 i 2}) 3 3 i 3 y y 2 y 2 y h 2 1 dx y d − − + + − + − =

Penyelesaiannya dapat dituliskan

x 2 ) x x ( f ) x x ( f dx dy _{0 0} 0 x x ∆ ∆ − − ∆ + ≅ = atau ( _{i 1 i 1}) i y y h 2 1 dx dy − + − =

Derivatif Orde Dua

Untuk penurunan (derivatif) pangkat dua dengan metode beda hingga terpusat digunakan rumus dengan bentuk :

(

_{i 2 i i 1}

)

2 2 i 2 y y 2 y h 1 dx y d − + − + =

Atau dapat juga dituliskan :

2 0 0 0 0 x ) x x ( f ) x ( f 2 ) x x ( f dx y d x x 2 2 ∆ ∆ − + − ∆ + ≅ =

INTEGRASI NUMERIS

INTEGRASI NUMERIS

Jika ada fungsi sedangkan f(x) sulit sekali untuk diintegrasikan secara analitik, maka cara yang paling mudah adalah dengan mengintegrasikannya

secara numerik ∫ = xn 0 x dx ) x ( f Y f(x) x x₀ x₁ x₂ x_n-1 x_n

‰ Dalam perhitungan integrasi numerik, luasan di bawah kurva akan diubah dalam bentuk trapesium, dimana

ruang kosong merupakan bagian dari kesalahan numerik

‰ Untuk mengatasi kesalahan dilakukan dengan cara

membagi menjadi trapesium dengan segmen yang lebih kecil

‰ Integrasi dilakukan dengan menggunakan interval ∆x

yang sama (homogen) sepanjang batas integrasi dari x₀

sampai x_n

‰ Batas/interval integrasi dibagi menjadi n interval

‰ Batas interval diberi indeks 0, 1, 2, ….. , n sehingga

( ) n x x x = n − 0 ∆ x . i x x_i = ₀ + ∆

Penyelesaian numerik dapat dilakukan

dengan dua cara, yaitu

¬

Trapezoidal Rule

¬

Simpson Rule

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = + ∑ + ∆ ∫ ≅ f(x ) 2 f(x ) f(x ) 2 x dx ) x ( f n 1 _n 1 i i 0 n x 0 x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − =∑ + ∑ + + ∆ ∫ ≅ f(x ) 4 f(x ) 2 f(x ) f(x ) 3 x dx ) x ( f n 2 _n 6 , 4 , 2 i i 1 n 5 , 3 , 1 i i 0 n x 0 x

AKAR PERSAMAAN

(PERSAMAAN NON LINIER)

[

Merupakan bentuk persamaan

aljabar yang nilainya sama dengan nol

[

Untuk satu variabel bebas x, maka

f(x)

≅

₀

[

Banyak digunakan dalam model

Metode Penyelesaian Akar

Persamaan

1. Metode Pengurungan (bracketing

method)

¾ Memerlukan dua titik sebagai tebakan awal

2. Metode Terbuka (open method)

¾ Hanya memerlukan satu titik sebagai

1. METODE PENGURUNGAN

Dilakukan dengan menebak 2 angka

a. Metode Bisection (bagi dua)

b. Metode Regula Falsi (posisi palsu)

atau Metode Interpolasi Linier

a. Metode Bisection (Bagi Dua)

‰ Merupakan metode yang paling sederhana

‰ Diawali dengan menebak dua nilai yaitu nilai bawah

(sblm akar) x_a dan nilai atas (stlh akar) x_b

‰ Tebakan benar jika f(x_b) dan f(x_a) mempunyai

tanda yang berlawanan : f(x_b) . f(x_a) < 0

‰ Jika f(x_b) . f(x_a) > 0 maka tebakan awal diulangi ‰ Nilai kedua tebakan dibagi dua, disebut x_c

‰ Nilai x_c akan menggantikan posisi nilai lama.

‰ Jika x_c berada pada posisi x_b disebut dengan x’_b

dan jika berada pada posisi x_a akan diubah menjadi x’

Algoritma Bisection (Bagi Dua)

1. Tebak akar atas, x_a dan akar bawah, x_b

2. Periksa f(x_a).f(x_b)=0 stop didapat harga akar 3. Periksa f(x_a).f(x_b)<0, jika tidak kembali ke-1 4. Periksa kriteria penghentian,

jika terpenuhi stop tulis akar 5. Perkirakan akar yang dicari

x_c = (x_a + x_b)/2

6. Evaluasi akar x_c Hitung f(x_c)

a. Jika f(x_c).f(x_a)>0, maka x_c berada di subinterval bawah Atur x_a = x_c kembali ke-4

b. Jika f(x_c).f(x_a)<0, maka x_c berada di subinterval atas Atur x_b = x_c kembali ke-4

c. Jika f(x_b).f(x_c)=0, maka didapat harga akar yang dicari: x_c selesai

b. Metode Regula Falsi (Posisi Palsu)

‰

Merupakan perbaikan dari metode

bisection

‰

Dilakukan dengan menarik garis lurus pada

kedua interval x

_b

dan x

_a

‰

Harga

‰

Algoritma sama dengan metode bisection,

hanya tahapan 5 diganti nilai x

_c

nya

( )(

)

( ) ( )

a_b b _aa a c

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x

−

−

−

=

2. METODE TERBUKA

Dilakukan dengan menebak 1 angka

a. Metode Pertemuan Dua Grafik

b. Metode Newton Raphson

b. Metode Newton Raphson

‰

Mula-mula diperkirakan harga x

_i

awal

kemudian dipotongkan thd kurva dan

ditarik garis singgung

‰

Garis singgung merupakan tangen atau

slope.

‰

Slope merupakan turunan pertama dari

f(x

_i

) sehingga didapat hubungan :

‰

Persamaan Newton Raphson :

( )

₍

( )

₎

1 i i i i x x x f x ' f + − =

( )

( )

i_i i 1 i x ' f x f x x ₊ = −

Algoritma Newton Raphson

1. Tuliskan fungsi f(x) 2. Cari harga f’(x)

3. Masukkan tebakan awal x₀

4. Masukkan parameter penghentian program :

¾ Kesalahan relatif perkiraan E_bs ¾ Jumlah iterasi maksimum

5. Inisialisasi harga : iterasi = 0 dan E_as = 1.1 E_bs 6. Jika kesalahan relatif (E_as > E_bs) dan (iterasi <

iterasi makasimum) maka :

a. Harga

b. Cek harga E_as

c. Iterasi = iterasi + 1

7. Ulangi 6 sampai kondisi tercapai 8. Tulis x_iter = akar

( ) ( )i i i 1 i iter x ' f x f x x x = ₊ = − iter 1 iter iter as x x x E = − −

c. Metode Secant

[

Kelemahan metode Newton Raphson,

harus mencari turunan pertama dari

fungsi f(x

_i

)

[

Metode secant untuk menghindari

turunan pertama dengan turunan

numerik mundur

( ) ( ) ( )

i 1 i i 1 i i

x

x

x

f

x

f

x

'

f

−

−

=

− −

Sub Program PERSAMAAN NON LINEAR

Scilab menyediakan sub program untuk menyelesaikan satu atau beberapa sistem persamaan non linear secara simultan dengan menggunakan perintah fsolve

x = fsolve(x0, persamaan)

Contoh :

Akan dicari akar persamaan simultan non linear dari :

57 xy 3 y 10 xy x 2 2 = + = + ( ) ( )x,y y 3xy 57 0 f 0 10 xy x y , x f 2 2 2 1 = − + = = − + =

Kedua persamaan diubah menjadi :

Persamaan ditulis dalam bentuk matrik dengan x sebagai x(1) dan y sebagai x(2)

Contoh :

Diketahui persamaan Van der Waals untuk

menggambarkan kondisi gas non-ideal :

Hitunglah volume molar udara (V) pada 50

atm dan suhu -100

o

_{C jika diketahui nilai}

konstanta a = 1.33 atm.liter

2

_{/gmol, b =}

0.0366 liter/gmol dan R = 0.08205

liter.atm/K.gmol

(

V

b

)

RT

V

a

P

+

_{2 ⎟⎟}

−

=

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

PERSAMAAN DIFERENSIAL

1. Persamaan Diferensial Biasa (ODE), hanya

terdapat 1 variabel bebas

2. Persamaan Diferensial Parsial (PDE),

terdapat lebih dari 1 variabel bebas

kx

dx

dy

y

dx

y

d

2 2

=

+

t

T

x

T

2 2

∂

∂

=

∂

∂

α

Persamaan Diferensial Biasa (ODE)

Berdasarkan pangkat (Orde) : • PDB Orde satu :

• PDB Orde dua : • PDB Orde tiga :

Berdasarkan kondisi batas :

• IVP (Initial Value Problems), bila nilai variabel tak bebas atau turunannya diketahui pada kondisi nilai mula-mula

• BVP (Boundary Value Problems), bila nilai variabel tak bebas atau turunannya diketahui lebih dari satu nilai variabel bebasnya

kx y dx dy = + kx dx dy y dx y d 2 2 = + kx dx dy b dx y d a dx y d 2 2 2 3 3 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +

Persamaan Diferensial Parsial (PDE)

• PDE Order satu :

• PDE Order dua :

• PDE Order tiga :

0 y C x C ₌ ∂ ∂ α − ∂ ∂ 0 y C D x C e 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 y u y x u x u 2 2 3 3 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

Penyelesaian Persamaan

Diferensial Biasa (ODE)

1. Metode Euler (Eksplisit)

2. Metode Euler Modifikasi (Implisit)

3. Metode Runge-Kutta

1. Metode Euler (Eksplisit)

Disebut juga metoda integrasi nilai awal

Kondisi awal : y(x

₀

) = y

₀

(

x, y

)

f dx dy ₌

( )

x, y dx f dy 1 i i 1 i i x x y y

∫

∫

+ + =

∫

( )

+ = − + 1 i i x x i 1 i y f x, y dx y

(

_{i i}

)

i 1 i

y

h

f

x

,

y

y

₊

=

+

Perbandingan Analitis dengan

Metode Euler (Eksplisit)

Persamaan diferensial yang diselesaikan:

8 x 6 x 4 dx dy _{3 2} + −

= Dimana x = 0, y = 2 (kondisi awal); x_a=3, h=0.5

x_i y_analtk y_euler % kslhan

0 2 2 -0.5 5.81 6 3.27 1 9 9.5 5.56 1.5 12.31 12.5 1.54 2 18 16.5 8.33 2.5 29.81 24.5 17.81 3 53 41 22.64

Algoritma Metode Euler (Eksplisit)

1. Tentukan x = x₀ dan y = y₀

2. Tentukan nilai awal x₀ dan nilai akhir x_a dari variabel bebas

3. Tentukan nilai h 4. Inisialisasi i = 0

5. Buat persamaan f(x,y), modul terpisah 6. Vektor x(i)=[x₀, x₀+h, x₀+2h,…,x_a]

7. Jumlah loop, n=(x_a-x₀)/h

8. Untuk i=0 sampai n-1 maka : 9. y_i+1=y_i + hf(x_i,y_i)

10. x = x + h

11. Simpan nilai x_i, y_i 12. Lanjutkan i

2. Metode Euler Modifikasi (Implisit)

[

Untuk memperkecil kesalahan

[

Merupakan gabungan antara beda maju

dan beda mundur

[

Beda maju pertama dari y pada i sama

dengan beda mundur pertama dari y pada

i+1

[

sehingga

1 i i 1 i i y y y y = ₊ − = ∇ ₊ ∆ y_i+1 = y_i + ∇y_i+1

(

_{i 1 i 1}

)

i 1 i

y

h

f

x

,

y

y

₊

=

+

_{+ +}

‰ Untuk memperbaiki metode Euler, maka metode Euler

eksplisit digunakan untuk memprediksi nilai y_i+1

‰ Nilai prediksi pada persamaan di atas digunakan untuk

mengkoreksi metoda implisit

‰ Persamaan di atas disebut dengan Metode Prediktor

Korektor atau Metode Heun

‰ Kombinasi metoda beda maju dan beda mundur dituliskan

dalam bentuk

( )

y_{i+1 pred} = y_i + h f

(

x_i,y_i

)

( )

yi+1 kork = yi + hf

(

xi+1,

( )

yi+1 _pred

)

(

_{i i 1}

)

2 1 i 1 i y y y y ₊ = + ∇ + ∇ ₊

( )

(

)

1₂

(

_{i 1 i 1}

)

i i 2 1 i 1 i y h f x ,y h f x , y y ₊ = + + _{+ +} f_pred f_corr f_pred f_corr

Perbandingan dengan Analitis

x_i y_analtk y_euler % kslhan

Euler y_euler-mod % kslhan Euler-mod 0 2 2 - 2 -0.5 5.81 6 3.27 5.75 1.03 1 9 9.5 5.56 9 0.0 1.5 12.31 12.5 1.54 12.5 1.54 2 18 16.5 8.33 18.5 2.78 2.5 29.81 24.5 17.81 30.75 3.15 3 53 41 22.64 54.5 2.83

3. Metode Runge-Kutta

[

Merupakan

metode

untuk

menyelesaikan

persamaan

diferensial dengan ketelitian dan

kestabilan yang cukup tinggi.

[

Sangat

umum

digunakan

untuk

menyelesaikan bentuk PDB baik

linear maupun non linear dengan

problema kondisi awal

Bentuk penyelesaian berdasarkan orde (pangkat):

¾ Orde (pangkat) dua:

Dimana nilai dari k_i adalah :

¾ Orde (pangkat) tiga :

Dimana nilai dari k_i adalah :

¾ Orde (pangkat) empat :

Dimana nilai dari k_i adalah :

( _{1 2}) 2 1 i 1 i y k k y ₊ = + + ( _{i i}) 1 hf x ,y k =

(

_{i i 1}

)

2 hf x h,y k k = + +

(

1 2 3

)

6 1 i 1 i y k 4k k y ₊ = + + + ( i i ) 1 hf x ,y k = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = 2 k y , 2 h x f h k_{2 i i} 1 ; k₃ = hf

(

x_i + h,y_i + 2k₂ − k₁

)

( _{1 2 3 4}) 6 1 i 1 i y k 2k 2k k y ₊ = + + + +

(

_{i i}

)

1 hf x ,y k = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = 2 k y , 2 h x f h k_{2 i i} 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = 2 k y , 2 h x f h k_{3 i i} 2 ( i i 3) 4 hf x h,y k k = + +

Perbandingan dengan Analitis

x_i y_analtk y_euler % kslhan Euler y_euler-mod % kslhan Euler-mod y_rk4 % kslhan rk4 0 2 2 - 2 - 2 -0.5 5.8125 6 3.27 5.75 1.03 5.8125 0 1 9 9.5 5.56 9 0.0 9 0 1.5 12.3125 12.5 1.54 12.5 1.54 12.3125 0 2 18 16.5 8.33 18.5 2.78 18 0 2.5 29.8125 24.5 17.81 30.75 3.15 29.8125 0 3 53 41 22.64 54.5 2.83 53 0

Sub Program PDB

Scilab menyediakan sub program siap pakai untuk menyelesaikan persoalan PDB y=ode (y0,t0,t,fungsi) fungsi dt dy ₌ Bentuk persamaan : Dimana :

y0 = kondisi awal dari variabel tak bebas (y) t0 = kondisi awal dari variabel bebas (t)

Persamaan Diferensial Biasa

Simultan

Merupakan sekumpulan persamaan diferensial biasa yang harus diselesaikan secara simultan

(

)

(

)

(

1 2 n

)

n n n 2 1 2 2 n 2 1 1 1 y , ... , y , y , x f dx dy . . y , ... , y , y , x f dx dy y , ... , y , y , x f dx dy = = =

Penyelesaian dengan menggunakan

metode Runge Kutta orde empat

(

1j 2j 3j 4j

)

6 1 j , i j , 1 i y k 2k 2k k y ₊ = + + + +

Dengan nilai k adalah :

(

)

(

i i,1 3,1 i,2 3,2 i,n 3,n

)

j j , 4 n , 2 n , i 2 , 2 2 , i 1 , 2 1 , i i j j , 3 n , 1 n , i 2 , 1 2 , i 1 , 1 1 , i i j j , 2 n , i 2 , i 1 , i i j j , 1 k y , ... , k y , k y , h x hf k 2 k y , ... , 2 k y , 2 k y , 2 h x hf k 2 k y , ... , 2 k y , 2 k y , 2 h x hf k y , ... , y , y , x hf k + + + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = =

Jika dalam sistem terdapat dua persamaan diferensial biasa dengan bentuk ( ) ( _{1 2}) 2 2 2 1 1 1 y , y , x f dx dy y , y , x f dx dy = =

Maka penyelesaian persamaan diferensial biasa tersebut dengan menggunakan metode Runge Kutta orde 4 secara simultan adalah :

(

)

(

1,2 2,2 3,2 4,2

)

6 1 2 , i 2 , 1 i 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 6 1 1 , i 1 , 1 i k k 2 k 2 k y y k k 2 k 2 k y y + + + + = + + + + = + +

dimana :

(

)

(

)

(

)

(

i i,1 3,1 i,2 3,2

)

2 2 , 4 2 , 3 2 , i 1 , 3 1 , i i 1 1 , 4 2 , 2 2 , i 1 , 2 1 , i i 2 2 , 3 2 , 2 2 , i 1 , 2 1 , i i 1 1 , 3 2 , 1 2 , i 1 , 1 1 , i i 2 2 , 2 2 , 1 2 , i 1 , 1 1 , i i 1 1 , 2 2 , i 1 , i i 2 2 , 1 2 , i 1 , i i 1 1 , 1 k y , k y , h x hf k k y , k y , h x hf k 2 k y , 2 k y , 2 h x hf k 2 k y , 2 k y , 2 h x hf k 2 k y , 2 k y , 2 h x hf k 2 k y , 2 k y , 2 h x hf k y , y , x hf k y , y , x hf k + + + = + + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = = =

Akan diselesaikan dan divisualisasikan dua buah persamaan diferensial biasa sebagai berikut :

1 2 2 1 1 y 1 . 0 y 3 . 0 4 dx dy y 5 . 0 dx dy − − = − =

Dengan kondisi awal (batas) : x = 0; y₁ = 4; y₂ = 2

Contoh :

Dua buah tangki air tersambung secara seri dan saling

berinteraksi. Kecepatan aliran keluar merupakan fungsi akar kuadrat dari ketinggian air, jadi untuk tangki 1 kecepatan alirannya adalah sedangkan untuk tangki 2 sebagai

fungsi . Akan ditentukan ketinggian h₁ dan h₂ sebagai fungsi waktu dari t = 0 sampai t = 40 menit dengan interval 4 menit. Setelah disusun neraca bahan, diperoleh persamaan diferensial simultan sebagai fungsi waktu :

;

Harga-harga parameter yang ada :

β₁ = 2,5 ft2,5_{/menit β}

2 = 5/√6 ft3/menit

A₁ = 5 ft2 _A

2 = 10 ft2 F = 5 ft3/menit

Dengan kondisi awal pada t = 0, h₁ = 12 ft dan h₂ = 7 ft 2 1 h h − 2 h 2 1 1 1 1 1 _{h h} A A F dt dh _{= −} β ₋ 2 2 2 2 1 2 2 2 _h A h h A dt dh ₌ β _{− −} β

Uap campuran keluar dari kondensor parsial kolom destilasi yang beroperasi pada 1 atm dengan komposisi 47% mol air (1), 20% mol asam formiat (2) dan sisanya methanol (3). Pada

kondensor terjadi kesetimbangan antara uap dan cairannya dan berlaku persamaan-persamaan berikut :

dimana, dan untuk P0

i diperkirakan dengan

persamaan Antoine : dengan i = 1, 2, 3 dan

Perkirakanlah suhu operasi pada operasi kondensor (=dewpoint uap campuran) dalam o_{C, dengan data konstanta}

A1 = 18,304 A2 = 16,988 A3 = 18,510 B1 = 3816,4 B2 = 3599,6 B3 = 3593,4 C1 = -46,13 C2 = -26,09 C3 = -35,225 Po _{dalam mmHg dan T dalam Kelvin}

i i i _K y x = P P K_i = oi ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = i i i i o C T B A exp P _{x 1} i i = ∑