Hubungan Dinamis Tingkat Suku Bunga, Kurs Rupiah,
Dan Harga Saham Di Indonesia: Pendekatan
Vector Autoregression
(VAR)
Florentinus Nugro HardiantoPembukaan Diri Secara
Online ( Online Self-Disdosure)
Remaja Generasi Z
Diana Permata SariPengembangan Prototipe Buku Pendidikan Budi Pekerti
Dalam Memainkan Gamelan (Untuk SD)
lgnatia Esti Sumarah
Pengembangan Modul "Antisipasi Perilaku
Bullying
Di Sekolah Dasar
Dalam Konteks Paradigma Pedagogi Reflektif"
Elisabeth Desiana Mayasari
Optimasi Penyusutan Material Biokomposit (HA/Bioplastic/Serisin) Dicetak
Dengan Bioprinter Menggunakan Metode Taguchi
Felix Krisna Aji Nugraha
Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik 'Super' Pada Gabungan Dua Graf Sikel
Dominikus Arif Budi PrasetyoDeveloping Online Discussion Forum
To IMProve Students' Critical Thinking And Students' Social Awareness
Kurnia MartikasariKombinasi Metode Jaringan Syaraf Tiruan
Dengan Logika Fuzzy Dalam Pengendalian Kursi Roda
Menggunakan Perangkat Neurosky Mindset Mobile (EEG)
Agus Siswoyo
Pengaruh Karakteristik Direktur Utama
Terhadap Pengungkapan Tanggung Jawab Sosial Perusahaan Di Indonesia
Nicolas Bayu KristiawanBanyolan Pemerkosaan: Antara Kelucuan Dan Kekuasaan
A. HarimurtiIS }IV 03 ll NV M3 0 :ra qw aA ON uep ia w .u mpnas !le}( en p 'e WJel( O l?:l eu es Sl?:l JSl aA !U O :ie }{e 1w ew epe da }( u e1p qe 8u ad ue p u em 1a ua d e8 eq wa 1 q a10 ue }{t! q1a :i1p !U ! u em 1a ua d n se q u aro dq ue se :>[8 up re nur aur 8u ei uv 1m au aJ [n u.m ] qu ei i81e w e:>[ Ju o1a A :!s nq !.Q S!O !S l?.Q S!U !wp v
tss
'q n:isv 1q ua A em Ja eJ Pd "S 'n pU !M our oirrj 'IS 'S 'q eM od wn f 1p ns JM O ep ew :!S l?fn)f .l!S 1B !S l?.Q S!U !wp V pur v 'O tU El.l!? W U l?M l?W la H "V se WO l[l )fl!f cl1 eJl? .Lt6
-J
�
lllfll
'8
lO
Z ,a
w
'r
.IO
WO
N
'zz
aw
nJO
A
rzo
s-u
rvr
NS
SI
NVlll'1
3N
3d
'IV.Nll
fif
·a
-q
d
'(· su oH )v·w
'·s
·w
'JM aa e:iJA ON·e1
a
'·m nff w 's rue po sj !P EA .IE 8 our oid erj·1a
]O ld ·w nff w 'um ej, Jd eA qd aso j,:.ra
:10 1 .IO WO N JSJf l?P .lll WJ.L ow .1o qa tno uo g so 1Js .1a 11.Ju n W dd 1 om a){ "lU Off W 'O UO AlB H U OlU \f "lQ JS }fl? P.l ll U Jd WJW .ld DU1 .1D l/G D:JD UD S so 1.1s .1a t1.JU fl d Olj S)f OO EJ u op uo 1.zq .1a ua d :JD Sn d D[ Dd a)l ·w nff w 'um ej, Jd eA qd aso j,·1a
JS }fl? P.l ll S J.I el.l .l}f .lS'a
s
'q 1s8 u1u pp ua H !U !H l?:lE[ n::>e w1 ep ew :u e � ue na }I !S e.Q S!U !wp v ·:i1 q1a :i ur rqa qa s uei nq en p :ie qw ei 8 un ed JS){ ep aH qai o e . - . na aa d re u1n f 1a }(q 1y ue sn nu ad ue n:iu a:ia )I,, ue 18 eq 8u e}( eia q ue urq eq ep ed wn:i ue :u a:i u . ...- ... "'u m:ir.. :..aA mun ] !P :ie w10 J u e8 uap re nsa s S![ Ol!P sru eq qe }(St? N ·s p8 8u 1 ese qe qra q 8u ei un dn em e � ... aq otre.A )f!e q u eu qo ua d ns eq ua ro dq ue se :>[8 up qe }(se u eur ua ua ur JS ){e pa H pr :,n ps n@ y.m wa 1 -7.w w-3 jw dd/ /v Bv qw ai/ pr :,n ps mH MM//:
d:n11
:a 6o da wo H "f 8f 95 (zol
:xe d 'L ZS I ·:ix a 'Z S£ S1 S '1 0£ £1 5 (t, LZ O) :u od aia i 'Z OO SS El.lt? }(e i\8o A '6 2 SO d JO WO ll 'tre:> µ • 'em..re qa e'.ll? Ul? S S l?:lJS la A!U O W dd 1 8 un p.39 Sl? .QS! U!wp v ue p !Slf l?P clH te we 1vJURNAL PENELITIAN
ISSN 1410-5071
Volume 22, Nomor 1, Mei 2018, him. 1-94
DAFTAR ISi
Daftar Isi
Kata Pengantar
Hubungan Dinamis Tingkat Suku Bunga, Kurs Rupiah, Dan Harga Saham
Di Indonesia: Pendekatan
Vector Autoregression
(VAR)
Florentinus Nugro Hardianto
Pembukaan Diri Secara
Online (Online Self-Disclosure)
Remaja Generasi Z
Diana Permata Sari
Pengembangan Prototipe Buku Pendidikan Budi Pekerti
Dalam Memainkan Gamelan (Untuk SD)
lgnatia Esti Sumarah
Pengembangan Modul "Antisipasi Perilaku
Bullying
Di Sekolah Dasar
Dalam Konteks Paradigma Pedagogi Reflektif''
Elisabeth Desiana Mayasari
Optimasi Penyusutan Material Biokomposit [HA/Bioplastic/Serisin]
Dicetak Dengan Bioprinter Menggunakan Metode Taguchi
Felix Krisna Aji Nugraha
Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik 'Super' Pada Gabungan Dua Graf Sikel
Dominikus Arif Budi Prasetyo
Developing Online Discussion Forum To IMProve Students'
Critical Thinking And Students' Social Awareness
Kurnia Martikasari
Kombinasi Metode Jaringan Syaraf Tiruan Dengan Logika Fuzzy
Dalam Pengendalian Kursi Roda Menggunakan Perangkat N eurosky
Mindset Mobile (EEG)
Agus Siswoyo
Pengaruh Karakteristik Direktur Utama Terhadap Pengungkapan
Tanggung Jawab Sosial Perusahaan Di Indonesia
Nicolas Bayu Kristiawan
Banyolan Pemerkosaan: Antara Kelucuan Dan Kekuasaan
A Harimurti
Biografi Penulis
iiiiii
v
1 - 11
12 - 18
19 - 28
29- 36
37 - 42
43 - 49 50 - 56 57 - 68 69 - 83 84 - 93 94KATA PENGANTAR
Setelah melalui proses review yang panjang dan ketat, Redaksi]urnal LPP Universitas Sanata Dharma dengan bangga mempersembahkan Jurnal LPPM Volume 22 Nomor 1 Tahun 2018 yang memuat sepuluh tulisan terpilih. Edisi kali ini menyajikan basil penelitian dosen-<losen Universitas Sanata Dharma dan Politeknik Makatronika Sanata Dharma yang tersebar hampir merata pada program-program studi yang ada. Tulisan pertama, "Hubungan Dinamis Tingkat Suku Bunga, Kurs Rupiah, Dan Harga Saham di Indonesia: Pendekatan Vector Autoregression (Var)" oleh Florentinus Nugro Hardianto, Dosen Program Studi Ekonomi, Fakultas Ekonomi, Universitas Sanata Dharma, bermaksud mengungkap pengaruh perubahan tingkat suku bunga terhadap perkembangan harga saham dan tingkat kurs. Tulisan ini juga bertujuan mengkaji respon harga saham terhadap shock perubahan suku bunga dan tingkat kurs, serta mengungkap kontribusi variabel harga saham dan suku bunga terhadap perubahan tingkat kurs. Berdasarkan basil analisis dengan metode vector autoregression (VAR), penulis menarik tiga kesimpulan. Kesimpulan pertama, data-data penelitian memiliki karakteristik tidak stasioner (stokastik) pada level, tetapi terintegrasi pada derajat sama, dan terkointegrasi. Kesimpulan kedua, basil analisis impulse respon function mengindikasikan bahwa tekanan setiap variabel memberi respon bervariasi terhadap goncangan
(shock) perubahan variabel lainnya. Kesimpulan ketiga,
basil analisis variance decomposition menunjukkan bahwa kontribusi masing-masing variabel relatif besar terhadap perubahan variabel dirinya sendiri baik dalam jangka pendek (1-2 periode), jangka menengah (3-6 periode), dan jangka panjang (7-10 periode).
Tulisan kedua berjudul "Pembukaan Diri Secara Online (Online Self-Disclosure) Remaja Generasi Z" yang ditulis oleh Diana Permata Sari, dosen Fakultas Psikologi Universitas Sanata Dharma mengungkap pola interaksi dan komunikasi manusia masa sekarang melalui media sosial. Berdasarkan uraian analisis, disimpulkan bahwa empat dari enam subjek memiliki keterbukaan untuk membagi informasi serta pengalaman mereka di media sosial. Sedangkan keterbukaan untuk membagi opini serta perasaan terhadap sesuatu tidak disampaikan oleh para subjek di media sosial mereka. Para subjek merasa lebih
v
nyaman mengemukakan pendapatnya pada orang- orang yang sudah dianggap dekat. Selanjutnya, subjek laki-laki menganggap tidak perlu mengungkap perasaan yang menujukkan bahwa mereka lemah. Perasaan senang atau sedih ditampilkan oleh para subjek melalui kutipan yang mereka ambil dari syair lagu atau dibuat oleh orang lain serta melalui sticker.
Tulisan ketiga, "Pengembangan Prototipe Buku Pendidikan Budi Pekerti Dalam Memainkan Gamelan (Untuk SD)" yang ditulis oleh lgnatia Esti Sumarah, dosen Program Studi Pendidikan Guru Sekolah Dasar, FKIP, Universitas Sanata Dharma, menyajikan basil uji kelayakan dalam proses penyusunan buku "Prototipe Nilai-nilai Budi Pekerti dalam Gamelan." Proses kajian yang dilakukan telah melalui enam langkah penelitian dan pengembangan yang meliputi: (a) Potensi dan masalah. (b) Pengumpulan data. (c) Desain produk. (d) Uji validasi desain. (e) Revisi desain. (f) Uji coba produk. Setelah enam langkah itu dilewati dengan baik, peneliti menyimpulkan bahwa kualitas prototipe yang divalidasi oleh seorang praktisi gamelan mendapat skor 3.93 (dari rentang nilai 1-4) yang artinyaprototype itu sangat baik, sehingga layak diujicobakan.
Tulisan keempat berjudul "Pengembangan Modul Antisipasi Perilaku Bullying di Sekolah Dasar dalam Konteks Paradigma Pedagogi Reflektif' yang ditulis oleh Elisabeth Desiana Mayasari, dosen Program Studi Pendidikan Guru Sekolah Dasar, FKIP, Universitas Sanata Dharma, adalah sebuah bentuk tanggapan akademis terhadap fenomena maraknya perilaku bullyi.ng yang terjadi di sekolah. Sesuai dengan rumusan masalah, tujuan penelitian, kerangka teori, dan metodologi yang disusunnya, peneliti menarik dua kesimpulan sebagai berikut. 1) Ciri-ciri modul "Antisipasi perilaku Bullyi.ng dalam konteks Paradigma Pedagogi Re:flektif' dirancang menggunakan ciri konteks, pengalaman, refleksi, aksi dan evaluasi. 2) Kualitas pengembangan modul "Antisipasi perilaku Bullying dalam konteks Paradigma Pedagogi Reflektif" didapatkan rerata skor sebesar 3,85 yang menunjukkan bahwa modul berada dalam kategori sangat baik.
Artikel kelima, "Optimasi Penyusutan Material Biokomposit [Ha/Bioplastic/Serisin] Dicetak dengan Bioprinter Menggunakan Metode Taguchi" ditulis oleh Felix Krisna Aji Nugraha, dosen Desain Produk Mekatronika, Politeknik Mekatronika Sanata Dharma.
·ue 1fu µu dd d){ n){ 2lIB llld d ue 2uµ ua cfa }f lIB J{! lE l{Jad llld lll lIB){ E 2 un Jd pU d:) UE EL{l? Sn Jd d lIB ){l?f! qd }f ue .8tre qmµ Jd d E.8 2U !l{ dS lE !S OS UE p U E.8 Un ){2 U!1 )lEd urep dE pE l{J dl UE !In pd dd ){ U E){ UE ){d lld lll q ep ns ){!U){ dl UE p S U!E S nm n lll EIE P U EJ EfE id qlll dd ln fU EI l{! qd'J "Ul? El{ ES nJ dd tre){l? f!q d){ !l{n JE.8 Ud dlll dlll tre){E 2tre A n pts rptr; Jd l){l?JE ){ ){n lu dq llld lll ){ nw n u E.8 un Jd pu d:, d){ !E Au nd md m E2 2U !l{ dS ){E S){ d n lll!! l{E !E PE ){!U){ dl UE p S U!E S E Ud JE ){ !P EfJ dl !ll ! I EH ·u EE l{E Sn Jd d I E!S OS qE ME f2 un .82 uE l UE dE )l2 Un .8u dd dE pE l{Jd l J !l! SO d q nJ E.8 Ud dJd q 2 UE A ){!U){ dl UE p S U!E S lIB ){!P !P lld d 2 lIB){E !d q Jl?l EI l{E IE PE lJ!EI tre nur ej, "U EE l.{E Sn Jd d lE !S OS qE ME � Un.8 2U El dep sq ra i np !A !P ll! tsd asr od ){n iu dq llld lll U E){ E umpn -u nq ar.r oq EW Eid S ){ niu dq J;} l 2 uE A I EU O!S 2u nJ UE WE IE 2u dd EU dJ E){ UE ){q Eq dS !P !ll ! } EH ·+n <h no IE UO !s 2u nJ treW EIE 2U dd l.{E IE PE UE El{ ES nJ dd IE !S OS qE ME � un2 2u l?l UE dE )l2 Un 2u dd dE pE l.{J dl qn JE 2U dd !E AU nd llld lU 2ue A e urem Jnl){ dJ!P ){µS µ;} l){l?Jl? ){ E Ml.{ Eq tre){){n f tm uo ur EA UU E!l !Id Ud d lll E}E P U E!f n2 ud d l !S EH "E lllJ El.{ Q ElE UE S S l?l!S Jd A!U fl
arn
..I
'!S lll?l Um {V U E){ !P !P lld d:m
rn:
!lll OU 0){ 3: U E){ !P !P lld d !P OJ d u os op 'U EM E!l S!.1)1 nA E8: SE IO :)!N l.{d !O sn nl! P " E!S dU Op UJ !P UE El.{ ES nJ dd IE !S OS qeM � iln22tre J, tredE){ 2un2 Ud d dEp El{J dj, Ellll?l[l Jnl){d J!Q ){!l S!J dl){ EJE )l l.{ nJ E2 ud d,, 'U EI! qlll dS d){ {d ){!P V 'm dm o UE S!d EI ep ed nu n 1 UE 2U dp EA Uq nu dd dS 2u nq nq Jd l E 2n f 2 UE A 'inmz
E2 2U!l{ Jd AE { Ud PP !l! d){ 2u nq nq Jd l E Au qn ud dd s 2 UE A m du ; rnm 9 !){!I!llld lll E AU Jni){ dl! SJV ·µ sE d 2 treA mdi no lIB){I! SE l.{d lll E2 2U !l{ dS lE ES ed ero qo q n22 un Ud lU S nJ El{ ues run do x E2 1fU !l{d S !2 2uµ 2lIB A !S l?ln dlll O){ nl){l?M tre){ S!q El{ 2U dlU l{E {EP E N NV Sd SO Jd uep tre2 ueJn ){d )I ( t "% 86 !Ed E:, Ud lll llE I!S El{ Jd qd ){ AZ Zn J E ){!2 0I ap oia ur UE EU n2 .8u dd {!S El{ UEQ "){ !E q ue qµ E{d d Sd SO Jd {!S El{ !S BJ n){l? EM l.{E q UE ){){ nfu nU dlll t0 82: 6'0 JE Sd qd s ! SE {d JO ){ U d!S !Jd 0){ !E I!U '8 S6 6 qo od a a pe d S6 t2: 6'0 JE sd qd s U El{ !lE id d J!l{){ E sp ed (3: SW) JO JJ '.3: d JE nb s U E;} Ji\I ! E{! U E pE Sd l lE ES EP Ed ·n l){ EM ElE P IE lO l 'ue µE l{Jd d E lE P '! SE l!P dJi\I ElE P ' ;:::E qrct v '1 Eq ctw 'q Eiu dm ElE P µE p E lE P i d){ Ect 12: UE ){E Un 2.8 Ud lU ! ll! UE !l!I dll dd ureje p UE nJ !l JEJ EA S tre2 ll!Jl?f Ul?l{!l Eid d U O]l E2 Ed OJd ){:) Eq tren rn Jl? lES UE .8ll!Jl? f tre2 ud p AZ Zn J 1? ){!2 01 EJ ElU E ue je urera d {!S El{ EM l.{E q lB ll!l!P lE dE Q (£ ·i � 1 2ue A ue qd q E IO d tre 2u dp uts our IO llU O){ dlll S!U E){ dlll ){n iu n U E){ EU n2 !P re de p NNV IO .QU O)! "){!E q l{ !q dl 2UB A urai srs !S El n){ E tre ){){nf u nu aur 2U EA sn uo ei {!S El.{ UE 2U dp !E nS dS E2 nf ura isi s in din o "E PO l !S ln ){ lfl? Jl? IO .QU O){ ura ist s ap ed !f n !P trap oum prv ld !O llU O){ Ol ){!lll ap ed UE ){!S ElU dlll d!d lll!! P I !S El{ ld q NNV !O llU O)I "O U!n pJV 89 1 E 2d llllV ld l0 .QU O){ Ol ){!lll UE ){E Un 22 Ud lU U E2 Ud p U E){ 2U Eq llld ){!P do o] dS OJ:) Ep Ol !S Jn ){ l{ EJE IO .QU O)! (;::: "Ul? ){!f lll?f u sur lE 2ues !S E{Tl lll!S ns Eq uep UE ){){ nfu ni! P l{ Eld l 2 ueA su eur ore ur !s nro s UE .8U dp UE ){2 U!P UE q!P !2 2u µ 2 UE A E lE P !S Elll !S ){O ld E SE l!I En ){ U Ep lE dd :, uo ds ar ){!U ){d l ! S){ !P dl dlll dlll nd ure ur UO !lE 2E dO Jd ){n q Elll l!J 02 {E UE 2U dp ue n.m JEJ EA S U E2 UµEf
(1 ·in ){µ dq !E 2E qd S ue yn dlll !S d){ re dur a a pe d EA UE ME qlll ;}lU !ll ! U E!l !Id lld d ·c as wd ) Elll lE l{Q ElE UE S E ){!U Ol lE ){d Ji\I ){ !U ){d l!I 0d Ud SO p 'O AO MS! S s n2y l{d !O sn nl! P " (9 3:ffi dn qo w ld SP U!W A){ SO ln dN ll? ){2 UE ld d U E){ EU n2 2U dJi\I Ep O � !S ln )I UE!IE PU d2 Ud d ure jep AZzn 3: E ){!2lfI m2 ud p UE OJ! J,Jl?Jl? AS tre2 ll!Jl?f
dP 0ld Ji\I !S ElJ! qlll O)I ,, 'UE dE id Pd ){ {d ){µ JV "E MS! SE l{E lll !S l?lS dld UE ){lE ){2 U!U dlU re dep E2 nf !ll ! ){ dd SE en p W EIE P u E2 uE qm d2 Ud d 'n i! U!E ld S "E lUJ El{ Q E lE UE S S El! Sl dA !U fl '! lll0 U0 ){3: UB ){!P !P lld d !P nls lllE l2 0l d 'lll l?{V EA EQ J;} qm ns UE P tre 2U n){ 2U !1 !lllO U0 ){'.3: l{E!l n){ ere ur ap ed EMS! SE qElll {E!S OS UE !}np dd d){ UE p S !l! J){ l!){ !d Jd q ua nd ure ura x UE ){lE ){1f U!ll dlll re de p au nu o !S n){ S!P urru oj UE 2u Eq llld 2U ;}d EM l{E q UE ){){n fu nU dlU EA UU E!l !Id Ud d { !S EH "E llll El.{ Q E WU ES Sl?l !S Jd A!ll fl '! mo uo ){3: UE){ !P!P Ud d !P lllS urel2 oJJ 'ure fE EA EQ ld qm ns UE p U E2 Un ){2 U!1 !lll OU 0){ '.3: l{ E!I n){ ElE lll ap ed au nu o !S n){ S!P urru oj !n IB !;} lll E MS !S El{ Elll IE !S OS mrr np dd d){ uep EM S!S El.{ Elll S]l µ){ l!){ !dJ dq tren dure ura s UE lE ){2 U!U dd S!S !}E UE .8U dlll ){n iu n ue ntru ro q 'E llll l?l{ Q ElE UE S S El! Sl dA !U [l ' !lll OU 0){ 3: U E){ !P !P lld d ll dS Op 'µ ES E){ !ll EW E!U ln )I l.{ ;}10 "S Sd Ud JEM V IE PO S ,s iu dp nis pu E 2 U!){ lJ!l{ J, IE :,!l µ:) ,s iu dp nis dA 01 dm 1 O l m n1 03: UO !S Sn :)S !Q dll !IUQ 2lJ! d0 Id Ad Q,, qn f J1l d){ Jd ){µJV·z
;
p UE p 1 ; p !B {!U UE 2U dp tre){ n){ E{! p lE dE p ld ){!S JEl.8 En p tre 2u nq E2 Ep Ed Jd dn s ){!l !l q!E fE-){El ll?l Ol UE !d qE !d d ( 2: "E pd qld q ){ !l! l ){ EA UE q U E.8 Ud p ld ){!S JEl.8 En p ue 2u nq E2 Ep Ed UE ){n ){E I!P lE dE p ld dn s ){!l !l q !E fE -){ El IE lO l U l?Id ql? ld d ( 1 E Ml{ Eq uern dlll !S d){ EM Eq llld lU EA UU tre){ n){l? I!P 2tre A U E]l !Id Ud d {! SE H "E lUJEl{ Q l?l Etre S Sl?l !Sl dA !ll[lctDld
E)f!lE llld lE W UE){!P !Pll dd !Plll S llll?l2 0Jd Ud SO p ' OJ\l dS El d !P ng: J!JV Sn ){!U !lll OQ l{d !O S!I nl! P "ld ){!S Jl?l 9 E na UE 2u nq E9 EP Ed ,l dd ns , ){ !l! J, q !EfV -){ EJ, ll?l OJ, treyd qE Jd d,, yn pn µd q l.lre Ud d){ ld ){!l JV 0 Ud lll!S dd S U E){ El;} :)U dd Sd SO ld tre){ n){l? !d lll nl){ EM dS U!S dlll Sd SO ld ld ld lUE lE d 2 UE lU dl ln fU EI l{!q d{ liE!l !Id Ud d l En q!P JE 2E UE ){ln sn .8u dlU !l! Id Ud d 'yp d){ ld l Ul?l nS nAU dd ){llllln l!S Od lUO ){O !q l?lS Ed {Eµ dll? lll !S !S od mo ){ tre ){l!S El{ !P nJE q !lI! ueµ nd ud d E Ud lE ){ l{ dlO "% 2:1 IE qd i !S lld lll!P UE p '% 1 l Eq dr !S Ud lll!P '% 0 Jl? Sd qd s 2u Efu Ed !S Ud lll!P Ep Ed uE in sn AU dd · ( M/ M) OS /O S dq /VH UE 2U !P UE qld d J Es dq ds qE pU dl dl treln Sn AU dd UE 2U dp l!S Od lUO ){O !q {E !l dlE lll l Elll !ld O !S !S Od lUO ){ EM l{E q I !S El{ l{d {O ld d!p 'U E!l !Id lld d Sd SO ld !J EQ 8[ 0c .ta W '[ 'O N 'c c atU nJO .A "U V1J 11i1 UcJ J JV U .. mfHal ini yang menyebabkan direktur utama yang memiliki latar belakang pendidikan sains dan teknik akan cenderung untuk melakukan pengungkapan tanggungjawab sosial perusahaan. Karakteristik yang lain seperti latar belakang pendidikan ekonomi, gender dan usia tidak mempunyai pengaruh terhadap pengungkapan tanggungjawab sosial perusahaan.
Akhirnya, tulisan kesepuluh berjudul "Banyolan Pemerkosaan: Antara Kelucuan dan Kekuasaan" ditulis oleh A. Harimurti, dosen Fakultas Psikologi, Universitas Sanata Dharma. Tulisan ini bermaksud mengungkap motif sesungguhnya dari banyolan yang cabul. Menurut penulis, banyolan cabul semakin melanggengkan imajinasi mengenai dominasi laki-laki terhadap perempuan - yang berarti melanggengkan hirarki -yang memang selalu diposisikan sebagai yang tidak berdaya dan merupakan korban. Banyolan ini bisa juga dipandang sebagai kritik - tanpa menafikan bahwa banyolan ini menimbulkan rasa senang - yang digunakan untuk mengolok-olok kekuasaan yang didominasi laki-laki dan secara menjijikkan disalahgunakan dengan dukungan
Kata Pengantar
superiorioritas serta otoritas dalam budaya yang cenderung patriarki seperti di Indonesia. Kemungkinan kedua ini berarti berpotensi melanggar dan melonggarkan dominasi laki-laki, dengan demikian momen ekualitas makin bisa didekati. Apabila banyolan ini dipahami oleh mayoritas sebagai bagian yang pertama, maka banyolan hanya sekadar menjadi cermin dari mentalitas masyarakat. Sementara itu, sebagai bagian yang kedua, banyolan menjadi artefak budaya yang menyimpan peluang untuk tidak sekadar menjadi hiburan semata, yakni sebagai sebuah strategi sosial untuk menciptakan kemungkinan akan dunia baru.
Demikian kesepuluh artikel ilmiah -tulisan para dosen Universitas Sanata Dharma dan Politeknik Makatronika Sanata Dharma yang disajikan dalam edisi ini. Kami berharap tulisan-tulisan yang muncul dari pergulatan akademis yang panjang ini membawa manfaat yang besar bagi perkembangan keilmuan dalam bidangnya masing-masing.
Selamat membaca!
PEIABEIAN TOTAL TAK-ATAIB TITIK 'SUPER'
PADA GABUNGAN DUA GRAF SIKEL
Dominikus Arif Budi Prasetyo
Dosen Program Studi Pendidikan Matematika FKIP, Universitas Sanata Dharma Alamat Korespondensi: Kampus III Paingan, Maguwoharjo, Depok, Sleman
Email: dominic_abp@usd.ac.id
ABSTRACT
Vertex antimagic total labeling (a, d) is a total labeling with the weights of all vertex forms are
arithmetic sequence with the first term a and different d. Super vertex antimagic total labeling (a,
d) is a vertex antimagic total labeling with the label of vertices are { I, 2, .... n}. The aims of this
study are to determine the vertex antimagic total labeling on the combined two cycles with the number of vertex are different. This study uses literature study by reviewing some related research
results. The results of this research is the combination of two cycles satisfy the super antimagic
total labeling (a, d) for the value of d = I with a = 3(m+n)+2 and the value of d = 2 with a =
5(m+n+ 1)/2.
Keywords: combination of two cycles, super antimagic total labeling (a, d).
1.
PENDAHULUAN
Pelabelan graf merupakan suatu fungsi yang memetakan himpunan dari titik atau sisi atau keduanya ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Kotzig dan Rosa (1970) memperkenalkan pelabelan ajaib sebagai pemetaan bijektif dari unsur graf ke himpunan bilangan bulat positif dan hasil bobot semua titik atau sisinya tetap. Dalam pelabelan graf, graf yang dipakai adalah graf terbatas, sederhana dan tidak berarah. MacDougal, dkk (2002) memperkenalkan pelabelan total ajaib titik sebagai pemetaan bijektif fV(G)UE(G) -t {1, 2, ... , p+q} dengan konstanta ajaib h sedemikian hingga untuk setiap titik ueVmemenuhif(u)+Lf(uv)=h dengan v
semua titik yang adjacent dengan u dan vEV dimana IV(G)I = p dan IV(E)I =q. Sedangkan Hartsfield dan Ringel (1990) mengenalkan pelabelan tak-ajaib sebagai pelabelan sisi suatu graf dengan bilangan bulat { 1,
2, · · · ,
q} sedemikian hingga bobot setiap titiknya berbeda. Tahun 1993, Bodendiek dan Walther mendefinisikan konsep pelabelan tak-ajaib (a, d) sebagai suatu pelabelan sisi dengan bobot semua titiknya membentuk barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d.43
Kajian mengenai pelabelan total tak-ajaib titik (a, d) sudah dilakukan untuk beberapa graf. Martin Baca, dkk. (2003) telah menunjukkan keberlakuan
VATL untuk path, graf Petersen, sikel ganjil dan
beberapa bentuk perluasan lainnya. Arif (2012) menunjukkan keberlakuan pelabelan total tak-ajaib titik (a, d) pada multisikel (mC) dengan m, n > 3 untuk a> 3 dan d = 1 dan d = 2. Operasi U dari graf
G1 dan G2 adalah graf G=G1UG2 sedemikian hingga
V(G) = V(G1)UV(G2) dan E(G) =E(G)UE(G2).
Selanjutnya, akan dikaji keberlakuan pelabelan total tak-ajaib titik pada gabungan dua sikel dengan banyak titik yang berbeda.
Pelabelan total tak-ajaib titik (a, d) dilakukan dengan memberikan label pada semua titik dan sisi dengan bilangan asli dan bobot setiap titiknya membentuk barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d. Dalam penelitian ini akan dirumuskan apakah graf yang dibangun dari gabungan dua sikel dengan banyak titik yang berbeda memenuhi pelabelan total tak-ajaib titik (a,
d) dan bagaimana rumus pelabelannya. Selain itu, akan dibahas pula bagaimana memperoleh nilai a dan d yang berlaku.
·F nJ! S!l {n tll u-e p y; :n ns JEl-8 ap ed ){!l !l q!E fE-){El JE lO l U EJ;:) qE J;:) d U E.8 U;:) p l!E ){l;:) l EA UUI OJ;:) q;:) S U E!H J;:) U;:) d I! SE lj ed aro qa q lO ){!J ;:)8 ·{p (r-lf)+ v '· ·· 'p z+ v 'p -o 'v }= {A3 n1( n)1 m}= A1 p Ep ;:)q UE p 1J EUI Ep ;:)d 0:>J: OS UE .8U ;:)p ){!E U E ){!l dlll l!J E U ES !lE q ){ OlU ;:)q UI;:) UI E AU){ !l! l -:>J: !l! l !l Ep wq oq E:>J: !f (b '<1) ;9 J E12 p-e p (p 'v ) NV l.L I'I 3:N 3d 30 0J3 W "£ ){!H l q !E fE-){E l IE lO l u -ep qE J;:) d lO q;:) S!P {b +<f '·· · ' 6 'I } � 0):? n<:J )A I m:>J: df! q u EE ld Uid d n l-e ns E){ ElS Od !l EfE J;:) dUl ;:)Ul UE p U E){ JO dur n.8 ud w ·-e :O l!E A 'U E!l !fd Ud d u an fru !E dE :>U ;:)Ul ){O lU O UE UIO p;:) d ! PE fU ;:)UI 2U EA EfJ ;:)){ ljE ){2 UE J -lj E){ 2U EI UE ){E Un .8,8 u;:) UI ! U! UE !l! Id Ud d UI EJE G ·-e ur-e s :>J: EP !l EA Ul;:) ){!S dE 9;:) S sp ed ){!l !l ){E AU Eq UE .8U ;:)p Jd ){!S JEl-8 -en p u -e2 un q-e 2 ap ed ,Jd dn s, ){!l !l qp :if -e ){ El U EJ;:) qE J;:) d EU EUl !E 2E q s e qe qrp UE ){E !ll ! U Ep !J;:) U;} d e p ad 'E AU lO fU EJd S ·-e ur-e s lj EIE PE Jd ){!S 2U !S EUI -2 U!S EUI ap ed ){!l !l ){E AU Eq UE .8U ;:)p Jd ){!S JE J-8 Ed EJd qd q u -e2 un q-e 2 ){O lU O ){ !H l q !E fE ){E l U EJd qE J;:) d !E U;:) .8U ;:)Ul SE ljE qUI ;:)Ul 6 EUI ;:)J O;:) J, U Ep '8 EUJ ;:)J O;} J, 'L EUl ;:)J O;:) J, ·r, <<f UE p 1 «ta ){O lU O ('?, 'f, + </iu e,) ){!l !l q!E fE -){ El JE lQ l U EJ;:) qE J;:) d !lj OU ;}UI ;}UI (Jiu ) Jd ){!S ){!l JO Ul J EJ -8 E PE d ('?,I O'?, 'J! .IV) 6 -ew a.1 oa 1, ·r, <<f UE p 1 «ta ){O lU O (1 ''?, + </iu e,) ){!l !l q!E fE -){ El JE lO l U EJ;:) qE J;:) d rq nu aur aur (Jiu ) J;:) ){!S ){!l JO UI J EJ -8 E PE d ('?,1 0'?, 'J! .IV) 8 a ura ro aj, ·r, <<I u-e p 1 «ta EO UJ;} S ){ OlU O g> p u-e p g< v UE .8U ;:)p (p 'v ) ){!l !l q!E fE-){El IEl Ol UE J;} qE J;:) d !lj OU ;:)UJ ;:)Ul (Jiu ) Jd ){!S ){!l JO UI J EJ -8 ct -en ds ('?, 10 '?, 'J! .IV) .!., -ew a.1 oa 1, .lO ){!J ;}q EUl ;:)JO ;}l sd era qa q ur-e y-e p ('?, IO '?,) J!.IV lj;:) 10 UE ){){ OfU nl! P ! ll! fE H ·7 LV A (p 'v ) !lj OU ;:)UI ;:)UI ":J iu u-e 2u dp UE ){El EA U!P EA Uln fu Eyd S 2 UE A u:J ld ){!S qe nq ta u-e 2u nq E:) . (1 ''?, + </£) ){!l !l q!E fE-){E l IEl Ol UE J;:) qE y;:) d red ep ro i f, < </ UE .8U ;:)p 4 :J ld ){!S dE !l;:) S ){ Olll [l (£ 00 '?, '·)f)f p 'E :>E 8) 9 -ew a.1 oa 1,
.l'
'
z
l
) d£ +s
z
){!l !l q!E fE-){E l JE lQ l U EJ;} qE J;:) d !lj OU ;:)Ul ;:)UI E < </ UE .8U ;:)p 4 :J 'J! fU E-8 Jd ){!S dE !l;} S (£ 00 '?, '·:>f ){P 'E :>E 8)s
-ew a.1 oa 1,·(
z
\
) 1r, +r z·9 ){!l !l q!E fE-){E l lE lO l U Ey;} qE J;:) d !lj OU ;:)Ul ;}UI f, < </ UE .8U ;:)p 4 :J 'J! fU E-8 ld ){!S dE !l;:) S (£ 00 '?, '·:>J: :>f P 'E :>E 8) f7 -ew a.1 oa 1, (£0 0'?, ''){ ){P 'E :>E 8) £ !S !u ya a ·-e p;} qJd q EA UE OUI ;:)S n UE .8U ;:)p .8u nq nlj ld l .8 UE A ( ;9).,1 3a u-e p <:J)A 3n dE !ld S ){ OlU O '(a n)J:I +( n)J =( n)1 m ){!l !l !l Ep lO qo q E :>J:!f (b '</) :) JE J-8 !J Ep ){!l !l q!E fE-){E l JE lO l U EJ;:) qE J;} d l Oq ;:)S !P {b +<f '·· ·'z
'I l � (;9 )3 n<:J )..1 /m :>J:d f!q uE Eld Uld d Ol En s (£0 0'?, '·)f)f p 'E :>E 8) Z !S !u ya a ·q !E fE ElU ElS UO ){ lO q;:) S!P 1f UE .8U EI! 8 'n UE.8 Ud p 2 unq nlj ld l 2 UE A (;9 )_A 3a EO Ul;:) S ){ OlU O 1f =( an )f 1+ (n )/ n){ EJl dq (;9 )..1 3n dE !l;:) S ){ OlU O E .82 U!lj UE !){!Ul ;:)p ;}S { b+ </ , .. . ' '?, '1 } � (;9 )3 n(;9 )..1 / J!l ){d f!q UE El;:) UJ;:) d ljE JE pE (b 'Q) :) JE J-8 !J Ep ){!l !l UE J;:) qE J;:) d ·q ref E E lU ElS UO ){ :in q;:) S!P 1f UE 2UE 1!8 ·n UE .8U ;}p .8u nq n4 Jd l .8 UE A E OUI ;:)S ){Ol UO O){ EJl dq dE !ld S ){O lU O E 22 U!lj UE !){!Ul ;:)p ;:)S J!l ){d f!q UE El;:) Ul;:) d ljE yE pE (b '</) :) JE J-8 !l EP ){!l !l UE J;:) qE J;:) d (TO O'?, 's m-e M) t !S !lly aa '!U ! U E!l Jl;:) U;:) d sp ed UE ){E U0 .8!p UE :>J:E .8U EA !S !U !J;:) Q Ed EJ ;}q ;:)q lO ){!J ;:)8 .JE lO l U Ey;:) qE J;:) d lO q;:) S!P 2U EA EA UE Op ;}){ EA UU !E U10 p .8 UE A U EJ;:) qE J;} d E p;:) S ! S!S UE y;:) qE y;:) d :in q;} S!P .8U EA !S !S UE UO dUl !lj EA UU !E U10 p 2 UE A u-e y;:) qE Jd d '){ !l!l UE J;:) qE Jd d :in q;} S!P 2U EA ){!l!l UE UO dUl !lj EA UU !E U!O p .8 UE A U Ey;:) qE J;} d O l!E A 'u -ep qE y;:) d UI E:> EUI Ed EJ;:) q;:) q E p\{ J!l !S Od lE fO q UE .8U EI! q U EU Od Ul!lj OlE OS d){ lO q;:) SJ ;}l JE J-8 !lE p U ;:)UI ;}l;:) EO UI;:) S U E){ El;:) UJ;} UI .8U EA J!l){ df ! q U EEl ;}Ul ;:)d ljE JE pE JE J-8 UE J;} qE J;} d ·b =13 1 UE .8U ;}p UE :>J:!S ElO U!P ;9 JEl-8 !JE p !S !S EA U){ EA UE q U Ep <l=IA I UE .8U dp UE ){!S ElO U!P ;9 JEi.8 !JE P ){ !l!l EA U){E AU E8 ·{ 4 a ' ··· ,la .ia }:::, a 'n ){n :iu n 33 na =a n -e.8 2u !lj ;:)S !S !S UEU Od Ul!lj ljE JE pE 3 UE p { 4 a , ... ,la ' 1 a} .8U OS O){ :>J:E P!l 2u d ){ !l! l-){ !l! l -e .82 u!lj ld q us un dun q 4-e y-e p-e ..1 UE .8U ;:)p (3 '..1 )= ;9 l OJ OJ ;}l UE .8U ES Ed UE UO dUl !lj !E .8E qd s U E){ !S !U !P P!P ;9 ljE JE J;:) q ){ El JE J:)vxvrs
na
NVfl
VfN
lL
NVO
Ill0 3J,NVS
VO
NVI
·z
Dominikus Arif Budi Prasetyo, Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik 'Super' pada ....
b. c.
Menganalisa beberapa graf yang suclah ada, sikel clan multisikel serta pelabelannya. Membangun pelabelan total tak-ajaib titik
suku awal (a) clan beda (d) melalui perhitungan awal terkait dengan pelabelan total tak-ajaib titik super pada gabungan dua graf sikel. Keempat, menentukan baru dari gabungan dua graf sikel. Pertama, rumus pelabelan total tak-ajaib titik super pada membangun pelabelan total tak-ajaib titik gabungan dua graf sikel.
super dari gabungan dua graf sikel; kemudian
yang kedua, membangun pelabelan total tak-
4.1
Gabungan
Dua Sikel
d. e.
4.
ajaib titik dari gabungan dua graf sikel. Menganalisa keberlakuan pelabelan total tak- ajaib titik super pada gabungan dua graf sikel. Menentukan suku pertama dan beda untuk pelabelan pada poin (cl) serta bagaimana rumus pelabelannya.
1) Menentukan becla (nilai d) yang berlaku pada pelabelan total tak-ajaib titik super pada gabungan dua graf sikel.
2) Menentukan suku awal (nilai a) yang berlaku untuk setiap nilai d dari pelabelan total tak-ajaib titik super pada gabungan dua graf sikel.
3) Menentukan rumus pelabelan dari pelabelan total tak-ajaib titik super pada gabungan dua graf sikel sesuai clengan nilai d dan nilai a yang telah ditemukan.
HASIL PENELITIAN
DAN PEMBAHASAN
Pada penelitian ini, yang dimaksud dengan gabungan dua graf sikel aclalah dua graf sikel yang tak terhubung. Graf tersebut dapat clilihat pada Gambar l. Pada Gambar 1, banyaknya seluruh titik dari gabungan dua graf sikel tersebut adalah m+n dan banyaknya seluruh sisi juga m+n. Label-label yang akan cligunakan untuk melabeli seluruh titik dan sisi dari graf tersebut adalah himpunan bilangan (1, 2, 3, ... , m+n, m+n+l, ... , 2m+2n}.
Setelah mendefinisikan gabungan dua graf sikel, peneliti mencoba beberapa gabungan dua sikel untuk diberi label sehingga berlaku Pelabelan Total Tak-ajaib Titik. Langkah awal dari pelabelan ini, peneliti membatasi terlebih dahulu pada Pelabelan Total Tak-ajaib Titik 'Super'. Hal ini dilakukan agar pelabelan dapat lebih muclah clilakukan karena kemungkinan untuk melabel titik pada gabungan dua sikel lebih sedikit, yaitu bilangan-bilangan (1, 2, 3, ... , m+n}.
4.2 Contoh Pelabelan Total Tak-ajaib
Titik 'Super' pada
Gabungan
Dua
Graf Sikel
Berikut ini diberikan contoh pelabelan total Pada bagian ini, peneliti menyajikan dalam
beberapa sub bagian. Pertama, menjelaskan gabungan dua graf sikel yang dimaksucl dalam penelitian ini. Kedua, membentuk pelabelan total tak- ajab titik super yang berlaku pada gabungan dua graf sikel dengan beberapa contoh. Ketiga, menentukan
I I I r
,
I I I I I I'
I I I I I V1.3 V211 Vz.1Gambar 1. Gabungan Dua Graf Sikel
9t 8 o � L 9 £ UE qE {lll Of qd {0 Jd d!Q '{U z+ tuz , .. . ' z+ u+ tu '1 +U +tu } qE {E PE EA U!S !S rd q-e r-r dq EI EA UlE q!)l E { u-na '" . '£
'z
'1 } q E{E PE EA U)[ !l! l rd q-e r-r dq EI 'Id }!!S EO Q U E3 un q-e 9 ap ed ,J dd OS ,xnu
q!E fE -}! EJ, {El OJ, UE {d qE {d d1a
JJ!S
en
a
ue
;;iu
nq
e
�
ep ed,.1a
dn
s,
JJP
U q
ref
e
-)J
l?J,
Jt?:}
OJ,
ue
1a
qe
1a
d u
en
JJe
pa
qa
)I
l!l?
JJ.la
J, Jl?
MV
ue
;;iU
U:J!q
.la
d
£"v ',J dd OS , }! !l! J, q !EfE -}! EJ, {E lO J, U E{d qE {d d O )!E {Jd q SJ fl EJ sp ed ElJ lJU! qd S '1 = p sp aq UE p 9G = V {E M.E O)! OS UE lJU dp }!!E U E }!!l dlll lµ E u-e sµ -eq }!O lU dq wd w E AU }!!l !l lo qo q-l oq oq !P Ef 0£ qE {E pE 8 {d qE { U E3 Ud p )[ Jl! l lO qo g: (8·a
qE {E PE l rd qE I U E3 Ud p )[ !l! l w qo g: (L '6 Z qE [E pE 9 [d qE [ U E3 ud p }! !l! l W qo g: (9 ·9 z qE [E pE S [d qE [ U ElJ Ud p }! !l! l lO qO g: (S '8 6 qE [E pE f7 {d qE [ U ElJ Ud p }! !l! l lO qo g: (fl 'Z £ qE [E pE £ {d qE { U E3 Ud p )[ !l! l io qo q (£ '£ £ qE [E pE G {d qE { U E3 Ud p )[ !l! l lO qo g: (G '1 £ = 91 +f7 1+ 1 qE{E pE 1 {d qE { UE 3u dp )[!l !l lQ qo g: (1 ·1 = p ep aq u-e p £Z = n [E M.E !E I!U u-e lJu dp ,J dd ns , }! !l! l q!E fE-)fEl {El Ol UE {d qE {d d O )[E {J dq •J fl EJ sp ed EM. qE q UE )[)[n fu nu dlU !U ! IE H · { 8Z'a
'9 z'sz
't z '£ Z } qE {E PE EA U)[!l !l lO qo q-w qo q J U! UE [d qE pd ap ed !P Ef ·9 z = n+ 8+ L lO qo q T EA UO dlU dlll l [d qE [ U ElJ Ud p )[ !lJ J, (L '£ Z = 6+ 8+ 9 lO qo q ! EA UO dlll dlll 9 {d qE [ U ElJ Ud p )[ !l! J, (9 ·t z = 01 +6 +S lO qo q ! EA UO dlll dlll s {d qE { UE lJU dp )[!l !J, (S ·s z-tt
-ot
-j
lO q oq !E AU Od llld lll f7 {d qE [ U ElJ Ud p )[ !l! J, (t '6 Z = f71 +z 1 +E ro q oq !E AU Od llld lll £ {d qE { UE lJU dp )[!l !J, (£'tz
-cr
-zr
-a
lO q oq !E AU Od lUd lll G [d qE { UE lJU dp )[!l !J, (Z ·8 z-n
-ct
-t
q ro oq !E AU nd llld lll 1 [d qE { UE lJU Jp )[!l !J, (1 'E AU)[ !l! l d E!l dS )[O lU O l Oq oq UE lJU Ol! qJ dd UE )[!l dq !P lO )[!l dg: '{f7 1 'n 'z 1 'r t '0 1 '6 '8 'L '9 's 't '£ 'z '1 } q-e r-e p-e E!P ds JJ l lJU EA [J qE {-p qE { •J fl EJ ep ed 'z JE qW E9 µE Q L B o � 9 6 'E AU )[!l !l de uo s }!Ol UO lO qo q U ElJ UO lJq Jd d U E)[ µJ q!P lO )[JJ dg: . {9 1 ' S1 'f7 1 'n 'z r 'r t '0 1 '6 '8 'L '9 's 't '£ 'z '1 1 q-e 1-e p-e E!P dS lJ l lJU EA {d qE {-p qE { SJ fl EJ ap ed '£ JE qW E9 JJ EQ '£ UE pz
JE qw -e9 µE p )[ !l! l d E!l lO qo q UE lJU OlJ qJ dd UE )[Jf ES Jp E2 nf EA UlO fU E{d S · (£ JE qw -e9 ) SJ fl EJ ap ed UE p (G JE qW E9 ) •J fl EJ sp ed !U)[ EA 'ld )[!S JE J3 En p U E3 un qE 3 sp ed ,J dd ns , )[ !l! l q JE fE-)[E lDominikus Arif Bueti Prasetyo, Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik 'Super' pada ....
dan jumlahan seluruh label sisinya adalah
seluruh label titik dari gabungan dua graf sikel tersebut adalah
Sedangkan jumlahan seluruh bobot titik dari gabungan dua graf sikel tersebut adalah
Se =(m+n+l)+(m+n+2)+ ... +2(m+n) (m + n)(3m + 3n + 1)
2
untuk d = 2, didapat a« 3m+3n+l dan dari
persamaan (3) diperoleh
5(m+n +1)
a
2
.
2)
3)
Hal ini hanya berlaku untuk salah satu dari
m atau n saja yang merupakan bilangan asli ganjil.
untuk d = 3, didapat a<2m+2n+2 dan dari
persamaan (3) diperoleh a = 2(m+n)+3. Hal ini tidak mungkin terjadi karena a>2m+2n+4.
Jadi nilai d yang mungkin hanyalah 1 atau 2 . Selanjutnya akan dicari rumus pelabelannya untuk gabungan dua sikel yang memenuhi Pelabelan Total Jadi didapat d < 3, sehingga kemungkinan nilai d adalah 1, 2, atau 3.
Bobot terbesar yang mungkin dari titik-titik pada gabungan dua graf sikel tersebut adalah
(m+n)+(2m+2n)+(2m+2n-l) = 5m+5n-l. Dengan kata lain, a+(m+n-l)d<5m+5n-l, sehingga diperoleh:
1) untuk d = 1, didapat a<4m+4n dan dari
persamaan (3) diperoleh a = 3(m+n)+2. (m+n-1) d<3m+3n-5
d
s
3m+3n-5) !::: 3 m+n-1 ... (1) 2 _ 2 _(m+n)(m+n+l) - 1+ + ... +m+n- 2 =2(m+n)(3m+3n+l) + (m+n)(m+n+l)2
2
(m+n)(7m+7n+3) =2Se+Sv Sv SvDi lain pihak, bobot-bobot titik membentuk barisan aritmetika naik dengan suku awal a san beda
d, sehingga bobot-bobot titiknya adalah {a, a+d, a+2d, ... , a+(m+n-l)d}. Diperolehjumlahan seluruh bobot dari titiknya adalah
Tak-ajaib Titik 'Super'.
4m+4n+8<2a = 7m+7n+3-(m+n-l)d
Karena persamaan (1) harus sama dengan persamaan (2), maka diperoleh bahwa
(m + n)(7m + 7n +3) 2
( m1-na+ . ) (m+n-l)(m+n)d ,
2
Karena pelabelan total tak-ajaib titik 'Super', maka bobot titik terkecil yang mungkin dari seluruh titik pada gabungan dua graf sikel tersebut adalah 1 + (m+n+ 1) + (m+n+2) = 2m+2n+4. Karena a
merupakan bobot terkecil dari pelabelan tersebut, maka diperoleh a>2m+2n+4.
Dari batasan nilai a dan dari persamaan (3) diperoleh bahwa
Sv =a+(a+d)+ ... +(a+(m+n-l)d)
( ) (m+n-l)(m+n)d
= m+n a+
2
4.4 Pelabelan Total Tak-ajaib Titik
'Super' pada Gabungan Dua Sikel
Pada bagian ini, akan dicari rumus pelabelan untuk gabungan dua sikel yang memenuhi Pelabelan Total Tak-ajaib Titik 'Super' dengan d = 1 dan d = 2.
4.4.1 Pelabelan Total Tak-ajaib Titik 'Super' dengan d = 1.
Berdasarkan perhitungan sebelumnya, untuk
d = 1 diperoleh nilai awal untuk bobot titik adalah a = 3(m+n)+2. Dari percobaan pelabelan pada titik dan
sisi gabungan dua graf sikel diperoleh cara pelabelannya adalah pelabelan mulai dari titik-titik graf pertama secara urut searah jarum jam kemudian graf kedua. Setelah itu melabeli garis/sisi dengan cara mulai dari graf kedua dimulai sisi yang berdekatan dengan titik dengan label terakhir kemudian sisi lain dengan arah berlawanan arah jarum jam dilanjutkan graf kedua dengan cara yang sama. Nlai a= 3(m+n)+2.
Misalkan X adalah graf sikel pertama, Y
adalah graf sikel kedua. Ftx): label untuk titik ke i
... (2)
... (3)
2a+(m+n-l)d = 7m+7n+3
8v ·u .ip � du rn qJ -B UB qJ fl 'S !O ll!l ll JO Al! SJ .}A !U fl jV.t :) U J S u.ta Jq O.tJ 3u .iz aq v7 pu v ff uJ.t OJO :J "l OO Z '.M. ."G 'u oa su ar j "Ul !.} l{U UB W '" IJ ;:}A "S S!.M. - HI 'II I aJ.t OtJlf JU aj v.t:) '·N ':> fd !P Ud po g: u ep ")I 'J.} U2 B.M_ UJB {B G ·u aj V.t:) tJlf :JSJ 3V u.t!J UV lf:JS JJtJ u.tlf J!-' V "£ 66 1 ·9 'J .}l{ l{B .M. u Bp ·H '){ .}!P U.} po g:
·i::
8-L
9
cItz
'.& 10 .}tt L JB J9 ·q iB W · ss n:> s!Q JV -'Q Jo ffu na qv 7 JV JO J, :J J3 Vu.t .tJ UV xaJ .ttJ A·i::
oo
z
"){ ){P '·w 'B :>B H ·v v-8 £ 'Z IO Z !U nf '1 "O N 'l "{O A ·sv .to 3V lfJI\ J [mu n] ." dp A:> !l{ nw l{d BJ 9 B PB d 2 U!{ .}q B1 {B lO J, :> !2 BW !l ll\f X.} lJ .}A ,, "Z 10 G ·s n){ !ll !W OQ 'O Al.} SB ld !P ng:n-v
'um um BJ B;) .}S {d ){!S JB � an p U B2 un qB 2 ap ed ){!l !l q!B fB -){ Bl {B lO l UB {.} qB pd UB n){ B[l .}q .}){ UB ){ni U.} U.} y\J:'z
= p ){n iu n {d ){!S JB J2 mp UB 2u nq B2 ap ed .ra dn s ){!l !l q!B fB -){ Bl {Bl Ol UB{.} qB {.} d !JB P um um s num .r µ B:> U.} W "U B){ OUl .}l! P re de p w np q um um B JB ;).} S U B{d qB {.} d (Z sn urru UB ){ni U.} U.} UJ ){ niu n 'u nW BN ·1.} dn s ){ !l! l q !B fB -){ Bl J BlO l U Bp qB pd UB ){n ){B l!P re de p {d ){!S JB J2 Bn p uB 2u nq B2 ed ero qa q BP Bd "!l SB d B JB :>.} S U B){ nW .}l! P (1 ie dep WO {.} q !ll ! UB {.} qB {.} d B {O d "d BU .}2 {d ){!S U!B { 2 UB A (B (q ·in ){µ dq !B 2B q.} S J BJ 2 B np d){ ){n iu n !S !S UB p ){ !l9 UB {d qB {d d s nw n}[ A {d ){!S !JB P ! S!S ){ni un J.} qB { :( 't t{)Q UB p (!t t{)Q X{ d){ !S ue p !S !S ){n iu n {.} qB J :( "'x 1 X)d UB p ( 1 XX ).!/ ·u '·· · 'z '1 = f':J
{.} ){!S !] Bp f d){ :>I!l !l ){n iu n {d qB { :( .{)9 ·w '·· ·'z
'1 = J 'X ld ){!S !l Bp l{B {B PB ){!l !l io qo q ){ niu n { BM. B ! B{! U l{ .}{O J.} d!Pz
= p ){n iu n 'B AU UJn {d qd s U B2 Un l!l{ Jd d ap ed UB ){JB SB pl dH·i
= p u e � ua p ,.1 ad ns , JJ!l !.L q!e ft? -JJt? .L 1ei o.1 ue1a qe 1a d Z'f' 'f' UB p l! fU B2 {d ){!S rue s l{ B{B S !U){ BA 'B p.} qJ;:} q 2 UB A {d ){!S an p U B2 un qB 2 a pe d U B){ n){ Bl! P B S!q up 12 un w U B){ B .ro dn s, ){9 9 q !B fB-){Bl {B lO l UB {.} qB pd'z
= p ){n iu n !P Bf "d BU .}2 ner e { !fU B2 UB 2U B{! q sd rua q BUJ BS -B UJB SJ .}q U!)l 2un w ){B P!l u UBp ta 'U!B l Bl B){ UB 2U .}Q "l! f UB 2 BA UU!Bl 2u d U Bp dB U.} 2 s n ra q u ne re u.t uep rue s l{B {B S BM. l{B q lB qP{ BJ .}q !U ! {B H "d BU .}2 l{B {S nJ Bl{ (1 +U +u.t )S ·q B){ BUJ 'Jm so d l B{n q U B2 UB J!q sru sq a !B {!U BU .}J B)I(,
v
(T +u +ut )S (I ·u z+ u.t = ('[ l,() Q UB p '1 -U '· ..'z
'1 = f UB 2U .}p 'f-uz +u.t = ( 1 [t\) Q ·u '· ..'z
'1 = f UB 2U .}p 'f = (t{) :J "B .:{ { d){ !S JB J2 UB {.} qB {.} d "( U+ u.t)z = ("X IX ).!/ UB p (Z '1-u.t , ... 'z '1 = J UB 2U .}p 'J-(U +u.t )z = ('x x)d 'ta , .. .'z
'1 = J UB 2U .}p 'J = (x )d °X {d ){!S JBl2 UB {.} qB {.} dd11J1l
N3
d
·g
·in ){!J dq !B 2B q.} S U B{n dW !S d){ {!q WB !P re de p 'U B){ O){ Bl! P 2 UB A U B9 !{d lld d !J BG re de p B :>B qw dd 'B .&u in fU B{.} S U B!l !{d Ud d ){ niu n "UB ){n W.} l!P re de p w n1d qz
= p ){n iu n U B{.} qB {.} d s num g.
z
v
S ut) u + + (1 l{B {B PB ){!l !l io qo q ){n iu n {B M.B !B {!U l{.} {O J.} d!Pz
= p ){n iu n ·u z+ u.t = ('[ 1.{) Q UB p '1 -U '·· · 'z '1 = f UB 2U .}p 'f-uz +u.t = ( '[ ,{):) ·u '· ..'z
'1 = f UB 2U .}p 'f = (t{) :J .:{ { d){ !S JB J2 UB {.} qB {.} d ·n "( U+ u.t)z = ("X IX ).!/ UB p '1 -u.t'· ..
'z
'1 = J UB 2U .}p 'J-(U +u.t )z = ( 1 XX ).!/ 'ta '·· . 'z '1 = J UB 2U .}p 'J = (x ).!/ X {.} ){!S JBl2 UB J.} qB {d d ·1 ·in ){µ .}q !B 2B q.} S UB pq Bp d s nur ru U Bp z+ (u +u.t )£ = n l{B {B PB ){!l !l io qo q {B M.B !B {!U l{d {O J.} d!P '1 = p ){n iu n·z
= p UB p 1 = p !B {!U UB 2U .}p UB ){n ){B l!P re de p { d){ !S JB J2 Bn p U B2 un qB 2 ap ed J.} dn s ){ !l! l q !B fB -){ Bl {B lO l U B{.} qB {d d "B p.} qJ .}q ){!l 9 ){ BA UB q U B2 U.} p {d ){!S JB J2 an p U B2 un qB 2 ep ad UB ){n ){B l!P re de p .r ad ns ){!l !l q!B fB -){ Bl {B lO l U B{.} qB {d dDominikus Arif Budi Prasetyo, Pelabelan Total Tak-Ajaib Titik 'Super' pada ....
Hartsfield, N. dan Ringel, G. 1990. Pearls in Graf Theory, Academic Press, Boston - San Diego - New York- London.
Kotzig, A dan Rosa, A 1970. Magic Valuations of Finite Grafs, Canad. Math Bull, 13: 451-61.
MacDougall, J.A., dkk. 2002. Vertex Magic Total Labelings of Grafs, Util. Math, 61: 3-21. Wallis, W.D. 2001. Magic Graf Birkhauser.
