PENDAHULUAN. X dikatakan peubah acak kontinu, jika ada sebuah fungsi non negatif f, yang didefinisikan pada semua bilangan real, x (,

PENDAHULUAN

• X dikatakan peubah acak kontinu, jika ada sebuah fungsi non negatif f, yang didefinisikan pada

semua bilangan real,

x



(



,



),

Mempunyai sifat bahwa untuk sembarang himpunan bilangan real B







B

dx

x

f

B

X

P

(

)

(

)

Beberapa Sifat Peubah Acak

Kontinyu

                           a a a b a dx x f a F a X P a X P lain kata dengan dx x f a X P b a Jika dx x f b X a P maka b a B Katakan dx x f X P ) ( ) ( } { } { 0 ) ( } { ) ( } { ] , [ ) ( )} , ( { 1

f.k.p p.a. kontinu

• Syarat pertama bahwa f(x)  0 untuk - ≤ x ≤ + jelas terpenuhi

•

• Jadi f(x) memenuhi syarat sebagai f.k.p









_



lainnya

untuk

,

0

1

untuk

,

2

)

(

3

x

x

x

x

f

1 )) 1 ( 0 ( ) 1 ( 2 0 ) ( 1 2 1 3 1               







x dx x dx dx x f

CONTOH

• Misalkan X adalah sebuah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut

      selainnya x x x C x f , 0 2 0 ), 2 4 ( ) ( 2 1. Berapa nilai C 2. Tentukan P{X>1}







                   1 2 1 2 2 0 3 2 2 0 2 2 / 1 ) 2 4 ( 8 3 ) ( } 1 { 8 / 3 1 3 2 2 1 ) 2 4 ( dx x x dx x f X P Maka C x x C dx x x C x x

CONTOH2

• Diketahui suatu fungsi kepekatan peluang sebagai berikut Jawab X P b X P a x x e x f x } 100 { . } 150 50 { . 0 0 0 ) ( 100 /          



633 . 0 1 100 / 1 } 100 { 384 . 0 1 100 / 1 } 150 50 { . 100 / 1 , 100 ) 100 ( 1 ) ( 1 1 100 0 100 0 100 / 100 / 2 / 3 2 / 1 150 50 100 / 100 / 150 50 0 100 / 0 100 /                                   









e e dx e X P Carasama e e e dx e X P a e dapatkan Kita dx e dx x f x x x x x x    

Fungsi sebaran kumulatif

• Didefinisikan F_X(x) sebagai

• F_X(x) disebut sebagai fungsi sebaran kumulatif p.a X



       x X x P f X x f x dx F ( ) ( ( ) ( )

Fungsi sebaran kumulatif

• 0 ≤ F_X(x) ≤ 1

• Jika a > b maka F_X(a)  F_X(b)  monoton tidak turun • • 0 ) ( lim    FX x x 1 ) ( lim    FX x x

Fungsi sebaran kumulatif

• X adalah p.a dengan f.k.p

• Fungsi sebaran kumulatifnya adalah

    _  lainnya untuk , 0 1 untuk , 2 ) ( 3 x x x x f         1 untuk , 1 1 1 untuk , 0 ) ( 2 x x x x F

SEBARAN PELUANG SERAGAM

• X dikatakan mempunyai sebaran peluang seragam pada (0,1) jika mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :





  

















1 0

1

)

(

)

(

,

0

)

(

,

)

(

0

1

0

1

)

(

dx

x

f

dx

x

f

dan

x

f

karena

fkp

disebut

x

f

persamaan

selainnya

x

x

f

SEBARAN PELUANG SERAGAM









_

_























selainnya

x

jika

x

f

adalah

pada

seragam

fkp

dengan

acak

peubah

X

demikian

dengan

a

b

x

dx

x

f

b

X

a

P

b

a

Jika

b a b a

0

1

)

(

)

,

(

)

(

}

{

,

1

0













SEBARAN PELUANG SERAGAM

• Fungsi sebaran dari fkp seragam pada interval (α,β) adalah sebagai berikut

                    x x x x x F 1 0 ) ( α β α β 1/(α-β) 1 f(x) F(x) x x

SEBARAN NORMAL

• X mempunyai sebaran normal, bila mempunyai fkp sebagai berikut











 

x

e

x

f

x

,

2

1

)

(

( )2/22





f(x) diatas adalah fungsi kepekatan peluang, untuk itu perlu dibuktikan bahwa Integral dari f(x) diatas bernilai 1

1

2

1

2 2 2 / ) ( 



   



dx

e

x  





                 2 2 2 2 , , sin , cos , 2 2 1 2 1 , / ) ( , 0 2 / 0 2 / 0 2 0 2 / 2 2 / ) ( 2 / 2 / 2 / 2 / 2 2 / 2 / 2 / 2 / ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                              I maka e dr re dr d r e I maka dr d r dydx r y r x polar koordinat dengan dydx e dydx e e dx e dy e I maka dy e I misal dy e tunjukkan harus kita dy e dx e x y substitusi r r r x y x y x y y y y x

SEBARAN NORMAL

• X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2_.

Kemudian Y=αX+β akan terdistribusi dengan rata-rata α μ +β dan ragam α2 σ2._{. FKP Y adalah sebagai berikut}

}

)

(

2

)]

(

[

exp{

2

1

)

(

₂ 2



















y

y

f

_Y

SEBARAN NORMAL

• X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2_{, selanjutnya Z=(X-} μ)/ σ, menyebar dZ=1/ σ dx, dx = σ dz X= σZ+ μ maka dz z dx z z f_Z } 2 / exp{ 2 1 ) }( 2 ) ( exp{ 2 1 ) ( 2 2 2              

Fungsi Distribusi Kumulatif pada

Sebaran Normal

• X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2, maka fungsi distribusi dari X

adalah ) ( ) ( ) ( ) (                a a X P a X P a F_X

CoNTOH

• Jika X menyabar normal dengan μ=3 dan ragam σ2 _=9,

tentukan (1) P(2<X<5), (2) P(X>0), dan (3) P(|X-3|>6) • Jawab 0456 . 0 } 2 { } 2 { } 3 3 3 3 3 { } 3 3 9 3 3 { } 3 { } 9 { } 6 | 3 {| . 3 8413 . 0 ) 1 ( ) 1 ( 1 } 1 { } 3 3 0 3 3 { } 0 { . 2 3779 . 0 ) 3 / 1 ( ) 3 / 2 ( } 3 2 3 1 { } 3 3 5 3 3 3 3 2 { ) 5 2 ( . 1                                                    Z P Z P X P X P X P X P X P Z P X P X P Z P X P X P    

Pendekatan Normal untuk Kasus

Binomial

• Jika S_n adalah jumlah yang sukses dari n percobaan secara independen, setiap percobaan menghasilkan peluang sukses p, maka untuk sembarang a <b,

        n jika a b b p np np S a P n ) ( ) ( } ) 1 ( {  

Contoh

• X menunjukkan banyaknya “Head” yang keluar dari mata uang yang dilempar

sebanyak 40 secara fair. Berapa peluang X=20. Dekati dengan sebaran normal

1268 . 0 2 1 20 40 ) 20 ( 1272 . 0 ) 16 . 0 ( ) 16 . 0 ( 16 . 0 10 20 16 . 0 10 20 5 . 20 10 20 ) 2 / 1 )( 2 / 1 ( 40 20 5 . 19 } 5 . 20 5 . 19 { } 20 { 40                         _{ }  _        _          X P binomial dengan X P X P X P X P  

SEBARAN PELUANG EKSPONENSIAL

Peubah Acak X mempunyai sebaran peluang

eksponensial, jika mempunyai kepekatan peluang untuk beberapa 0 ; 1 | } { ) ( 0 0 0 ) ( , 0 0 0                    a e e dx e a X P a F kumulatif distribusi Fungsi x jika x jika e x f a a x a x x       

Sering dipakai untuk menghitung jumlah percobaan (waktu/panjang) sampai kejadian Spesifik ditemui

CONTOH

• Misalkan lamanya waktu menelpon memiliki distribusi

eksponensial dengan λ=0.1. Jika seseorang segera datang saat anda selesai menelpon pada telepon umum. Tentukan peluang a) anda menunggu lebih dari 10 menit, b) antara 10 hingga 20 menit 233 . 0 | 10 1 } 20 10 { . 2 368 . 0 | 10 1 } 10 { . 1 2 1 20 10 20 10 10 / 10 / 10 1 10 10 / 10 /                       





e e e dx e X P e e dx e X P x x x x

Sebaran Laplacian

• X peubah acak yang mempunyai sebaran Laplacian jika mempunyai fungsi kepekatan peluang,                                        0 2 / 1 1 0 2 / 1 0 2 / 1 2 / 1 0 2 / 1 ) ( , 2 / 1 0 2 / 1 0 2 / 1 ) ( 0 0 0 | | x e x e x dx e dx e x dx e x F kumulatif sebaran fungsi dengan x e x e x e x f x x x x x x x x x x               

Fungsi Kepekatan Peluang

Gamma

• X peubah acak mempunyai fkp gamma,

maka dengan beberapa parameter (t, λ), λ > 0 dan t > 0, jika kepekatan peluangnya

adalah           0 , 0 0 , ) ( ) ( ) ( 1 x x t x e x f t x    dimana

dy

y

e

t

y t 1 0

)

(

  







• Integral parsial adalah ! ) 1 ( ) ( , 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 . 3 )... 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 0 0 2 0 2 0 1                                              n n maka dx e karena n n n n n n n n n pengulanga dengan t t dy y e t dy y t e y e t x t y t y t y

Distribusi Weibull

• X peubah acak mempunyai distribusi weibull, jika mempunyai fungsi peluang kumulatif

sebagai berikut :                                                          v x v x v x v x x f turunannya v x v x v x x F         exp 0 ) ( exp 1 0 ) ( 1

Distribusi Beta

• X peubah acak mempunyai distribusi beta jika mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :



          _{  }  1 0 1 1 1 1 ) 1 ( ) , ( dim 0 1 0 ) 1 ( ) , ( 1 ) ( dx x x b a B ana selainnya x x x b a B x f b a b a

Nilai Harapan p.a kontinu

• Tentu saja pada saat menghitung E(X) hanya selang yang memiliki f(x) tidak nol yang

digunakan.     _  lainnya untuk , 0 1 untuk , 2 ) ( 3 x x x x f

X p.a. kontinyu dengan fkp f(x) Maka . ) ( ) (X x f x dx E



   

Contoh: X p.a. yang mempunyai fkp seragam.

Tentukan nilai harapan X pada selang (a, b)

       _{ }   . 0 ; 1 ) ( Selainnya b x a a b x f Jawab 2 ) ( 2 ) )( ( 2 ) ( 1 2 1 ) ( 1 ) ( 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b x a b dx a b x X E b a                   



X p.a. yang mempunyai fkp eksponensial. Tentukan nilai harapan X Jawab:          0 0 0 ) ( x x e x f x  