Mekanika Analitik
Muhammad Farchani Rosyid
”Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; redet man
zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre eigene Sprache,
und dann ist es alsobald etwas ganz anderes.”
(Johann Wolfgang von Goethe)
(Mathematicians are a kind of Frenchmen. Whenever you say anything or talk to them, they translate it into their own language, and right away it is something completely different.)
”Die Geometrie ist eine Wissenschaft, welche im
Wesentlichen so weit fortgeschritten ist, dass alle ihre
Tatsachen bereits durch logische Schlüsse aus früheren
abgeleitet werden können. ...
Nach dem Muster der Geometrie sind nun auch alle
anderen Wissenschaften in ester Linie Mechanik,
hernach aber auch Optik, Elektrizitätstheorie usw. zu
behandeln.”(David Hilbert)
(Geometry is a science which essentially has developed to such a state that all its facts may be derived by logical deduction from previous ones. ...
Berikut berapa pandangan tentang kaitan antara
fisika dan matematika:
Pertama, pandangan yang paling lunak mendudukkan
matematika hanya sebagai peranti yang memudahkan fisika
dan sebagai bahasa untuk mengungkapkan hukum-hukum
fisika.
(Persamaan bukan segalanya, ada esensi lain dalam suatu
hukum fisika yang tidak dapat dirumuskan secara
Einstein:
”Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit
beziehen, sind sie nicht sicher, und sofern sie sicher sind, beziehen
sie sich nicht auf die Wirklichkeit.”
(If a theorem of mathematics refers to a reality, it
is not rigorous. If it is rigorous, it does not refer to
a reality)
Kedua, adalah pandangan yang mendudukkan matematika
sebagai tujuan, fisika adalah upaya memilih atau membangun
struktur matematik yang cocok untuk menggambarkan pola-pola
keteraturan gejala alamiah.
Jadi, fisika dipahami sebagai upaya menemukan realitas
matematis sebagai model yang mewakili realitas fisis.
Matematika adalah kerangka bagi sebuah teori fisika.
Kenyataan mengajarkan kepada kita bahwa semakin
sempurna sebuah teori dalam fisika, semakin canggih
Ketiga, adalah pandangan radikal bahwa fisika adalah upaya
menemukan matematika alam, yakni matematika yang
mengatur alam semesta ini, keseluruhannya.
Alam semesta ini sebagai bangunan matematis, satu koheren
dengan yang lain dalam kerangka matematika yang sama.
Minggu Pertama
Kilas Balik: Mekanika Newton dan segala
keterbatasannya
Menguasai dan mampu menerapkan Hukum Newton.
Dapat menjelaskan kesulitan-kesulitan yang muncul dalam
penyelesaian masalah-masalah mekanika melalui hukum Newton. Dapat menjelaskan pentingnya terobosan guna mengatasi
Hukum Newton :
Hukum Pertama :
Setiap benda akan terus berada pada keadaan diam atau
bergerak dengan kelajuan tetap sepanjang garis lurus jika tidak dipaksa untuk merubah keadaan geraknya itu oleh gaya-gaya yang bekerja padanya.
Hukum Kedua :
Resultan gaya yang bekerja pada suatu benda mengakibatkan
terjadinya perubahan momentum. Perubahan momentum tiap satu satuan waktu yang dialami oleh benda itu berbanding lurus dengan resultan gaya yang bekerja padanya:
𝐅 = 𝑑𝐩
Hukum Ketiga :
Apabila suatu benda (sebut benda pertama) mengerjakan gaya pada benda lain (sebut benda kedua), maka benda kedua akan melakukan gaya pada benda pertama yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan dengan gaya yang dikerjakan oleh benda pertama pada benda kedua.
Gaya aksi dan gaya reaksi tidak pernah bekerja pada benda yang sama. Gaya reaksi bekerja pada benda yang melakukan gaya aksi.
Karena 𝐩 = 𝑚𝐯, maka
𝐅 =
𝑑𝐩
𝑑𝑡
= 𝑚𝐚 +
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝐯
Jika massa benda yang bergerak itu tetap, maka
𝑑𝑚𝑑𝑡
= 0.
Akibatnya, hukum kedua dapat dituliskan sebagai
𝐅 = 𝑚𝐚
Secara umum benda yang bergerak mengalami
Hal-hal penting yang harus selalu diperhatikan dalam
penerapan hukum Newton kedua :
Ruas kiri persamaan (1) merupakan jumlahan vektor semua gaya yang bekerja pada sistem mekanis yang ditinjau. Apabila persamaan (1)
hendak diterapkan hanya pada suatu bagian dari suatu sistem mekanis, maka lupakanlah gaya-gaya yang tidak bekerja pada bagian itu.
gaya yang bekerja pada sistem mekanik sangat bervariasi. Gaya-gaya itu dapat berupa Gaya-Gaya-gaya konstan. Tetapi, pada umumnya, Gaya- gaya-gaya itu bergantung pada posisi dan waktu serta beberapa parameter yang lain (lihat Fowles mulai hal. 40). Meskipun demikian, semua gaya yang terlibat dalam mekanika dapat dikembalikan ke empat gaya
Apabila hukum Newton diterapkan pada suatu sistem
mekanis, maka akan diperoleh persamaan gerak.
Jawaban persamaan ini adalah koordinat benda sebagai
fungsi waktu :
x
(
t
),
y
(
t
), dan
z
(
t
). Fungsi-fungsi ini
sangat bergatung pada syarat awal, yakni diketahuinya
posisi dan kecepatan benda pada suatu saat tertentu
(biasanya saat
t
= 0).
Keterbatasan Hukum Newton:
dari segi kecepatan
Kendala:
Mampu menjelaskan konsep kendala dan pengaruhnya pada masalah-masalah mekanika.
Mampu merumuskan persamaan-persamaan kendala. Mampu menjelaskan jenis-jenis kendala
Mampu menentukan jenis kendala yang ada pada setiap masalah mekanika.
Seluruh masalah dalam mekanika secara prinsip dapat
dikembalikan ke persamaan
𝑑2𝑥𝑖 𝑑𝑡2=
1 𝑚𝑖𝐹
𝑥 𝑖 𝑖+
𝑁𝑗=1𝐹
𝑥𝑖𝑗,
𝑑2𝑦𝑖 𝑑𝑡2=
1 𝑚𝑖𝐹
𝑖 𝑦𝑖+
𝐹
𝑦 𝑖𝑗 𝑁 𝑗=1,
𝑑2𝑧𝑖 𝑑𝑡2=
1 𝑚𝑖𝐹
𝑖 𝑧𝑖+
𝐹
𝑧 𝑖𝑗 𝑁 𝑗=1.
Prosedur penyelesaiannya seolah-olah tampak jelas :
memasukkan komponen-komponen gaya yang terlibat,
mencari jawaban persamaan diferensial dan yang
terakhir menentukan tetapan-tetapan berdasarkan
syarat awal.
Tetapi, tidak semuanya sederhana. Masalah muncul
apabila terdapat kendala-kendala (
constraints
).
Kendala-kendala ini membatasi partikel-partikel untuk saling
Jenis-jenis kendala :
Kendala Holonomik:
Apabila kendala dapat dituliskan sebagai persamaan-persamaan yang menghubungkan posisi-posisi partikel dalam bentuk
𝑓𝟏 𝐫1, 𝐫2, … , 𝐫𝑁 = 0, 𝑓2 𝐫1, 𝐫2, … , 𝐫𝑁 = 0, ... 𝑓𝑘 𝐫1, 𝐫2, … , 𝐫𝑁 = 0, (2)
Kendala Nonholonomik adalah kendala yang tidak
holonomik. Artinya, kendala yang tidak dapat dituliskan
sebagai persamaan-persamaan seperti di atas.
Contoh :
Sebuah benda yang dikukung dalam tangki berbentuk
silinder berjari-jari
a
dan tinggi
h
mengalami kendala
x
2+
y
2−
a
2< 0
dan 0 <
z
<
h
.
Sebuah benda yang berada di luar sebuah bola
berjari-jari
a
2terkekang oleh kendala yang hanya
Koordinat Umum:
Dapat menjelaskan konsep derajat kebebasan.
Dapat menentukan derajat kebebasan terkait dengan suatu sistem mekanik.
Dapat menjelaskan konsep koordinat umum.
Dapat membangun sistem koordinat umum yang sesuai bagi suatu sistem mekanik.
Dapat menjelaskan konsep transformasi koordinat.
Dapat merumuskan persamaan-persamaan terkait dengan transformasi koordinat.
Adanya kendala mengakibatkan dua masalah dalam
penyelesaian masalah mekanika :
Pertama, koordinat xi, yi dan zi tidak lagi bebas satu dari yang lain sehingga persamaan-persamaan (1) tidak bebas satu dari yang lain.
Kedua, adanya gaya kendala yang tidak dapat ditentukan terlebih
dahulu sebab gaya tersebut termasuk ke dalam masalah yang harus diselesaikan.
Untuk kendala yang holonomik, masalah pertama dapat
diselesaikan dengan memperkenalkan koordinat
Andaikan sistem mekanis yang ditinjau tersusun atas
N
buah partikel. Oleh karena itu diperlukan 3
N
koordinat
(x
1, y
1, z
1, x
2, y
2, z
2, ...,x
i, y
i, z
i, ...,x
N, y
N, z
N) untuk
menggambarkan konfigurasi sistem (yakni posisi
masing-masing partikel). Hal ini berarti terdapat 3
N
derajat kebebasan. Apabila terdapat
k
buah persamaan
kendala
f
1(x
1, y
1, z
1, x
2, y
2, z
2, ...,x
i, y
i, z
i, ...,x
N, y
N, z
N) = 0,
f
2(x
1, y
1, z
1, x
2, y
2, z
2, ...,x
i, y
i, z
i, ...,x
N, y
N, z
N) = 0
...
f
k(x
1, y
1, z
1, x
2, y
2, z
2, ...,x
i, y
i, z
i, ...,x
N, y
N, z
N) = 0,
maka derajat kebebasan sistem menyusut menjadi 3
N
−
Dalam hal ini diperlukan sistem koordinat umum yang
terdiri dari 3
N
−
k
koordinat, katakanlah
(q
1, q
2, ..., q
3N − k).
Terdapat transformasi koordinat
r
1= r
1(q
1, q
2, ..., q
3N − k)
... ...
r
i= r
i(q
1, q
2, ..., q
3N − k)
(3)
... ...
Prinsip d’Alembert dan persamaan
Euler-Lagrange:
Mampu menjelaskan konsep pergeseran maya.
Mampu mengkonstruksi pergeseran maya yang konsisten dengan kendala.
Mampu menjelaskan prinsip usaha maya.
Mampu menerapkan prinsip usaha maya untuk berbagai masalah statika.
Mampu menjelaskan prinsip d’Alembert. Mampu menerapkan prinsip d’Alembert.
Mampu menjelaskan bahwa penerapan prinsip d’Alembert dengan koordinat umum menghasilkan persamaan Euler-lagrange.
Pergeseran Maya
Suatu pergeseran maya suatu sistem adalah
perubahan konfigurasi (posisi atau orientasi) sistem
sebagai akibat pergeseran infinitisimal
r
i(i = 1,2, ...,
N
) yang konsisten dengan gaya-gaya dan kendala
yang bekerja pada sistem itu pada saat
t
.
Penting : Pergeseran maya terjadi tanpa
Prinsip kerja maya pada sistem yang berada dalam
keseimbangan
F
i(a)•
r
i+ f
i•
r
i= 0,
dengan F
i(a)adalah gaya luar total yang bekerja pada
partikel nomor i dan f
iadalah gaya kendala yang
bekerja pada partikel nomor i.
Bila sistem yang ditinjau sedemikian rupa sehingga gaya
kendala tegaklurus dengan pergeseran maya yang
mungkin, maka suku kedua persamaan terakhir lenyap.
Jadi,
F
i(a)•
r
Prinsip d’Alembert
Prinsip d’Alembert merupakan perluasan prinsip usaha
maya dengan menambahkan suku tambahan untuk gaya
total pada tiap partikel menjadi
F
i(a)+ f
i
+ p
isehingga
Dengan asumsi bahwa gaya kendala selalu tegak lurus
terhadap pergeseran maya, maka didapat
(F
i(a)+ p
i
) •
r
i= 0.
Karena
r
1,
r
2, ...,
r
Ntidak bebas satu dari yang lain
(akibat adanya) kendala, maka tidak serta merta
dapat disimpulkan bahwa
F
i(a)+ p
i= 0.
Melalui transformasi koordinat (3) masalah ini dapat di
Persamaan Lagrange
Melalui transformasi koordinat (3) didapatkan
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝛼−
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝛼− 𝑄
𝛼𝑛𝑜𝑛𝑘𝑜𝑛= 0,
dengan 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 tenaga kinetik total sistem dikurangi
energi potensial total sistem dan 𝑄
𝛼𝑛𝑜𝑛𝑘𝑜𝑛gaya umum
Penerapan Persamaan Euler-Lagrange:
Mampu menjelaskan perihal persamaan Euler-Lagrange. Mampu menjelaskan domain persamaan Euler-Lagrange. Mampu menerapkan persamaan Euler-Lagrange untuk berbagai masalah mekanika sederhana dengan kendala holonomik.
Mampu menerapkan persamaan Euler Lagrange untuk berbagai masalah dengan potensial umum.
Mampu menerapkan persamaan Euler Lagrange untuk berbagai masalah yang terkait dengan fungsi disipasi.
Contoh :
Bandul Matematis : Sebuah bola bermassa
m
dan
digantung dengan sebuah batang yang ringan pada
atap sebuah ruangan. Panjang batang penggatunga
itu
l
. Ujung batang tersambung dengan atap melalui
sebuah engsel sehingga bandul tersebut bebas
mengayun pada bidang vertikal (bidang XY). Gambar
di bawah memperlihatkan posisi bola pada suatu saat
sembarang. Bola mendapatkan kendala
Bandul matematis yang berayun pada manik-manik
yang diuntai pada kawat mendatar : Sebuah
manik-manik bermassa
m
1diuntai pada kawat lurus datar
sehingga bebas bergerak sepanjang kawat itu.
Sebuah bola bermassa
m
2ditempelkan pada ujung
sebuah batang yang ringan. Ujung batang yang lain
ditempelkan pada manik-manik melalui engsel titik
sehingga dapat berayun
pada semabarang arah
.
Panjang batang l.
Dalam koordinat kartesius tentunya ada enam koordinat
(x
1, y
1, z
1, x
2, y
2, z
2), dengan sumbu z keluar bidang
gambar. Tetapi manik-manik selalu berada pada garis
yang sama, yakni kawat mendatar. Jika pada kawat
mendatar itu ditempelkan sumbu y, maka posisi
manik-manik selalu berada pada sumbu y. Oleh karena itu
Prinsip Variasi dan Persamaan Lagrange:
Mampu menjelaskan prinsip Hamilton. Mampu menerapkan prinsip Hamilton.
Mampu menjelaskan bahwa persamaan Euler-Lagrange dapat diturunkan dari prinsip Hamilton (prinsip variasi).
Mampu menjelaskan konsep kalkulus variasi (prinsip variasi). Mampu menerapkan kalkulus variasi (prinsip variasi).
Perluasan Prinsip Hamilton dan Kesetangkupan
(Simetri) dan Hukum Kelestarian pada Mekanika
Lagrange:
Mampu menjelaskan perluasan prinsip Hamilton untuk sistem mekanik dengan kendala nonholonomik.
Mampu menyelesaikan masalah mekanika dengan kendala nonholonomik.
Mampu menjelaskan konsep kesetangkupan dalam mekanika Lagrange.
Mampu menjelaskan hukum kelestarian dalam mekanika Lagrange. Mampu menerapkan kesetangkupan dan hukum kelestarian dalam
Persamaan Gerak Hamilton:
Mampu menjelaskan konsep ruang fase kecepatan dan ruang fase momentum.
Mampu mengkonstruksi ruang fase kecepatan dan ruang fase momentum suatu sistem mekanik.
Mampu menjelaskan transformasi Legendre. Mampu menerapkan transformasi Legendre.
Mampu menerapkan formulasi Hamilton untuk berbagai masalah mekanika yang sesuai.
Mampu menjelaskan konsep koordinat siklis dan kaitannya dengan hukum kelestarian.
Mampu menentukan koordinat siklis dalam berbagai masalah mekanika
Momentum Umum
Jika
L
Lagrangan suatu sistem fisis dengan siatem
koordinat umum (q
1, q
2, ..., q
3N − k). Maka besaran p
dengan (
= 1, 2, ..., 3
N
−1) yang didefiniskan sebagai
𝑝
𝛼≔
𝜕𝑞 𝜕𝐿𝛼disebut momentum umum atau momentum kanonik
pasangan bagi koordinat q
.
Transformasi Legendre
Transformasi Legendre adalah transformasi
𝐿 ↦ 𝐻 ≔ 𝑞
𝛼𝑝
𝛼− 𝐿
Fungsi 𝐻 disebut Hamiltonan. 𝐻
tidak lagi bergantung
pada . Fungsi
H
bergantung pada (q
1, q
2, ..., q
3N − k, p
1, p
2,
..., p
3N − k, t). Hal ini dapat dipahami sebab
𝜕𝐻
𝜕𝑞 𝛼
= 0,
untuk setiap 𝛼
(Buktikan).
Jadi,
Persamaan gerak Hamilton
Meskipun telah dilakukan transformasi Legendre, masih
akan muncul variable-variabel 𝑞
𝛼dalam ungkapan
untuk
H
. Namun ungkapan untuk
H
dapat segera
dibersihkan dari 𝑞
𝛼dengan melakukan subtitusi dari
persamaan-persamaan
𝑝
𝛼≔
𝜕𝐿𝜕𝑞 𝛼
Persamaan gerak Hamilton diberikan oleh
𝑞
𝛼≔
𝜕𝑝𝜕𝐻𝛼
dan 𝑝
𝛼≔ −
𝜕𝐻 𝜕𝑞𝛼
,
Kalkulus Variasi dan persamaan Hamilton dan
Transformasi Kanonik :
Mampu menjelaskan penurunan persamaan Hamilton dari prinsip variasi.
Mampu menjelaskan prinsip aksi terkecil. Mampu menerapkan prinsip aksi terkecil.
Mampu menjelaskan konsep transformasi kanonik.
Transformasi Kanonik (lanjutan):
Mampu menjelaskan konsep fungsi pembangkit. Mampu mengkonstruksi fungsi pembangkit.
Mampu mengkonstruksi transformasi kanonik.
Mampu memilih fungsi pembangkit yang sesuai dalam penyelesaian masalah mekanika.
Mampu menentukan sajian/wakilan matriks suatu transformasi. Mampu memastikan/menentukan keanggotakan suatu matriks dalam grup simplektik.
Mampu menjelaskan formulasi simplektik transformasi kanonik. Mampu menjelaskan peranan kurung. Poisson dan invariansi
Persamaan Gerak dalam formulasi kurung Poisson:
Mampu menjelaskan formulasi persamaan gerak dengan kurung Poisson.
Mampu menyajikan persamaan gerak suatu sistem mekanik dengan kurung Poisson.
Mampu menjelaskan kelebihan formulasi persamaan gerak dengan kurung Poissaon.
Mampu menjabarkan kaitan komponen-komponen momentum sudut dengan kurung poisson.
Mampu menjelaskan kaitan kurung Poisson dengan dinamika sistem mekanik.
Mampu menerapkan konsep kesetangkupan dalam penyelesaian masalah mekanika.
Teori Hamilton-Jacobi:
Mampu menjelaskan persamaan Hamilton-Jacobi untuk Funsi Hamilton Utama.
Mampu menjabarkan persamaan Hamilton-Jacobi.
Mampu menerapkan teori Hamilton Jacobi pada masalah-masalah mekanika (getaran selaras sebagai contoh).
Mampu menjabarkan persamaan Hamilton-Jacobi untuk fungsi karakteristik Hamilton.
Mampu menerapkan metode pemisahan peubah pada persamaan Hamilton-Jacobi.
Terapan mekanika analitik:
Mampu menerapkan mekanika analitik untuk sebuah benda yang berada dalam medan gaya terpusat.
Mampu menerapkan mekanika analitik untuk masalah dua benda. Mampu menjelaskan gerak planet-planet, satelit-satelit, dll.
Masalah Dua Benda dan Medan Sentral
Contoh masalah dua benda: Bintang ganda biasa,
Pluto dan pasangannya, sistem Bumi-Bulan, Bintang
Ganda sinar-X, dll.
Dengan memahami orbit bintang ganda, kita dapat mengukur gaya gravitasi yang bekerja pada masing-masing kedua bintang itu.
Pada akhirnya, kita dapat menentukan massa masing-masing bintang itu atau rasio massa keduanya.
Jenis-jenis bintang ganda berdasarkan cara pengamatan : bintang ganda optis, bintang ganda visual, bintang ganda spektral, bintang ganda gerhana, bintang ganda astrometrik.
Medan Sentral
Ditinjau partikel bermassa m yang berada di bawah
pengaruh medan gaya terpusat:
Momen gaya medan gaya relatif terhadap pusat
koordinat (0,0,0) tersebut lenyap:
Akibatnya selanjutnya, partikel itu bergerak pada
bidang yang melalui titik pangkal (0,0,0) dan tegak
lurus pada vektor L.
Bidang tersebut ditentukan dari posisi awal dan
kecepatan awal partikel.
Andaikan bidang-xy dipilih sebagai bidang orbit.
Vektor L mengarah ke sumbu-z positif L
z= L.
Koordinat polar (r,
) :
Komponen momentum sudut sepanjang sumbu-z
diberikan oleh
Apa akibat tetapnya besar momentum sudut partikel?
d
r
dS
dS = r
2d
/2
O
Teorema : Laju perubahan luas wilayah yang disapu
oleh vektor posisi,
bersifat tetap.
S
2S
1
Setiap partikel yang berada di bawah
pengaruh medan gaya terpusat selalu terkait
dengan energi potensial V(r) sedemikian rupa
sehingga
Dengan tenaga potensial V tersebut persamaan Euler-Lagrange
memberikan:
Jika didefinisikan
maka
Jika
sebagai fungsi waktu bersifat monoton, maka
memiliki invers.
Hubungan antara r dan
(persamaan orbit)
diperoleh dari
Dengan subtitusi r = 1/u ke dalam persamaan
didapat bentuk lain persamaan orbit, yaitu
Potensial Kepler
Energi potensial Kepler diberikan oleh
Dengan mensubtitusikan potensial efektif ke dalam
persamaan orbit, didapatkan
Sementara, jawaban khususnya adalah
Jawaban terakhir ini terkait dengan orbit melingkar
dengan jari-jari
Oleh karena itu, persamaan orbit, pada akhirnya
diberikan oleh
atau
dengan e
0 disebut eksentrisitas dan ditentukan
oleh
Untuk orbit yang berupa ellips, sumbu panjang dan
sumbu pendek ditentukan dari persamaan
Luas ellips tentu saja sama dengan laju sapuan
Mengingat
dan
maka didapatkan
atau
Masalah Dua Benda
r
1r
2R
m
1m
2r = r
2− r
1Dengan persamaan gerak untuk masing-masing
benda
Dengan mengurangkan persamaan-persamaan itu
didapat
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
Ini berarti bahwa pusat massa bergerak dengan
kecepatan tetap.
dengan
Terlihat bahwa persamaan gerak tersebut tidak lain
adalah persamaan gerak benda di bawah pengaruh
medan terpusat Kepler
Diamati dari pusat massa, posisi masing-masing
benda adalah
Terapan mekanika analitik:
Mampu menjelaskan hakekat benda tegar. Mampu menjelaskan gerak benda tegar.
Mampu menerapkan mekanika analitik dalam bidang-bidang lain: teknik, kedokteran, dll.
Konsep Benda Tegar
Batasan : Benda tegar adalah sebuah benda
sedemikian rupa sehingga jarak antar titik-titik massa
pada benda itu tidak berubah (tetap).
Contoh :
- Gas yang berada di dalam sebuah balon mainan bukan
merupakan benda tegar sebab jarak partikel-partikel gas itu satu dari yang lain berubah-ubah.
- Sepotong pipa paralon yang menggelinding (tanpa tergencet)
merupakan benda tegar.
- Sistem tata surya kita bukan merupakan benda tegar karena
masing-
Pertanyaan :
Apakah bumi kita merupakan benda tegar. Mengapa?
Jelaskan!
Dapatkah sekumpulan partikel-partikel yang
bergerak-gerak dikatakan bukan merupakan benda
tegar?
Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar tersebut
memperlihatkan kedudukan sistem tiga partikel pada
saat
t
1,
t
2dan
t
3sembarang. Dapatkah sistem tiga
partikel itu dikatakan sebagai benda tegar?
Pusat Massa Benda Tegar
Batasan : Pusat massa sebuah benda tegar adalah
suatu titik dalam ruang yang menjadi posisi
terpusatnya seluruh massa benda tegar itu. Jadi,
pusat massa sebuah benda tegar adalah posisi
sebuah partikel titik yang memiliki massa sebesar
benda tegar itu.
Pertanyaan :
Haruskan pusat massa sebuah benda tegar berada di
dalam benda tegar itu?
Perkirakanlah kedudukan titik pusat massa
benda-benda berikut ini.
