Penerapan Matriks dalam Analisis Sektor Perekonomian Indonesia

Penerapan Matriks dalam

Analisis Sektor Perekonomian Indonesia

Scarletta Julia Yapfrine (13514074)

Program Studi Informatika

Sekolah Teknik Elektro dan Informatika

Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia

13514074@std.stei.itb.ac.id

Abstrak—Indonesia merupakan negara berkembang yang sedang mengusahakan pertumbuhan ekonomi untuk meningkatkan kesejahteraan rakyat. Dalam mengusahakan pertumbuhan ekonomi ini, pemerintah tentunya perlu menganalisis keadaan sektor perekonomian Indonesia. Salah satunya adalah dengan menganalisis hubungan antar industri di sektor tersebut. Analisis hubungan antar industri ini dapat dilakukan dengan tabel masukan-keluaran yang menggunakan data produksi dan permintaan suatu industri. Analisis ini diimplementasikan dengan menggunakan teori matriks. Makalah ini membahas penerapan matriks dalam analisis sektor perekonomian Indonesia.

Kata kunci—ekonomi, matriks, permintaan, produksi, tabel masukan-keluaran

I.

P

ENDAHULUAN

Perekonomian merupakan sebuah sektor penting dalam suatu negara. Pertumbuhan ekonomi secara keseluruhan banyak membawa dampak positif bagi suatu negara. Hal ini disebabkan karena ekonomi yang bertumbuh menyebabkan semakin banyak lapangan kerja yang dibuka sehingga bisa mengurangi jumlah pengangguran di suatu negara dan ekonomi yang bertumbuh juga menyebabkan semakin banyak komoditi yang diproduksi oleh suatu negara sehingga bisa mencukupi kebutuhan penduduknya. Pertumbuhan ekonomi juga penting agar suatu negara tidak tertinggal dari negara yang lain. Pertumbuhan ekonomi yang baik meningkatkan nilai saing suatu negara di kancah internasional.

Indonesia merupakan negara berkembang yang kesejahteraan rakyatnya masih relatif rendah. Menurut survei dari Bank Dunia dan Badan Pusat Statistik (BPS), angka kemiskinan relatif Indonesia pada tahun 2014 mencapai 11% dari populasi, sementara angka kemiskinan absolut Indonesia pada tahun yang sama mencapai 28 juta penduduk[1].

Angka tersebut memang relatif tidak tinggi. Namun, pemerintah Indonesia menggunakan standar yang relatif rendah dalam menentukan angka kemiskinan, yaitu penduduk yang pendapatan perbulannya kurang dari Rp 312328. Jumlah tersebut adalah setara dengan USD $25,

yang berarti standar hidup yang sangat rendah, bahkan dalam pengertian orang Indonesia sendiri.

Cara untuk memberantas kemiskinan di Indonesia adalah dengan meningkatkan pertumbuhan ekonomi. Namun, untuk meningkatkan pertumbuhan ekonomi, pemerintah perlu membuat kebijakan-kebijakan ekonomi yang tepat. Agar pemerintah bisa membuat kebijakan ekonomi yang tepat, maka diperlukan analisis terlebih dahulu terhadap sektor perekonomian Indonesia. Analisis hubungan antar industri bisa dijadikan salah satu dasar pembuatan kebijakan. Analisis hubungan antar industri ini menggunakan tabel masukan-keluaran yang memanfaatkan teori matriks.

Dalam makalah ini, penulis akan menunjukkan penerapan matriks dalam bentuk tabel masukan-keluaran untuk menganalisis hubungan antar industri pada sektor perekonomian Indonesia.

II.

D

ASAR

T

EORI 2.1. Matriks

2.1.1. Definisi Matriks

Matriks merupakan kumpulan angka / bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi suatu matriks biasanya ditulis sebagai berikut

aij merupakan unsur / elemen matriks yang

terletak pada baris i dan kolom j. Ukuran (orde) suatu matriks merupakan jumlah baris dikali jumlah kolom. Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama, maka A dan B sama jika unsur-unsur matriks yang seletak pada kedua matriks tersebut adalah sama.

2.1.2. Jenis-Jenis Matriks

Matriks bujur sangkar merupakan matriks yang jumlah kolom dan jumlah barisnya sama. Berikut adalah contoh matriks bujur sangkar

2.1.3.2. Matriks Diagonal

Matriks diagonal merupakan matriks bujur sangkar yang unsur selain unsur diagonalnya adalah 0. Unsur diagonal merupakan semua unsur yang baris dan kolomnya sama. Berikut adalah contoh matriks diagonal

2.1.3.3. Matriks Identitas

Matriks identitas (matriks satuan) merupakan matriks diagonal yang setiap unsur diagonalnya adalah 1. Berikut adalah matriks satuan

2.1.3.4. Matriks Segitiga

Matriks segitiga terbagi menjadi dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsur di bawah unsur diagonalnya bernilai 0. Berikut adalah contoh matriks segitiga atas

Matriks segitiga bawah merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsur di atas unsur diagonalnya bernilai 0. Berikut adalah contoh matriks segitiga bawah

2.1.3.5. Matriks Transpos

Matriks transpos At merupakan matriks yang diperoleh dengan mengubah baris pada matriks A menjadi kolom dan sebaliknya. Berikut adalah contoh matriks transpos dan matriks awalnya

2.1.3.6. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Berikut adalah contoh matriks baris

2.1.3.7. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Berikut adalah contoh matriks kolom

2.1.3.8. Matriks Simetri

Matriks A merupakan matriks simetri jika matriks A merupakan matriks bujur sangkar dan memenuhi hubungan A = At. Berikut adalah contoh matriks simetri

2.1.3. Operasi pada Matriks

2.1.3.1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua buah matriks bisa dijumlahkan atau dikurangkan jika dan hanya jika dua buah matriks tersebut mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama (ukuran sama). Untuk membuat matriks hasil penjumlahan atau pengurangan, berlaku

(A + B)ij = Aij + Bij

(A - B)ij = Aij - Bij

+

=

2.1.3.2. Perkalian Matriks dengan Konstanta

Perkalian sebuah matriks M dengan konstanta menghasilkan matriks baru yang setiap elemennya merupakan hasil perkalian elemen matriks M dengan konstanta tersebut.

=

2.1.3.3. Transpos Matriks

Transpos matriks M dilakukan dengan cara mengubah baris pada matriks M menjadi kolom dan sebaliknya (lihat upabab 2.1.3.5)..

2.1.3.4. Perkalian Dua Matriks

Misalkan dua buah matriks yang ingin dikalikan adalah Aij dan Bkl. A x B bisa dilakukan

jika j = k. B x A bisa dilakukan jika l = i. Sifat komutatif tidak berlaku pada perkalian dua matriks.

2.1.3.5. Invers Matriks

Untuk matriks 2x2, invers matriks dapat dicari dengan

Untuk matriks yang berukuran selain 2x2, mencari invers matriks dapat menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer) yang akan dijelaskan di upabab 2.1.4.

2.1.4. Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi baris elementer merupakan operasi aritmetika (penjumlahan dan perkalian) yang dikenakan pada setiap unsur dalam suatu baris pada sebuah matriks.Operasi baris elementer meliputi tiga jenis, yaitu pertukaran baris, perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol, dan penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dengan baris yang lain. Berikut adalah contoh operasi baris elementer

Pada contoh tersebut, baris pertama (b1) ditukar

dengan baris kedua (b2). Berikut adalah contoh lain

Pada contoh di atas, baris pertama dikalikan dengan -2 lalu ditambahkan dengan baris ketiga. Ada beberapa istilah yang ada dalam operasi baris elementer

Bilangan 1 pada baris pertama kolom pertama matriks di atas merupakan satu utama. Bilangan 2 pada baris kedua kolom ketiga merupakan unsur pertama tak nol pada baris kedua. Baris pertama dan kedua merupakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Baris ketiga dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ketiga adalah nol.

OBE dilakukan pada suatu matriks dengan tujuan menghasilkan matriks yang memenuhi beberapa sifat, yaitu pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (satu utama), pada baris yang berurutan, baris yang lebih rendah memuat satu utama yang lebih kanan, jika ada baris nol, maka diletakkan paling bawah. Jika syarat-syarat ini terpenuhi, maka matriks hasil OBE berbentuk eselon (prosesnya dinamakan eliminasi Gauss). Sementara jika matriks hasil OBE memiliki satu sifat lagi, yaitu pada kolom yang memuat unsur satu utama, maka unsur yang lainnya adalah nol, maka matriks tersebut dinamakan berbentuk eselon tereduksi (prosesnya dinamakan eliminasi Gauss-Jordan).

OBE dapat digunakan untuk menentukan matriks invers dengan menggunakan cara (A | I) ~ (I | A-1). Berikut adalah contohnya

Matriks A tersebut dibuat di sebelah matriks identitas. Lalu, OBE diterapkan pada keduanya sehingga matriks identitas menjadi invers matriks A dan matriks A menjadi matriks identitas.

Jadi, matriks invers dari A adalah

2.2. Sektor Perekonomian Indonesia

Perekonomian Indonesia terdiri dari banyak sektor yang saling menunjang satu sama lain. Sektor yang satu membutuhkan bahan baku yang diproduksi oleh sektor yang lain. Sektor-sektor perekonomian di Indonesia secara garis besar antara lain sektor pertanian dan peternakan, sektor pertambangan dan penggalian, sektor industri pengolahan (manufaktur), sektor perdagangan, hotel, dan restoran, sektor pengangkutan dan komunikasi, sektor jasa, sektor listrik, gas, dan air bersih, sektor konstruksi, serta sektor keuangan, real estat, dan jada perusahaan. Sektor-sektor besar ini terbagi lagi menjadi industri-industri kecil.

III.

M

ODEL

M

ASUKAN

-K

ELUARAN

Model ini dikembangkan oleh Wassily Leontief (1960-1990) untuk menganalisis ekonomi nasional dan regional dengan melhat bagaimana sektor-sektor ekonomi saling berhubungan.

Sektor ekonomi yang satu membutuhkan bahan baku yang dihasilkan dari sektor ekonomi yang lain, contohnya industri pertambangan batubara dan sektor listrik. Kedua sektor tersebut menghasilkan komoditi, pertambangan batubara menghasilkan batubara dan sektor listrik menghasilkan listrik. Komoditi ini diberi nilai dengan rupiah. Untuk menghasilkan satu unit (senilai Rp 15000) batubara, misalnya diperlukan listrik senilai Rp 1500 dan batubara senilai Rp 7500. Untuk menghasilkan satu unit (senilai Rp 15000) listrik, misalnya diperlukan batubara senilai Rp 3750 dan listrik senilai Rp 3750. Ini adalah penggunaan internal. Dalam hal ini, diasumsikan juga ada permintaan eksternal (dari sektor ekonomi yang lain) yaitu 7000 unit (senilai Rp 105000000) batubara dan 14000 unit (senilai Rp 210000000) listrik dalam waktu satu tahun. Yang dicari adalah berapa banyak masing-masing sektor ini memproduksi agar bisa memenuhi permintaan

internal dan eksternal. Hal ini dicari dengan menggunakan persamaan

Total produksi = total permintaan.

Variabel yang kita cari adalah

x1 = total produksi (dalam satuan) sektor 1 (batubara) x2 = total produksi (dalam satuan) sektor 2 (listrik)

Total produksi sektor 1 = total permintaan untuk sektor 1 = permintaan sektor 1 dari sektor 1 + permintaan sektor 1 dari sektor 2 + permintaan eksternal

x1 = 7500 x1 + 3750 x2 + 105000000

Total produksi sektor 1 = total permintaan untuk sektor 1 = permintaan sektor 1 dari sektor 1 + permintaan sektor 1 dari sektor 2 + permintaan eksternal

x2 = 1500 x1 + 3750 x2 + 210000000

Persamaan tersebut kemudian dibuat dalam bentuk matriks

=

X = AX + D , dengan X = matriks produksi = D = permintaan eksternal = A = matriks teknologi =

Matriks teknologi berisi a11 = unit dari sektor 1 yang dibutuhkan untuk memproduksi satu unit komoditi sektor 1, a12 = unit dari sektor 1 yang dibutuhkan untuk memproduksi satu unit komoditi sektor 2, a21 = unit dari sektor 2 yang dibutuhkan untuk memproduksi satu unit komoditi sektor 1, a22 = unit dari sektor 2 yang dibutuhkan untuk memproduksi satu unit komoditi sektor 2.

Untuk menyelesaikan persamaan di atas

X = AX + D X – AX = D IX – AX = D

(I – A)X = D

IV.

P

ENERAPAN

M

ATRIKS DALAM

A

NALISIS

S

EKTOR

P

EREKONOMIAN

I

NDONESIA Untuk membuat suatu kebijakan ekonomi, baik menyangkut ekonomi dalam negeri maupun ekonomi ke luar negeri, pemerintah perlu melihat hubungan antar sektor. Hal ini disebabkan jika jumlah permintaan di suatu sektor berkurang, dapat merugikan sektor yang lain juga karena antar sektor menggunakan bahan baku yang diproduksi oleh sektor lainnya. Berikut adalah tabel masukan-keluaran ekonomi Indonesia pada tahun 2011 (karena sektor ekonomi Indonesia dibagi menjadi industri-industri yang sangat banyak, maka penulis hanya menyertakan beberapa industri saja, bagian import juga tidak dimasukkan karena menghabiskan banyak tempat).

Tabel 4.1 Tabel Masukan-Keluaran Indonesia tahun 2011 dalam jutaan dolar AS.

Keterangan :

1 = pertanian, perburuan, kehutanan, dan perikanan 2 = perminyakan dan pertambangan

3 = hotel dan restoran 4 = real estat

5 = manufaktur 6 = telekomunikasi

Produksi masing-masing sektor secara total (dalam jutaan dolar) : 1 = 162478 2 = 140221 3 = 40179 4 = 39753 5 = 11723 6 = 41728 Sumber : http://www.wiod.org/protected3/data/update_sep12/niot/

Pada tabel masukan-keluaran di atas, baris menyatakan sektor yang memberi bahan baku, sementara kolom menyatakan sektor yang menggunakan bahan baku. Misalnya, baris 4 kolom 3 berarti sektor real estat memproduksi bahan baku untuk sektor hotel dan restoran senilai 682 juta dolar. Dengan melihat tabel tersebut, maka pemerintah bisa mengetahui sektor mana yang jika hasil produksinya (permintaannya) berkurang juga membawa dampak negatif bagi sektor yang lain. Namun, melihat dari tabel tersebut saja belum cukup. Ada perhitungan yang harus dilakukan. Dari tabel tersebut terlihat bahwa sektor pertanian, perburuan, kehutanan, dan perikanan tidak menggunakan bahan baku yang dihasilkan dari sektor perminyakan dan pertambangan, sehingga jika

permintaan terhadap sektor 1 berkurang, tidak akan mempengaruhi permintaan terhadap sektor 2. Hal ini belum tentu benar. Jika tabel tersebut disederhanakan terhadap kedua sektor itu saja, maka menjadi

1 2

1 9904 12

2 0 15488

Produksi Total 162478 140221

Tabel 4.2 Penyederhanaan Tabel 4.1 terhadap Dua Sektor

Dari tabel di atas, bisa dibuat matriks teknologinya

A = =

(I-A) =

(I-A)-1 =

Dari matriks tersebut, masih terlihat bahwa jika permintaan pada sektor 1 berkurang tidak akan mempengaruhi permintaan sektor 2. Hal ini salah karena tabel masukan-keluaran tidak bisa diperkecil menjadi dua sektor saja. Berkurangnya permintaan pada sektor 1 mungkin tidak berdampak langsung pada sektor 2, namun berkurangnya permintaan pada sektor 1 berdampak pada sektor 3, dan berkurangnya permintaan pada sektor 3 menyebabkan berkurangnya permintaan pada sektor 2. Untuk melihat seberapa besar berkurangnya, maka harus dicari matriks teknologi dari tabel masukan-keluaran. Matriks teknologi dari tabel masukan-keluaran adalah

Dari matriks tersebut, terlihat bahwa berkurangnya permintaan pada sektor 1 sebanyak 1 juta dolar akan menyebabkan permintaan pada sektor 2 sebanyak 0.000004 juta dolar (baris 2 kolom 1). Namun, matriks teknologi ini masih belum sepenuhnya benar karena penulis tidak memasukkan semua sektor pada tabel masukan-keluaran. Untuk tabel masukan-keluaran yang

lengkap dapat diunduh di

http://www.wiod.org/protected3/data/update_sep12/niot/N IOT_row_sep12.zip.

V.

K

ESIMPULAN

Matriks dapat digunakan untuk menganalisis sektor perekonomian di Indonesia. Hal ini diterapkan dalam tabel masukan-keluaran, yaitu tabel yang memuat nilai bahan baku dari suatu sektor yang digunakan oleh sektor yang lain. 1 2 3 4 5 6 1 9904 12 3158 42 1093 0 2 0 15488 53 0 32 0 3 123 212 336 790 44 33 4 545 561 682 1319 258 238 5 148 13 42 33 372 1 6 1506 231 152 917 259 8380

Metode ini dapat diterapkan pemerintah saat mengambil kebijakan ekonomi. Dari metode ini, terlihat berapa banyak permintaan ‘demand’ suatu sektor berkurang jika terjadi pengurangan permintaan di sektor yang lain.

VI.

U

CAPAN TERIMA

K

ASIH

Pertama-tama, penulis ingin menyampaikan puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan berkatNya sehingga penulis bisa menyelesaikan makalah ini. Penulis juga ingin menyampaikan terima kasih kepada Dr. Rinaldi Munir S.T. dan Drs. Judhi Santoso sebagai Dosen Mata Kuliah Aljabar Geometri yang telah membimbing penulis.

R

EFERENCES

[1] Adiwijaya. Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor. 2014. Yogyakarta : Graha Ilmu.

[2] http://www.indonesia-investments.com/id/keuangan/angka-ekonomi-makro/kemiskinan/item301, diakses pada 14 Desember 2015

[3] https://sanwindayani.wordpress.com/2014/04/04/sektor-sektor-perekonomian-indonesia/, diakses pada 15 Desember 2015 [4] http://www.wiod.org/protected3/data/update_sep12/niot/, diakses

pada 13 Desember 2015

[5] Warner, Stefan, Steven R. Costenoble. Finite Mathematics. 2007. Boston : Brooks/Cole.

P

ERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi.

Bandung, 16 Desember 2015