168 BAB XI
LUAS SISI BANGUN RUANG
Yang dimaksud dengan luas suatu bangun ruang adalah jumlah luas seluruh permukaan (sisi) bangun ruang tersebut. Dengan demikian, untuk menentukan luas suatu bangun ruang, kita perlu mengetahui:
1. Banyak sisi (bidang) pada bangun ruang tersebut., 2. Bentuk dari masing-masing sisi (bidang).
Kemudian kita gunakan berbagai rumus luas bangun datar yang telah kita pelajari, baik luas segiga maupun luas segi banyak.
A. Luas Sisi Balok dan Kubus
1. Luas Persegi Panjang dan Persegi
Untuk menyatakan luas suatu bangun datar, kita gunakan satuan pokok sebagai pembandig ukuran, ,isalnya cm2.
1 cm adalah luas daerah persegi yang panjang sisinya 1 cm. Untuk selanjutnya luas daerah kita sebut luas.
Cm2 merupakan salah satu satuan baku untuk luas. Satuan luas baku
yang lain misalnya dm2, m2 are (a), hekto are (ha), dan lain sebagainya. Hubungan antara satuan luas yang satu dengan satuan luas lainnya seringkali dinyatakan dengan tangga satuan luas berikut ini.
169 2. Luas Sisi Balok dan Kubus
Untuk menentukan luas sisi suatu balok, maka perlu diingat bahwa sisi-sisi suatu balok berbentuk persegi panjang dan mempunyai ukuran yang berbeda-beda.
Luas sisi atas dan bawah = 2 x (8 x 6) = 96 cm2 Luas sisi depan dan belakang = 2 x (8 x 4)
= 64 cm2 Luas sisi kiri dan kanan = 2 x (6 x 4)
= 48 cm2 Jadi, luas seluruh sisi balok = 2 x (8 x 6) + 2 x (8 x 4) + 2 x (6 x 4)
= 96 + 64 + 48 = 208 cm2
Balok disamping berukuran:
panjang = p, Lebar = l dan tinggi = t. Luas seluruh sisi balok
=2 x (p x l) + 2 x (p x t) + 2 x (l x t) = 2p1 + 2pt + 2lt atau
= 2 (pl + pt + lt)
Untuk menentukan luas sisi suatu kubus, maka perlu diingat bahwa sisi-sisi suatu kubus berbentuk persegi yang berukuran sama.
Contoh:
Karena banyaknya sisi kubus adalah 6, dan luas sisi-sisinya sama, maka luas sisi-sisi kubus dapat dihitung sebagai berikut:
Luas seluruh sisi kubus = 6 x (5 x 5) = 6 x 25 = 150 cm2
170 Kubus di samping panjang rusuknya s. Luas seluruh sisi kubus = 6 x (s x s)
= 6 x s2 = 6s2
B. Luas Prisma
Gambar (i) menunjukkan prisma (tegak) yang alasnya berbentuk segitiga. Rusuk paling kiri dan beberapa rusuk pada alas dan sisi alas diiris, kemudian direbahkan, sehingga menjadi jaring-jaririg prisma seperti pada Gambar (ii).
Karena pada prisma tegak, rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus dengan alas, maka sisi-sisi tegak prisma berbentuk persegi panjang. Luas prisma kita peroleh dengan menjumlahkan luas sisi-sisinya, yaitu:
Luas prisma = luas alas + luas sisi atas + luas sisi-isi tegak = luas alas + luas alas + (a x t + b x t + c x t) = 2 luas alas + (a + b + c) x t
Luas prisma = 2 luas alas + (keliling alas x tinggi) Contoh:
1. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi masing-masing 9 cm, 12 cm, dan 15 cm. Bila tinggi prisma 10 cm, hitunglah luas prisma itu!
171 Luas prisma = 2 luas alas + keliling alas x tinggi
= 2 x ( 4 1 x 9 x 12) + (9 + 12 + 15) x 10 = 2 x 54 + 36 x 10 = 108 + 360 = 468
Jadi, luas prisma adalah 468 cm2
2. Alas sebuah prisma berbentuk belahketupat dengan panjang diagonal masing-masing 12 cm dan 16 cm. Bila tinggi prisma 20 cm, hitunglah;
a. Panjang sisi betahketupat b. Luas prisma. Jawab a. s2 = 82 + 62 = 64 + 36 s2 =100 s = 10
Jadi, panjang sisi belahketupat adalah 10 cm.
b. Luas prisma = 2 x luas alas + keliling alas x inggi
= 2 x 2 16 12 + (4 x 10) x 20 = 2 x 96 + 40 x 20 = 192 + 800 = 992
172 C. Luas Tabung
Gambar (ii) merupakan jaring-jaring tabung dari Gambar (i). Dari gambar dapat kita amati bahwa jaring-jaring selimut (sisi lengkung) persegi panjang dengan ukuran sebagai berikut:
Panjang = keliling lingkaran atau tabung. Lebar = tinggi tabung.
Dengan demikian, luas selimut tabung dapat kita tentukan dengan cara berikut ini. Luas selimut tabung = keliling alas x tinggi
=2r x t = 2rt
Setelah kita peroleh rumus untuk luas selimut tabung, maka kita dapat menentukan pula rumus luas seluruh tabung.
Luas seluruh tabung = luas alas + luas tutup + luas selimut = r2 + r2 + 2rt
= 2r2 + 2rt, atau = 2r (r + t)
Contoh
1. Panjang jari-jari alas sebuah tabung tanpa tutup 5 cm. Jika tinggi tabung 12 cm dan = 3,14, hitunglah luas tabung itu!
173 Luas tabung tanpa titup = luas alas + luas selimut
= r2 + rt
= 3,14 x 5 x 5 + 2 x 3,14 x 5 x 12 = 78,5 + 376,8
= 455,3 cm2
2. Tinggi suatu tabung 15 cm dan luas selirnutuya 1.320 cm2. Hitunglah luas seluruh tabung dengan nilai =
7 22 Jawab:’
Luas selimut tabung = 2 rt 1.320 = 2 x 7 22 x r x 15 1.320 = 7 44 x r x 15 1.320 = 7 660 x r r = 1.320 : 7 660 r = 1.320 x 660 7 r = 14
Luas seluruh tabung= 2 r (r + t) = 2 x 7 22 x 14 x (14 + 15) = 88 x 29 = 2.552 cm2 D. Luas Limas
Pada bahasan ini kita akan mempelajari mengenai luas limas beraturan, yaitu limas yang alasnya berbentuk segi-n beraturan dan sisi tegaknya merupakan segitiga-segitiga sama kaki yang kongruen. Dengan demikian, luas suatu limas
174 dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas alas dan luas beberapa segitiga sebagai sisi tegaknya.
LuasLimas = Luas Alas + Jumlah Luas Segitiga pada Sisi Tegak
Contoh:
1. Alas limas T.ABCD pada gambar di samping berbentuk persegi. Apabila volum limas 384 cm3 dan tinggi 8 cm, hitunglah:
a. Luas alas limas;
b. Panjang rusuk alas limas; c. Panjang TP;
d. Luas segitiga TBC e. Luas seluruh limas.
Jawab:
a. Untuk menghitung luas alas limas, kita gunakan rumus volum, yaitu:
V = 3 1 Lt 384 = 3 1 x L x 8 384 = 3 8 x L L = 384 : 3 8 = 384 x 8 3 L = 144
175 b. Alas limas berbentuk persegi maka:
s x s = 144
s = 144
s = 12
c. TP, TQ, dan QP merupakan sisi-sisi pada segitiga siku-siku TPQ, maka TP2 = TQ2 + QP2 = 82 + 62 ---→ QP = 2 1 AB = 64 + 36 TP2 = 100 TP = 100 Jadi, panjang TP = 10 cm d. Luas segitiga TBC = 2 1 x BC x TP = 2 1 x 12 x 10 = 60 cm2
e. Luas seluruh limas = Luas alas + 4 x luas TBC = 144 + 4 x 60
= 144 + 240 = 384 cm2
2. Alas sebuah limas beraturan berbentuk segi enam dengan panjang sisi 8 cm. Jika tinggi segitiga pada sisi tegak 15 cm, hitunglah:
a. luas alas b. luas limas. Jawab:
176 a. Segi enam beraturan terdiri atas 6 buah segitiga sama sisi yang kongruen. Untuk menghitung luas alas, kita hitung dulu tinggi segitiga pada alas limas. h2 = 82 - 42 = 64 – 16 h2 = 48 h = 48 = 6,9
Luas alas limas = 6 x ( 2 1
x 8 x 6,9) = 6 x 27,6
= 165,5 cm2
b. Luas limas = Luas alas + 6 x luas segitiga sisi tegak = 165,6 + 6 x ( 2 1 x 8 x 15) = 165,6 + 6 x 60 = 165,6 + 360 = 525,6 cm2 E. Luas Kerucut
177 Gambar (ii) adalah jaring-jaring selimut kerucut setelah kerucut pada Gambar (i) diiris menurut garis pelukis s. Ternyata, jaring-jaring selimut kerucut merupakan juring lingkaran dengan ukuran sebagai berikut:
Panjang jari-jari = s (garis pelukis)
Panjang busur = 2 r (keliling lingkaran alas)
Dengan demikian, luas selimut kerucut dapat kita tentukan dengan menggunakan perbandingan luas juring dengan panjang busur yang telah kita pelajari pada buku Jilid 2B.
Perhatikan Gambar (ii)!
lingkaran Luas (juring) selimut Luas = Lingkaran Keliling Busur Panjang 2 s kerucut selimut Luas = πs πr 2 2 2 s kerucut selimut Luas = s r
Luas selimut kerucut =
s r s 2
= s x r Luas selimut kerucut = rs
Berdasarkan rumus luas selimut kerucut, kita dapat menentukan luas seluruh kerucut, yaitu:
Luas seluruh kerucut = luas alas + luas selimut = r2 + rs, atau = r (r + s)
Contoh:
1. Jari-jari alas sebuah kerucut = 5 cm. Jika tinggi kerucut = 12 cm, dan pendekatan nilai = 3,14, hitunglah luas selimut kerucut!
Jawab:
Jari-jari = 5 cm, maka r = 5 Tinggi = 12 cm, maka t = 12
178 Untuk menentukan luas selimut kerucut, kita tentukan dahulu panjang garis pelukis, yaitu: s2 = r2 + t2 = 52 + 122 = 25 + 144 s2 = 169 s = 13
Luas selimut kerucut = rs
= 3,14 x 5 x 3 = 204,1 cm2
2. Jari-jari alas sebuah kerucut 3 cm. Jika tinggi kerucut 4 cm, hitunglah luas seluruh permukaan kerucut!
Jawab: s2 = r2 + t2 = 32 + 42 = 9 + 16 s2 = 25 s = 5
Luas seluruh kerucut = r2 + rs
= x 3 x 3 + x 3 x 5 = 9 + 15
= 24 cm2
3. Sebuah kerucut dibentuk dari selembar karton yang berbentuk 4 3
lingkaran dengan panjang jari-jari 12 cm.
Hitunglah:
a. jari-jari alas kerucut, b. tinggi kerucut. Jawab:
179 Jari-jari pada karton menjadi garis pelukis kerucut.
Jari-jari karton kita nyatakan dengan r1
Jari-jari kerucut kita nyatakan dengan r2
a. Luas selimut kerucut = luas karton r2s = 4 3 r12 x r2 x 12 = 4 3 x x 12 x 12 12 x r2 = 9 x 12 r2 = 12 12 9 r2 = 9
Jadi panjang jari-jari kerucut = 9 cm b. t2 = 122 – r22
= 144 – 9-2 t2 = 63 t = 63 t = 7,9
Jadi tinggi kerucut = 7,9 cm
F. Luas Bola
Seorang ahli matematika berkebangsaan Yunani, yaitu Archimides (abad ke-3 SM), sangat bangga dengan teorinya, yaitu:
180 Jika sebuah bola dapat tepat menempati sebuah tabung maka luas bola itu sama dengan luas selimut tabung tersebut.
Luas bola = luas selimut tabung = 2 rt
= 2 r x 2r = 4r2
Untuk setiap bola berlaku rumus Luas permukaan (kulit) bola = 4 r2
Contoh.
1. Sebuah benda (padat) berbentuk setengah bola dengan diameter luas permukaan benda tersebut 4,2 cm. Hitunglah luas permukaan benda tersebut! Jawab:
Benda berbentuk belahan bola memiliki dua sisi (permukaan), yaitu setengah permukaan bola dan lingkaran.
Diameter 4,2 cm, maka r = 2,1. Luas permukaan benda =
2 1
luas bola + luas lingkaran
= 2 1 x 4r2 + r2 = 2 x 7 22 x 2,1 x 2,1 + 7 22 x 2,1 x 2,1 = 27,72 + 13,86 = 41,58 cm2
181 2. Luas sebuah bola 1.256 cm2. Hitunglah panjang jari-jari bola jka = 3,14!
Jawab: L = 4r2 1.256 = 4 x 3,14 x r2 1.256 = 12,56 x r2 r2 = 56 , 12 256 . 1 r2 = 100 r = 10
