Apa Itu Ekuipartisi Energi

Apa itu ekuipartisi energi

Apa itu ekuipartisi energi

?

?

Dalam

Dalam mekanika statistikamekanika statistika klasik,klasik, teorema ekuipartisi adalah sebuah rumusanteorema ekuipartisi adalah sebuah rumusan umum yang merelasikan

umum yang merelasikan temperaturtemperatur suatu sistem dengansuatu sistem dengan energirenergirata-ratanya.ata-ratanya. Teorema

Teorema ini ini juga juga dikenal dikenal sebagai sebagai hukumhukum ekuipartisi,

ekuipartisi, ekuipartisi ekuipartisi energi, energi, ataupunataupun hanya ekuipartisi. Gagasan dasar teorema ekuipartisi hanya ekuipartisi. Gagasan dasar teorema ekuipartisi adalah bahwa dalam keadaan

adalah bahwa dalam keadaan kesetimbangan termal,kesetimbangan termal, energi akan terdistribusikan secara merata ke semua energi akan terdistribusikan secara merata ke semua

bentuk-bentuk energi yang berbeda;

bentuk-bentuk energi yang berbeda;

contohnya

contohnya energi kinetikenergi kinetik rata-rata per derajat kebebasan pada gerak translasirata-rata per derajat kebebasan pada gerak translasi sebuah molekul haruslah sama dengan gerak rotasinya.

sebuah molekul haruslah sama dengan gerak rotasinya.

Teorema ekuipartisi mampu memberikan prediksi-prediksi yang kuantitatif. Teorema ekuipartisi mampu memberikan prediksi-prediksi yang kuantitatif. Seperti pada

Seperti pada teorema virial,teorema virial, teorema ekuipartisi dapat memberikan hasil perhitunganteorema ekuipartisi dapat memberikan hasil perhitungan energi kinetik dan energi potensial rata-rata total suatu sistem pada satu energi kinetik dan energi potensial rata-rata total suatu sistem pada satu temperatur tertentu, yang darinya

temperatur tertentu, yang darinya kapasitas kalorkapasitas kalor sistem dapat dihitung. Namun,sistem dapat dihitung. Namun, teorema ekuipartisi juga memberikan nilai rata-rata komponen individual energi teorema ekuipartisi juga memberikan nilai rata-rata komponen individual energi tersebut, misalnya energi kinetik suatu partikel ataupun energi potensial suatu dawai. tersebut, misalnya energi kinetik suatu partikel ataupun energi potensial suatu dawai. Contohnya, teorema ini dapat memberikan prediksi bahwa setiap molekul dalam Contohnya, teorema ini dapat memberikan prediksi bahwa setiap molekul dalam suatu

suatu gas idealgas ideal monoatomikmonoatomikmemiliki energi kinetik rata-memiliki energi kinetik rata-rata sebesar (3/2)

rata sebesar (3/2)k k BBT T dalam kesetimbangan termal,dalam kesetimbangan termal,

dengan

dengan k k BB adalahadalah tetapantetapan

Boltzmann

Boltzmann dandan T T adalahadalah temperatur.temperatur. Secara Secara umum,umum, teorema ini dapat diterapkan ke semua sistem-sistem teorema ini dapat diterapkan ke semua sistem-sistem fisika klasik yang berada dalam

fisika klasik yang berada dalam kesetimbangan termalkesetimbangan termal taktak peduli seberapa rumitnya sekalipun sistem tersebut. peduli seberapa rumitnya sekalipun sistem tersebut.

Teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk

Teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk

menurunkan

menurunkan hukum gas idealhukum gas ideal dandan hukum Dulong-Petithukum Dulong-Petit untuk kapasitas kalor jenisuntuk kapasitas kalor jenis benda padat. Teorema ini juga dapat digunakan untuk memprediksi sifat dan benda padat. Teorema ini juga dapat digunakan untuk memprediksi sifat dan ciri

ciri bintang-bintang-bintang, bahkan berlaku juga untubintang, bahkan berlaku juga untu kkatai putihkkatai putih dandan bintang neutron,bintang neutron, karena teorema ini berlaku pula ketika efek-efek

The basic concept

Kata "ekuipartisi" berarti "terbagi secara merata". Kata ini diturunkan dari bahasa Latin æquus ("setara atau sama rata"), dan  partitionem ("pembagian, porsi"). Konsep awal ekuipartisi adalah bahwa energi kinetik total suatu sistem akan

terdistribusikan secara merata ke semua

bentuk-bentuk energinya (dilihat secara

rata-rata), seketika sistem tersebut telah mencapai

kesetimbangan termal. Teorema ekuipartisi

 juga memberikan prediksi kuantitatif

bentuk-bentuk energi ini. Contohnya, teorema ini

memprediksikan bahwa tiap atom gas mulia yang berada dalam kesetimbangan

termal T memiliki energi kinetik translasi sebesar (3/2) k BT ,

dengan k B adalah tetapan Boltzmann. Sebagai konsekuensinya, oleh karena energi

kinetik sama dengan 1/2*mass*kecepatan2, atom yang lebih berat seperti xenonakan

memiliki kecepatan rata-rata yang lebih lambat daripada atom yang lebih ringan seperti helium pada temperatur yang sama. Gambar di bawah menunjukkan distribusi Maxwell-Boltzmann kecepatan atom dari keempat gas mulia tersebut.

Fungsi rapatan probabilitas kecepatan molekul dari empat gas mulia pada temperatur298,15 K (25 ° C). Keempat gas mulia tersebut adalah helium (4_{He), neon (}20_{Ne), argo}

n(40_Ar)

dan xenon (132_{Xe). Dimensi dari fungsi}

rapatan probabilitas adalah probabilitas dikali dengan kecepatan invers. Oleh karena probabilitas tidak berdimensi, maka fungsi ini dapat diekspresikan dalam satuan detik per meter (s/m).

Macam macam energi dalam ekuipartisi energi

 Energi Translasi

Energi kinetik suatu partikel bermassa m dan berkecepatan v adalah

dengan v x , v y dan v z adalah komponen Kartesius dari kecepatan v . Di

sini, H adalah Hamiltonian dan digunakan sebagai simbol energi karena formalisme Hamiltonian memainkan peran pusat dalam perumusan umum teorema ekuipartisi.

Oleh karena energi kinetika bersifat kuadratis terhadap komponen-komponen kecepatan, berdasarkan prinsip kedistribusian merata (ekuipartisi), ketiga komponen ini akan memberikan

kontribusi sebesar 1⁄2k BT terhadap energi kinetik rata-rata pada

kesetimbangan termal. Sehingga energi kinetik rata-rata partikelnya adalah (3/2)k BT , sebagaimana yang diberikan pada contoh gas mulia di atas.

Selanjutnya kapasitas kalor gas adalah (3/2) N k B, dan sehingganya

kapasitas kalor satu mol partikel gas ideak tersebut adalah (3/2)N Ak B =

(3/2)R , dengan N A adalah tetapan Avogadro danR adalahtetapan gas. Oleh

karena R ≈ 2 cal/(mol·K), teorema ekuipartisi memprediksikan bahwa kapasitas kalor molar gas ideal adalah kira-kira 3 cal/(mol·K). Prediski ini telah berhasil dikonfirmasikan melalui eksperimen.

Energi kinetik purata memungkinkan kita juga untuk menghitung kecepatan akar purata kuadrat v rms dari partikel gas:

dengan M = N Am adalah massa satu mol partikel gas. Hasil turunan ini dapat

 Energi rotasi dan pergulingan molekul dalam larutan

Mirip dengan contoh di atas, molekul yang berotasi sesuai dengan prinsip momen inersia I 1, I 2 dan I 3 memiliki energi rotasi sebesar

dengan ω 1, ω 2, dan ω 3 adalah

komponen kecepatan sudut. Dengan prinsip yang sama pada kasus translasi sebelumnya, teorema ekuipartisi mengharuskan bahwa dalam kesetimbangan termal, energi rotasi rata-rata tiap partikel adalah (3/2)k BT . Teorema ini juga memungkinkan kita

menghitung kecepatan sudut rata-rata molekul.

 Energi potensial dan osilator harmonik

Teorema ekuipartisi juga berlaku kepada energi potensial. Contohnya pada osilator harmonik seperti dawai yang memiliki energi potensial kuadratik

dengan a menunjukkan kekakuan dawai dan q adalah penyimpangan dari kesetimbangan. Jika sistem berdimensi satu ini bermassa m , maka energi kinetik H -nya adalah

dengan v dan p = mv menunjukkan kecepatan dan momentum osilator. Dengan menggabungkan kedua persamaan di atas akan menghasilkan energi total

Teorema ekuipartisi mengyiratkan bahwa pada kesetimbangan termal, osilator memiliki energi rata-rata

 Atom-atom dalam sebuah kritsal dapat bergetar pada posisi kesetimbangannya dalam kekisi kristal tersebut. Getaran ini bertanggung jawab terhadap kapasitas kalor dar i dielektrikkristal. Pada logam, elektron juga berkontribusi terhadap kapasitas

logam.terhadap kapasitas kalor dari dielektrikkristal. Pada logam, elektron juga berkontribusi terhadap kapasitas logam.

dengan tanda kurung menunjukkan rata-rata dari nilai yang dikurungkan.

Hasil penurunan ini berlaku untuk segala jenis osilator harmonik, misalnya pada bandul, molekul yang bergetar, maupun pada osilator elektronik pasif. Menggunakan teorema ekuipartisi, tiap-tiap osilator menerima energi total rata-rata k BT dan sehingganya berkonrtibusi

sebesar k B terhadap kapasitas kalor sistem tersebut. Hal ini kemudian dapat

digunakan untuk menurunkan rumus derau Johnson – Nyquist  dan hukum 

Dulong – Petit untuk kapasitas kalor benda padat.

Kapasitas kalor jenis benda padat

Salah satu penerapan teorema ekuipartisi  yang penting adalah untuk menurunkan kapasitas kalor jenis benda kristal padat. Tiap-tiap atom pada benda padat ini dapat berosilasi ke tiga arah secara

bebas dan independen, sehingga

padatan dapat dipandang sebagai sistem  yang memiliki 3N osilator harmonik sederhana, dengan N menunjukkan jumlah atom dalam kekisi kristal tersebut. Oleh karena tiap osilator harmonik memiliki energi rata-rata k BT , energi total rata-rata padatan itu adalah

sebesar 3Nk BT , dan kapasitas kalornya adalah 3Nk B.

Dengan mengambil nilai N sebagai tetapan Avogadro N A, dan

menggunakan hubungan R = N Ak B antara tetapan gas R dengan tetapan

Boltzmann k B, hal ini akan menjelaskan hukum

Dulong-Petit mengenai kapasitas kalor jenis benda padat, yang menyatakan bahwa kapasitas kalor jenis (per satuan massa) suatu benda padat berbanding

terbalik terhadap bobot atomnya. Dalam versi modernya, kapasitas kalor molar suatu benda padat adalah 3R ≈ 6 cal/(mol·K).

Namun, hukum ini menjadi tidak akurat pada temperatur yang rendah. Hal ini disebabkan oleh efek-efek kuantum. Selain itu, hukum ini juga tidak konsisten dengan hukum ketiga termodinamika, yang menurutnya kapasitas kalor molar zat apapun haruslah menuju nilai nol seiring dengan temperatur sistem menuju nol

mutlak. Teori yang lebih akurat kemudian dikembangkan oleh Albert Einstein (1907) dan Peter Debye(1911) dengan memasukkan pertimbangan efek-efek kuantum.

Sedimentasi partikel

Energi potensial tidaklah selalu bersifat kuadratis. Teorema ekuipartisi menunjukkan bahwa jika derajat kebebasan x hanya berkontribusi sebesar x s terhadap energinya, maka dalam kesetimbangan termal, rata-rata energi bagian tersebut adalah k BT /s .

Contoh penerapan turunan ini misalnya pada sedimentasi partikel-partikel yang disebabkan oleh gravitasi. Bir dapat menjadi kabur disebabkan oleh gumpalan protein yang menghamburkan cahaya. Lam a kelamaan, gumpalan-gumpalan ini akan bergerak menuju dasar tabung oleh karena gravitasi. Walau demikian, partikel juga dapat berdifusi melawan gaya gravitasi dan seketika kesetimbangan antara keduanya tercapai, teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk menentukan posisi rata-rata suatu gumpalan partikel tertentu yang bermassa apung m b. Untuk sebuah botol bir yang tinggi

dengan z adalah ketinggian gumpalan protein dalam botol dan g adalah percepatan gravitasi. Oleh karena s = 1, rata-rata energi potensial suatu gumpalan protein adalah sama dengan k BT . Sehingganya,

suatu gumpalan protein dengan massa apung 10 MDa (kira-kira sebesar virus) akan mengakibatkan kaburan dengan tinggi rata-rata sekitar 2 cm pada kesetimbangan. Proses sedimentasi menuju kesetimbangan ini dapat dihitung menggunakan persamaan Mason-Weaver.

Perumusan umum teorema ekuipartisi

Bentuk paling umum teorema ekuipartisi menyatakan bahwa di bawah asumsi tertentu, pada suatu sistem fisik yang berfungsi energi Hamiltonian H dan berderajat kebebasan x , persamaan ekuipartisi berikut akan berlaku pada kesetimbangan termal untuk semua indeks m dan n :

δ _{mn di sini merupakan delta Kronecker, yang nilainya sama dengan satu}

apabila m = n atau nol apabila sebaliknya. Tanda kurung pererataan

diasumsikan sebagai rerata ensembel atas ruang fase ataupun, di bawah asumsi ergodisitas, sebagai rata-rata waktu suatu sistem tunggal.

Teorema ekuipartisi umum ini berlaku baik pada ensembel mikrokanonis, yakni ketika energi total sistemnya adalah konstan, maupun pada ensembel kanonis, yakni ketika sistemnya tersambung kepada penangas kalor yang dapat bertukar energi.

Rumusan umum di atas setara dengan dua rumus berikut:

1.

2.

 Apabila derajat kebebasan x n hanya memiliki suku kuadratis a n x n 2 pada

Hamiltonian H , maka rumus pertama di atas mengimplikasikan

yang nilainya dua kali lebih besar daripada kontribusi yang diberikan oleh derajat kebebasan ini terhadap energi rata-rata . Sehingga teorema ekuipartisi untuk sistem yang memiliki energi kuadratis akan mudah diturunkan dari rumus umum di atas. Dengan argumen yang sama, apabila 2 digantikan dengan s , rumus di atas berlaku untuk energi bentuk a n x n s .

Derajat kebebasan x n adalah koordinat-koordinat dalam ruang sistem dan

umumnya dibagi lagi ke dalam koordinat posisi rampatan g k dan koordinat

momentum rampatan p k , dengan p k adalahmomentum konjugat terhadap q k .

Pada situasi ini, rumus pertama di atas berarti bahwa untuk semua k ,

Menggunakan persamaan mekanika Hamiltonian,[6]rumus ini dapat juga ditulis sebagai

Dengan cara yang sama, menggunakan rumus kedua

dnm

Hubungan dengan teorema virial

Teorema ekuipartisi umum adalah perpanjangan dari teorema virial (yang diajukan pada tahun 1870), yang menyatakan bahwa

dengan t adalah waktu. Perbedaan antara kedua teorema ini adalah

teorema virial

menghubungkan penjumlahan rata-rata energi total terhadap satu sama lainnya daripada rata-rata energi individual

pada teorema ekuipartisi. Teorema virial juga tidak menghubungkan penjumlahan energi ini terhadap temperatur T . Selain itu, penurunan teorema

virial biasanya diekspresikan sebagai rata-rata energi terhadap waktu, sedangkan pada teorema ekuipartisi, penurunannya diekspresikan sebagai rata-rata energi terhadap ruang fase.

Penerapan teorema ekuipartisi



Hukum gas ideal

Teorema ekuipartisi dapat diterapkan untuk menurunkan rumus gas ideal. Berawal dari persamaan

untuk menghitung rata-rata energi kinetik per partikel. Teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk menurunkan hukum gas ideal dari mekanika klasik.[5] Jika q = (q x , q y , q z ) dan p =

( p x , p y , p z ) menandakan vektor letak dan

momentum partikel gas, dan Fadalah resultan gaya pada partikel, maka

di mana kesamaan pertama adalah hukum kedua Newton, dan kesamaan kedua menggunakan persamaan Hamilton dan rumus ekuipartisi. Dengan mentotalkan seluruh sistem yang berpartikel N akan menghasilkan:

Menurut hukum ketiga Newton dan asumsi bahwa gas berperilaku ideal, resultan gaya yang bekerja pada suatu sistem bergas ideal akan bermuasal dari gaya yang diterapkan oleh dinding penampung gas. Gaya ini kemudian bermanifestasi sebagai tekanan gas P . Sehingga

dengan dS _{adalah luas infinitesimal permukaan dinding penampung. Oleh}

karena divergensi vektor letak q adalah

maka menutur teorema divergensi

dengan dV adalah volume infinitesimal penampung dan V adalah total volume penampunga.

Dengan menggabungkan kedua persamaan ini akan didapatkan

 yang secara langsung memberikan persamaan gas ideal berpartikel N :

dengan n = N /N A adalah jumlah mol gas dan R = N Ak B adalah tetapan

gas. Walaupun teorema ekuipartisi memberikan contoh penurunan hukum gas ideal yang simpel, hasil yang sama juga dapat diturunkan menggunakan metode alternatif seperti fungsi partisi.

Energi kinetik partikel tertentu dapat saja berfluktuasi dengan bebas, namun teorema ekuipartisi memungkinkan kita untuk menghitung energi rata-  rata keseluruhan partikel dalam sistem pada temperatur apapun. Teorema ini  juga dapat digunakan untuk

menurunkan hukum gas ideal yang menghubungkan tekanan gas

dengan volume dantemperaturnya. (Lima partikel yang berwarna merah di atas digunakan untuk membantu pemantauan gerak partikel tersebut.)

 Gas diatomik

Sebuah partikel gas diatomik dapat dimodelkan sebagai dua massa m 1 dan m 2 yang dihubungkan oleh pegas dengan konstanta Hooke a .

Pemodelan ini disebut sebagai pendekatan rotor tegar osilator  harmonik . Sistem ini akan memiliki energi sebesar

dengan p1 danp2 adalah momentum dua

atom dan q adalah deviasi jarak antar dua atom pada kesetimbangannya. Tiap derajat kebebasan energi ini bersifat kuadratik dan sehingganya haruslah berkontribusi sebesar 1⁄2k BT terhadap

energi rata-rata total

dan 1⁄2k B terhadap kapasitas kalornya. Sehingga kapasitas kalor gas

bermolekul diatomik sebanyak N akan diprediksikan bernilai sebesar 7N ·1_⁄

2k B (momentum p1 dan p2 masing-masing berkontribusi sebanyak tiga

derajat kebebasan dan q berkontribusi satu derajat kebebasan). Selanjutnya pula, kapasitas kalor satu mol molekul diatomik akan memiliki (7/2)N Ak B =

(7/2)R dan sehingganya kapasitas kalor molarnya haruslah kira-kira 7 cal/(mol·K). Namun nilai kapasitas kalor molar yang didapatkan dari hasil percobaan biasanya berkisar sebesar 5 cal/(mol·K) dan menurun menjadi 3 cal/(mol·K) pada temperatur yang sangat rendah. Ketidakcocokan antara hasil prediksi berdasarkan teorema ekuipartisi dengan nilai hasil percobaan ini tidak dapat dijelaskan menggunakan model molekul yang lebih kompleks oleh karena dengan menambahkan lebih banyak derajat kebebasan hanya akan meningkatkan kalor jenis yang diprediksi. Ketidakcocokan ini kemudian menjadi bukti

nyata diperlukannya perlakuan teori kuantum untuk menyelesaikan masalah ini.



Gas ideal pada kondisi relativistik ekstrem

Teorema ekuipartisi yang digunakan di atas untuk menurunkan hukum gas ideal berdasarkan mekanika Newton klasik tidak dapat digunakan apabila efek-efek relativitas menjadi dominan dalam sistem yang dikaji, seperti misalnya katai putih dan bintang neutron. Oleh karenanya persamaan gas ideal harus dimodifikasi. Teorema ekuipartisi memungkinkan kita untuk dengan mudah menurunkan hukum gas ideal yang berlaku pada kondisi relativistik ekstrem. Pada kasus ini, energi kinetik suatu partikel tunggal adalah sebesar 

Dengan menurunkan H terhadap p x akan menghasilkan rumus

Penurunan yang sama terhadap p y dan p z akan menghasilkan rumus

yang sama dan dengan menambahkan ketiganya akan menghasilkan

dengan kesamaan terakhir mengikuti rumus ekuipartisi. Sehingganya energi total rata-rata pada sistem gas relativistik ekstrem adalah dua kali lebih besar  daripada energi total rata-rata gas non-relativistik. Untuk gas relativistik berpartikel N , nilai energinya adalah 3 Nk BT .

Citra gabungan sinar-X dan

optik Nebula Kepiting. Di tengah inti nebula ini terdapat bintang

neutron yang berotasi dengan cepat. Bintang ini bermassa satu setengah kali lebih besar 

daripada Matahari namun hanya berukuran 25 km. Teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk memprediksikan sifat-sifat bintang neutron seperti ini.



Gas non-ideal

Dalam kasus gas ideal, partikel-partikel gas diasumsikan hanya berinteraksi secara tumbukan. Teorema ekuipartisi dapat pula digunakan untuk menurunkan energi dan tekanan "gas non-ideal" yang partikel-partikelnya dapat berinteraksi melalui gaya-gaya konservatif yang potensial U (r )-nya bergantung hanya pada jarak r antar partikel. Ini dapat dideskripsikan secara sederhana dengan pertama-tama menyempitkan fokus kita pada satu partikel tunggal gas dan melakukan pendekatan pada gas-gas lainnya menggunakan distribusi simetri bola. Kemudian, dengan menggunakan fungsi distribusi radial g (r ) sehingganya rapatan probabilitas menemukan partikel lainnya dalam ruang lingkup r dari suatu partikel adalah sama dengan 4πr 2 ρg (r ), dengan ρ = N /V adalah rapatan

rata-rata atau massa jenis rata-rata-rata-rata gas. Energi potensial rata-rata-rata-rata kemudian berhubungan dengan interaksi partikel tunggal tersebut dengan gas lainnya dan secara matematis diekspresikan sebagai

Energi potensial rata-rata total gas oleh karenanya adalah , dengan N adalah jumlah partikel dalam gas dan faktor 1⁄2 diperlukan karena penjumlahan keseluruhan partikel akan membuat

interaksi antar partikel yang diperhitungkan dihitung dua kali. Dengan menambahkan energi kinetik dan potensial, dan menerapakn teorema ekuipartisi, kita akan mendapatkan persamaan energi 

Dengan cara yang sama, kita juga dapat menurunkan persamaan  tekanan sebagai