UMA @2019
22
BAB 3. MATRIK KEKAKUAN
Tujuan Instruksiional Umum:
1. Mahasiswa memahami pengertian matrik kekakuan.
2. Mahasiswa memahami dan mampu menyusun matrik kekakuan berdasarkan analogi pegas.
3. Mahasiswa memahami pengertian kondisi batas.
4. Mahasiswa memahami dan mampu menurunkan persamaan matrik kekakuan global dalam kasus-kasus analisa metode elemen hingga. 3.1. Konstanta Kekakuan Elemen
Matriks kekakuan didefinisikan sebagai matriks yang disusun berdasarkan analogi kekakuan pegas dengan persamaan dasar ̅ = . ̅ , dimana ̅ adalah gaya eksternal yang dialami oleh pegas akibat beban yang diberikan, K ialah konstanta kekakuan pegas/elemen, dan ̅ perpindahan nodal akibat beban eksternal yang diberikan. Secara grafis, analogi tersebut diperlihatkan pada gambar 3.1.
Gambar 3.1. Elemen pegas linier dengan arah perpindahan nodal dan gaya positif
Titik 1 dan 2 disebut dengan NODAL/NODE, sedangkan k ialah konstanta kekakuan bahan. Nilai k tergantung dari jenis bahan yang dipergunakan dan untuk analisa struktur memenuhi persamaan 3.1.
k = AE / L (3.1)
A ialah luas penampang elemen, E ialah modulus elastisitas elemen, dan L ialah panjang elemen. Nilai k ini berlaku untuk analisa struktur dan kekuatan bahan.
Pada kondisi analisa perpindahan panas satu dimensi, nilai k ditentukan dengan menggunakan persamaan 3.2,
UMA @2019
23 dimana Kxx ialah konduktifitas thermal bahan. Untuk laju aliran fluida, Kxx ialah
koefisien permeabilitas bahan. 3.2. Analogi Susunan Pegas
Analisa suatu struktur dalam metode elemen hingga selalu dianalogi sebagai suatu susunan pegas. Analogi tersebut dijelaskan dengan ilustrasi berdasarkan gambar 3.2. Sebuah batang digantungkan pada sebuah struktur utama dengan beban sebesar F diujung bebasnya yang mengarah ke pusat grafitasi bumi. Batang akan dibagi menjadi beberapa bagian yang disebut dengan elemen. Dalam contoh ini, batang dibagi atas 2 elemen.
(a) (b)
Gambar 3.2. Pembebanan pada suatu batang: (a) keadaan batang, (b) susunan analogi dua buah pegas
Jumlah nodal selalu sama dengan jumlah elemen ditambah dengan 1. Jika jumlah nodal diberi simbol n dan jumlah elemen dengan m, maka:
n = m + 1 (3.3)
Pada kondisi pembebanan yang diperlihatkan pada gambar 3.2, jumlah elemen ialah 2 sehingga jumlah nodal menjadi 3. Selanjutnya analisa dilakukan dengan memperhatikan gaya reaksi pada masing-masing nodal.
Gaya reaksi pada nodal 3 ialah gaya reaksi yang diakibatkan oleh gaya F pada ujung bebas elemen kedua (elemen bagian bawah). Demikian juga pada nodal
1
2
UMA @2019
24 2 dan 1, gaya reaksi tersebut berhubungan dengan gaya F yang terjadi pada nodal 3. Diagram benda bebas gaya reaksi pada masing-masing nodal diperlihatkan pada gambar 3.3. Notasi gaya f32 berarti gaya reaksi pada nodal
3 dengan k elemen kedua (k2), atau dituliskan:
f32 = k2 . x3
dimana: k2 ialah konstanta kekakuan pada elemen kedua dan x3 ialah
perpindahan yang terjadi pada nodal 3. Demikian juga f22 = k2 . x2, f21 = k1 . x2,
dan f11 = k1 . x1. Sedangkan k1 ialah konstanta kekakuan pada elemen pertama.
(a) (b) (c)
Gambar 3.3. Gaya reaksi pada masing-masing nodal: (a) pada nodal 3, (b) pada nodal 2, dan (c) pada nodal 1
Pada nodal 3, persamaan kesetimbangan gayanya ialah:
F = f32 – f22 = k2.x3 – k2.x2 (3.4a)
Pada nodal 2, persamaan kesetimbangan gayanya ialah: f22 – f32 + f21 – f11 = 0
k2.x2 – k2.x3 + k1.x2 – k1.x1 = 0
kumpulkan berdasarkan perpindahan nodal x1, x2, dan x3, maka diperoleh
persamaan:
UMA @2019
25 Pada nodal 1, persamaan kesetimbangan gayanya ialah:
f11 – f21 = 0
k1.x1 – k1.x2 = 0 (3.4c)
Maka diperoleh tiga buah persamaan berdasarkan jumlah nodalnya. Persamaan-persamaan tersebut selanjutnya disusun dengan memperhatikan perpindahan nodal-nodalnya (x1, x2, dan x3).
k1.x1 – k1.x2 = 0
- k1.x1 + (k1 + k2).x2 – k2.x3 = 0
k2.x3 – k2.x2 = F
Persamaan-persamaan tersebut dapat disusun menjadi persamaan matriks berdasarkan persamaan dasar pegas, yaitu k.x = F.
(3.5) Apabila diperhatikan persamaan 5, terdapat pola keteraturan susunan kekakuan elemen, dimana satu elemen akan membentuk sebuah persamaan matrik berordo 2x2 dengan nilai sel yang sama tetapi tanda k elemen yang berbeda. Sebagai contoh untuk elemen pertama, susunan matriksnya ialah:
(3.6a) Demikian juga untuk elemen kedua, dimana kekakuan elemennya ialah k2,
persamaan matriksnya menjadi:
UMA @2019
26 Selanjutnya persamaan 3.6a dan 3.6b dijumlahkan secara diagonal dan disusun menjadi:
(3.7) Untuk menambah pemahaman penyusunan persamaan matriks metode elemen hingga dengan menggunakan konsep analogi pegas, gambar 3.4 menunjukkan sebuah kondisi pembebanan pada sebuah batang secara hosrizontal dengan gaya G pada ujung bebas batang.
(a)
(b)
Gambar 3.4. Pembebanan batang horizontal: (a) bentuk batang, (b) analogi pegas.
Pada kondisi pembebanan batang yang diperlihatkan pada gambar 3.4, batang dibagi atas 3 elemen, dengan nilai k untuk elemen 1 dan 2 ialah sama yaitu k1, sedangkan untuk elemen 3 ialah k2. Pada node 4 terdapat gaya
UMA @2019
27 telah dijelaskan sebelumya, maka persamaan matriks untuk kondisi pembebanan pada gambar 3.4 dapat dengan mudah disusun sebagai berikut:
3.3. Kondisi Batas
Kondisi batas ialah variabel-variabel yang telah diketahui pada suatu kondisi pembebanan, seperti gaya-gaya eksternal, kondisi dudukan, panas konveksi, sumber panas, dll. Kondisi batas inilah yang dapat menyederhanakan suatu persamaan matriks sehingga dapat diselesaikan dengan mudah dan mendekati kondisi yang sesungguhnya.
Pada gambar 3.4 yang telah dijelaskan sebelumya, variabel-variabel kondisi batasnya ialah: (1) gaya eksternal pada nodal 4, yaitu gaya G, dan (2) dudukan/penahan pada nodal 1 yang bersifat fix sehingga sudah dipastikan tidak akan terjadi perpindahan (x1 = 0). Karena nilai x1 sudah diketahui, yaitu
nol, dan setiap bilangan yang dikalikan dengan nol ialah tetap menjadi nol, maka seluruh kolom 1 dan baris 1 dalam dieliminasi dari persamaan matriks tersebut.
UMA @2019
28 CONTOH SOAL
Untuk susunan pegas dengan nomor nodal seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini, tentukan: (a) matrik kekakuan global, dan (b) perpindahan nodal 2 dan 3. Sebuah gaya 5000 lb diberikan pada nodal 3 dalam arah sumbu x. Nodal 1 dan 4 di-fixed. Nilai konstanta pegas diperlihatkan pada gambar.
Penyelesaian:
a. Persamaan matrik kekakuan global-nya berdsarkan metode analogi pegas ialah:
Dengan memasukkan nilai konstanta kekakuannya, yaitu k1 = 1000, k2
= 2000, dan k3 = 3000, maka susunan persamaan matriksnya menjadi:
b. Kondisi batas pada contoh ini ialah: (1) Perpindahan untuk nodal 1 dan 4 (x1 dan x4 ) ialah nol, karena dalam kondisi dudukan fit. Dengan
demikian kolom dan baris 1 dan 4 pada persamaan tersebut dapat dihilangkan, (2) gaya eksternal yang terjadi pada nodal 2 ialah 0, oleh karena F3 = 0, sedangkan pada nodal 3 terdapat gaya external sebesar F3
= 5000 lb. Dengan demikian diperoleh persamaan matriks yang baru, yaitu:
Dengan menggunakan metode elominasi Gauss-Jordan, perpindahan pada nodal 2 dan 3 diperoleh:
UMA @2019
29 x2 = 0,909 in dan x3 = 1,363 in.
c. Gaya reaksi pada nodal 1 dan 2 diperoleh dengan memasukkan nilai variable perpindahan yang telah diketahui, yaitu perpindahan pada nodal 1 dan 2 adalah nol karena pada nodal ini pegas di-fix. Dengan demikian persamaan matrik kekakuan globalnya menjadi:
LATIHAN BAB 3
3.1. Untuk susunan pegas pada gambar L3.1, susunlah matrik kekakuan globalnya.
Gambar L3.1
3.2. Berdasarkan gambar L3.1, jika gaya P = 10 kN, tentukan perpindahan yang terjadi pada masing-masing nodal.
