Modul 1
Pendahuluan
1.1. Pengertian Matriks
Definisi 1.1 (Pengertian Matriks)
Matriks didefinisikan sebagai suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan yang terdapat dalam susunan itu disebut e lemen matriks tersebut. Secara umum, matriks dapat dituliskan sebagai berikut :
A = mn m m n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11
Atau dapat dituliskan sebagai : A =
aijPenulisan matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Misalnya A.B,C. Contoh 1.1
Nilai dari 3 mahasiswa mata kuliah kalkulus adalah 55, 80 dan 75. Nilai matakuliah Pengantar Metode Statistika adalah 40, 70 dan 90. Sedangkan nilai matakuliah Bahasa Indonesia adalah 80, 85 dan 90. Maka nilai- nilai tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks A sebagai berikut :
90 90 75 85 70 80 80 40 55 A Contoh 1.2.
Dari susunan bilangan berikut manakah yang dikatakan suatu matriks ?
i. 4 0 2 1 3 1 ii.
2 1 0 3
iii. 0 0 0 0 5 . 0 3 2 e iv. 3 1 v. 1 3 2Definisi 1.2 (Ukuran Matrik )
Ukuran matrik adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat di dalam matrik. Secara umum, matrik A yang mempunyai jumlah baris m dan jumlah kolom n
mempunyai ukuran m x n. Angka pertama menunjukkan banyaknya baris dan angka kedua menunjukkan banyaknya kolom.
Contoh 1.3
Dalam contoh 1.2, tentukan ukuran matriks Jawab :
(i) matriks yang berukuran 3 x 2, (ii) matrik s ukuran 1 x 4, (iii) matriks ukuran 3 x 3 dan (iv) matriks ukuran 2 x 1.
Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom (vektor kolom), dan sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matrik baris (vektor baris). Pada contoh diatas, (ii) merupakan matrik baris dan (iv) merupakan matrik kolom.
Definisi 1.3. (Kesamaan Matrik )
Dua matrik dikatakan sama jika kedua matriks mempunyai ukuran yang sama dan entri-entri yang bersangkutan di dalam kedua matriks sama.
Contoh 1.4
Nilai-nilai dari dua mahasiwa D3 untuk mata kuliah Matriks dan PMS pada kelas paralel A, B dan C dinyatakan dalam bentuk metriks sebagai berikut :
A = 40 30 10 80 B = 50 30 10 20 C = 40 30 10 80
Manakah dari matriks- matriks tersebut yang dapat dikatakan sama
1.2. Ope rasi Dasar Matriks
Definisi 1.4. ( Penjumlahan Matriks)
Penjumlahan dari dua matriks A dan B adalah menambahkan bersama-sama entri yang bersangkutan di dalam kedua matrik tersebut.
Yaitu :
A + B =
aij bij
Dua matriks dapat dijumlahkan jika ukuran dua matriks tersebut sama.
Contoh 1.5
A = 7 2 4 2 0 1 0 1 2 B = 4 2 3 0 2 2 5 3 4 C = 3 2 2 1 Tentukan penjumlahan : i. A + B ii. A + C iii. B + C Jawab : i). A + B = 3 0 7 2 2 1 5 4 2
ii). A + C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama iii). B + C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama
Definisi 1.5. (Selisih Matriks)
Selisih dua matriks A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota A dengan anggota B.
A – B = ( aij – bij)
Selisih dua matriks ada jika kedua matriks mempunyai ukuran yang sama.
Contoh 1.6
Dari contoh 1.4 tentukan selisih matriks : i. A - B ii. A - C iii. B - C Jawab : i).A – B = 11 4 1 2 2 3 5 2 6
ii). A - C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama iii). B - C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama
Definisi 1.6 (Perkalian dengan Skalar)
Jika A adalah suatu matriks dan c adalah skalar, maka hasil kali (product) cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing- masing entri dari A oleh c.
Dalam notasi matriks : c A = (c aij)
Contoh 1.7
Jika diketahui matriks A dan skalar c sebagai berikut, tentukan cA
A = 1 3 1 4 3 2 c = 2 Jawab : c A = 2 6 2 8 6 4
Definisi 1.7 (Perkalian Matriks)
Jika A matriks ukuran m x r dan B matriks ukuran r x n, maka hasil kali AB adalah matriks ukuran m x n, yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut :
Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut, kemudian tambahkan hasil kali yang dihasilkan.
Contoh 1.8
Diketahui matriks A dan B sebagai berikut, tentukan perkalian AB :
A = 0 6 2 4 2 1 B = 5 7 2 3 1 0 4 1 4
Definisi perkalian AB mensyaratkan bahwa jumlah kolom faktor pertama A sama dengan jumlah baris faktor kedua B. Jika syarat ini tidak terpenuhi, maka hasil kalinya tidak terdefinisi. Sebagai contoh matriks A, B, dan C dengan ukuran sebagai berikut :
A 3 x 4 B 4 x 7 C 7 x 3 Maka :
AB terdefinisi dan merupakan matriks dengan ukuran 3 x 7 CA terdefinisi dan merupakan matriks dengan ukuran 7 x 4
BC terdefinisi dan merupakan matriks dengan ukuran 4 x 3 Sedangkan AC, CB dan BA semuanya tak terdefinisi.
Definisi 1.8 (Transpose)
Jika A adalah sebarang matriks berukuran m x n, maka transpoes A dinyatakan dengan AT didefinisikan sebagai matriks n x m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A, yaitu kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.
Contoh 1.9
Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut :
A = 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a B = 6 5 4 1 3 2 C =
1 3 5
Sifat-sifat Trans pose
Jika α dan β adalah skalar, A & B matriks, maka : i.
AT AT ii.
T T A = A iii.
AB
T AT BT iv.
T T T A B AB 1.3. Sifat-Sifat MatriksDalam operasi penjumlahan berlaku hukum-hukum sebagai berikut : 1. Komutatif
A + B = B + A 2. Asosiatif
A + (B + C) = (A + B) + C
3. Distributif terhadap perkalian skalar k(A + B) = KA + KB
Sedangkan untuk operasi perkalian berlaku hukum-hukum sebagai berikut : 1. Tidak Komutatif AB ≠ BA 2. Asosiatif A(BC) = (AB)C 3. Distributif A(B + C) = AB + AC
4. Distributif terhadap perkalian skalar (k1 + k2) A = K1A + K2A
k1, k2= Skalar
1. 4. Jenis- jenis Matriks 1. Matriks Bujursangkar
Matriks bujursangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom sama, dengan kata lain matriks yang berukuran n x n. Dan biasanya disebut dengan matriks bujursangkar orde –n.
Contoh 1.10 : A = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a
Matriks A adalah matriks bujursangkar orde-3 2. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah Matriks bujursangkar dimana semua entri diluar diagonal utama adalah nol.
A = nn a a a ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... 0 0 ... 0 22 11 3. Matriks Segitiga
a. Matriks Segitiga Bawah
Matriks bujursangkar dimana elemen-elemen diatas diagonal utama bernilai nol.
A = nn n n a a a a a a ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 0 2 1 22 21 11
b. Matriks Segitiga Atas
Matriks bujursangkar dimana elemen-elemen dibawah diagonal utama bernilai nol. A = nn n n a a a a a a ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 ... 2 22 1 12 11 4. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya bernilai nol, yang biasanya dinotasi-kan dengan 0 Contoh 1.11 : 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0
Sifat-sifat matriks nol :
i. A + 0 = 0 + A = A ii. A – A = 0
iii. 0 – A = - A iv. A 0 = 0 A = 0 5. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks bujursangkar dimana pada diagonal utama bernilai 1 dan bernilai nol selainnya.
Matriks identitas biasanya dinotasikan dengan I
I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 6. Matriks Simetris
Contoh : A = 1 3 5 3 1 2 5 2 1 B = 3 6 6 3
Sifat – sifat matriks simetris :
Jika A dan B adalah matriks- matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah sebarang skalar, maka :
i. AT simetris
ii. A + B dan A – B simetris iii. k A adalah simetris Bukti sebagai latihan
7. Matriks Idempoten
Suatu matriks bujursangkar A disebut matriks idempoten jika dan hanya jika A = A2
Teorema 1.1.
Jika A dan B adalah matriks idempoten, maka berlaku sifat-sifat berikut i. A + B merupakan matrik idempoten jika AB = BA = 0
ii. C = AB merupakan matrik idempoten jika AB = BA iii. I – A merupakan matriks idempoten
8. Matriks Nilpoten
Suatu matriks bujursangkar yang tidak nol dikatakan matriks nilpoten atas indeks r jika Ar = 0 tetapi Ar-1 0 untuk r > 1.
Contoh : A = 0 0 0 0 6 0 0 0 1 4 0 0 2 5 2 0
Matriks A diatas merupakan matriks nilpoten indeks 4 karena :
A3 = 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 48 0 0 0 0 Tetapi A4 = 0
Definisi 1.9 (TRACE)
Jika A adalah suatu matriks bujursangkar, maka trace A dinyatakan dengan tr(A), didefinisikan sebagai jumlah anggota-anggota pada diagonal utama A.
tr(A) =
n i ii a 1Trace a tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujursangkar.
Contoh 1.9
Tentukan trace dari matriks berikut :
i). A = 23 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a ii). B = 5 3 2 1 iii). C = 2 6 8 7 1 2 Sifat-sifat Trace : i). tr(AT) = tr(A) ii). tr(kA) = k tr(A)
iii). tr(A+B) = tr(A) + tr(B) iv). tr(AB) = tr(BA)
v). tr(ATA) = 0, jika dan hanya A = (0)
Definisi 1.10 (PARTISI MATRIKS)
Sebuah matriks bisa dibagi atau dipartisi menjadi matriks- matriks yang lebih kecil dengan menyisipkan garis horisontal dan vertikal di antara baris dan kolom yang ditentukan. Sebagai contoh : i) A = 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a = 22 21 12 11 A A A A
Matriks A diatas dipartisi menjadi empat sub- matriks yaitu A11, A12, A13, dan A22
Dimana : A11 = 23 22 21 13 12 11 a a a a a a A12 = 24 14 a a A21 =
a31 a32 a34
A22 =
a34 ii) B = 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a = 1 2 3 R R R Matriks B diatas dipartisi menjadi 3 sub matriks yaitu : r1, r2, r3 Dimana R1 =
a11 a12 a13 a14
R2 =
a21 a22 a23 a24
R3 =
a31 a32 a33 a34
iii) C = 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a =
C1 C2 C3 C 4
Matriks C diatas dipartisi menjadi 4 sub matriks yaitu : C1, C2, C3 dan C4
Dimana C1 = 31 21 11 a a a C2 = 32 22 12 a a a C3 = 33 23 13 a a a C4 = 34 24 14 a a a 1.5. Vektor Random
Pada bagian ini akan dibahas, tentang vektor random dan beberapa konsep statistik. Jika sebuah unit eksperimem menghasilkan sebuah variabel terukur, maka variabel tersebut disebut variabel random. Namun jika unit eksperimen tersebut menghasilkan m variabel terukur, maka disebut variabel random. Sehingga variabel random merupakan elemen dari vektor random.
Barisan variabel random X1, X2, … , Xm diskrit yang saling berhubungan dimodelkan oleh fungsi probabilitas multivariat, yaitu px(t), sedangkan untuk variabel random kontinu
Fokus pada sub bab ini akan dibahas untuk kontinyu, khususnya fungsi densitas multivariat normal. Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean dan variansi 2, yang dinotasikan x N( , 2) dengan fungsi densitas normal :
2 1 2 2 1 ( ) ; ; ; 0 2 x f x e x
Fungsi densitas normal standar (PDF normal standar) :
f(z) = 2 1 2 1 2 z e
Fungsi densitas multivariat normal standar (PDF multivariate normal standart) :
T 2 1 1 2 2 / 2 1 1 2 1 1 ( ) ; (2 ) 2 i m z m i T n f z e e Z z z z
z z ,Persamaan diatas dinotasikan z ~ Nm(0, Im).
Sehingga setiap zi ~ N(0,1), i = 1, 2, … , m, dan antar zi saling independen.
Jika X berdistribusi normal multivariate dari m variabel, maka fungsi densitas multivariat normal (PDF mul-tivariate normal) :
f(x) =
T -1 1 2( ) ( ) / 2 1/ 2 T -1 1 2 / 2 1/ 2 1 (2 ) | | 1 ( ) ( ) (2 ) | | e exp x x m m x x , dinotasikan x ~ Nm(, ).Bila vektor random x ~ Nm(, ), maka setiap
xi ~ N(i, 2i ), i = 1, 2, … , m; tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.
Mean vektor dari vektor random x, dinotasikan , yang berisi nilai harapan dari setiap xi.
1 2 3 1 2 3
( m)T E( ) E x E x( ) ( )E x( ) E x( m) T
Ukuran hubungan linear antara xi dengan xj, dinyatakan ddengan kovariansi yang notasikan cov(xi,xj), atau ij, didefinisikan :
ij
= cov(xi,xj) = E[(xi i)(xj j)]
= E(xi,xj) ij
Pada saat i = j maka ij = ii= 2 i
, yang disebut sebagai variansi xi, dinotasikan var(xi).
2 2 2 2
var( ) ( ) ( )
i x E x x E x x
Sehingga Jika dua variabel xi dan xj saling bebas, maka :
E(xi,xj) = E(xi) E(xj) = ij,
sehingga :
ij
= ij ij = 0
Jika 1, 2, 1, dan 2 masing- masing skalar, maka berlaku : cov(1 + 1xi , 2 + 2xj) = 12 cov(xi,xj)
Bukti sebagai latihan!
Jika adalah sebuah matriks dengan elemen-elemen ke (i,j) adalah ij , matriks ini disebut matrik variansi kovariansi vektor x, atau matrik kovariansi vektor x, dengan bentuk sebagai berikut : = 11 12 1 21 22 2 1 2 m m m m mm Dimana : = var(x) = E[(x )( x )T ] = E(x xT) T
Jika α dan β merupakan vektor konstanta berukuran mx1 dan didefinisikan variabel randomyα xT dan wβ xT maka
E(y) = E(T
x) = T E(x) = T
dan
cov(y,w) = cov(T
= E(T x xT)-T E(x)E(xT) = T E(x x)T) -T E(x)E(xT) = T [E(x xT) T ] =T var(y) = cov(y,y) = T var(w) = cov(w,w) = T
Secara umum jika A adalah matriks konstanta berukuran pm, maka : E(y) = E(Ax) = A E(x) = A
var(y) = E[{y E(y)}{y E(y)}T ] = E[{Ax E(Ax)}{ Ax E(Ax)}T
] = A AT
Bila v dan w masing- masing adalah vektor random, maka berlaku : cov(v,w) = E(v wT) E(v) E(w)T
Selanjutnya jika A matriks konstan berukuraaan pxm, bila v = A x dan w = B x, maka : cov(v,w) = A cov(x, x) B = A BT
Ukuran keeratan hubungan antara xi dengan xj, dinyatakan dengan nilai koefisien korelasi, di notasikan ij, didefinisikan :
cov( ,i j) ij ii jj x x
Pada saat i=j, maka diperoleh ij=1.
Jika x merupakan vektor random Matrik Korelasi dari variabel x , dinotasikan P, dengan elemen-elemen ke (i,j) adalah ij , sebagai berikut :
P = 11 12 1 21 22 2 1 2 m m m m mm , P= 12 1 21 11 1 2 1 1 1 m m m
Hubungan antara matrik korelasi, P, dengan matrik kovariansi, , adalah sebagai berikut : didefinisikan suatu matrik diagonal, dinotasikan 1/ 2
D , yang setiap elemennya bernilai satu per simpangan baku setiap variabel random yang membentuk matrik random, yaitu
1/ 2
ii , i = 1, 2, … , m, 1/ 2
D
= diag
1/ 2 1/ 2 1/ 2
11 , 22 , ... , mm 1/ 2 D = 1/ 2 11 1/ 2 22 1/ 2 0 0 0 0 mm selanjutnya, hubungan antara matrik korelasi dan matrik kovarian dapat dinyatakan sebagai berikut :,
P = 1/ 2
D D1/ 2.
Matrik P bersifat definit tak negatif.
Mean, varians, covarian dan korelasi merupakan parameter yang tidak diketahui maka parameter-parameter tersebut akan diestimasi dari sampel. Anggap x1, x2, … , xn sampel random dari variabel random x dari suatu distribusi dengan mean µ dan var iansi 2
. Maka diperoleh :
2 2 2 i 1 1 1 1 ˆ , =s 1 n n i i i i x x x x n n
Pada kasus multivariat, jika x1, x2, … , xn sampel random dari vektor random x berukuran
mx1 dengan vektor mean µ dan matriks kovariansi . Maka diperoleh :
1 1 1 ˆ 1 , =S 1 n n T i i i x n n
i i μ x x - x x - xSedangkan estimasi P, adalah
1/ 2 1/ 2
s s
RD SD Dimana :
1/ 2 S D = diag
1/ 2 1/ 2 1/ 2
11 , 22 , ... , mm s s s 1/ 2 D = 1/ 2 11 1/ 2 22 1/ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mm s s s Contoh 1.12:Pengamatan dari nilai 3 mata kuliah dari 3 mahasiswa sebagai berikut :
75 60 65 80 70 55 80 80 75 x
Tentukan vektor mean dan matriks kovarian dari x dan matriks korelasi Jawab: 78,33 8,33 25 0 ˆ 70 , =S 25 100 50 65 0 50 100 μ x , 1 0,866 0 R 0,866 1 0, 5 0 0, 5 1
1.6. Aplikasi Dengan Software
Untuk menghitung operasi matriks, dapat dilakukan dengan bantuan software maatlab. Contoh 1.13.
Diberikan matriks A dan B sebagai berikut :
A = 1 2 3 4 2 4 6 3 3 6 4 2 4 3 2 1 B = 2 3 3 2 3 5 5 3 3 5 5 3 2 3 3 2
Maka dalam Matlab anda harus menuliskan :
» A=[1 2 3 4;2 4 6 3;3 6 4 2;4 3 2 1] A = 1 2 3 4 2 4 6 3 3 6 4 2 4 3 2 1
» B=[2 3 3 2;3 5 5 3;3 5 5 3;2 3 3 2] B = 2 3 3 2 3 5 5 3 3 5 5 3 2 3 3 2
Bentuk A dan B merupakan matriks yang kita masukkan, yang diinte rpretasikan sebagai :
A = 1 2 3 4 2 4 6 3 3 6 4 2 4 3 2 1 dan B = 2 3 3 2 3 5 5 3 3 5 5 3 2 3 3 2
Untuk selanjutnya, setiap hasil dari program Matlab pada modul- modul berikutnya akan mempunyai interpretasi seperti ini.
Jika ingin menghitung operasi-operasi dasar seperti : a. A + B
b. A – B c. AB
maka operasi yang dituliskan dalan matlab dan hasil yang didapatkan adalah sebagai berikut :: >> A+B ans = 3 5 6 6 5 9 11 6 6 11 9 5 6 6 5 3
Nilai-nilai yang terdapat dibawah “ans =” seperti diatas menunjukkan matriks hasil operasi yang diperoleh. Begitu juga untuk hasil operasi dari output-output selanjutnya.
Jadi A + B = 3 5 6 6 5 9 11 6 6 11 9 5 6 6 5 3 >> A-B ans = -1 -1 0 2 -1 -1 1 0 0 1 -1 -1 2 0 -1 -1 >> A*B ans = 25 40 40 25 40 65 65 40 40 65 65 40 25 40 40 25
Selanjutnya untuk beberapa matrik- matrik khusus, sudah tersedia statement khusus seperti :
- Zeros () : untuk mengkonstruksi matrik nol
- ones () : untuk mengkonstruksi matrik yang semua elenennya bernilai 1 - eye () : untuk mengkonstruksi matrik diagonal
Berikut ini diberikan contoh cara mengkonstruksi matriks :
>> zeros(4,4) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> eye(3,3) ans = 1 0 0 0 1 0
0 0 1
Untuk mendapatkan trace dari matriks A diatas, dapat anda lakukan dengan melakukan perintah :
» B=trace(A) B =
10
Dari hasil output diatas, dapat diketahui bahwa tr(A) adalah 10.
Untuk mendapatkan nilai mean, covariansi dan korelasi dari matriks pada contoh 1.10. >> A=[75 60 65;80 70 55;80 80 75]
A =
75 60 65 80 70 55 80 80 75
Untuk mendapatkan nilai mean, maka dilakukan perintah sebagai berikut : >> mean(A)
ans =
78.3333 70.0000 65.0000 Nilai tersebut merupakan
78, 33 70 65 μ 1 0,866 0 R 0,866 1 0, 5 0 0, 5 1
Serdangkan untuk mendapatkan matriks Kovariansi dilakukan dengan perintah sebagfai berikut : >> cov(A) ans = 8.3333 25.0000 0 25.0000 100.0000 50.0000 0 50.0000 100.0000
>> corr(A) ans = 1.0000 0.8660 0 0.8660 1.0000 0.5000 0 0.5000 1.0000 Referensi
Anton, H., 2000, Dasar-Dasar Aljabar Linear, Interaksara, Batam
Basilevsky, A.,1983, Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences, New York
Schott, R. James, 1990, Matrix Analysis for Statistics, John Wiley & Sons, New York
