FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
Bahan Ajar:
BAB / POKOK BAHASAN III
MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN
MODUL TORSI
Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-9, 10, dan 11
TEORI MODUL
(Semester VI/3 SKS/MMM-3207) Oleh:
1. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. 2. Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.
Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013
MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN
MODUL TORSI
3.1. Basis dan Modul Bebas
Misalkan M merupakan modul atas ring R. Dari bab sebelumnya telah dipelajari bagaimana membentuk submodul terkecil yang memuat suatu himpunan X di dalam M yang dinotasikan dengan hXi. Jelas bahwa hXi belum tentu sama dengan M . Dari kondisi ini didefinisikan pengertian berikut.
Definisi 3.1.1. Himpunan X ⊂ M dikatakan membangun modul M jika memenuhihXi = M .
Mengingat selalu terjadi hXi ⊂ M , maka X membangun M ekui-valen dengan menyatakan bahwa X memuat M , yakni ekuiekui-valen dengan mengatakan:
(∀m ∈ M )(∃r1, r2, · · · , rn∈ R)(∃x1, x2, · · · , xn∈ X)(m =
X rixi).
Selanjutnya mengingat jika diambil r1 = r2 = · · · = rn = 0
maka akan diperoleh:
r1x1+r2x2+· · ·+rnxn= 0.x1+0.x2+· · ·+0.xn= 0+0+· · ·+0 = 0.
Pertanyaannya adalah bagaimana sebaliknya? Jika r1x1+ r2x2+
· · · + rnxn= 0.x1+ 0.x2+ · · · + 0.xn= 0 + 0 + · · · + 0 = 0, apakah
juga berlaku r1 = r2 = · · · = rn = 0. Ternyata tidak selalu demikian.
Mengingat hal tersebut didefinikanlah pengertian bebas linear. 30
Definisi 3.1.2. Himpunan X ⊂ M dikatakan bebas linear jika per-samaan
r1x1+ r2x2+ · · · + rnxn= 0
hanya dipenuhi jikar1 = r2 = · · · = rn= 0.
Nampak bahwa definisi membangun dan bebas linear di atas sama denggan pengertian bebas linear dan membangan dalam ruang vektor atas lapangan. Sebagaimana dalam ruang vektor atas lapangan, kita juga dapat mendefinisikan pengertian basis suatu modul yakni suatu him-punan sekaligus membangun dan bebas linear. Perbedaannya dengan ruang vektor adalah bahwa di dalam teori modul tidak semua modul mempunyai basis, sebagai contoh modul bilangan rasional Q atas ring bilangan bulat Z tidak mempunyai basis. Mengingat tidak semua modul mempunyai basis, didefinisikan pengertian modul bebas sebagai berikut. Definisi 3.1.3. Modul M atas R dikatakan bebas jika M mempunyai basis, yakni adaB ⊆ M dengan sifat:
1. B membangun M , yaitu memenuhi:
(∀m ∈ M )(∃r1, · · · , rn∈ R)(∃b1, · · · , bn∈ B)(m =
X ribi).
2. B bebas linear, yaitu memenuhi:
(∀r1, · · · , rn∈ R)r1b1+ · · · + rnbn= 0 ⇒ r1= · · · = rn= 0.
Berikut diberikan beberapa contoh modul bebas.
Contoh 3.1.4. Modul Rnatas ring R merupakan modul bebas dengan basisS = {e1, e2, ..., en} dimana ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) dengan 1
pada suku ke-i, untuk setiap i = 1, 2, .., n. Contoh 3.1.5. Diberikan Z.4Z-modul Z.
4Z merupakan modul bebas karena terdapat himpunan{1 + 4Z} sehingga Z.4Z = h1 + 8Zi dan himpunan{1 + 4Z} bebas linear. Namun, Z
.
merupakan modul bebas karena untuk sebarang himpunan tak nolX ⊆ Z.
4Z terdapat r = 4 ∈ Z sehingga P
x∈X
rx = 0 + 4Z. Dengan demikian himpunan bagian pada Z
.
4Z selain {0} tidak bebas linear, sehingga Z.
4Z sebagai Z-modul bukan merupakan modul bebas.
Selanjutnya, muncul pertanyaan apa kelebihannya pada saat modul M mempunyai suatu basis (sebut B = {b1, b2, · · · , bn}). Sebagaimana
dalam ruang vektor kelebihannya adalah bahwa dapat ditunjukkan ek-sistensi r1, r2, · · · , rn ∈ R yang memenuhi m = P ribi adalah
tung-gal. Sebab misalnya ada s1, s2, · · · , sn ∈ R yang juga memenuhi
m = P sibi, maka akan diperoleh P ribi = P sibi hal ini berarti
P(ri− si)bi= 0. Mengingat B basis maka akan diperoleh:
r1− s1 = r2− s2 = · · · = rn− s + n = 0
yang berakibat r1= s1, r2 = s2, · · · , rn= sn.
Selanjutnya dengan tunggalnya r1, r2, · · · , rn∈ R yang memenuhi
m =P ribi, didefinisikan pengertian koordinat suatu elemen m di M .
Definisi 3.1.6. Misalkan B = {b1, b2, · · · , bn}) suatu basis dari modul
bebasM atas R, dan m adalah suatu elemen di M . Matriks berukuran n × 1 [m]B = r1 r2 .. . rn
disebut koordinatm relatif terhadap basis B jika m =P ribi.
3.2. Pengenol dan Modul Torsi
Jika kita bandingkan modul Z atas ring Z dan modul Z12atas Z,
perbedaan yang utama adalah dalam modul Z tidak ada n 6= 0 sede-mikian hingga ada r 6= 0 dalam ring Z sedesede-mikian hingga rn = 0,
sementara dalam modul Z12 akan dapat ditemukan n 6= 0 sedemikian
hingga ada r 6= 0 di Z sedemikian hingga rn = 0. Dari fenomena ini didefinisikanlah pengertian pengenol (annihilator) suatu elemen dalam suatu modul sebagai berikut, dan elemen torsi dalam suatu modul. Definisi 3.2.1. Misalkan M adalah modul atas ring R.
1. r ∈ R disebut pengenol dari m ∈ M jika rm = 0.
2. a ∈ R disebut pengeno dari himpunan X ⊆ M jika ax = 0 untuk setiapx ∈ X.
3. m ∈ M disebut elemen torsi jika terdapat r ∈ R\{0} sedemikian hinggarm = 0.
Himpunan semua pengenol dari elemen m ∈ M dinotasikan de-ngan AnnR(m). Sedangkan himpunan semua pengenol dari himpunan
X ⊆ M dinotasikan dengan AnnR(X). Dapat ditunjukkan bahwa
AnnR(X) membnetuk ideal kiri di dalam ring R. Namun, jika X
meru-pakan submodul di M , akan dapat ditunjukkan bahwa AnnR(X)
mem-bentuk ideal di dalam ring R.
Contoh 3.2.2. Diketahui modul faktor Z.8Z atas ring Z dan himpunan X = {2 + 8Z, 6 + Z} di dalam modul Z.8Z. Pengenol dari himpunan X adalah:
AnnR(X) = {a ∈ Z | aX = 0 + 8Z}
= {a ∈ Z | a(2 + 8Z) = 0 + 8Z ∧ a(6 + 8Z) = 0 + 8Z} = {a ∈ Z | a = 4k, k ∈ Z}
= 4Z.
Himpunan semua elemen torsi di dalam modul M dinotasikan de-ngan Mτ. Selanjutnya, dari definisi elemen torsi, jelas bahwa elemen
0M ∈ M merupakan elemen torsi di M . Kemudian muncul pertanyaan
Dapat ditunjukkan bahwa setiap elemen di dalam Z6 sebagai
Z-modul merupakan elemen torsi. Oleh karena itu, munculah definisi modul bebas torsi dan modul torsi sebagai berikut.
Definisi 3.2.3. Diberikan modul M atas ring R.
1. ModulM disebut modul bebas torsi jika elemen torsi di M hanya elemen0M. Dengan kata lain,Mτ = {0M}.
2. ModulM disebut modul torsi jika setiap elemen m ∈ M meru-pakan elemen torsi. Dengan kata lain,Mτ = M .
Untuk memperjelas, berikut diberikan beberapa contoh modul torsi. Contoh 3.2.4. Modul Znatas Z merupakan modul torsi karena terdapat
n ∈ Z \ {0} sedemikian hingga n¯a = ¯0 untuk setiap ¯a ∈ Zn.
Contoh 3.2.5. Z sebagai Z-modul merupakan modul bebas tors. Contoh 3.2.6. Pada Contoh , modul R3 atas ring R[X] melalui trans-formasi linear T merupakan modul torsi karena R3τ = R3.
Diper-hatikan bahwa untuk setiapv ∈ R3terdapatq(x) ∈ R[X] \ {0} dengan q(x) =
n
P
i=3
aisedemikian hinggaq(x)v = 0. Hal ini dikarenakan untuk
setiapn ≥ 3 memenuhi Tn= 0.
Contoh 3.2.7. Pada Contoh , modul R3 atas ring R[X] melalui
trans-formasi linear T merupakan modul torsi karena R3τ = R3. Diper-hatikan bahwa untuk setiapv ∈ R3terdapatq(x) ∈ R[X] \ {0} dengan q(x) =
n
P
i=2
aisedemikian hinggaq(x)v = 0. Hal ini dikarenakan untuk
setiapn ≥ 2 memenuhi Tn= 0.
Selanjutnya, berikut diberikan sifat dari himpunan Mτ.
Proposisi 3.2.8. Jika diberikan modul M atas suatu daerah integral R, maka berlaku:
1. Mτ merupakan submodul diM , yang selanjutnya disebut dengan
submodul torsi. 2. Modul faktor M.M
τ merupakan modul bebas torsi.
Bukti.
1. Jelas bahwa Mτ bukan merupakan himpunan kosong, karena 0 ∈
Mτ. Diambil sebarang a, b ∈ Mτmaka terdapat r1, r2∈ R \ {0}
sehingga r1a = 0 dan r2a = 0. Karena R merupakan daerah
integral maka r1r2 6= 0 sehingga r1r2(a − b) = r1r2a − r1r2b.
Karena R daerah integral maka berlaku:
r1r2(a − b) = r2(r1a) − r1(r2b) = 0.
Dengan demikian, diperoleh a − b ∈ Mτ. Selanjutnya, diambil
a ∈ Mτ maka terdapat r ∈ R \ {0} sehingga ra = 0. Diambil
sebarang x ∈ R. Karena R merupakan daerah integral mala : r(xa) = (rx)a = x(ra) = x0 = 0.
Dengan demikian, diperoleh xa ∈ Mτ. Jadi terbukti bahwa Mτ
merupakan submodul di M .
2. Karena Mτ merupakan submodul di M , maka dapat dibentuk
modul faktor M .
Mτ. Akan ditunjukkan bahwa M
.
Mτ merupakan
modul bebas torsi. Andaikan M.M
τ memiliki elemen torsi m +
Mτ 6= 0 + Mτ. Berarti ada r ∈ R \ {0} sehingga r(m + Mτ) =
rm + Mτ = 0 + Mτ. Akibatnya, diperoleh rm ∈ Mτ.
Ber-arti ada s ∈ R \ {0} sedemikian hingga s(rm) = (sr)m = 0. karena R merupakan daerah integral dan s, r 6= 0 maka diperoleh sr 6= 0. Akibatnya, diperoleh m ∈ Mτ. Menurut kesamaan dua
koset diperoleh m + Mτ = 0 + Mτ. Kontradiksi dengan yang
diketahui, sehingga pengandaian salah dan harus diingkar. Jadi, terbukti bahwa M
.
Mτmerupakan modul bebas torsi.
3.3. Latihan Soal
(1). Buktikan bahwa setiap R-modul bebas yang dibangun secara hingga memiliki basis berhingga!
(2). Diberikan modul M atas daerah integral R. Buktikan bahwa jika M merupakan modul bebas maka M merupakan modul bebas torsi! (3). Diberikan F merupakan R-modul bebas dan f : F → M
meru-pakan isomorphisma R-modul.
a). Buktikan bahwa M merupakan R-modul bebas!
b). Jika B merupakan basis untuk F , tunjukkan bahwa M juga memiliki basis dengan kardinalitas yang sama dengan B! (4). Tunjukkan bahwa Mn(R) merupakan R-modul bebas yang
mem-punyai basis dengan kardinalitas n2!
(5). Jika F1dan F2merupakan R-modul bebas, buktikan bahwa F1×F2
juga merupakan R-modul bebas!
(6). Diberikan {Fα}α∈Λ merupakan keluarga R-modul bebas.
Tun-jukkan bahwa L
α∈Λ
Fαjuga merupakan R-modul bebas!
(7). Apabila diberikan R-modul siklik M = hmi, maka tunjukkan bahwa M ∼= R
.
AnnR(m)!
(8). Diberikan ring komutatif R dan modul M atas ring R. Jika I merupakan ideal di R denagn sifat I ⊆ AnnR(M ), maka
buk-tikan bahwa M merupakan R.I-modul terhadap operasi pergan-daan skalar:
· : R.I × M −→ M (a + I, m) 7−→ am untuk setiap a + I ∈ R.I dan m ∈ M !
