SEBARAN NILAI EKSTRIM TERAMPAT
DALAM FENOMENA CURAH HUJAN
JANTJE DENNY PRANG
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERT ANIAN BOGOR
BOG OR
2006
JANTJE DENNY PRANG. Sebaran Nilai Ekstrim Terampat dalam Fenomena Curah Hujan. Dibimbing oleh SISW AD! dan BAMBANG JUANDA.
Curah hujan merupakan unsur cuaca yang sangat berpengaruh terhadap aktivitas man usia. Sebaran nilai ekstrim terampat merupakan salah satu sebaran yang dapat digunakan untuk mengkaji kejadian curah hujan maksimum. Hal-hal yang dikaji berkaitan dengan pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data dengan sebaran teoritis, pendugaan parameter, gambaran tentang nilai ekstrim maksimum yang dapat dilampaui pada suatu peri ode waktu tertentu yang disertai dengan grafik fungsi kepekatan peluang dan tingkat pengembalian. Berbagai metode pendugaan telah dikembangkan, namun keakuratan dan kestabilan dalam pendugaan menjadi alasan yang kuat penggunaan suatu metode penduga parameter. Metode Maximum Likelihood (ML) memberikan dugaan relatif lebih baik dibandingkan dengan metode Least Square (LS), karena metode ML memiliki keakuratan dan kestabilan yang lebih baik dalam pendugaan parameter. Gambaran tentang nilai dugaan curah hujan maksimum di Darmaga Bogor dapat dijadikan patokan pengkajian lebih lanjut untuk mengantisipasi terjadinya curah hujan yang dikategorikan ekstrim (> 100 mm), sehingga tidak menduga yang over atau under estimate.
Kata kunci : sebaran nilai ekstrim terampat, maximum likelihood. least square, curah hujan
SEBARAN NILAI EKSTRIM TERAMPAT
DALAM FENOMENA CURAH HUJAN
JANTJE DENNY PRANG
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2006
Disetujui : Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Siswadi, M.Sc Ketua
Ketua Program Studi Statistika
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc
Tanggal lliian : 2 September 2006
Diketahui:
Dr. Ir. Bambang luanda, M.S Anggota
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Bapa di dalam Yesus Kristus, atas segala berkat dan rahmatNya sehingga karya ilmiah ini berhasil penulis selesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah Nilai Ekstrim Curah Hujan, denganjudul Sebaran Nilai Ekstrim Terampat dalam Fenomena Curah Hujan.
Penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc dan Bapak Dr. Ir. Bambang luanda, M.S sebagai pembimbing, yang telah banyak memberikan pengetahuan dan waktu untuk membimbing penulis. Kepada Bapak Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc selaku penguji luar komisi dan sebagai Ketua Program Studi Statistika Sekolah Pascasarjana IPB, kami tak lupa ucapkan terima kasih. Terima kasih penulis sampaikan kepada seluruh staf karyawan Badan Meteorologi dan Geofisika Balai Wilayah II Stasi un Klimatologi Darmaga Bogor atas penyediaan data curah hujan, khususnya terima kasih kepada Bapak Hendri dan Bapak Fahmi atas bantuan informasi yang sangat kami butuhkan. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Zainal Abidin Koemadji, S.Si, M.Si dan Aceng Komarudin Mutaqin, S.Si, M.Si atas segaia bantuan yang telah diberikan kepada penulis. Demikian pula kepada rekan-rekan STK 2002 dan teman-teman di Asrama Sam Ratulangi Sempur Kaler 94, atas segala motivasi yang diberikan kepada penuIis, diucapkan terima kasih banyak. Terima kasih yang tak terhingga disampaikan kepada semua anggota keluarga, lebih khusus untuk isteri tersayang Dra. Vivian Eleonora Regar, M.Si dan kedua anak Grand Andrea dan Garry Veman atas pengertian dan dukungan doa yang diberikan.
Penulis dilahirkan di desa Lansot kecamatan Tareran Kabupaten Minahasa Provinsi Sulawesi Utara pada tanggal 20 Desember 1958 sebagai anak ke-enam dari tujuh bersaudara, dari orang tua Piet N. Prang dan Sophia B. Sumendap. Penulis menikah pada tanggal 17 Juni 1992 dengan Dra. Vivian Eleonora Regar, M.Si dan dikaruniai dua orang anak laki-Iaki yang diberi nama Grand Andrea dan Garry Vernan.
Tahun 1976 penulis lulus dari STM Negeri Manado Jurusan Listrik, dan pada tahun 1977 penulis masuk perguruan tinggi di IKIP Manado (sekarang Universitas Negeri Manado - UNIMA di Tondano) pada Fakultas Keguruan I1mu Eksakta (FKIE) Jurusan Matematika, sekarang Fakultas Pendidikan Matematika dan I1mu Pengetahuan Alam (FPMIPA). Tahun 1981 selesai pendidikan sarjana muda dan tahun 1983 selesai pendidikan sarjana. Pada tahun 1986 penulis diangkat sebagai tenaga pengajar di Fakultas Petemakan Universitas Sam Ratulangi Manado sampai tahun 1999, dan mulai tahun 2000 sampai sekarang sebagai tenaga pengajar di FMIPA Universitas Sam Ratulangi (UNSRAT) Manado.
Penulis mengikuti kuliah di Sekolah Pascasarjana IPB Bogar Program Studi Statistika tahun 2002 dengan mendapat bantuan biaya pendidikan BPPS Dikti.
DAFTARISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... viii
DAFT AR GAMBAR ... ix DAFT AR LAMPIRAN ... x PENDAHULUAN Latar Belakang ... I Tujuan Penelitian ... 2 TINJAUAN PUSTAKA Curah Hujan ... ... 3
Teori Nilai Ekstrim (Extreme Value Theory - EVT) ... ... ... .... 4
Pendugaan Parameter ... ... 8
Metode Maximum Likelihood (ML) ... ... ... ... ... 8
Metode Least Square (LS) ... ... ... ... .... 10
Penentuan Nilai Ekstrim Curah Hujan ... .... 10
Plot Quantil-Quantil ... ... II Uji Kolmogorov-Smiroov ... 12
Tingkat Pengembalian (return level) ... ... ... ... \3
DATA DAN METODE Data... 15
Metode ... 15
Metode pendugaan parameter '" ... " IS Analisis data curah hujan maksimum ..•... 16
Analisis perarnalan ... 17
HASIL DAN PEMBAHASAN Pembandingan Pendugaan Parameter... ... 17
Analisis Curah Hujan Maksimum ... ...•.... .•... .•... ... 23
Tingkat Pengembalian ... ... ... ... 28
Analisis Peramalan Curah hujan Maksimum .... ... ... 30
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan ... ... 33
Saran ... 34
DAFTAR PUSTAKA ... 35
Rata-mta dan mgam dugaan pammeter metode ML dan LS 2 Jumlah hari hujan dan cumh hujan tahun 1999-2005 3 Nilai dugaan pammeter data curah hujan
4 Tingkat pengembalian cumh hujan 12 minggu ke depan
Halaman 19
23
26
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Grafik fkp untuk nilai Il berbeda dan nilai 0", E, tetap 7
2 Grafik fkp untuk nilai 0" berbeda dan nilai IJ., E, tetap 7
3 Grafik fkp untuk nilai E, berbeda dan nilai IJ., 0" tetap 8
4 Boxplot dugaan parameter Il 20
5 Boxplot dugaan parameter 0" 21
6 Boxplot dugaan parameter E, 22
7 Plot data curah hujan harian daerah Darmaga Bogor tahun 2002-2005 24
8 Plot
Q-Q
curah hujan tahun 1999-2003 259 Plot
Q-Q
curah hujan tahun 1999-2004 2510 Grafik./990J 27
II Grafik./9904 27
12 Tingkat pengembalian curah hujan tahun 1999-2003 28
13 Tingkat pengembalian curah hujan tahun 1999-2004 28
14 Dugaan dan CH maksimum sebenarnya selang 3 bulan 30
15 Dugaan dan CH maksimum sebenarnya selang satu tahun 31
Halaman
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Fenomena alam serta gejala dan akibat yang ditimbulkan merupakan hal yang menarik untuk dikaji lebih lanjut. Curah hujan merupakan unsur cuacaliklim dan merupakan suatu proses fenomena di atmosfir yang menjadi salah satu faktor penting. Curah hujan sangat berpengaruh terhadap berbagai aktivitas kehidupan manusia dan pada kenyataannya sulit dikendalikan dan dimodifikasi kecuali dalam skala keci!.
Teknologi modem kecil manfaatnya untuk mengubah cuaca, begitu juga jika terjadi bencana, misalnya terjadi badai atau angin topan. Namun teknologi dapat membantu memberikan ramalan yang lebih baik, sehingga mengurangi un sur kejutan bila terjadi beneana yang tak mungkin dikendalikan serta sulit dihindari oleh manusia apabila hal itu muncu!.
Satu kenyataan yang sulit dihindari bahwa setiap hari orang memperhitungkan cuaca, karena sejak manusia mulai bemafas pertama kali sampai terakhir kali, atmosfer senantiasa berada di sekitamya. Di sisi lain, keadaan euaca sering berubah, tanpa memperhitungkan kebutuhan ataupun keinginan manusia (Thompson & O'Brien, 1983).
Kejadian ekstrim curah hujan, sering membawa berkah bagi manusia, namun sering juga membawa malapetaka yang tidak bisa dihindari. Ahli meteorologi yang diperlengkapi dengan radar, sinar laser dan komputer, dapat mengubah peradaban dengan ramalannya yang tepat. Walaupun ahli meteorologi mampu meramal dengan baik, tetapi tidak akan pemah mampu untuk menghindari akibat buruk yang diakibatkan oleh curah hujan yang berlebihan atau masa kekeringan.
Bogor sering disebut sebagai kota hujan karena daerah Bogor secara rata-rata memiliki intensitas hujan dan curah hujan cukup tinggi. Curah hujan yang berlebihan di daerah Bogor dapat menyebabkan terjadinya bencana banjir yang bisa melanda daerah lain, misalnya Jakarta, yang dikenal dengan istilah banjir kiriman. Dalam mengantisipasi akibat buruk dari curah hujan yang berlebihan, dibutuhkan informasi ramalan berkenaan dengan kejadian-kejadian ekstrim maksimum eurah hujan.
Penggunaan model sebaran yang dapat menggambarkan pola kejadian ekstrim curah hujan akan sangat membantu keakuratan pendugaan parameter dan peramalan kejadian ekstrim curah hujan selanjutnya. Sebaran nilai ekstrim terampat
(Generalized Extreme Value, GEV) cukup baik digunakan dalam mengkaji nilai
ekstrim curah hujan karena karakteristik nilai-nilai ekstrim dapat ditunjukkan oleh sebaran GEV yang diperoleh (Coles dan Tawn 1996, diacu dalam Sadik 1999). Selanjutnya, Sadik (1999) melalui hasil penelitian menyimpulkan bahwa pemodelan dengan GEV sangat bermanfaat untuk melihat karakteristik nilai ekstrim dalam suatu proses lingkungan tertentu, curah hujan harian misalnya, karena fungsi tersebut mengandung parameter
S
yang memberikan interpretasi mengenai perilaku ekor kanan fungsi peluangnya yang mengandung nilai-nilai ekstrim.Untuk memperkecil akibat buruk karena adanya kejadian ekstrim curah hujan, dibutuhkan suatu anal isis yang mengkaji kejadian-kejadian ekstrim tersebut. GEV merupakan suatu sebaran yang dikembangkan untuk mengkaji kejadian-kejadian ekstrim. Penerapan sebaran ini biasanya dilakukan dengan tahapan : (I) pemeriksaan pola sebaran data, (2) pendugaan parameter, (3) grafik fungsi kepekatan peluang dan (4) tingkat pengembalian.
Berbagai metode pendugaan parameter telah dikembangkan antara lain metode
Maximum Likelihood (ML) dan metode Least Square (LS). Berkaitan dengan
pendugaan parameter, perlu ditelusuri lebih lanjut guna mengetahui seberapa jauh keakuratan dan kestabilan metode ML dan LS dalam menduga parameter.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan kerangka pikir yang dituangkan dalam latar belakang penelitian, maka dirumuskan tujuan penelitian sebagai berikut :
I. melakukan pembandingan antara metode Maximum Likelihood (ML) dan
metode Least Square (LS) dalam pendugaan parameter sebaran GEV.
2. mengkaji dan menganalisis data curah hujan maksimum dengan menggunakan GEV.
TINJAUAN PUSTAKA
Curah Hujan
Faktor pertama yang mempengaruhi cuaca adalah matahari, dan hujan merupakan penyeimbang atmosfer yang besar. Secara meteorologis, air merupakan unsur pokok paling penting dalam atmosfer bumi. Air terdapat sampai pada ketinggian 12,000 hingga 14,000 m, dalam jumlah yang kisarannya mulai dari nol di atas beberapa gunung serta gurun sampai empat persen di atas samudera dan laut. Bila seluruh uap air berkondensasi (atau mengembun) menjadi cairan, maka seluruh permukaan bumi akan tertutup dengan curah hujan kira-kira sebanyak 2.5 em. Berdasarkan pengetahuan mengenai mekanika curah hujan diungkapkan bahwa empat perlima dari seluruh energi matahari yang mencapai bumi habis untuk menguapkan air, dan jumlah air yang terlibat lebih kurang 396,000 kilometer kubik setahun. Antara saat menguap ke atmosfer dan saat tercurahnya kembali ke bumi, lebih kurang satu milyar ton air hujan tercurah ke bumi setiap menit (Thompson & O'Brien, 1983).
Di banyak tempat di bagian dunia ini, hujan terjadi secara musiman, tetapi di daerah khatulistiwa, terutama di daerah khatulistiwa yang basah, hujan secara teratur sering terjadi. Adanya curah hujan, di satu sisi memberikan keuntungan tetapi di sisi lain dapat mengakibatkan malapetaka bagi manusia karena hujan dapat saja mencuci habis tanahnya dan menghanyutkan senyawa mineral yang penting.
Salah satu batasan yang melandasi pengertian curah hujan yaitu tinggi air hujan (dalam mm) yang diterima permukaan sebelum mengalami aliran permukaan, evaporasi dan peresapan/perembesan ke dalam tanah (Handoko el al., 1988). Oleh
Sosrodarsono dan Takeda (1987), intensitas curah hujan atau disebut juga derajat curah hujan adalah jumlah curah hujan dalam suatu satuan waktu (biasanya dalam mm/jam), dan dapat dibaca dari kemiringan (tangens kurva) yang dicatat oleh alat ukur curah hujan otomatis.
Berdasarkan inforrnasi yang diperoleh dari Badan Meteorologi dan Geofisika (BMG), tinggi curah hujan I mm sarna dengan jumlah air hujan sebanyak I liter dalam luasan I meter persegi ( I mm = I Iiter/m2 ). Keadaan curah hujan dikatakan
musim kering jika curah hujan kurang dari 50 mmllO hari
«
50 mmllO hari) dan musim hujan jika curah hujan mencapai lebih dari atau sarna dengan 50 mmllO hari(2: 50 mmllO hari). Kriteria hujan dalam sehari dibedakan atas: • ringan : 5 - 20 mm/hari
• normal : > 20 - 50 mm/hari • lebat : > 50 - 100 mm/hari • sangat lebat : > 100 mm/hari
Teori Nilai Ekstrim (Extreme Value Theory - EVT)
Untuk menghindari akibat buruk dari kejadian ekstrim curah hujan, sangatlah penting untuk memberi perhatian secara khusus terhadap nilai-nilai ekstrim, mengingat ketidakmampuan manusia untuk menghindar atau membebaskan diri dari bencana yang dapat ditimbulkan oleh fenomena curah hujan.
Salah satu teori yang secara khusus membahas kejadian-kejadian ekstrim adalah EVT (Extreme Value Theory). EVT memberi perhatian pada inforrnasi
kejadian-kejadian ekstrim berdasarkan nilai-nilai ekstrim yang diperoleh untuk membentuk fungsi sebaran dari nilai-nilai ekstrim tersebut. Analisis terhadap nilai-nilai ekstrim fenomena curah hujan sangatlah penting, terutama bagi pemerintah dan departemen terkait untuk pengambilan suatu kebijakan.
Dengan menganalisis kejadian ekstrim memungkinkan kita menduga kapan kejadian ekstrim akan terjadi (Chavez-Demoullin el al., 2001). Ungkapan ini berkaitan dengan teori : jika f adalah fungsi kontinu dan terdefinisi pada selang tertutup [a,b] , maka f akan memiliki nilai maksimum absolut dan nilai minimum absolut.
5
Dalam pemodelan nilai maksimum dari suatu peubah acak, Teori Nilai Ekstrim akan menyerupai Teori Limit Pusat (Central Limit Theorem) dalam memodelkan
jumlah peubah acak. Berdasarkan teori ini diketahui bahwa secara asimptotik nilai ekstrim curah hujan akan konvergen mengikuti fungsi distribusi GEV (Generalized Exlreme Value).
Misalkan XI , X2 , ... , Xn adalah peubah acak iid, maka X(n) = Max(XI , X2 , ..
. , Xn) konvergen pada sebaran :
(I)
dimana J.l adalah parameter lokasi, cr adalah parameter skala, dan
S
adalah parameter bentuk. Fungsi distribusi ini disebut distribusi GEV (Fisher-Tippet 1928, Gnedenko 1943, diacu dalam Bensalah 2000).Parameter bentuk
S
menentukan karakteristik ujung sebaran; jikaS
< 0 maka fungsi peluangnya mempunyai suatu titik ujung kanan yang terhingga dan jikaS
~ 0 fungsi peluangnya akan mempunyai suatu titik ujung kanan yang tak terhingga (Coles dan Tawn1996, diacu dalam Sadik 1999).Distribusi nilai ekstrim terampat yang diperkenalkan oleh Jenkinson (1955), merupakan kombinasi dari tiga tipe distribusi terbatas untuk nilai ekstrim menjadi satu bentuk tunggal seperti yang diturunkan oleh Fisher dan Tippett (Hosking et al.
1985). Ketiga bentuk tunggal yang dimaksud adalah distribusi Gumbel, distribusi Frc:chet dan distribusi Weibuli, dengan persamaan masing-masing :
{
o
;x:'Sa G(x) =eX1-(x~ar}
;x>a (3)ex~-[-( x~a
)r};
x
<a
G(x) = { 1 . x> a ,-(4)
di mana a adalah parameter lokasi, b > 0 adalah parameter skala dan a > 0 adalah parameter bentuk (Stephenson, 2003).
Bentuk parametrik dari GEV akan mengarahkan pada distribusi Gumbel untuk limit
1;
-+ 0, distribusi Frechet jika1;
> 0 dan distribusi Weibull jika1;
< O. Kombinasidari (2), (3) dan (4) akan diperoleh distribusi GEV setelah parametemya ditentukan seperti berikut : untuk distribusi Frechet pararnetemya ditentukan menjadi
1;
= ;. > 0,0" =
*
> 0 dan J.l = a + b ; sedangkan distribusi Weibull parametemya ditentukan menjadi 1;= -
-i;
< 0, 0"=
*
> 0 dan J.l=
a-b.Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi GEV untuk beberapa nilai parameter yang berbeda disajikan pada gambar berikut. Untuk Gambar I, nilai parameter J.l
berbeda sedangkan nilai parameter 0" dan
1;
tetap; untuk Gambar 2, nilai parameter 0"berbeda sedangkan nilai parameter J.l dan
1;
tetap; untuk Gambar 3, nilai parameter1;
berbeda sedangkan nilai parameter Ii dan G tetap.7
mu=O, sig=1 dan xi=O.2
-5 -0,1 5 ,10 15
'"
,
mu=1, sig=1 dan xi=O.2 mu=1.5, slg=1 dan xi=O.2
0;.t-1 0,31 g 0,2 0,1 i -5 -0,1 D 5 10 15 20
,
,
Gambar 1. GrafIk tkp untuk nilai J.1 berbeda dan nilai G, ~ tetap
mu=O.3, sig=2 dan xi=O.2
-5 o 5 10
"
mu=C.3, $1g=2.5 dan xi=O.2 mu=O.3, sig=3 dan x/=O.2
[-' -._ !i~~
-5 o 5 10
"
20 -5 o 5 10"
20mu=O.S, sig=3.S dan xi=-O.2
>< " :-f(x),~
~
"~
e _ ' _~~l
__ _
-20 a 10 20
mu=O.5, sig=3.S dan xi=O.2 mu=O.5, Sig=3.5 dan xi=O.1
0,15
-,-~"
,_,,-f{X),-20 -10 ...Q-,O&.9 10
•
Gambar 3. Grafik fkp untuk nilai ~ berbeda dan nilai 11, cr tetap
Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter untuk menentukan nilai jt,
iT
dan ~ dilakukan dengan metode Maximum Likelihood (ML) dan metode Least Square (LS).o Metode Maximum Likelihood (ML)
Fungsi kemungkinan untuk tiga parameter yang tidak diketahui dari GEV dirumuskan oleh Gilli dan Kellezi (2003) :
LCu,a,~lx)=
TI!(x,)
(5)9
f(,u,lT,q
I
x)
= (6)I
J
x-,u) [ (x-,u)]
IT ex"\..- --;;- exp - exp - --;;- ,
q
=
0Sehingga diperoleh log fungsi kemungkinan sebagai berikut :
" ( x-,u)"( x-,u)-t;
{
-nIOglT-(t+I)f:
.. , log
I+q~
-.
~ l+q~
,
q;tOlog
L(,u,lT,q
I
x)
=
(7)" (x -,u) " (x -,u)
-nloglT-~ ~ -~exp -~ ,~=O
Untuk
q;t
0, dugaan parameter dihitung berdasarkan persamaan 8, 9, 10, dan ditentukan dengan cara iterasi menggunakan progmm Toolkit R versi 1.8.0(
1 +q)t(
\
~ )-~
t[l+qX' -
,uJ-t;-1
=
0
(8)
U i_I 1 +~ ---u- a ;=) a
t i(XI -
,u)(1
+q
X, -
,u)-X-'
=
0
(10)
1:1 a a
Untuk
q
=
0, dugaan parameter dihitung berdasarkan persamaan II, 12, dan ditentukan dengan cara iterasi menggunakan program Toolkit R versi 1.8.0n I
~
(Xi -
fJ)
- - - L...exp - - - =0 a (T' ; ... 1 a (I I) n n ( x, -fJ)
n (Xi -
fJ)
(Xi -
fJ)
--+L --,-
+L --,-
exp - - - =0 (J' ;=1 (J ;=1 (J' a (12)o Metode Least Square (LS)
Misalkan suatu gugus pengamatan XI, X" .•. , Xn dengan tatanan yang disusun
dari amatan terkecil ke terbesar x(I)o X(2)o ... , X(n)' Fungsi reliabilitas R(x) dirumuskan
sebagai berikut :
R(x)
=
I -Pi (13)dimana Pi adalah proporsi teramati dari pengamatan yang lebih kecil atau sarna dengan XCi). Rumus Hazen untuk Pi , secara umum mempunyai bias terkecil untuk
I b 20 kn· i - O.S d k I k '1 k .
sampe esar n> ya I p, = - - , an untu sampe eCI a an sesu31 n
i-O.S
menggunakan rumus P = (Wolstenholme, 1999). Selanjutnya R(x) akan , n+0.4
diduga dengan fungsi reliabilitas empirik R(x) = 1-Pi = 1-i - O.S n
Jika F merupakan distribusi GEV dan R(x) fungsi reliabilitas, maka :
R(x)
=
I - F(x)atau
(14)
(IS)
t(I-{-ln[I-R(x)W)=-~+~x; ~
",0 dan-O.S<~<O.S
(16) Persamaan (16) modelnya sarna dengan bentuk linear y = a + bx dengany=t(I-{-ln[I-R(x)lY), a=
-~ danb=~.
Dalam praktek, berdasarkan hasil penelitian, nilai parameter bentuk biasanya terletak pada kisaran -O.S < ~ < O.S ; seperti yang direkomendasikan oleh Natural Environment Research Council - NERC (l97Sa) dengan 32 data banjir tahunan
1 1
menggunakan distribusin GEV dengan metode Maximum Likelihood: nilai parameter bentuk yang diestimasi berkisar -0.32 sampai 0.48 (Hosking et al. 1985).
Penentuan Nilai Ekstrim Curah Hujan
Penentuan nilai-nilai ekstrim menurut Gilli dan Kellezi (2003) dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :
I. dengan mengambil nilai-nilai maksimum dalam suatu periode, misalnya periode mingguan atau bulanan; pengamatan atas dari nilai-nilai ini dianggap sebagai nilai-nilai ekstrim.
2. dengan mengambil nilai-nilai yang melampaui suatu nilai threshold; seluruh nilai-nilai yang melampui threshold u (ambang u) dianggap sebagai nilai-nilai ekstrim.
Dalam penelitian ini, nilai ekstrim curah hujan diambil satu nilai tertinggi untuk setiap periode mingguan.
Plot Quantil-Quantil
Eksplorasi data merupakan salah satu cara untuk pendeteksian awal pendugaan distribusi suatu data. Plot kuantil-kuantil yang sering disebut plot
Q-Q
atau plot peluang berfungsi untuk pemeriksaan kesesuaian data, dimana plotQ-Q
bertujuan untuk memeriksa kesesuaian pola sebaran data terhadap pola sebaran teoritik.Pada dasamya penetapan nilai kuantil dapat dilakukan setelah data diurutkan dari nilai terkecil sampai nilai yang terbesar. Misalkan untuk sekelompok data Xi ,
dimana i = 1,2, ... , n ; setelah diurutkan diperoleh kelompok data lain y" Y2 , ••• , Yi ,
•.• , Yn , maka Yi adalah PI kuantil empiris atau Q(Pi) = Yb i = I, 2, ... ,n untuk
P; = i - 0.5 . Jika F(y) merupakan fungsi sebaran kumulatif dari sebaran teoritis, P n
kuantil dari F dimana 0 <p< I, maka F{ Qt(P;}} = Pi atau Qt(Pi)
=
F'(Pi) untuk i=
I, 2, '" , n. Ini memberi pengertian bahwa Pi fraksi dari sebaran peluang teoritis akan terjadi pada nilai-nilai yang lebih kecil atau sarna dengan Qt(Pi) yaitu Pi kuantilteoritis, sedangkan Pi fraksi dari data akan terjadi pada nilai-nilai yang lebih kecil atau
sama dengan Q.(PI) yaitu PI kuantil empiris (Chambers et 01., 1983).
Plot
Q-Q
semacam ini banyak digunakan untuk memeriksa kenonnalan data. Misalnya jika XI, X2, .. , Xn diasumsikan sebagai data dari sebaran N(/!,<1) maka asumsi ini dapat diperiksa dengan melakukan transfonnasi Yi = (xi-/!)/a terlebih dahulu sehingga data YI, Y2, ... , Yn akan merupakan data dari sebaran nonnal baku N(O, I). Kemudian diplot antara Y(i) dengan kuantil teoritik Q,(Pi) yang sebaran teoritisnya adalah N(O,!). Jika plotQ-Q
cenderung memiliki pola garis lurus, maka hal ini berindikasi bahwa data cenderung mendekati sebaran teoritis.Sebaran data yang diasumsikan menyebar Gamma menggunakan transformasi akar pangkat tiga dan pemeriksaan kesesuaian model dengan data dilakukan plot
Q-Q
antara (Y(i)I/l dengan (Q,(Pi»I13, karena secara teoritis jika Y menyebar Gamma maka sebaran bagi Y 113 dapat didekati dengan sebaran nonnal (Chambers et 01., 1983).
Langkah-Iangkah pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data terhadap pola sebaran teoritik dengan plot
Q-Q
adalah sebagai berikut :I. Data diurutkan dari yang kecil ke besar misalnya Y(I), Y(2), ... , Y(il , ... , y(n) 2. Untuk setiap y(i), hitung nilai Pi
=
(i-O.S)/n ; plot Y(i) dengan Pi adalah plotkuantil empirik
3. Untuk setiap Pi tentukan nilai FI(p,)
=
Q(Pi) dengan bantuan tabel sebaran nonnal baku. Plot antara Q(Pi) dan Pi adalah plot kuantil teoritik.4. Plot antara y(\) dengan Q(Pi) merupakan plot kuantil-kuantil.
Uji Kolmogorov-Smirnov
Pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data dengan sebaran teoritis dapat dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smimov. Siegel (1986) mengungkapkan bahwa uji Kolmogorov-Smimov merupakan suatu tes goodness of fit di mana yang
diperhatikan adalah tingkat kesesuaian antara distribusi serangkaian harga sampel (skor yang diobservasi) dengan suatu distribusi teoritis tertentu. Uji ini menetapkan suatu titik di mana kedua distribusi memiliki perbedaan terbesar.
13
Misalkan Fo(x) adalah suatu fungsi distribusi frekuensi kumulatif teoritis dalam hal ini sebaran GEV. Untuk N yang sembarang besamya, harga Fo(x) adalah proporsi kasus yang diharapkan mempunyai skor :5 x. Misalkan pula S,..{x) adalah distribusi frekuensi kumulatif yang diobservasi dari suatu sampel aeak dengan N observasi dan x adalah sembarang skor yang mungkin maka S,..{x) =
11
di mana k banyaknyaobservasi :5 x. Dengan menetapkan hipotesis nol
Ho :
Fix) = S,..{x) bahwa sampel suatu observasi berasal dari distribusi teoritis tertentu, maka diharapkan untuk setiap harga x, S,..{x) hams mendekati Fix) artinya selisih antara Fo(x) dan S,..{x) keci!. Uji Kolmogorov-Smirnov memusatkan perhatian pada penyimpangan terbesar (deviasi maksimum) yang dimmuskan :D = maksl Fo(x) - S,..{x)
I
(17)Nilai kritik D untuk N :5 35 tersedia dalam tabel, sedangkan N > 35 untuk dua arah pada
a
= 0.05 dapat menggunakan pembagian*
dan padaa
= 0.01 dapat menggunakan pembagianTtl.
Dengan demikian, jika D ::: ~ padaa
= 0.05 atau D::: ¥ff
padaa
=
0.0 I maka signifikan, artinya observasi tidak mengikuti distribusiteoritis.
Tingkat Pengembalian (return level)
Dalam praktek, besaran/kuantitas yang menjadi perhatian bukan hanya tertuju pada pendugaan parameter itu sendiri, tetapi pada kuantil yang juga disebut sebagai tingkat pengembalian (return level) dari penduga GEV. Nilai dugaan tingkat pengembalian eurah hujan maksimum yang diperoleh akan dipakai untuk validasi pada data curah hujan.
Jika F adalah sebaran dari nilai maksimum untuk pengamatan pada jangka waktu yang sarna, maka tingkat pengembalian akan mengikuti persamaan berikut :
dimana yl adalah fungsi kuantil dari fungsi sebaran F, k adalah jangka waktu dan p adalah periode. Nilai tingkat pengembalian merupakan nilai maksimum yang diharapkan akan dilampaui satu kali dalam jangka waktu k dengan periode p, atau dengan kata lain dalam k jangka waktu, curah hujan akan mencapai nilai maksimum
R;
satu kali (Gilti dan Kellezi,2003).
Setelah dugaan parameter jJ,a
dan .; didapat dan disubstitusikan pada (18), maka dugaan tingkat pengembalian :i
jJ+~
[(-In(I-+))-< -I] ,
~,.
0
Ak
R -p
jJ-alog[-log(l-t)], ~=O
DATA DAN METODE
Data
Dua jenis data yang akan digunakan untuk keperluan analisis yaitu data bangkitan dengan GEV dan data curah hujan harian (data amatan).
Gugus data bangkitan terdiri atas 125 gugus data dengan kombinasi nilai parameter f! = 0, 0.5, 1, 1.5, 2; cr = 1, 1.5, 2, 2.5, 3 dan ~ = -0.45, -0.225 , 0, 0.225, 0.45 dan setiap gugus data terdiri atas 260 data yang dibangkitkan dengan GEV. Gugus data bangkitan digunakan untuk keperluan pembandingan antara metode
Maximum Likelihood (ML) dan metode Least Square (LS) dalam pendugaan
parameter.
Data curah hujan harlan selang 7 tahun dari tahun 1999 sampai tahun 2005 diperoleh dari Badan Meteorologi dan Geofisika (BMG), Balai Wilayah II, Stasi un Klimatologi Darmaga, dan data ini akan dianalisis dengan menggunakan GEV.
Metode
Metode pendugaan parameter
Data yang digunakan adalah data bangkitan. Pembandingan dilakukan antara metode Maximum Likelihood (ML) dan metode Least Square (LS) terhadap nilai
dugaan parameter yang diperoleh. Langkah-Iangkah analisis data sebagai berikut : MetodeML
I. Membentuk fungsi kemungkinan maksimum (tkrn)
2. Mencarl turunan parsial pertama dari log tkrn
3. Menduga parameter dengan bantuan paket program Toolkit R versi 1.8.0 tahun 2003
MetodeLS
M h· 'I'f; . I' b'I' R"() I I i-0.5
1. eng Itung nt al ungsl re la I ItaS x
= -
Pi=
-n
2. Menentukan nilai y dengan rumus y
=
t(l- {-In[l-R(x)]}<) untuk~
.. 0 dan -0.5 < ~ < 0.5 dengan paket program Excel 20003. Menentukan persamaan regresi berbentuk y = a + bx dengan paket program
Minitab \3
4. Menghitung dugaan parameter f! dan cr dengan rumus a =
-1;-
dan b = ;;. Selanjutnya untuk menetapkan metode mana yang memberikan dugaan relatif lebih baik, dipakai kriteria sebagai berikut :a. Membandingkan jarak antara keseluruhan vektor nilai dugaan parameter hasil anal isis dengan vektor parametemya untuk masing-masing metode ML dan LS. Jarak yang terpendek dipakai sebagai indikasi penduga parameter yang lebih baik. b. Menghitung rata-rata dan ragam dari nilai dugaan masing-masing parameter dari metode ML dan LS. Jika nilai rata-rata mendekati nilai parameter dan ragamnya relatif kecil, hal ini menjadi indikasi keakuratan dan kestabilan metode penduga parameter yang dipakai. Dengan demikian metode tersebut lebih baik memberikan pendugaannya.
Analisis data curah hujan maksimum
Plot data curah hujan merupakan langkah awal yang dikerjakan untuk melihat bagaimana variasi dari data amatan. Hal ini penting sebagai informasi awal pengkajian kejadian-kejadian ekstrim curah hujan. Langkah-Iangkah anal isis selanjutnya sebagai berikut :
~ Penentuan nilai-nilai ekstrim dari data curah hujan harian dilakukan dengan mengambil satu nilai tertinggi dalam setiap periode mingguan. Jika terjadi hujan setiap minggu dalam setahun, maka akan terdapat 52 nilai ekstrim data amatan yang akan diikutsertakan dalam anal isis selanjutnya.
17
»
Melakukan eksplorasi data amatan melalui plot Q-Q untuk memeriksa pola sebaran data.»
Menentukan nilai dugaan parameter dengan bantuan paket program Toolkit R versi 1.8.0»
Menentukan nilai tingkat pengembalian curah hujan. Nilai yang didapat memberikan gambaran curah hujan maksimum yang diharapkan dapat dilampaui satu kali dalam jangka waktu tertentu. Nilai tingkat pengembalian akan dipakai untuk validasi pada data curah hujan tahun 2004-2005 dengan langkah-Iangkah sebagai berikut :• untuk menduga curah hujan maksimum tiga bulan ke depan sesudah tanggal 31 Desember 2003 (I Januari - 31 Maret 2004) digunakan anal isis data selang
I Januari 1999 - 31 Desember 2003
• untuk menduga curah hujan maksimum I April - 30 Juni 2004 (tiga bulan ke depan sesudah tanggal 31 Maret 2004) digunakan analisis data selang I Januari 1999 - 31 Maret 2004
• untuk menduga curah hujan maksimum antara I Januari - 31 Maret 2005 digunakan anal isis data selang I Januari 1999 - 31 Desember 2004
Analisis peramalan
Untuk peramalan akan menggunakan data sebenarnya periode 1 Januari 1999-31 Desember 2004 ditarnbah dengan nilai-nilai dugaan selama 12 minggu (3 bulan). Selanjutnya, analisis peramalan juga dilakukan untuk 52 minggu (satu tahun) ke depan, di mana nilai-nilai dugaan tersebut dianggap seolah-olah sebagai nilai sebenarnya (nilai aktual). Model dugaan yang diperoleh akan digunakan untuk aplikasi satu tahun kemudian (tahun 2006). Analisis ini dilakukan untuk mengkaji hasil ramalan tiga bulan ke depan atau satu tahun yang akan datang.
Pembandingan Pendugaan Parameter
Dikaitkan dengan kebutuhan pendugaan parameter, telah banyak dikembangkan metode pendugaan yang disesuaikan dengan masalah yang dihadapi. Keakuratan dugaan parameter yang dihasilkan oleh suatu metode penduga terhadap data curah hujan maksimum akan sangat membantu dalam soal peramalan.
Pembandingkan antara metode Maximum Likelihood (ML) dan metode Least Square (LS), untuk menduga parameter lokasi ft, parameter skala cr dan parameter bentuk ~ digunakan data bangkitan dengan GEV.
Berdasarkan kriteria yang dipakai, diperoleh hasil analisis sebagai berikut : a. Kriteria jarak antara vektor keseluruhan nilai dugaan parameter hasil analisis
dengan vektor parametemya untuk metode ML dan LS.
Jarak (J) vektor nilai dugaan parameter menggunakan metode ML dengan nilai aktual (NA) parametemya adalah :
125 125 125
J(ML;NA)
=
" . L...(PMl, -p,) 2 ' " + 2 , , ' 2L...(aML, -a,) + L...(~Ml, -~,) =2.25\ (20)
;=1 ;=1 ;=)
Jarak (J) vektor keseluruhan nilai dugaan parameter menggunakan metode LS dengan nilai aktual (NA) parametemya adalah :
J(LS;NA)
=
125 125 125 A
L(,ul.<, -
p,)2 +L(a-I.<,
_0',)2 + L(~I.<, _~,)2 = 24.372 (21)I-I i_I i_I
Hasil pada persamaan (20) dan (2\) menunjukkan bahwa metode ML memberikan dugaan dengan jarak yang lebih pendek dibandingkan metode LS, hal ini menjadi indikasi bahwa metode ML menghasilkan nilai dugaan parameter relatif lebih baik dari pada metode LS.
b. Kriteria rata-rata dan ragam nilai dugaan masing-masing parameter dari metode ML dan LS, hasilnya seperti pada Tabel I.
19
Tabel I. Rata-rata dan ragam dugaan parameter metode ML dan LS
Nila; aktual MetodeML Metode LS
parameter Rata-rata Ragam Rata-rata Ragam
dugaan dugaan 1'-0 -0.0236 0.0210 *-0.1380 0.1105' I' ~ 0.5 0.4737 0.0192 0.1500 2.0933b I'~I 1.0218 0.0201 0.7480 0.8743b I' ~ 1.5 1.4811 0.0236 1.3751 0.1347b 1'~2 2.0136 0.0435 1.9620b 0.0501 (J~I 0.9954 0.0030 1.1 030 0.0961b (J ~ 1.5 1.4995 0.0069 1.6560 0.6272b (J~2 2.0391 0.0093 2.2830 0.3691b (J ~ 2.5 2.5161 0.0260 2.6540 0.2094b (J~3 3.0214 0.0232 3.2283 0.3616b ~ ~ -0.45 -0.4560 0.00\3 *0.4368b 0.0012 ~~-0.225 -0.2306 0.0018 *0.2292b 0.0021 ~~O ·0.0113 0.0022 0.0232 0.0032 ~~0.225 0.2239 0.0030 *-0.2170b 0.01 \3b
S
~ 0.45 0.4651 0.0018 *-0.4404b 0.0055b Keterangsn : Pada a - 0.05b) rata-rata atau ragam dugaan metode ML dengan LS berbeda
*) rata-rata dugaan metode ML atau LS berbeda dengan nila; parametemya
Hasil pada Tabel I menunjukkan rata-rata dugaan parameter dengan metode ML tidak berbeda dengan nilai parameter aktualnya, sedangkan rata-rata dugaan parameter dengan metode LS berbeda dengan nilai parameter aktualnya, yaitu pada 11
=
0 dan ~=
-0.45, -0.225, 0.225, 0.45. Selanjutnya, rata-rata dugaan parameter metode ML dan LS relatif sarna, tetapi ragam dugaan parameter dengan metode ML umumnya relatif lebih kecil dari metode LS. Hal ini berarti metode ML memiliki keakuratan dan kestabilan yang lebih baik dari pada metode LS. Dengan demikian dugaan parameter dengan metode ML relatif lebih baik dibandingkan metode LS.Secara visual dugaan parameter dengan metode ML dan LS untuk masing-masing nilai aktual parameter lokasi (11), skala (0) dan bentuk @ dengan box plot
Gambar 4 memperlihatkan pembandingan dugaan antara metode ML dan LS untuk ke lima nilai aktual parameter lokasi J.l, yaitu antara muML = 0 dan muLS = 0,
muML
=
0.5 dan muLS=
0.5, muML=
I dan muLS=
I, muML=
1.5 dan muLS=
1.5, muML=
2 dan muLS=
2.mul5=2 muML=2 mul5=1.5 muML=1.5 mul5=l muML=l mul5=O.5 muML=O.5 mul5=O muML=O
*
-8 -6 Dugaan parameter mJ*
-4*
-2 Data*
*
-{]I-o
Gambar 4. Boxplot dugaan parameter J.l
2 4
Diagram kotak garis (box plot) pada Gambar 4, menunjukkan bahwa dugaan parameter lokasi f1 dengan metode ML dan LS relatif sarna (tidak berbeda) kecuali pada J.l
=
2. Hal ini dapat dilihat dari letak median (garis dalam kotak) cukup dekat dengan nilai aktualnya. Tetapi keragaman dugaan metode ML relatif lebih kecil dibandingkan dengan metode LS yang ditunjukkan dengan panjang kotak metode ML lebih pendek dari pada LS.21
Gambar 5 memperlihatkan pembandingan dugaan antara metode ML dan LS untuk ke lima nilai aktual parameter skala (J, yaitu antara sigML
=
1 dan sigLS=
1, sigML = 1.5 dan sigLS = 1.5, sigML = 2 dan sigLS = 2, sigML = 2.5 dan sigLS =2.5, sigML = 3 dan sigLS = 3.
sigLS=3 sigML=3 sigLS=2.5 sigML=2.s sigLS=2 sigML=2 sigLS=1.5
*
sigML=1.5 sigLS=l sigML=lDugaan parameter sigma
--o::::J--
---rn---* ----c:D---rn---* ---rn---*
{ ] J-*
---m--
**
*
--[}----m-
*
-ID--m--
*
*
11-*
* *
*
*
, , L,-, ______ - , ________ , -______ - , ________ , -______ -.~o
1 2 3 4 5 DataGambar 5. Boxplot dugaan parameter (J
Diagram kotak garis (box plot) pada Gambar 5, menunjukkan bahwa dugaan parameter skala (J dengan metode ML dan LS relatif sarna (tidak berbeda). Hal ini dapat dilihat dari letak median (garis dalam kotak) kedua metode sangat dekat dengan nilai aktualnya. Tetapi keragarnan dugaan metode ML relatiflebih kecil dibandingkan dengan metode LS yang ditunjukkan dengan panjang kotak metode ML lebih pendek dari pada LS.
Gambar 6 memperlihatkan pembandingan dugaan antara metode ML dan LS untuk ke lima nilai aktual parameter bentuk ~, yaitu antara xiML = -0.45 dan xiLS =
-0.45, xiML = -0.225 dan xiLS = -0.225, xiML = 0 dan xiLS = 0, xiML = 0.225 dan xiLS = 0.225, xiML = 0.45 dan xiLS = 0.45.
xiLS=0.45 xiML=0.45 xiLS=0.225 xiML=0.225 xiLS=O xiML=O xiLS=-0.225 xiML=-0.225 xiLS=-0.45 xiML=-0.45 * { D --0.50 Dugaan parameter xi -0.25 0.00 Data 0.25
Gambar 6. Boxplot dugaan parameter ~
0.50
Diagram kotak garis (box plot) pada Gambar 6, menunjukkan bahwa dugaan parameter bentuk ~ dengan metode ML dan LS relatif berbeda kecuali pada
S
=o.
Halini ditunjukkan oleh letak median (garis dalam kotak) di mana dugaan metode ML dekat dengan nilai aktualnya sedangkan dugaan metode LS cUkup jauh dari nilai aktualnya. Demikian juga dengan keragaman dugaan metode ML relatif lebih kecil dibandingkan dengan metode LS yang ditunjukkan panjang kotak metode ML lebih pendek dari pada LS.
23
Anallsis Curah Hujan Maksimum
Daerah Bogor yang memiliki intensitas curah hujan yang paling tinggi adalab daerah Darrnaga. Menurut informasi yang diberikan oleh Badan Meteorologi dan Geofisika (BMG) di Darrnaga, daerah Darrnaga merupakan salah satu daerab yang sulit diprediksi mengenai curah hujannya karena sering tidak mengikuti pembagian musim yang umum berlaku di Indonesia yaitu musim kemarau terjadi antara bulan April sampai bulan September dan musim hujan antara bulan Oktober sampai bulan Maret. Data yang diperoleh mengenai jumlab hari hujan dan tinggi curah hujan selang tahun 1999-2005 dapat dilihat pada Tabel 2 berikut ini.
Tabel 2. Jumlah hari hujan dan curah hujan tabun 1999-2005 Banyaknya hari Rata-rata banyakoya hari Kisaran tinggi Tabun hujan (hari) Hujan perbulan (hari) curah hujan (mm)
1999 220 18.3 0.10 - 149.60 2000 233 19.4 0.10- 93.80 2001 227 18.9 0.10-107.50 2002 212 17.7 0.10-127.00 2003 220 18.3 0.10- 123.30 2004 256 21.3 0.20 - 141.60 2005 265 22.1 0.20 - 126.50
Data pada Tabel 2 menunjukkan babwa pada selang tahun 1999-2005 banyakoya hari hujan per tabun di atas 58 %, sedangkan rata-rata banyakoya hari hujan per bulan di alas 55 %. Ini berarti secara rata-rata daerah Darmaga sering turun hujan dengan variasi curab hujan yang cukup besar.
Kejadian curah hujan merupakan kejadian alam yang lebih bervariasi dibandingkan dengan unsur cuaca yang lain seperti kecepatan angin, suhu udara, kelembaban dan sebagainya.
Sebagai gambaran variasi curah hujan tahun 2002-2005 daerah Darmaga Bogor dapat dilihat pada gambar berikut :
Han Hari f 100 i j t '"
,
8 Hari HariGambar 7. Plot data curah hujan harlan daerah Darmaga Bogor tahun 2002-2005
Gambar 7 memperlihatkan fenomena curah hujan berupa kejadian-kejadian ekstrim yang menarik dan menjadi perhatian untuk dikaji dengan harapan dapat meminimumkan dampak buruk yang bisa saja teIjadi. Hal ini jika dibandingkan dengan kriteria hujan dalam sehari dari BMG bahwa curah hujan dikatakan normal >20-50 mm, maka secara berturut-turut selang tahun 1999-2005 hari hujan yang tidak masuk dalam kriteria normal sebanyak : 185 hari dari 220 hari hujan, 197 hari dari 233 hari hujan, 188 hari dari 227 hari hujan, 154 hari dari 212 hari hujan, 158 hari dari 220 hari hujan, 217 hari dari 256 hari hujan dan 220 hari dari 265 hari hujan. Kejadian ekstrim curah hujan daerah Darmaga selang tahun 1999 sampai tahun 2005 akan dianalisis dengan menggunakan sebaran nilai ekstrim terampat
25
parameter, tetapi juga untuk pemeriksaan kesesuaian pola sebaran dan tingkat pengembal ian.
Eksplorasi data dilakukan melalui plot
Q-Q
terhadap kejadian ekstrim curah hujan periode 1999-2003 dan 1999-2004 seperti pada gambar 8 dan 9 berikut ini.Quantile Plot ~ ~---~ ~ / /-6
o
50 100 150 ModelGambar 8. Plot
Q-Q
curah hujan tahun 1999-2003 Quantile Plotg
~---~ o a 50 100 150 ModelGambar 9. Plot
Q-Q
curah hujan tabun 1999-2004Hasil eksplorasi dengan plot
Q-Q
menunjukkan bahwa plot kuantil-kuantil cenderung membentuk pola garis lurus, hal ini menjadi suatu indikasi bahwa data mengikuti distribusi GEV (data mengikuti distribusi teoritis). Lebih lanjut, pemeriksa kesesuaian pola sebaran dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smirnov (Siegel, 1986). Pada u=
0.05 nilai kritis D=
0.054 <Jffi
=
0.086 (Gambar 8) dan D=
0.048 <Jill
=
0.084 (Gambar 9) maka Ho diterima, berarti data curah hujan maksimum mengikuti sebaran teoritis (sebaran GEV).Hasil dugaan parameter lokasi jl, parameter skala iT dan parameter bentuk ~ data eurah hujan diberikan dalam Tabel 3 berikut ini.
Tabel 3. Nilai dugaan parameter data eurah hujan
N ilai Parameter
Data anal isis f.1 iT
q
1 Jan.1999-31 Des.2oo3 26.05100 21.15777 0.03515 1 Jan. 1999-31 Maret 2004 26.27889 21.21421 0.02886 1 Jan. 1999-30 Juni 2004 26.73681 21.54522 0.01765 1 Jan. 1999-30 Sept.2004 26.64185 21.58364 0.03778 1 1an. 1999-3 1 Des.2004 26.27889 21.21421 0.02886 1 Jan. 1 999-31 Maret 2005 28.82330 22.83381 0.01615 1 Jan. 1999-30 Juni 2005 29.48148 23.29036 0.00699 1 Jan. 1999-30 Sept.2005 29.34353 23.16561 0.00892
interpretasi terhadap parameter lokasi ~ menggambarkan letak titik pemusatan data dan parameter skala cr menggambarkan bentuk dari fungsi peluangnya atau menyatakan pola keragaman data. Sedangkan parameter ~ menggambarkan perilaku titik ujung kanan dari fungsi peluangnya. Menurut Coles dan Tawn (\996) dalam Sadik (1999), jika ~ < 0 maka fungsi peluangnya akan mempunyai titik ujung kanan yang terhingga dan jika ~ ~ 0 maka fungsi peluangnya akan mempunyai titik ujung kanan yang tak terhingga.
HasH analisis pada Tabel 3 menunjukkan nilai dugaan parameter lokasi Il yang paling besar pada periode I lanuari 1999 - 30 Juni 2005 dengan titik pemusatan data terjadi pada 29.48 mm, dan yang paling keeil pada periode 1 Januari 1999 - 31 Desember 2003 dengan titik pemusatan data pada 26.05 mm. Pada I Januari 1999-30 Juni 2005 dimungkinkan terjadinya eurah hujan yang menjauh dari titik pemusatannya, yang ditunjukkan dengan nilai parameter skala cr yang paling besar yaitu 23.29 mm. Analisis data untuk semua periode mempunyai nilai parameter
27
bentuk
S
> 0 berarti fungsi peluangnya mempunyai titik ujung kanan yang tak terhingga. Berdasarkan hasil pada Tabel 3, semua nilai dugaan parameter bentuk(shape parameter)
S
berada pada kisaran -0.5 <S
< 0.5. Hal ini sejalan dengan penggunaannya dalam praktek seperti yang diungkapkan oleh NECR (Natural Environment Research Council, I 975a) (Hosking at al. 1985).Untuk data curah hujan selang tahun 1999-2003 (5 tahun) dan selang tahun 1999-2004 (6 tahun), diperoleh hasil dugaan hampir sarna untuk ketiga parameter. Tahun 1999-2003 diperoleh dugaan parameter f!
=
26.051, cr=
21.158 danS
=
0.035, dan tahun 1999-2004 dugaan parameter f!=
26.279, cr=
21.214 danS
=
0.029. Dengan menggunakan hasil ini dan persamaan (6), diperoleh persamaan fungsi kepekatan peluang peri ode 1999-2003 [/9903(X)] dan periode 1999-2004 [/990ix)] se bagai berikut :/990'
(x)=
0.04726[1 + 0.00166(x - 26.051)]-294495 exp{-[I + 0.0166(x - 26.051)]-284495} (22)/9904
(x)=
0.04714{1 + 0.00 136(x - 26.279)r35650 exp{--[I + 0.0 136( x - 26.279W34650} (23)Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) persamaan (22) dan (23) ditunjukkan melalui Gambar 10 dan II berikut ini :
Densfty Plot Density Plot
*
:~
if
f\
~
0 ,r
~" 71-\
oh
§ 0 0 50 100 150 0 50 100 150,
,
Tingkat Pengembalian
Pada kenyataannya, perhatian kita bukan hanya tertuju pada pendugaan parameter itu sendiri, tetapi pada kuantil yang juga disebut sebagai tingkat pengembalian (return level) dari penduga GEV.
Analisis tingkat pengembalian curah hujan daerah Bogor khususnya daerah Darmaga, dimaksudkan untuk memberikan gambaran seberapa besar suatu nilai maksimum yang diharapkan secara rata-rata dapat di\ampaui satu kali dalam jangka waktu tertentu. Nilai tingkat pengembalian curah hujan yang diperoleh dapat dijadikan sebagai patokan untuk peramalan terjadinya curah hujan maksimum dengan peluang tertentu. Dengan menggunakan persamaan (19) dan hasi\ pada Tabel 3 diperoleh persamaan tingkat pengembaJian curah hujan tahun 1999-2003
(i¢xJ3 )
dan tahun 1999-2004(R:.o. )
dengan periode p = 1 minggu sebagai berikut :R:m3
=
26.051 +601.92802{[-ln(\-t)r'()03515 -I} (24) R~04 = 26.27889+ 57 1.29804 I{[ _In(\_t)ro02886 -I} (25) Grafik persamaan tingkat pengembalian curah hujan periode 1999-2003 dan periode 1999-2004 ditunjukkan melalui Gambar 12 dan 13 berikut ini :Return Level Plot
a; ii';
---' 8 E ~ ;; co'"
en co 1 e-01 1 0..01 1 • ..03 Return PeriodGambar 12. Tingkat pengembalian curah hujan tahun 1999-2003
Return Level Plot
1 0-01 1 • ..01 1 • ..03
Return Period
Gambar 13. Tingkat pengembalian curah hujan tahun 1999-2004
29
Keakuratan informasi mengenai ramalan curah hujan maksimum menjadi cukup berarti dikaitkan dengan kepentingan bidang pertanian pada khususnya, bahkan kepentingan umum untuk meminimumkan risiko yang bisa terjadi. Validasi data curah hujan maksimum dilakukan pada tahun 2004 dan 2005, dan hasil dugaan tingkat pengembalian curah hujan dengan peluang sebesar p = 0.083 disajikan pada Tabel 4 berikut ini :
Tabel 4. Tingkat pengembalian curah hujan 12 minggu ke depan
Data analisis curah hujan Tingkat pengembalian Realisasi teljadinya
maksimum curah huian (mm) curah hujan (mm)
1 Jan. 1999-31 Des.2oo3 79.99 (p - 0.083) 98.5 (25 Jan. 2004)
1 Jan.I999-31 Maret 2004 79.95 (p ~ 0.083) 102.2 (27 Juni 2004)
1 Jan. 1999-30 Juni 2004 80.49 (p ; 0.083) 141.6 (15 Agust.2004)
1 Jan. 1 999-30 Sept.2004 81.85 (p~0.083) 133 (23 Okl. 2004)
1 Jan. 1999-3 1 Des.2004 82.82 (p ~ 0.083) 126.5 (21 Feb. 2005)
1 Jan.I999-31 Maret 2005 85.69 (p; 0.083) 105.5 (5 Mei 2005)
1 Jan. 1 999-30 Juni 2005 86.84 (p ~ 0.083) 95.5(15 Sept. 2005)
1 Jan. 1 999-30 Sept.2oo5 86.53 (p ~ 0.083) 79.6 (15 Nov. 2005)
Hasil dugaan tingkat pengembalian curah hujan pada Tabel 4, masih cukup relevan dengan kenyataan di lapangan. Tentu perlu juga dipahami bahwa adanya variasi curah hujan yang cukup besar dan pengukuran yang dilakukan secara kumulatif, memungkinkan teljadinya perbedaan nilai yang dianggap cukup besar antara nilai dugaan dengan di lapangan.
Berdasarkan informasi dari BMO, adanya perbedaan nilai antara dugaan dengan di lapangan sebesar 25-30%, dugaan/ramalan yang diberikan dianggap masih cukup baik. Hal ini tentunya sangat berbeda sekali dengan masalah yang dikemukakan dalam penelitian Koemadji (2004), bahwa tingkat pengembalian kenaikan harga saham PT BeA Tbk dalam dua bulan kedepan (periode Oktober-November 2003) diduga sebesar 6.30% (p=0.125), sedangkan kenyataan di lapangan mengalami kenaikan sebesar 6.85%. Perbedaan sebesar 0.55% mungkin sangat signifikan
mengingat kenaikan saham yang nilainya dapat sltia sampai meneapai miliaran atau triliunan rupiah.
Hasil pada Tabel 4, dapat dikatakan bahwa seeara rata-rata dugaan tingkat pengembalian yang diperoleh bukanlah suatu nilai dugaan yang sangat tinggi (over estimate) atau dugaan yang terlalu rendah (under estimate) dibandingkan dengan
eurah hujan yang teljadi. Dengan demikian, GEV dapat dipergunakan oleh BMG Balai Wilayah II Stasiun Klimatologi Darmaga Bogor untuk mengkaji kejadian eurah hujan maksimum.
Analisis Peramalan Curab bujan Maksimum
Hasil peramalan curah hujan maksimum untuk 12 minggu (3 bulan) ke depan periode 1 Januari - 31 Maret 2005 ditunjukkan oleh gambar berikut :
Scattb'plot Ydup dan Ysebcnamya (Qrab hujan maksimum
140 Variable -e- Yduga
"
___ Ysebenarnya 120 1\~
I \ I \ I \!*--.
I \ 100 I \ I /B
I I \ \ I \ \ I"
!
,
I \ I \ / 80 I / >- f \ I I \ f /I f 60 ,/,",
I I " I \ / Ii 40V
2 4 6 8 10 12 Minggu* Januari 2005 • Februari 2005 • Maret 2005 •
31
Hasil peramalan curah hujan maksimum untuk 52 minggu (1 tahun) ke depan periode I Januari - 31 Desember 2005 ditunjukkan oleh gambar berikut :
140 120 100
~
80>-
60 40 20o
,
A J\ 11 1 I I I • I I ,1 I I ~~
10Scattel'plot Yduga dan Ysebenamya curab hujan maksimum
20 30 40 50
Minggu (2005)
Variable - . . - Yduga
____ Ysebenamya
Gambar 15. Dugaan dan CH maksimum sebenamya selang satu tahun
Dari pola ini (Gambar IS), terlihat bahwa untuk meramal satu tahun ke depan kurang baik, sehingga harus hati-hati dalam meramal satu tahun ke depan sebaiknya hanya tiga bulan ke depan.
Sebagai aplikasi digunakan data curah hujan maksimum periode 1 Januari 1999 - 31 Desember 2004 ditambah dugaan curah hujan maksimum selang satu tahun untuk meramal curah maksimum tahun 2006 yang ditunjukkan dengan gambar berikut ini :
Scatterplot of Y duga06 vs Minggu
1~r---' 125
:g
100 to1
75 50o
10 20 30 40 50 Minggu (2006) L---~---·--~--~~~--~~----~~c~~---~KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Pada dasamya tidak ada suatu metode penduga parameter yang benar-benar tepat untuk suatu masalah. Namun demikian, kajian ilmiah suatu metode pendugaan serta keakuratan dan kestabilan dalam memberikan pendugaan, menjadi alasan yang kuat penggunaan metode tersebut. Metode Maximum Likelihood (ML) memberikan
dugaan parameter relatif lebih baik dibandingkan dengan metode Least Square (LS),
karena metode ML memiliki keakuratan dan kestabilan yang cukup baik dalam pendugaan parameter.
GEV dengan penduga Maximum Likelihood dapat diterapkan dengan mudah
menggunakan Toolkit R untuk mengkaji kejadian ekstrim curah hujan maksimum. Hal-hal yang dikaji berkaitan dengan pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data dengan sebaran teoritis, pendugaan parameter, gambaran tentang nilai ekstrim maksimum yang dapat dilampaui pada suatu peri ode waktu tertentu yang disertai dengan grafik fungsi kepekatan peluang dan tingkat pengembalian (return level).
Analisis curah hujan maksimum daerah Darmaga Bogor dengan GEV, telah memberikan gambaran nilai dugaan curah hujan maksimum yang dapat dijadikan patokan pengkajian lebih lanjut untuk mengantisipasi terjadinya curah hujan yang dikategorikan ekstrim (> 100 mm), sehingga tidak menduga yang over atau under estimate.
Peramalan satu tahun ke depan kurang baik, sehingga harus hati-hati dalam meramal satu tahun ke depan sebaiknya hanya tiga bulan ke depan.
Saran
Pada penelitian ini, distribusi yang dipakai bersifat umum yaitu distribusi GEV
(Generalized Extreme Value). Perlu dilakukan penelitian lanjutan dengan menggunakan distribusi yang lebih spesifik sebagai pembanding, misalnya distribusi Gumbel, Frechet, Weibull atau Gamma.
Penelitian lanjutan juga dapat dilakukan untuk daerah lain, yang kemungkinan besar intensitas dan curah hujannya sedikit. Dengan demikian perlu memperhatikan periode pengambilan nilai ekstrimnya, atau dapat saja mengkaji nilai ekstrim minimum, karena periode musim hujan dan musim kering untuk daerah di luar Bogor cukup berpengaruh.
DAFfAR PUST AKA
Bensalah Y. 2000. Steps in Applying EVTto Finance: A Review.
[http://www.bankofcanada.ca/publicationslworking.paper]. [15 Januari 2005]. Chambers JM, Cleveland WS, Keliner B, and Tukey PA. 1983. Graphical Methods
for Data Analysis. Wadsworth International Group. California.
Chavez-Demoullin V. et at. 2001. Extreme Datamining.
[http://www.approximity.comJpaperslxlogf.pdf]. [12 Pebruari 2005].
Gilli M. and Kellezi E. 2003. An Application of Extreme Value Theory for Measuring Risk [http://www.unige.ch/seslmetri/gi11i/evtnn/CSDA-08-02-2003.pdf].
[5 September 2004]. Department of Econometrics, University of Geneva, Switzerland.
Handoko (Editor). 1988. Klimatologi Dasar : Landasan Pemahaman Fisika Atmosfer dan Unsur-Unsur Ildim. Jur. Geofisika dan Meteorologi FMIPA IPB. Bogor.
Hosking JRM, Wallis JR, and Wood EF. 1985. Estimation of the Generalized Extreme Value Distribution by the Method of Probability-Weighted Moments.
Technometrics. August 1985. Vol. 27. No.3. Hal. 251-261.
Koemadji ZA. 2004. Pendekatan EVT (Extreme Value Theory) untuk Penentuan Ukuran Risika (Nilai VAR). Tesis S2 IPB.
Sadik K. 1999. Pemodelan Nilai Ekstrim Terampat untuk Proses Lingkungan, Studi Kasus pada Curah Hujan Harian. Tesis S2 IPB.
Siegel S. 1986. Statistik Nonparametrik untuk Rmu-Rmu Sosial (terjemahan).
Gramedia. Jakarta.
Sosrodarsono S. dan Takeda K. (Editor). 1987. Hidrologi untuk Pengairan. Pradnya
Paramita. Jakarta.
Stephenson A. 2003. A User's Guide to the evd Package. Version 2.0. Department of
Mathematics and Statistics. Lancaster University.
Thompson PD, dan O'Brien R. 1983. Cuaca (terjemahan). Pustaka I1mu Life. Edisi
Kedua. Tira Pustaka Jakarta.
Wolstenholme LC. 1999. Reliability Modelling: A Statistical Approach. Chapman & Hall/CRe. Boca Raton.
Cara menginstall program Toolkit R
Pertama kita menginstall program Toolkit R seperti langkah-Iangkah pada umumnya. Setelah program Toolkit R selesai diinstall, kita gunakan program Toolkit R ini untuk menginstall file extRemes dan ismev, dengan langkah-Iangkah sebagai berikut :
I. Buka program Toolkit R
2. Klik Packages > Install package(s) from local zip files > pilih extRemes> Open.
3. Klik Packages> Install package(s) from local zip files> pilih ismev > Open.
Pembangkitan data
I. Buka program Toolkit R
2. Klik Packages> Load package> extRemes> OK
3. File> Simulate Data> Generalized Extreme Value (GEV); isi nilai parameter dan besar sample yang diinginkan
4. Pada Save As ketik nama variabel (misalkan CH) lalu klik Generate Untuk melihat data yang dibangkitan, caranya :
RGui pada prompt> ketik CH $ data tekan enter
Cars membaea data
I. Extreme Toolkit
2. Klik File> Read Data (misalkan data disimpan dengan Notepad.) 3. Klik Header dan ketik namajile pada Save As (in R)
37
Analisis data
1. Extreme Toolkit
2. Klik Analyze > Generalizad Extreme Value (GEV) Distribution > Fit Generalizad Extreme Value Distribution> Data Object klik nama file yang sudah tersimpan.
