THREE HOUSES AND THREE UTILITIES PROBLEM
(Karyanti M0108051, Susi Ranangga M0108067, Evy Dwi Astuti M0108087)1. LATAR BELAKANG MASALAH
Berdasarkan permasalahan yang melibatkan three houses and three utilities, yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini
Akan dibuat suatu graph dimana tidak ada edge yang berpotongan. Masalah ini dapat dimodelkan dengan complete bipartite graph K3,3. Tetapi pertanyaan yang muncul adalah dapatkah K3,3 dapat dibuat suatu graph dimana tidak ada dua edge yang berpotongan. Di dalam bab ini akan dibahas apakah sebuah graph dapat digambar dalam plane tanpa edge-edge. Sehingga dapat diselesaikan permasalahan three houses and three utilities.
2. PERUMUSAN MASALAH
a) Apakah mungkin untuk menghubungkan masing-masing peralatan dengan masing-masing dari tiga rumah tersebut tanpa garis atau persimpangan (cross)?
b) Apakah suatu complete graph dapat dibuat sebuah plane graph?
3. TUJUAN
a) Dapat membuat graf tanpa edge yang berpotongan dari three houses and three utilities.
b) Dapat menyimpulkan bahwa suatu complete graph dapat dibuat sebuah plane graph atau tidak.
4. PEMBAHASAN
Menurut Chartrand [1], untuk mencari solusi dari masalah three houses and three utilities, pertama kali kembali pada teori graf. The Three Houses dan Three Utilities Problems dapat digambarkan dengan menggunakan graf dengan vertex-vertex nya adalah rumah dan peralatan, dan sebuah edge menghubungkan dua vertex jika dan hanya jika sebuah vertex dinyatakan sebagai vertex dan vertex lainnya dinyatakan sebagai
? H3 H1 H2 W G E
peralatan. Bipartite graphs ini dinyatakan dengan K(3,3), menandakan bahwa himpunan vertexnya dapat dibagi menjadi dua himpunan yang masing-masing anggotanya sebanyak tiga vertex dan semua edgenya dituliskan. Graf K(3,3) ditunjukkan oleh graf G
Graf G
Konsep yang paling utama dalam masalah ini adalah planar graphs. Planar graph adalah graf yang dapat digambar pada bidang datar dengan suatu cara sehingga tidak ada dua edge yang berpotongan kecuali pada sebuah vertex. Misalnya, graf G dituliskan dengan edge yang berpotongan, tetapi ini merupakan planar graph karena G dapat dituliskan kembali sebagai gambar berikut, jadi tidak ada edge yang berpotongan.
? H3 H1 H2 W G E
Karena terdapat edge yang tidak dapat terhubung dengan vertex maka graf G harus dihilangkan beberapa edge dan vertexnya menjadi graf G1
Graf G1
Sehingga dapat dibentuk suatu plane graph (Planar graphs yang sudah dituliskan dalam bidang datar sehingga tidak ada dua edge yang berpotongan) sebagai berikut
Misalkan G adalah plane graph setelah dihilangkan edge dan vertex dari G. Potongan-potongan yang terhubung dengan plane dinamakan regions G. Vertex dan edge dari G yang incident dengan region R dinamakan boundary R. Ilustrasi konsep tersebut misanya graf G mempunyai tiga 1 region, G mempunyai satu region, dan 2 G3 mempunyai enam region.
Boundary dari region R pada 1 G3 terdiri dari vertex v v2, 3, dan v dan edge 4
2 3
v v ,v v , dan 2 4 v v3 4; boundary R6terdiri dari vertex v v v v v1, 2, , ,3 5 6, dan v dan 7
edge v v v v v v v v v v1 2, 2 3, 3 5, 5 6, 6 7, dan v v2 7. Region R6 dinamakan exterior region
3
G1
G2
G3
Plane graph G1 mempunyai p4vertex, q5 edge, dan r3
region; G2 mempunyai p5 vetex, q4, dan r1; sedangkan G3
mempunyai p7 vetex, q11, dan r6. Ketiga kasus tersebut berlaku 2
Teorema 9.1
Misalkan G connected plane graph dengan p vertex, q edge, dan r region. Maka p q r 2.
Bukti
Digunakan induksi untuk q. jika q = 0, maka p = 1 dan r = 1. sehingga
1 0 1 2 p q r ,
dan hasilnya benar.
Diasumsikan hasil untuk semua hasil connected plane graph memiliki 1
k edges, dan misalkan G connected plane graph dengan k edges. Andaikan bahwa G mempunyai p vertex dan r region. Akan ditunjukkan bahwa p k r 2.
Jika G adalah tree (suatu connected graph yang tidak memuat cycle), maka dengan teorema 4.2, p k 1,tentu saja r=1,sehingga
( 1) 1 2
p q r k k dan formula benar. Jika G bukan merupakan tree, kemudian karena G connected, G memuat cycles. Misalkan e adalah sebuah edge yang terletak pada cycle G, dan berdasarkan plane graph G e (yang juga connected). Dua region yang incident dengan e didalam G menghasilkan sebuah region dalam G e . Oleh karena itu, G e mempunyai p vertex, k1 edge, dan r1 region. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ( 1) ( 1) 2 p k r atau 2 p k r , Terbukti bahwa .
Teorema 9.1 merupakan teorema klasik dari teori graf ; pada kenyataannya, hasil ini sumbangan dari Euler. Sekarang dibuktikan hasil
lain yang juga bermanfaat, yang pembuktiannya melibatkan perhitungan yang lebih rumit.
Teorema 9.2
Misalkan G connected planar graph dengan p vertex, q edge, dimana 3
p . Maka 3 6 q p .
Bukti
Pertama perlu dicatat bahwa hasilnya adalah benar untuk p3, karena seriap graf dengan order tiga mempunyai size yang paling banyak tiga. Karena itu, diasumsikan p4, graf G sebagai plane graph, dan region G dengan r. Untuk setiap region R dalam G, dihitung jumlah edges yang terletak pada boundary R, dan kemudian jumlah bilangan ini lebih dari region dari G, bilangan ini dinyatakan dalam N. Karena sedikitnya ada tiga edge yang termuat pada boundary (batas) dari setiap region, hal ini berakibat bahwa N3r. Di pihak lain, bilangan N memuat setiap edge dari G sekali atau dua kali, sehingga N 2q. Oleh karena itu,
3rN2q atau 3r2q.
Hal ini mengatakan bahwa 2 3 q r
. Sekarang dengan teorema 9.1, diketahui bahwa
2
p q r , atau p q r 2. Oleh karena itu
2 2 2 2 3 3 q q p q r p sehingga 2 3 q p . Dengan demikian q3p6.
Secara intuisi, teorema 9.2, menetapkan bahwa planar graph dengan order p tidak akan dapat mempunyai mempunyai edge yang terlalu banyak. Sekarang digunakan argumen yang sama yaitu bukti pada teorema 9.1 untuk membuktikan permasalahan utama, yaitu permasalahan three houses and three utilities.
Teorema 9.3
Solusi dari the Three Houses and Three Utililties Problems Graf K(3,3) tidak planar.
Bukti
Teorema 9.3 dibuktikan ini dengan kontadiksi. Andaikan K(3,3) adalah planar. Maka K(3,3) dapat dituliskan sebagai plane graph yang mempunyai r region. Jumlah semua edge yang pada boundary (batas) dari masing-masing region melebihi semua region r dari K(3,3), dan bilangan ini ditulis dengan N. Karena tidak ada edge yang menghubungkan vertex-vertex dalam setiap subhimpunan vertex K(3,3), sehingga grafnya tidak memuat segitiga, yang berarti bahwa N 4r. Selain itu, N memuat setiap edge paling banyak dua kali, sehingga N2q18. Oleh karena itu
atau 2 9 r .
Akan tetapi, dengan teorema 9.1, pqr 2, sehingga 2
9
6 r atau r 5.
Hal ini menghasilkan kontradiksi dari yang diharapkan.
Sekarang dapat dilihat bahwa tidak mungkin untuk menghubungkan masing-masing keguanaan dengan masing-masing rumah tanpa edge yang berpotongan.
18 4r
Sebagai aplikasi dari teorema 9.2, ditunjukkan bahwa complete graph K5 tidak planar.
Teorema 9.4
Graph K5 bukan planar.
Bukti
Graph K5 mempunyai p = 5 dan q = p (p-1) / 2 = 10.
Karena 3p-6 = 9, terdapat q > 3p-6. Sehingga, dengan teorema 9.2, K5
bukan planar.
Graph tidak planar K5dan K(3,3) memainkan aturan penting dalam teori graph planar. Kita bicarakan hal ini secara singkat.
Dengan sebuah subdivisi dari suatu graph G, kita artikan sebuah graph yang diperoleh debgan menembahkan vertek-vertek (berdegree dua) ke dalam edge-edge dari G. untuk graph G pada gambar 9.5, graph H adalah subdivisi dari G, sedangkan F bukan subdivisi dari G.
sekarang kita dapat menetapkan teorema yang terkenal untuk teori graph.vakan tetapi, buktinya terlalu rumit untuk ditampilkan disini.
Teorema 9.5
Suatu Graph G disebut bukan planar jika dan hanya jika G memuat subgraph yang isomorphic dengan K5 atau K(3,3) atau sebarang subdivisi
dari K5 atau K(3,3).
5. APLIKASI KASUS
Terdapat tiga stasiun di kota A dan tiga stasiun di kota B, masing-masing stasiun hanya memiliki satu macam rel kereta api untuk menghubungkan dengan stasiun yang lain. Terdapat masalah yaitu adanya persimpangan rel kereta api saat setiap stasiun di kota A dihubungkan dengan stasiun di kota B.
Penyelesaian masalah:
Di setiap stasiun baik di kota A ataupun di kota B di buat tiga macam rel kereta api, yaitu rel kereta api yang berada di atas tanah, di bawah tanah, dan rail way, sehingga tidak akan terjadi persimpangan rel kereta api.
6. KESIMPULAN
a. Three houses and three utilities problem tidak dapat diselesaikan jika harus menghubungkan setiap utility dengan setiap house karena tetap ada edge yang berpotongan (tidak dapat dibuat plane graph).
b. Suatu complete graph dapat dibuat plane graph dengan menghilangkan beberapa vertex dan edge dalam graf tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
1. Chartrand, Gary, 1997, Introductory Graph Theory,Dover Publications, INC., New York.
2. Rosen, Kenneth H. 1999, Discrete Mathematics and Its Applications, China Machine Press, Cina.
