UJI BREDENKAMP, HILDEBRAND, KUBINGER DAN FRIEDMAN

UJI BREDENKAMP, HILDEBRAND, KUBINGER DAN FRIEDMAN

Fitri Catur Lestari

1

ABSTRACT

Statistics is a science that has important role in decision making. The decision is made based on the data and uses certain methods, especially statistical methods. Error in choosing a test in statistical methods can result in an incorrect decision. Statistical methods are divided into two parts, parametric statistical method and nonparametric statistical method. Parametric statistical method is used if the data meet certain assumptions. If the data do not meet that assumptions, nonparametric statistical method is better to use. One of the tests in parametric statistical method is two-way ANOVA. The books that revolve now, publicize that a relevan test for two-way ANOVA on nonparametric statistical method is Friedman test and they mention that a deficiency of nonparametric statistical method is that we cannot know an interaction between the row and column factor as in two-way ANOVA. But, this article gives a contradiction and an answer for that opinion. The relevant tests on nonparametric statistical method have proved. Those tests, known as Bredenkamp, Hildebrand and Kubinger, have the same function with two-way ANOVA, to know the difference of row factor, column factor, and an interaction between the row and column factor. The formulas in Bredenkamp, Hildebrand and Kubinger tests are derived from two-way ANOVA formulas, especially factorial experimental design. Whereas Friedman test is derived from the formula of Randomized Block Design (RBD).

Keywords: bredenkamp, hildebrand, kubinger, firedman, ANOVA

ABSTRAK

Statistika adalah ilmu yang mempunyai peran penting dalam pengambilan keputusan. Keputusan diambil berdasarkan data dan menggunakan metode tertentu, salah satunya metode statistik. Kesalahan dalam memilih uji yang tepat pada metode statistik dapat menghasilkan keputusan yang salah. Metode statistik terbagi menjadi dua yaitu metode statistik parametrik dan nonparametrik. Metode statistik parametrik digunakan jika data memenuhi asumsi-asumsi tertentu. Jika data tidak memenuhi asumsi-asumsi tersebut, metode statistik nonparametrik lebih tepat untuk digunakan. Salah satu uji dalam metode statistik parametrik adalah ANAVA dua arah. Buku-buku yang beredar saat ini mempublikasikan bahwa padanan untuk ANAVA dua arah pada metode statistik nonparametrik adalah uji Friedman dan menyebutkan bahwa kekurangan dari metode statistik nonparametrik adalah tidak bisa diketahuinya interaksi antara faktor baris dan kolom seperti pada ANAVA dua arah. Namun, artikel ini menyuguhkan sanggahan dan jawaban atas pendapat tersebut. Padanan ANAVA dua arah pada metode statistik nonparametrik terbukti ada. Uji tersebut yang dikenal dengan nama Bredenkamp, Hildebrand dan Kubinger, mempunyai fungsi yang sama dengan uji ANAVA dua arah yaitu digunakan untuk mengetahui perbedaan faktor baris, faktor kolom, dan interaksi antara faktor baris dan kolom. Rumus-rumus dalam uji Bredenkamp, Hildebrand dan Kubinger diturunkan dari rumus ANAVA dua arah khususnya rancangan percobaan faktorial. Sedangkan uji Friedman diturunkan dari rumus-rumus dari rancangan percobaan Rancangan Acak Kelompok (RAK).

Kata kunci: bredenkamp, hildebrand, kubinger, friedman, ANAVA

1

PENDAHULUAN

Statistika merupakan ilmu yang sangat luas aplikasinya di berbagai bidang kehidupan. Peran penting statistika adalah dalam hal pengambilan keputusan (inferensi). Keputusan diambil berdasarkan data dan menggunakan metode tertentu, salah satunya metode statistik. Secara garis besar, metode statistik terbagi menjadi dua, yaitu metode statistik parametrik dan nonparametrik. Metode statistik parametrik digunakan jika data memenuhi asumsi-asumsi tertentu atau distribusi populasinya diketahui. Sedangkan jika data tidak memenuhi asumsi itu atau distribusi populasinya tidak diketahui atau diragukan, maka metode statistik nonparametrik atau uji bebas sebaran (distribution free) lebih tepat untuk digunakan. Keterangan lebih rinci tentang penggunaan metode statistik nonparametrik dikemukakan oleh Djarwanto (2003). Dalam bukunya yang berjudul Statistik Nonparametrik, disebutkan bahwa metode statistik nonparametrik digunakan dalam kondisi: bentuk distribusi populasinya tidak diketahui, data berbentuk nominal atau ordinal, dan ukuran sampel atau sampel-sampel penelitiannya kecil dengan sifat distribusi populasinya tidak diketahui secara pasti. Djarwanto (2003) menyebutkan pula kelebihan metode statistik nonparametrik, salah satunya adalah sederhana dalam perhitungannya.

Meskipun metode statistik nonparametrik lebih mudah dalam hal perhitungan, pada kenyataannya tidak sedikit praktisi penelitian lebih memilih menggunakan metode statistik parametrik dan mengabaikan berbagai asumsi yang ada. Hal ini mungkin disebabkan sedikitnya pengetahuan tentang statistika, terutama metode statistik nonparametrik. Kesalahan dalam memilih metode statistik yang tepat ini menyebabkan kesalahan dalam pengambilan keputusan. Oleh karena itu, perlu adanya pengkajian terhadap uji-uji dalam metode statistik untuk menghindari terjadinya kesalahan tersebut. Seperti halnya metode statistik parametrik, metode statistik nonparametrik meliputi banyak sekali uji. Pada metode statistik parametrik, dikenal uji perbedaan rata-rata dua populasi independen dan dependen (berpasangan). Sedangkan pada metode statistik nonparametrik, uji yang fungsinya sama dengan kedua uji tersebut berturut-turut adalah uji Mann Whitney dan Wilcoxon. Adapun uji beda rata-rata lebih dari dua populasi independen, pada metode statistik parametrik memiliki padanan dalam metode statistik nonparametrik, dikenal dengan nama uji Kruskal Wallis.

Sedangkan untuk padanan ANAVA (Analisis Variansi) dua arah pada metode statistik nonparametrik belum diketahui banyak orang. Buku statistik nonparametrik yang beredar di pasaran, umumnya tidak membahas tentang uji padanan ANAVA dua arah yang melibatkan faktor interaksi seperti layaknya ANAVA dua arah. Bahkan Djarwanto (2003) dalam bukunya menyebutkan bahwa salah satu kekurangan metode statistik nonparametrik adalah tidak dapat menentukan faktor interaksi seperti dalam analisis variansi. Padahal ada uji dalam metode statistik nonparametrik yang dikenal dengan nama uji Bredenkamp, Hildebrand, dan Kubinger yang mengungkap faktor interaksi seperti layaknya ANAVA dua arah.

Uji Bredenkamp, Hildebrand, dan Kubinger

Layout data pada ketiga uji, yaitu Bredenkamp, Hildebrand, dan Kubinger secara umum sebagai berikut.

Faktor Kolom(j) Fak tor Baris (i) 1 2 … M 1 Y111 Y112 Y113

M

Y11n Y121 Y122 Y123

M

Y12n … Y1m1 Y1m2 Y1m3

M

Y1mn 2 Y211 Y212 Y213

M

Y21n Y221 Y222 Y223

M

Y22n … Y2m1 Y2m2 Y2m3

M

Y2mn

M

M

M

M

l Yl11 Yl12 Yl13

M

Yl1n Yl21 Yl22 Yl23

M

Yl2n … Ylm1 Ylm2 Ylm3

M

Ylmn Uji Bredenkamp

Semua nilai Yijk ditransformasi dalam bentuk ranking Rijk. Jika terdapat Yijk yang nilainya sama,

maka pembentukan rankingnya adalah dengan membuat rata-rata dari ranking Yijk yang nilainya sama.

Pertama, Uji Hipotesis Perbedaan Baris

Ho = perbedaan baris tidak signifikan

Ha = perbedaan baris signifikan

Alpha = α Statistik uji =

∑

= + − + a i i N R N N a 1 2 .. 2_{( 1)} 3( 1) 12

Chi Square table =

χ

_a2₋₁

Daerah kritik = Ho ditolak jika statistik uji lebih dari Chi Square tabel Kedua, Uji Hipotesis Perbedaan Kolom

Ho = perbedaan kolom tidak signifikan

Ha = perbedaan kolom signifikan

Alpha = α Statistik uji =

∑

= + − + b j j N R N N b 1 2 . . 2 3( 1) ) 1 ( 12

Chi Square tabel =

χ

_b2₋₁

Daerah kritik = Ho ditolak jika statistik uji lebih dari Chi Square tabel Ketiga, Uji Hipotesis Interaksi

Ho = interaksi antara faktor baris dan faktor kolom tidak signifikan

Alpha = α Statistik uji = ( 1 1 ) 3( 1) ) 1 ( 12 1 1 2 . . 2 2 .. 2 2 . 2 +

∑∑

− − + + = = N R a R b R N N ab a i b j j i ij

Chi Square tabel =

χ

₍2a− b₁₎₍ −₁₎

Daerah kritik = Ho ditolak jika statistik uji lebih dari Chi Square tabel Uji Hildebrand

Pertama, Uji Hipotesis Perbedaan Baris.

Semua nilai Yijk ditransformasi

Y

_ijk

→

Y

_ijk*

=

Y

_ijk

−

Y

ij.

+

Y

i... Y_ijk* ditransformasi ke dalam ranking

tunggal (Y_ijk* →R_ijk

). Jika terdapat Y_ijk* yang nilainya sama, maka pembentukan rankingnya adalah

dengan membuat rata-rata dari ranking Y_ijk* yang nilainya sama.

Ho = perbedaan baris tidak signifikan

Ha = perbedaan baris signifikan

Alpha = α Statistik uji =

∑

=

−

+

a i i

R

R

N

a

1 2 ... ..

)

(

)

1

(

12

Chi Square tabel =

χ

a2−₁

Daerah kritik = Ho ditolak jika statistik uji lebih dari Chi Square tabel Kedua, Uji Hipotesis Perbedaan Kolom

Semua nilai Yijk ditransformasi

Y

_ijk

→

Y

_ijk*

=

Y

_ijk

−

Y

ij.

+

Y

.j.. Y_ijk* ditransformasi ke dalam ranking

tunggal (Yijk →Rijk

*

). Jika terdapat Yijk* yang nilainya sama maka pembentukan rankingnya adalah

dengan membuat rata-rata dari ranking Yijk* yang nilainya sama.

Ho = perbedaan kolom tidak signifikan

Ha = perbedaan kolom signifikan

Alpha = α Statistik uji =

∑

= − + b j j R R N b 1 2 ... . . ) ( ) 1 ( 12

Chi Square tabel =

χ

_b2₋₁

Daerah kritik = Ho ditolak jika statistik uji lebih dari Chi Square tabel Ketiga, Uji Hipotesis Interaksi

Nilai

Y

_ijk ditransformasi

Y

_ijk

→

Y

_ijk*

=

Y

_ijk

−

Y

i..

−

Y

.j.

+

2

Y

.... Y_ijk* ditransformasi ke dalam ranking

tunggal (Y_ijk* →R_ijk).Jika terdapat Y_ijk* yang nilainya sama maka pembentukan rankingnya adalah

dengan membuat rata-rata dari ranking Yijk* yang nilainya sama.

Ho = interaksi antara faktor baris dan faktor kolom tidak signifikan

Ha = interaksi antara faktor baris dan faktor kolom signifikan

Statistik uji = 2 1 1 ... . . .. . ) ( ) 1 ( 12

_∑∑

= = − − − + a i b j j i ij R R R R N ab

Chi Square tabel =

χ

(2a− b1)( −1)

Daerah kritik = Ho ditolak jika statistik uji lebih dari Chi Square tabel Uji Kubinger

Pertama, Uji Hipotesis Perbedaan Baris

Semua nilai Yijk ditransformasi ke dalam ranking tunggal

Y

_ijk

→

R

_ijk. Kemudian hasil ranking ini

ditransformasi menjadi

R

_ijk

→

R

_ijkt

=

R

_ijk

−

R

ij.

+

R

i... R_ijkt diranking kembali menjadi R_ijk* .

Pembentukan ranking dalam proses transformasi di atas jika terdapat Yijk yang nilainya sama, maka

pembentukan rankingnya adalah dengan membuat rata-rata dari ranking Yijk yang nilainya sama.

Demikian pula dalam pembentukan ranking dari R_ijkt menjadi R_ijk* .

Ho = perbedaan baris tidak signifikan

Ha = perbedaan baris signifikan

Alpha = α Statistik uji =

∑

=

−

+

a i i

R

R

N

a

1 2 ... * .. *

)

(

)

1

(

12

Chi Square tabel =

χ

a2−1

Daerah kritik = Ho ditolak jika statistik uji lebih dari Chi Square tabel

Kedua, Uji Hipotesis Perbedaan Kolom

Semua nilai Yijk ditransformasi ke dalam ranking tunggal

Y

ijk

→

R

ijk. Kemudian hasil rangking ini

ditransformasi menjadi

R

_ijk

→

R

_ijkt

=

R

_ijk

−

R

ij.

+

R

.j..R_ijkt diranking kembali menjadiR_ijk* .

Pembentukan ranking dalam proses transformasi di atas jika terdapat Yijk yang nilainya sama, maka

pembentukan rankingnya adalah dengan membuat rata-rata dari ranking Yijk yang nilainya sama.

Demikian pula dalam pembentukan ranking dari Rijkt menjadi

*

ijk

R .

Ho = perbedaan kolom tidak signifikan

Ha = perbedaan kolom signifikan

Alpha = α Statistik uji =

∑

= − + b j j R R N b 1 2 ... * . . * ) ( ) 1 ( 12

Chi Square tabel =

χ

b2−1

Daerah kritik = Ho ditolak jika statistik uji lebih dari Chi Square tabel Ketiga, Uji Hipotesis Interaksi

Semua nilai Yijk ditransformasi ke dalam ranking tunggal

Y

ijk

→

R

ijk. Kemudian hasil rangking ini

ditransformasi menjadi

R

_ijk

→

R

_ijkt

=

R

_ijk

−

R

i..

+

R

.j. R_ijkt diranking kembali menjadi R_ijk* .

Pembentukan ranking dalam proses transformasi di atas jika terdapat Yijk yang nilainya sama, maka

pembentukan rankingnya adalah dengan membuat rata-rata dari ranking Yijk yang nilainya sama.

Demikian pula dalam pembentukan ranking dari Rijkt menjadi

*

ijk

Ho = interaksi antara faktor baris dan faktor kolom tidak signifikan

Ha = interaksi antara faktor baris dan faktor kolom signifikan

Alpha = α Statistik uji = 2 1 1 ... * . . * .. * . * ) ( ) 1 ( 12

∑∑

= = − − − + a i b j j i ij R R R R N ab

Chi Square tabel =

χ

₍2_{a− b1)( −1)}

Daerah kritik = Ho ditolak jika statistik uji lebih dari Chi Square tabel

Persamaan dan Perbedaan Uji Bredenkamp, Hildebrand dan Kubinger

Persamaan uji Bredenkamp, Hildebrand, dan Kubinger adalah ketiga-tiganya diturunkan dari rumus-rumus yang ada dalam ANAVA dua arah dengan tujuan yang sama, yaitu mengetahui perbedaan faktor baris, faktor kolom, dan interaksi antara faktor baris dan kolom. Sedangkan perbedaan uji Bredenkamp, Hildebrand, dan Kubinger terletak pada proses transformasi dan pembentukan rankingnya. Lebih jauh mengenai perbedaan ketiga uji ini diungkap oleh Hühn dan Léon (1995) bahwa berdasarkan penelitian yang berulang-ulang untuk kasus yang beraneka ragam, diperoleh kesimpulan bahwa uji Hildebrand dan Kubinger memiliki keakuratan yang relatif sama dalam mendeteksi perbedaan faktor baris, faktor kolom, dan interaksi antara faktor baris dan kolom. Sedangkan uji Bredenkamp dalam mendeteksi perbedaan faktor baris, faktor kolom, dan interaksi antara faktor baris dan kolom mempunyai keakuratan yang relatif lebih rendah daripada uji Hildebrand dan Kubinger.

Perkembangan Metode Statistik Nonparametrik untuk ANAVA Dua Arah

Pada perkembangan selanjutnya, uji untuk padanan ANAVA dua arah ditemukan lagi oleh Hettmansperger dan Elmore (2002). Berbeda dengan ketiga uji sebelumnya, Hettmansperger dan Elmore mencetuskan idenya dengan membuat rangking tunggal dari residualnya atau errornya. Jika dijabarkan dalam rumus, maka akan diperoleh suatu hasil sebagai berikut.

j i ijk ijk

Y

Y

'

=

−

μ

ˆ

_...

−

α

ˆ

−

β

ˆ

)

(

)

(

)

(

... .. ... .. ... '

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

_ijk

=

_ijk

−

−

i

−

−

j

−

... . . .. '

Y

Y

Y

Y

Y

_ijk

=

_ijk

−

i

−

j

+

Semua nilai Yijk ditransformasi

Y

_ijk

→

Y

_ijk'

=

Y

_ijk

−

Y

i..

−

Y

.j.

+

Y

.... Y_ijk' ditransformasikan ke

dalam ranking tunggal (Y_ijk' →R_ijk). Kemudian, untuk mengetahui perbedaan baris, kolom dan

interaksi faktor baris dan kolom, dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan uji Bredenkamp, Hildebrand dan Kubinger.

Adanya uji-uji untuk padanan ANAVA dua arah tersebut di atas dapat dikembangkan lagi untuk kasus dengan rancangan percobaan yang lain seperti ANAVA dengan pola data bersarang, bujursangkar latin, dan lain lain. Kemudian, untuk satu rancangan percobaan, dapat dikembangkan lagi dengan berbagai variasi transformasi.

Uji Friedman

Rumus dalam uji Friedman diturunkan dari konsep rancangan percobaan RAK (Rancangan Acak Kelompok) atau biasa juga dikenal sebagai RBD (Randomized Block Design). Rancangan Acak

Kelompok mempunyai ciri adanya kelompok dalam jumlah yang sama. Setiap kelompok dikenakan perlakuan-perlakuan (Gaspersz, 1995). Pada Rancangan Acak Kelompok, yang diperhatikan adalah di samping perlakuan dan pengaruh galat (error), masih dilihat juga adanya kelompok yang berbeda. Satuan percobaan dalam Rancangan Acak Kelompok tidak perlu homogen, di mana satuan-satuan percobaan tersebut dapat dikelompokkan ke dalam kelompok-kelompok tertentu sehingga satuan percobaan dalam kelompok itu homogen. Dengan demikian, proses pengelompokan berguna untuk membuat keragaman dalam kelompok menjadi sekecil mungkin dan keragaman antar kelompok menjadi sebesar mungkin. Suatu pengelompokan yang tepat akan meningkatkan perbedaan di antara kelompok sementara akan meninggalkan satuan percobaan di dalam kelompok lebih homogen. Sedangkan layout data untuk rancangan acak kelompok ditampilkan dalam tabel di bawah ini:

Perlakuan (i) 1 2 … t Kelompok 1 2 3

M

r Y11 Y12 Y13

M

Y1r Y21 Y22 Y23

M

Y2r … … … … Yt1 Yt2 Yt3

M

Ytr

Dari berbagai uraian di atas, terlihat betapa ketatnya asumsi dalam analisis ragam untuk rancangan acak kelompok. Asumsi bahwa galat harus berdistribusi normal dan bebas dengan nilai

tengah nol dan ragam

σ

2, kadang-kadang sulit dipenuhi. Menghadapi sebaran data yang diragukan

kenormalannya, maka perlu dicari teknik-teknik analisis yang mampu mengatasi hal ini. Di samping alternatif transformasi data agar mendekati sebaran normal, terdapat metode lain yang tidak tergantung pada asumsi kenormalan tersebut. Salah satu uji dalam metode nonparametrik yang relevan digunakan untuk menganalisis data hasil percobaan berdasarkan rancangan acak kelompok yang tidak membutuhkan asumsi kenormalan data adalah uji Friedman (Gaspersz, 1995). Uji Friedman menentukan apakah jumlah rank dari setiap perlakuan berbeda secara nyata.

Hipotesis untuk uji ini adalah:

Ho :

τ

₁=

τ

₂= …=

τ

_i atau

τ

_i=0 (i=1,2,..,t) atau setiap ranking dari perlakuan dalam kelompok

adalah sama

Ha : minimal ada satu

τ

_i ≠0 untuk i=1,2,..,t atau minimal ada satu perlakuan yang berbeda dengan

lainnya. Hipotesis di atas dirumuskan untuk menguji bahwa tidak ada pengaruh perlakuan terhadap respons yang diamati atau dengan kata lain pengaruh perlakuan terhadap respons adalah nol. Statistik uji =

(

)

3

(

1

)

)

1

(

12

1 2

−

+

+

=

∑

=

t

r

R

t

rt

T

t i i r = banyaknya kelompok t = banyaknya perlakuan

Ri = jumlah ranking dari perlakuan ke-i

Ho ditolak jika T >

χ

_α2_,t−1

PENUTUP

Berdasarkan penjelasan tentang uji-uji pada metode statistik nonparametrik tersebut, dapat ditarik sebuah kesimpulan tentang perbedaan uji Bredenkamp, Hildebrand, Kubinger, dan Friedman. Layout data untuk uji Bredenkamp, Hildebrand, dan Kubinger sangat berbeda dengan layout data untuk uji Friedman. Uji Bredenkamp, Hildebrand, dan Kubinger dikembangkan dari rancangan percobaan faktorial. Sedangkan uji Friedman dikembangkan dari rancangan acak kelompok. Dari segi tujuan, uji Bredenkamp, Hildebrand, dan Kubinger digunakan untuk mengetahui perbedaan faktor baris, faktor kolom, dan interaksi antara faktor baris dan kolom. Sedangkan uji Friedman digunakan untuk mengetahui ada tidaknya perbedaan perlakuan saja. Oleh karena itu, uji yang tepat sebagai padanan ANAVA dua arah dalam metode statistik nonparametrik adalah uji Bredenkamp, Hildebrand, dan Kubinger.

DAFTAR PUSTAKA

Bain, L.J., and Engelhardt, M. (1991). Introduction to probability and mathematical statistics, 2nd ed.,

California: Duxbury Press.

Conover, W.J. (1980). Practical nonparametric statistics, 2nd ed., Canada: John Wiley & Sons, Inc.

Djarwanto, P.S. (2003). Statistik nonparametrik, edisi 2003/2004, Yogyakarta: BPFE.

Gaspersz, V. (1995). Teknik analisis dalam penelitian percobaan, edisi pertama, Bandung: Tarsito. Hettmansperger, P. T., and Elmore, R. (2002). Test for interaction in a two-way layout: Should they be

included in a nonparametrics course?. Retrieved from

http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/publications/1/3g4_hett.pdf.

Hühn, M., and Léon, J. (1995). Nonparametric analysis of cultivar performance trials: Experimental results and comparison of different procedures based on ranks, Agronomy Journal, 87, 627-632.

Hühn, M., and Léon, J. (1995). Nonparametric analysis of cultivar performance trials - experimental results and comparison of different procedures based on ranks. Retrieved from http://www.scilib. univ.kiev.ua/article.php? 1091042.

Neter, J., Wasserman, W., and Kutner, M.H. (1990). Applied linier statistical models: Regression, analysis of variance, and experimental design, 3rd ed., Boston: Rhicard D. Irwin, Inc.