MINGGU KE – XII
PENDUGAAN INTERVAL
Tujuan Instruksional Umum :
1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan pendugaan interval 2. Mahasiswa mampu memahami pendugaan interval untuk sample besar dan untuk
sample kecil
3. Mahasiswa mampu memahami pendugaan interval untuk data proporsi
Tujuan Instruksional Khusus :
1. Mahasiswa mampu untuk menghitung pendugaan interval data dengan sample besar 2. Mahasiswa mampu menghitung pendugaan interval untuk data dengan sample kecil 3. Mahasiswa Mampu menghitung pendugaan interval untuk data proporsi
Pengertian :
Yang dimaksud dengan Pendugaan Interval adalah suatu dugaan terhadap parameter berdasarkan suatu interval, di dalam interval mana kita harapkan dengan keyakinan tertentu parameter itu akan terletak.
Hasil pendugaan interbal ini diaharapkan akan lebih obyektif. Pendugaan interval akan memberikan kita nilai parameter dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal.
Pendugaan interval akan merapakan interval keyakinan atau interval kepercayaan atau confidence limit yang dapat dirumuskan sebagai berikut :
st – z /2.
s< parameter < st + z /2.
sdimana ;
s = deviasi standard sampel
z /2 = koefisien yang sesuai dengan interval keyakinan yang dipergunakan dalam pendugaan interval dan nilainya diberiklan dalam tabel z luas kurva normal.
Apabila kita menggunakan pendugaan interval sebesar 95%, maka artinya bahwa dalam jangka panjang jika pendugaan itu dilakukan secara berulang-ulang dengan cara yang sama, maka parameter populasi kan tercakup di dalam interval tersebut 95% dari seleruhan waktu atau dalam jangka panjang kita akan mentolerir kesalah diga (error of estimate) sebesar 5%.
Apabila digambarkan adalah sebagai berikut :
Ciri-ciri suatu penduga yang baik :
1. Tidak Bias (Unbiasedness)
Suatu penduga dikatakan tidak bias apabila penduga tersebut secara tepat dapat menduga nilai parameternya.
=0 Z 2,5%2. Konsistensi (Consistency)
Suatu penduga dikatak konsisten apabila besarnya sampel semakin bertambah mendekati tidak terhinggam maka penduga tersebut akan semakin berkonsentrasi secara sempurna pada parameter yang diduga.
3. Efisiensi (Efficiency)
Suatu penduga akan dikatakan efisien apabila memiliki varians yang kecil.
4. Sufisiensi (Sufficiency)
Suatu penduga dikatakan sufisien apabila penduga itu mempunyai informasi yang lengkap dan cukup tentang parameter yang akan diduga. Dekangan kata lain tidak ada ukurang statistik lain sebagai penduga yang lebih baik untuk menduga paramater.
Jenis- jenis pendugaan Interval:
1. Pendugaan Parameter dengan sampel besar (n>30)
a. Pendugaan terhadap parameter rata-rata Diketahui; n x z Maka; n Z x n Z x
Tetapi apabila standard deviasi populasi tidak diketahui, maka digunakan standar deviasi sample, sehingga pendugaan interval menjadi :
n s Z x n s Z x
Tetapi apabila n < 5% N maka digunakan : 1 1 N n N n s Z x N n N n s Z x Contoh :
Dilakukan penelitian terhadap mahasiswa Jurusan Manajemen FE UIEU, untuk mengetahui rata-rata uang saku mereka dalam satu minggu. Untuk itu diambil 100 sampel mahasiswa. Dari ke-100 mahasiswa tersebut diketahui bahwa rata-rata uang saku satu bulan adalah Rp. 500.000 dengan standard deviasi 100 ribu. Dengan interval keyakinan 95% buatlah pendugaan interval rata-rata uang saku mahasiswa Jurusan Manajemen secara keseluruhan.
100 100 96 , 1 500 100 100 96 , 1 500 : 96 , 1 100 500 100 ) 025 , 0 ( 2 / maka Z x n 6 , 519 4 , 480
Dengan tingkat keyakinan 95%, interval rata-rata uang saku mahasiswa Jurusan Manajemen adalah Rp. 480,400 sampai dengan Rp. 519.600 per bulan.
b. Pendugaan terhadap parameter proporsi
Pendugaan sample proporsi digunakan dengan menggunakan rumus proporsi sample (x/n).
n n x n x Z n x P n n x n x Z n x (1 ) 1 Contoh :Jurusan Manajemen UIEU melakukan penelitian mengenai ketepatan pembayaran SPP mahasiswa. Dari 100 orang sample mahasiswa yang diambil, ternyata 30 orang diantaranya tidak membayar SPP tepat waktu. Dengan interval keyakinan 95% tentukan pendugaan interval proporsi mahasiswa yang tidak membayar SPP tepat pada waktu nya.
100 7 , 0 3 , 0 96 , 1 100 30 100 7 , 0 3 , 0 96 , 1 100 30 ; 96 , 1 30 100 ) 025 , 0 ( 2 / P maka z x n 39 , 0 21 , 0 P
Dengan tingkat keyakinan 95%, mahasiswa yang tidak membayar SPP tepat pada waktunya adalah antara 21% sampai dengan 39%.
2. Pendugaan parameter dengan sampel kecil (n<30)
Jika sample kecil maka pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan distribusi t dan estándar deviasi s.
Diketahui :
n s x t
a. Pendugaan Pendugaan parameter μ dengan tidak diketahui dengan populasi tidak terbatas
n s t x n s t x Contoh:
Penelitian dilakukan terhadap 16 sampel maciza Jurusan Manajemen UIEU untuk mengetahui rata-rata pengeluaran mereka dalam satu bulan. Dari ke-16 mahasiswa tersebut didapat bahwa rata-rata pengeluran per bulan hádala 500 (ribu) dengna Standard debíais 100 (ribu). Dengan interval keyakinan 95%, buatlah pendugaan interval pengeluaran rata-raa per bulan seluruh mahasiswa Jurusan Manajmen FE UIEU.
16 100 131 , 2 500 16 100 131 , 2 500 ; 131 , 2 ) 15 ; 025 , 0 ( 100 500 16 maka t s x n 275 , 553 725 , 446
Dengan tingkat keyakinan 95%, rata-rata tingkat pengeluran rata-rata mahasiswa Juusan Manajemen adalah antara Rp. 446.725 sampai Rp. 553.275.
b. Pendugaan Pendugaan parameter μ dengan tidak diketahui dengan populasi terbatas 1 1 N n N n s t x N n N n s t x
Contoh :
Apabila dalam contoh yang sebelumnya diketahui bahwa jumlah populasi mahasiswa Jurusan Manajemen adalah 100 orang, maka:
92 , 0 848 , 0 1 100 16 100 1 N n N
Sehingga pendugaan interval menjadi:
92 , 0 16 100 131 , 2 500 92 , 0 16 100 131 , 2 500 07450,93 549,
Dengan tingkat keyakinan 95%, maka interval pengeluaran 100 orang mahasiswa Jurusan Manajemen adalah antara Rp, 450.930 sampai dengan Rp. 549,070.
c. Pendugaan parameter proporsi
n n x n x t n x P n n x n x t n x (1 ) 1 Contoh :Dari 16 orang mahasiswa Jurusan Manajemen ternyata diketahui 4 orang diantaranya memiliki kendaraan sendiri. Dengan tingkat kepercayaan 95% buatlah pendugaan interval proporsi mahasiswa Jurusan Manajemen yang memiliki kendaraan sendiri.
16 75 , 0 25 , 0 131 , 2 25 , 0 16 72 , 0 25 , 0 131 , 2 25 , 0 ; 131 , 2 4 16 15 , 025 , 0 P maka t x n 48 , 0 02 , 0 P
Maka dengan tingkat keyakinan 95%, proporsi mahasiswa yang memiliki mobil sendiri hádala antara 2% sampai 48%.
3. Pendugaan Interval untuk beda dua rata-rata dan dua proporsi
Adalah pendugaan interval yang melihat dari selisih dari rata-rata dua kelompok sample yang berbeda
a. Pendugaan parameter μ1 – μ2 jika 1 dan 2 diketahui
x
1
x
2
Z
x1x2
1
2
x
1
x
2
Z
x1x2
Dimana; 2 2 2 1 2 1 2 1 n n x x Contoh :Honor rata-rata dosen lulusan S2 adalah 100 (ribu) per minggu dengan Standard deviasi 9 (ribu), penelitian diambil dari 90 orang dosen lulusan S2. Sedangkan dari 50 orang dosen lulusan S1, honor rata-rata per minggu adalah 50 (ribu) dengan Standard deviasi 5 (ribu). Dengan menggunakan tingkat keyakinan 95%, buatlah pendugaan interval selisih rata-rata honor dosen.
100 50
1,96 1,18
100 50
1,96 1,18 ; 18 , 1 90 5 90 9 dim 96 , 1 5 50 90 100 9 90 2 1 2 2 2 1 ) 025 , 0 ( 1 2 2 1 1 maka ana z x n x n x x 18 , 51 69 , 47 12 Dengan tingkat keyakinan 95%, selisih rata-rata honor dosen mingguan antara lulusan S1 dengan lulusan S2 adalah antara Rp. 47,690 sampai Rp. 51.180.
b. Pendugaan parameter μ1 – μ2 jika 1 dan 2 tidak diketahui
x
1
x
2
t
s
x1x2
1
2
x
1
x
2
t
s
x1x2
Dimana;
2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 n n n n s n s n sx x Contoh :Dari 9 mahasiswa angkatan 2004 Jurusan Manajemen UIEU, didapat uang saku per hari adalah sebagai berikut (dalam ribu rupiah) : 40; 46; 40; 36; 38; 34; 42; 44; 40. Sedangkan dari 9 mahasiswa angkatan 2003 Jurusan Manajemen didapat uang saku per hari (dalam ribu rupiah) adalah sebagai berikut : 30; 24; 16; 25; 35; 40; 46; 38; 34. Dengan tingkat keyakinan 95%, buatlah pendugaan interval selisih rata-rata uang saku mahasiswa angkatan 2003 dengan mahasiswa angkatan 2004.
Diketahui dari data 9 mahasiswa angkatan 2004: 74 , 3 40 9 1 1 1 s x n
Diketahui dari data 9 mahasiswa angkatan 2003:
23 , 9 32 9 2 2 2 s x n Dan t(0,025;992)2,12 Maka;
32 , 3 9 1 9 1 2 9 9 23 , 9 1 9 74 , 3 1 9 2 2 2 1 x x s Sehingga ;
4032
2,123,32 12
4032
2,123,320,96 12 15,04 (dalam ribu rupiah)
Dengan tingkat keyakinan 95% diharapkan selisih rata-rata uang saku per hari mahasiswa angkatan 2004 dengan 203 adalah antara Rp, 960 sampai dengan Rp. 15,040
c. Pendugaan Interval dua proporsi
1 2
2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 P P p p Z S n x n x P P S Z n x n x Dimana : 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 n n x n x n n x n x SP P Contoh :
Dari 120 sampel nasabah bank CRF dikota A, 90 diantaranya adalah mahasiswa. Sedangkan dari 120 nasabah bangk CRF di kota B, 60 orang diantaranya adalah mahasiswa. Dengan tingkat keyakinan 95%, dugalah beda proporsi nasabah yang merupakan mahasiswa di dua cabang yang berbeda.
96 , 1 5 , 0 60 120 75 , 0 90 120 ) 025 , 0 ( 2 2 2 2 1 1 1 1 z n x x n n x x n Maka; 06 , 0 120 ) 5 , 0 ( 5 , 0 120 ) 75 , 0 ( 25 , 0 2 1 p p s Sehingga;
0,750,5
1,960,06 P1P2
0,750,5
1,960,06 0,1324P1P2 0,3676Dengan tikt keyakinan 95%, diharapkan interval antara 13% sampai 37% merupakan selisih proporsi nasabah di kota A dan B yang terdiri dari mahasiswa
QUIZ
1. Sebuah biro perjalanan di jogja mengadakan penelitian tentang pariwisata di jogja dan ingin memperkirakan pengeluaran rata-rata para wisatawan asing yang berkunjung di jogja. Untuk keperluan ini diambil 100 sampel wisatawan asing yang akan dijadikan responden dalam penelitian ini. Dari hasil penelitian didapat hasil bahwa rata-rata pengeluaran setiap pengunjung adalah $500 per wisatawan perhari. Jika didapat bahwa standard deviation adalah sebesar $100, maka dengan interval keyakinan sebesar 95% buatlah estimasi atau pendugaan rata-rata seuruh populasi pengeluaran wisatawan asing di Jogja per hari!
2. Sebuah random sample dipilih dari 100 pedagang kaki lima di Pasar Mingggu, dari seluruh pedangan kaki lima di Pasar Minggu. Rata-rata tingkat keuntungan yang diperoleh adalah 20% dengan deviasi standard 2%. Dengan menggunakan interval keyakinan sebesar 95%, berapa tingkat keuntungan seluruh populasi pedangan kaki lima di Pasar Minggu?
3. Suatu penelitian dilakukan oleh sebuah perguruan tinggi swasta terhadap ketepatan pembayaran SPP dari para mahasiswanya. Dari 100 orang mahasiswa yang diteliti ternyata 30 orang mahasiswa melakukan pembayaran SPP tidak tepat waktu. Dengan tingkat interval keyakinan 95%, tentukan pendugaan interval proporsi dari mahasiswa yang melakukan pembayaran tidak tepat waktu!
4. Penelitian lain dilakukan terhadap sampel 16 orang mahasiswa asing yang berkunjung ke Jakarta. Menunjukkan pengeluaran 16 mahasiswa tersebut adalah sebesar $500 seminggu, dengan standard deviasi $100, dan tingkat keyakinan 95%, berapakah interval pengeluaran rata-rata seluru populasi mahasiswa asing di Jakarta perminggunya?
DAFTAR PUSTAKA
Agus Irianto, Prof, DR, Statistik: Konsep Dasar dan Aplikasinya, Prenada Media, Jakarta, 2004.
Bowen, and Star.,1996.
Gonick, Larry and Smith, Woolcott, Kartun Statistik, Kepustakaan Populer Gramedia, Jakarta, 2002.
J. Supranto, Pengantar Metode Statistik Jilid I dan II, Edisi VI, Penerbit Airlangga, Jakarta, 2003.
Kenkel, James F. Introductory Statistics for Management and Economics. Fourth Ed., Duxbury Press.1996.
Noegroho Boedijoewono, Drs, Pengantar Statistik Ekonomi dan Perusahaan, Jilid 1 dan 2, UPP AMP YKPN, Jogjakarta, 2000.
