KARAKTERISTIK ALIRAN PANAS DALAM LOGAM PENGHANTAR LISTRIK THE CHARACTERISTICS OF HEAT FLOW IN AN ELECTRICAL METAL CONDUCTOR

KARAKTERISTIK ALIRAN PANAS DALAM LOGAM PENGHANTAR LISTRIK

THE CHARACTERISTICS OF HEAT FLOW IN AN ELECTRICAL METAL CONDUCTOR

Diusulkan oleh :

Mudmainnah Farah Dita NRP. 1209 100 008

Dosen Pembimbing :

Prof. DR. Basuki Widodo, M.Sc. NIP. 19650605 1989031 002

Bidang Studi: Simulasi dan Pemodelan Matematika JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA 2013

LATAR BELAKANG

Kurangnya Informasi Mengenai Aliran Panas Dalam Logam Penghantar Listrik

Perlunya Penyelesaian Untuk Model Aliran Panas Yang Lebih Sederhana

RUMUSAN MASALAH

?

Model Aliran Panas Pada Logam Penghantar Listrik

Aplikasi Transformasi

Laplace

Simulasi Visualisasi

BATASAN MASALAH

1. Penyelesaian persamaan aliran panas menggunakan transformasi Laplace.

2. Logam penghantar listrik yang digunakan adalah logam kabel berpenampang lingkaran dengan hambatan hanya dari

materi penghantar tersebut dan arus listrik yang diberikan hanya berasal dari satu sumber input.

3. Simulasi dengan MATLAB versi 7.7.0 dan visualisasi model diselesaikan dengan menggunakan Surfer versi 8.0

4. Logam yang akan dikaji pada tugas akhir ini adalah : perak, tembaga, aluminium, besi dan emas.

TUJUAN PENELITIAN

1. Menganalisis, mencari solusi dari persamaan aliran

panas dalam logam penghantar listrik yang

berpenampang lingkaran menggunakan transformasi

Laplace.

2. Mensimulasikan kondisi bahan dan karakteristik lain

dari logam penghantar listrik menggunakan software

MATLAB.

3. Memvisualisasikan hasil simulasi tersebut untuk

mengetahui pola aliran panas dalam penghantar

listrik menggunakan software Surfer.

MANFAAT PENELITIAN

1. Memberikan kontribusi pada bidang matematika

terapan, khususnya untuk aplikasi transformasi

Laplace.

2. Memberikan informasi karakteristik, pola aliran listrik

kepada stake holders (pemangku kepentingan)

tentang aliran panas dalam penghantar listrik.

3. Solusi yang dipakai merupakan penyelesaian alternatif

dalam menyelesaikan persamaan/permasalahan

aliran panas, khususnya dalam logam penghantar

listrik.

TRANSFORMASI LAPLACE

Transformasi Laplace dari fungsi 𝑓 𝑡 didefinisikan sebagai [7]:

ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 𝑒

−𝑠𝑡

∞

0

𝑓 𝑡 d𝑡

Sedangkan untuk invers transformasi Laplace didefinisikan sebagai :

ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡

Untuk transformasi Laplace dari fungsi-fungsi elementer dapat dilihat pada tabel transformasi Laplace untuk fungsi elementer.

Tabel Transformasi Laplace untuk Fungsi Elementer

Sumber : Spiegel, Murray, R, 1999. Transformasi Lapalce.

𝑓 𝑡 ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 1. 1 ₁ 𝑠 𝑠 > 0 2. 𝑡𝑛 𝑛 = 1, 2, 3, … _𝑛! 𝑠𝑛+1 𝑠 > 0 3. 𝑡𝑝 𝑝 > −1 _{Γ 𝑝 + 1} 𝑠𝑝+1 𝑠 > 0 4. 𝑒𝑎𝑡 ₁ 𝑠 − 𝑎 𝑠 > 𝑎 5. cos 𝜔𝑡 𝑠 𝑠2_{+ 𝜔}2 𝑠 > 0 6. sin 𝜔𝑡 𝜔 𝑠2_{+ 𝜔}2 𝑠 > 0 7. cosh 𝑎𝑡 𝑎 𝑠2_{− 𝑎}2 𝑠 > 𝑎 8. sinh 𝑎𝑡 𝑠 𝑠2_{− 𝑎}2 𝑠 > 𝑎

VISUALISASI MODEL ALIRAN PANAS

• Visualisasi model aliran panas dilakukan dengan menggunakan bantuan software Surfer 8.

• Data diambil dari hasil simulasi MATLAB dibawa ke program surfer 8.

• Hasil menunjukkan countur dari aliran panas panas yang terjadi pada masing-masing logam penghantar listrik.

• Hasil visualisasi Perak

• Hasil Visualisasi Tembaga

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1

• Hasil visualisasi Aluminium

• Hasil Visualisasi Besi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1

• Hasil visualisasi Emas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.5 1

KESIMPULAN

• Persamaan aliran panas pada logam penghantar listrik merupakan persamaan dimensi panas pada satu dimensi yaitu : 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝛼2 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 dengan 𝛼2 = _𝜎𝜌𝐾

• Penyelesaian persamaan panas dengan tranformasi Laplace secara umum diberikan oleh : 𝑈_𝑥𝑥 𝑥, 𝑠 − 𝑠

𝛼2𝑈 𝑥, 𝑠 = −

1

𝛼2𝑈0 𝑥

dengan selanjutnya menyelesaikan syarat batas yang diberikan dengan menggunakan invers transformasi Laplace.

• Aliran Panas dalam logam pengahantar listrik disebabkan oleh faktor-faktor karakteristik masing-masing jenis logam seperti, massa jenis, kalor jenis dan konduktivitas termal logam.

• Logam penghantar listrik yang baik adalah logam penghantar yang tidak menimbulkan panas yang besar sehingga dapat menyebabkan penggunaan logam sebagai penghantar listrik lebih awet dan tahan lama. • Berdasarkan hasil simulasi dan visualisasi yang dilakukan maka logam penghantar listrik yang terbaik

diberikan oleh logam besi sebagai penghantar listrik karena semakin besar suhu rata-rata yang dicapai logam penghantar listrik, semakin besar pula panas yang akan ditimbulkan.

SARAN

• Keterbatasan yang diberikan pada batasan

masalah dapat dikembangkan untuk

penelitian selanjutnya.

• Penggunaan program surfer sangat terbatas

dalam menunjukkan aliran panas , sehingga

untuk selanjutnya diharapkan dapat

digunakan program lain yang dapat

DAFTAR PUSTAKA

[[1] Buchor, L. 2011. “Perpindahan Panas (Heat Transfer)”. Semarang : Universitas Diponegoro

[2] Carslaw, HS., Jaeger J.C. 1959. Conduction of Heat in Solids. England : Oxford

Univ Press

[3] Fidiyah, S. 2006. “Aplikasi Transformasi Laplace Pada Penyelesaian Persamaan Aliran Panas dan Persamaan Gelombang”. Malang : Universitas Muhammadiyah Malang

[4] Holman, JP. 1995. “Perpindahan Kalor”. Jakarta : Erlangga

[5] Spiegel, Murray, R, 1999. Transformasi Lapalce. Jakarta: Penerbit Erlangga. [6] Utomo, A. “Modul : Transformasi Laplace”. Jakarta : Universitas Indonesia

[7] Widodo, B., Fatahillah, A., Rahayuningsih, T. 2011. Mathematical Modelling and Numerical Solution of Iron Corrosion Problem Based on Condensation Chemical Properties. Austrlian Journal of Basic and Applied Sciences, 5(1), PP.79-86.

DAFTAR PUSTAKA

[8] Widodo, B. 2011. “Modul : Heat Transfer”. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh

Nopember

[9] Zuhair. 2007. “Transformasi Laplace dari Diferensial dan Integral”. Jakarta : Universitas Mercu Buana

[10] http://edyyuliono.blogspot.com/2010/07/ilmu-bahan listrik.html

Diakses tanggal 25 Agustus 2012

[11] http://id.m.wikipedia.org/wiki/Templat:Kotak_infoemas

Diakses tanggal 8 September 2012

[12] http://www.4shared.com/kapasitas_kalor_dan_kalor_jeni.html

Diakses tanggal 7 Oktober 2012

13] http://id.wikipedia.org/wiki/Massa_jenis

Diakses tanggal 7 Oktober 2012

[14] http://id.scribd.com/doc/89620482/Pdp-Orde2-Print Diakses tanggal 14 Oktober

PENYELESAIAN PERSAMAAN ALIRAN PANAS

Bentuk umum persamaan panas satu dimensi diberikan oleh :

𝜕𝑢

𝜕𝑡 = 𝛼2

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2

ekivalen dengan bentuk :

𝑢_𝑡 = 𝛼2𝑢_𝑥𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 (5) dengan syarat awal 𝑢 𝑥, 0 = 𝑢₀ 𝑥 dan syarat batas 𝑢 𝑎, 𝑡 = 𝑢₁ 𝑡 dan 𝑢 𝑏, 𝑡 = 𝑢₂ 𝑡 .

Misalkan transformasi Laplace untuk 𝑢 𝑥, 𝑡 terhadap variabel 𝑡 diberikan oleh :

• Persamaan (6) dapat disederhanakan dengan menggunakan aturan integral parsial sebagai berikut :

𝑈 𝑥, 𝑠 = 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒−𝑠𝑡

∞

0

𝑑𝑡

• Misalkan 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) maka 𝑑𝑢 = 𝑢_𝑡 𝑑𝑡 dan 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡

maka 𝑣 = − 1_𝑠 𝑒−𝑠𝑡, sehingga dapat diperoleh penyelesaian

dari persamaan (4.2.2) berikut ini :

𝑈 𝑥, 𝑠 = 𝑢 𝑥, 𝑡 ∙ − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑡 − − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑡𝑢𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 (7)

• Sehingga dapat diperoleh persamaan sebagai berikut :

• Bentuk ini dapat mewakili transformasi Laplace untuk 𝑢_𝑡

terhadap variabel 𝑡 yang dapat dituliskan dalam persamaan (9) berikut ini :

ℒ 𝑢_𝑡 𝑥, 𝑡 = 𝑈_𝑡 𝑥, 𝑠 = 𝑠 ∙ 𝑈 𝑥, 𝑠 + 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 (9)

• Sehingga diperoleh penyelesaian dengan transformasi Laplace untuk persamaan (5) sebagai berikut :

ℒ 𝑢_𝑡 𝑥, 𝑡 = ℒ 𝛼2𝑢_𝑥𝑥 𝑥, 𝑡

• Bentuk ini ekivalen dengan :

𝑈_𝑡 𝑥, 𝑠 = 𝛼2𝑈_𝑥𝑥 𝑥, 𝑠

• Dengan suibstitusi nilai yang ada maka diperoleh :

𝑠 ∙ 𝑈 𝑥, 𝑠 + 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 = 𝛼2𝑈_𝑥𝑥 𝑥, 𝑠 (10)

• Syarat batas yang diberikan yakni, 0 sampai tak hingga

untuk 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 maka diperoleh : 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 = −𝑢 0, 𝑡 =

Sehingga diperoleh persamaan (10) dapat disederhanakan sebagai berikut :

𝑢_𝑥𝑥 𝑥, 𝑠 − _𝛼𝑠₂ 𝑈 𝑥, 𝑠 = −_𝛼1₂ 𝑈₀ 𝑥 (11)

dengan kondisi batas 𝑈 𝑎, 𝑠 = 𝑈₁ 𝑠 , 𝑈 𝑏, 𝑠 = 𝑈₂ 𝑠 setelah

menyelesaikan syarat batas 𝑢 𝑥, 𝑡 dapat diperoleh dengan menghitung invers transformasi Laplace 𝑈 𝑥, 𝑠 . Persamaan (11) inilah yang merupakan penyelesaian umum untuk persamaan panas dengan menggunakan transformasi Laplace.

• Salah satu contoh penggunaan penyelesaian persamaan panas untuk transformasi Laplace, dapat dilihat pada contoh berikut :

• Misalkan 𝑢 𝑥, 0 = 0 dan syarat awal 𝑢 0, 𝑡 = 𝑓 𝑡 maka persamaan panas dimensi satu dapat diubah menjadi :

𝑈_𝑥𝑥 𝑥, 𝑠 − 𝑞2𝑈 𝑥, 𝑠 = 0 dengan 𝑞2 = 𝑠 dan kondisi batas 𝑈 0, 𝑠 = 𝐹 𝑠 _𝛼2

solusi yang mensyaratkan agar solusi terbatas untuk 𝑥 → ∞ dipenuhi oleh : 𝑈 𝑥, 𝑠 = 𝐹 𝑠 𝑒−𝑞𝑥

• Untuk 𝑓 𝑡 = 𝐶 penyelesaianya diperoleh sebagai berikut : 𝑈 𝑥, 𝑠 = 𝐶 ∙ 𝑒−𝑞𝑥

Sehingga dari tabel transformasi Laplace yang diberikan diperoleh : 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝐶 erfc 𝑥

2𝛼 𝑡

dengan erfc 𝑢 = 1 − erf 𝑢 dengan erf 𝑢 = 2_𝜋 𝑒₀𝑢 −𝑦2 𝑑𝑦 fungsi erfc 𝑢 dan erf 𝑢 secara berturut-turut merupakan complementary eror function dan eror function.

• Untuk sembarang syarat awal 𝑓 𝑡 solusinya diberikan oleh : 𝑈 𝑥, 𝑡 = 𝑥 2𝛼 𝜋 𝑓 𝑡 𝑒−𝑥2 4𝛼2 𝑡 − 𝑦 𝑡 − 𝑦 3 2 𝑑𝑦 𝑡 0

SIMULASI MODEL ALIRAN PANAS

• Simulasi model aliran panas dilakukan dengan menggunakan bantuan software MATLAB versi 7.7.0.

• Kondisi batas diberikan oleh : 𝑈 0, 𝑡 = 120°, 𝑈 1, 𝑡 = 120° dan 𝑈 𝑥, 0 = 25°.

• Kondisi batas yang diberikan tersebut, merupakan kondisi Dirichlet dengan asumsi bahwa masing-masing ujung logam penghantar listrik dalam

keadaan panas sedangkan tengah-tengah dari logam penghantar listrik dipertahankan dalam keadaan suhu kamar. Selanjutnya akan dihitung bagaimna pola aliran panas yang akan terjadi pada logam penghantar listrk tersebut secara keseluruhan.

• Dengan 𝛼2 = _𝜍𝜌𝐾 yang selanjutnya disebut diffusivitas logam maka untuk setiap logam penghantar listrik diperoleh data sebagai berikut : Jenis Logam Konduktivitas Termal (K) W/M°C Massa Jenis (𝜌) Kg/m3 Kalor Jenis (𝜍) J/Kg°C 𝛼2₌ 𝐾 𝜍𝜌 Perak (murni) 410 10.500 230 0,00017 Tembaga (murni) 385 8920 390 0,000111 Aluminium (murni) 202 2.700 900 _8,31E-05 Besi (murni) 73 7.900 450 2,05E-05 Emas 318 19.300 126 _0,000131

• Simulasi yang dilakukan menggunakan m.file pada MATLAB yang dapat dilihat prosesnya dari flowchart simulasi sebagai berikut :

Gambar 4.4 Flowchart Kerja Sistem

START

Proses Diferensiasi

Input Nilai Awal dan Rentang Integrasi

Perhitungan Nilai Suhu

Input Diffusivitas Logam

Nilai rata-rata temperatur(suhu) yang dicapai oleh

masing-masing logam dengan memberikan perlakuan atau batasan yang sama dapat dilihat pada tabel berikut :

Logam Penghantar Listrik Rata-Rata Temperatur

Perak 38,77

Tembaga 37,38

Aluminium 36,65

Besi 34,76

Emas 37,87

Tabel 4.7 Rata-Rata Suhu yang Dicapai

ALIRAN PANAS

Aliran panas pada tugas akhir ini adalah aliran panas yang

terjadi secara konduksi. Persamaan aliran panas konduksi

secara umum didefinisikan oleh [6]:

𝑞 = −𝑘𝐴

𝑑𝑇

𝑑𝑥

LOGAM PENGHANTAR LISTRIK

a. Logam penghantar listrik sering dijumpai pada kabel listrik.

b. Logam yang dapat digunakan sebagai penghantar listrik ini, selanjutnya disebut sebagai konduktor listrik.

c. Setiap konduktor listrik mempunyai nilai konduktivitas termal sebagai penghantar panas yang berbeda-beda.

Tabel Konduktivitas ternal logam

Sumber : JP, Holman.1995

Bahan Konduktivitas termal (k)

W/M°C Perak (murni) 410 Tembaga (murni) 385 Aluminium (murni) 202 Besi (murni) 73 Emas 318

ALUR KONSEPTUAL PENELITIAN

Kajian Pustaka

Penggunaan Transformasi Laplace Analisis Aliran Panas

Simulasi Model dengan MATLAB

ANALISA ALIRAN PANAS

Kontruksikan model aliran panas dalam penghantar listrik sepanjang L : L Konduktor Isolator

• Panas akan mengalir searah dengan kenaikan suhu. Rata-rata aliran panas sebanding dengan gradien suhu. Dalam

persamaan satu dimensi dapat didefinisikan rata-rata aliran panas sebagai berikut :

Rata-rata aliran panas = −𝐾𝐴 𝑑𝑢_𝑑𝑥 (1)

• Karena kawat penghantar listrik dilapisi isolator maka panas hanya mengalir searah sumbu-x dan konservasi panas terjadi pada segmen kawat [𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥].

• Rata-rata aliran panas yang mengalir dibagian belakang

dirumuskan dengan −𝐾𝐴 _𝜕𝑥𝜕𝑢

𝑥

• Rata-rata aliran panas yang mengalir dibagian depan

didefinisikan dengan −𝐾𝐴 _𝜕𝑥𝜕𝑢

𝑥+∆𝑥

• Total panas yang mengalir dari dan keluar elemen ini adalah perubahan rata-rata aliran panas di bagian depan dan

belakang, sehingga dapat dirumuskan :

∆𝑕𝑒𝑎𝑡𝑓𝑙𝑢𝑥 = −𝐾𝐴 𝜕𝑢

𝜕𝑥_𝑥+∆𝑥 − 𝜕𝑢

• Total kuantitas panas dari elemen ini adalah 𝜎𝜌𝛥𝑥𝐴𝑢, dengan 𝜎 = kalor jenis dan 𝜌= massa jenis.

• Karena terjadi pendinginana saat aliran listrik dihentikan, maka dapat dituliskan perubahan energi panasnya sebagai berikut :

∆𝑕𝑒𝑎𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 = 𝜎𝜌∆𝑥𝐴 𝜕𝑢_𝜕𝑡 (3)

• Berdasarkan hukum kekekalan energi maka : 𝛥𝑕𝑒𝑎𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 + 𝛥𝑕𝑒𝑎𝑡𝑓𝑙𝑢𝑥 = 0 𝛥𝑕𝑒𝑎𝑡 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 = −𝛥𝑕𝑒𝑎𝑡 𝑓𝑙𝑢𝑥 𝜎𝜌∆𝑥𝐴 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝐾𝐴 𝜕𝑢 𝜕𝑥_𝑥+∆𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑥_𝑥

sehingga diperoleh : 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝐾 𝜎𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝑥_𝑥+∆𝑥 − 𝜕𝑢𝜕𝑥_𝑥 ∆𝑥

Jika diambil 𝛥𝑥 → 0, maka diperoleh persamaan panas satu dimensi sebagai berikut :

𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝐾 𝜎𝜌 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2

Bentuk K/σρ disebut sebagai difusifitas dan sering

dituliskan sebagai α2_{. Sehingga persamaan panas dalam satu}

dimensi dapat dituliskan sebagai :

𝜕𝑢

𝜕𝑡 = 𝛼2 𝜕

2_𝑢

𝜕𝑥2 (4)