PENERAPAN METODE PENGGEROMBOLAN BERDASARKAN GAUSSIAN MIXTURE MODELS DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION MAXIMIZATION ULA SUSILAWATI

(1)

PENERAPAN METODE PENGGEROMBOLAN

BERDASARKAN GAUSSIAN MIXTURE MODELS

DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION

MAXIMIZATION

ULA SUSILAWATI

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(2)

RINGKASAN

ULA SUSILAWATI. Penerapan Metode Penggerombolan Berdasarkan Gaussian Mixture Models dengan Menggunakan Algoritma Expectation Maximization. Dibimbing oleh BUDI SUSETYO dan UTAMI DYAH SYAFITRI.

Model-based clustering bertujuan untuk mengoptimalkan kemiripan antara individu dengan menggunakan pendekatan model probabilistik. Keseluruhan data diasumsikan berasal dari campuran dua atau lebih sebaran peluang dengan proporsi tertentu. Data dapat digerombolkan dengan menggunakan Gaussian Mixture Models (GMM), yaitu mixture dari G sebaran peluang Gaussian. Masing-masing sebaran mewakili suatu gerombol dengan parameter tertentu. Parameter tersebut diduga menggunakan algoritma Expectation Maximization (EM) dengan nilai awal parameter diperoleh dari agglomerative hierarchical clustering. Metode ini menggunakan Bayes Information Criterion (BIC) untuk menentukan jumlah gerombol terbaik dengan berbagai karakteristik geometrik matriks peragam dari sebaran Gaussian. Dalam penelitian ini, GMM diterapkan pada beberapa pola sebaran data. Data dibangkitkan dari sebaran Gaussian dengan beberapa kondisi parameter, antara lain parameter vektor rataan dan matriks peragam ketiga gerombol identik, vektor rataan ketiga gerombol identik dengan matriks peragam yang berbeda, vektor rataan yang berbeda dengan matriks peragam yang identik, dan terakhir adalah parameter vektor rataan dan matriks peragam yang berbeda. Keefektifan GMM pada data tersebut dapat diketahui dengan menghitung rataan tingkat kesalahan klasifikasi. Kondisi lain yang dipertimbangkan dalam membangkitkan data adalah jarak antar pusat gerombol dan keragaman setiap gerombol untuk melihat keefektifan metode jika ketiga gerombol saling berjauhan, saling berdekatan, maupun saling tumpang tindih.

Hasil simulasi menunjukkan bahwa GMM efektif memisahkan gerombol yang memiliki pola

sebaran dengan ragam setiap peubah pada setiap gerombol bernilai kecil dan

dengan jarak antar pusat gerombol yang besar. Rataan tingkat kesalahan klasifikasi berkurang jika jarak antar pusat gerombol semakin besar, hal ini disebabkan oleh semakin sedikitnya amatan yang saling tumpang tindih dengan amatan pada gerombol yang lain. Ragam setiap peubah yang besar juga dapat meningkatkan tingkat kesalahan klasifikasi. Gerombol dengan ragam antar peubah pada setiap gerombol yang lebih besar daripada jarak antar pusat gerombol, memiliki rataan tingkat kesalahan klasifikasi yang sangat besar. Sedangkan untuk kasus dengan atau tanpa adanya korelasi tidak mempengaruhi tingkat kesalahan klasifikasi.

(3)

PENERAPAN METODE PENGGEROMBOLAN

BERDASARKAN GAUSSIAN MIXTURE MODELS

DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION

MAXIMIZATION

ULA SUSILAWATI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Statistika pada

Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(4)

Judul Skripsi : Penerapan Metode Penggerombolan Berdasarkan Gaussian Mixture

Models dengan Menggunakan Algoritma Expectation Maximization

Nama

: Ula Susilawati

NRP

: G14061319

Menyetujui:

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. Budi Susetyo, MS

Utami Dyah Syafitri, S.Si,M.Si

NIP 196211301986031003

NIP 197709172005012001

Mengetahui:

Ketua Departemen Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si

NIP 196504211990021001

(5)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Garut pada tanggal 17 Nopember 1988. Penulis merupakan putri ketiga dari pasangan Ayung Wahyudin dan Yeti Sumiati.

Penulis menyelesaikan sekolah dasar pada tahun 2000 di SD Negeri Paminggir IV, kemudian melanjutkan studi di SMP Negeri 1 Garut hingga tahun 2003. Selanjutnya, penulis menyelesaikan pendidikan sekolah menengah atas hingga tahun 2006 di SMA Negeri 1 Tarogong Garut. Pada tahun 2006 penulis melanjutkan studi di Institut Pertanian Bogor melalui Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Setelah satu tahun menjalani perkuliahan Tingkat Persiapan Bersama (TPB), pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Statistika FMIPA IPB, dengan minor Ilmu Konsumen. Selama masa kuliah penulis aktif sebagai anggota himpunan keprofesian Gamma Sigma Beta (GSB). Penulis juga berkesempatan menjadi asisten Metode Statistika dan Perancangan Percobaan I pada tahun 2009. Penulis pernah menjadi tim khusus pada acara Statistika Ria 2008, Pesta Sains 2008 dan Lomba Jajak Pendapat Statistika 2009. Penulis melaksanakan kegiatan praktik lapang di Lembaga Survei Indonesia selama bulan Februari hingga April 2010.

(6)

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelasaikan karya ilmiah dengan judul “Penerapan Metode Penggerombolan Berdasarkan Gaussian Mixture Models dengan Menggunakan Algoritma Expectation Maximization”. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW, beserta keluarga, sahabat, dan umatnya. Karya ilmiah ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan karya ilmiah ini, yaitu kepada:

1. Bapak Dr. Ir. Budi Susetyo, MS dan Ibu Utami Dyah Syafitri, S.Si, M.Si selaku pembimbing yang telah membimbing, mengarahkan, dan memberikan masukan serta perhatiannya kepada penulis.

2. Ibu Dr. Ir. Erfiani, MS selaku penguji luar pada ujian skipsi saya. Terima kasih atas saran dan masukannya.

3. Kedua orang tua, suami, dan Rasha Abqari Pratama atas doa dan dukungan yang tiada terputus untuk penulis.

4. Staf Dosen, Tata Usaha dan Perpustakaan Departemen Statistika FMIPA IPB.

5. Teman-teman mahasiswa Departemen Statistika FMIPA IPB angkatan 43 dan 44 atas diskusi dan motivasi yang diberikan kepada penulis.

Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan yang telah diberikan kepada penulis dan semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membutuhkan.

Bogor, Mei 2011

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

PENDAHULUAN ... 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

TINJAUAN PUSTAKA ... 1

Gaussian Mixture Models (GMM) ... 1

Algoritma Expectation Maximization (EM) ... 2

Penentuan Jumlah Gerombol ... 3

METODOLOGI ... 3

Data ... 3

Metode ... 5

HASIL DAN PEMBAHASAN ... 6

Ketiga Gerombol Berasal dari Populasi Identik ... 6

Ketiga Gerombol Berasal dari Populasi Berbeda ... 7

SIMPULAN DAN SARAN ... 9

Simpulan ... 9

Saran ... 9

DAFTAR PUSTAKA ... 10

(8)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 1. Interpretasi geometrik dari berbagai parameterisasi sebaran Gaussian

pada Mclust ... 2 Tabel 2. Deskripsi setiap kasus simulasi yang dibangkitkan ... 4 Tabel 3. Rataan tingkat kesalahan klasifikasi setiap kasus simulasi ... 8

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1. Rataan tingkat kesalahan klasifikasi pada kasus simulasi dimana

ketiga gerombol berasal dari populasi identik ... 7 Gambar 2. Rataan tingkat kesalahan klasifikasi pada kasus simulasi dimana

ketiga gerombol berasal dari populasi berbeda ... 9 Gambar 3. Rataan miss classification rate pada setiap kasus simulasi ... 9

(9)

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Analisis gerombol merupakan suatu

metode yang membagi individu ke dalam kelompok yang bermakna dan berguna. Analisis gerombol mengelompokkan objek berdasarkan informasi yang diperoleh pada

data yang menggambarkan objek dan

keterkaitannya. Tujuannya adalah membentuk gerombol dimana objek-objek yang terletak pada gerombol yang sama relatif lebih homogen dibandingkan dengan objek pada gerombol yang lain.

Secara umum terdapat dua metode penggerombolan, yaitu metode hirarki dan metode nonhirarki. Metode hirarki dimulai dengan mengelompokkan dua atau lebih objek yang mempunyai kesamaan paling dekat, kemudian berlanjut pada objek selanjutnya sehingga gerombol terlihat membentuk hirarki yang jelas antar objek, hasil penggerombolannya

dapat digambarkan melalui dendogram.

Metode hirarki digunakan bila banyaknya gerombol yang akan dibentuk tidak diketahui sebelumnya dan banyaknya amatan tidak

terlalu besar. Sedangkan pada metode

nonhirarki, proses penggerombolan dimulai dengan terlebih dahulu menentukan jumlah

gerombol. K-means merupakan metode

nonhirarki yang paling banyak digunakan (Johnson & Wichern 2002).

Metode nonhirarki lainnya adalah metode

penggerombolan dengan menggunakan

mixture model. Mixture model dapat

diterapkan pada data kategorik, kontinyu maupun keduanya, metode ini juga dapat mengidentifikasi pencilan dan pemilihan gerombol berdasarkan kriteria tertentu (McLachlan & Basford 1988). K-means

menggunakan jarak metrik dalam

mendefinisikan setiap gerombol yang

terbentuk, sedangkan metode penggerombolan berdasarkan mixture model menggunakan distribusi statistik dalam mendefinisikan setiap gerombl yang terbentuk.

Model-based clustering ini bertujuan untuk mengoptimalkan kemiripan antara individu dengan menggunakan pendekatan model probabilistik. Pendekatan tersebut dapat memodelkan data yang dimiliki dengan menerapkan pengaturan karakteristik yang

berbeda-beda dan menentukan jumlah

gerombol yang sesuai dengan data seiring proses pemodelan karakteristik dari masing-masing gerombol tersebut.

Metode ini mengasumsikan bahwa

keseluruhan individu adalah campuran dari G

sebaran peluang, mewakili G gerombol, dimana masing-masing sebaran secara khas mempunyai parameter sebaran. Salah satu metode yang digunakan untuk menduga

parameter adalah melalui algoritma

Expectation Maximization (EM). Algoritma EM merupakan algoritma iteratif populer yang dapat digunakan untuk menemukan penduga parameter dengan memaksimumkan fungsi loglikelihood. EM dimulai dengan inisialisasi nilai awal dugaan parameter mixture model, kemudian secara iteratif memperbaharui dugaan parameternya. Inisialisasi nilai awal

diperoleh menggunakan agglomerative

hierarchical clustering, sedangkan banyaknya gerombol ditentukan dengan menggunakan Bayes Information Criterion (BIC). Penerapan metode ini pada data kontinyu dapat menggunakan Gaussian Mixture Models (GMM).

Tujuan

Tujuan penelitian ini adalah menerapkan

metode penggerombolan menggunakan

Gaussian Mixture Models (GMM) terhadap

beberapa pola sebaran data kemudian

membandingkan hasil penggerombolan

dengan klasifikasi yang sebenarnya.

TINJAUAN PUSTAKA

Gaussian Mixture Models (GMM) Model-based clustering mengasumsikan bahwa data dibangkitkan oleh campuran dari

sebaran peluang dengan masing-masing

komponen mewakili gerombol berbeda,

sehingga dapat memodelkan atau

mengelompokkan individu di dalam suatu data set menjadi kelompok-kelompok data yang sebelumnya tidak terdefinisi. Apabila model merupakan mixture dari G komponen Gaussian, maka disebut Gaussian Mixture Models.

Likelihood mixture model dengan G komponen didefinisikan sebagai:

dimana y1, y2, …, yn merupakan pengamatan

yang saling bebas dan merupakan fungsi kepekatan peluang dari parameter pada komponen ke-k dalam mixture, merupakan peluang suatu pengamatan berada pada

komponen ke-k .

(10)

2

1 jika berada pada gerombol ke-k

0

lainnya

Tabel 1. Interpretasi geometrik dari berbagai parameterisasi sebaran Gaussian pada Mclust (Fraley & Raftery 2010)

Pengidentifikasi Model Sebaran Volume Bentuk Orientasi

E (univariate) Sama

V (univariate) Variabel

EII Spherical Sama Sama NA

VII Spherical Variabel Sama NA

EEI Diagonal Sama Sama Coordinate axes

VEI Diagonal Variabel Sama Coordinate axes

EVI Diagonal Sama Variabel Coordinate axes

VVI Diagonal Variabel Variabel Coordinate axes

EEE Ellipsoidal Sama Sama Sama

EEV Ellipsoidal Sama Sama Variabel

VEV Ellipsoidal Variabel Sama Variabel

VVV Ellipsoidal Variabel Variabel Variabel

kepekatan peluang normal ganda (Gaussian), , dengan parameter vektor rataan dan

matriks peragam didefinisikan sebagai:

Pada GMM, setiap gerombol berbentuk ellipsoidal yang terpusat di . Matriks

peragam menentukan karakteristik

geometrik yaitu bentuk, volume, dan orientasi (Fraley & Raftery 2002).

Banfield dan Raftery (1993)

mengembangkan kerangka metode ini dengan memparameterisasi matriks peragam melalui dekomposisi nilai ciri dalam bentuk

dimana merupakan matriks ortogonal dari

vektor ciri, merupakan matriks diagonal yang elemennya proposional terhadap nilai

ciri dari dan merupakan skalar.

Karakteristik geometrik tersebut dapat dibuat beragam antar gerombol atau dibuat sama.

Interpretasi geometrik dari berbagai

parameterisasi sebaran Gaussian pada

Mclust dapat dilihat pada Tabel 1. Parameter GMM diduga menggunakan algoritma iteratif Expectation Maximization.

Algoritma Expectation Maximization (EM)

Algoritma EM merupakan pendekatan umum Maximum Likelihood (ML) untuk data yang tidak lengkap. Data terdiri dari n pengamatan peubah ganda yang diperoleh

dari , dimana merupakan peubah

yang teramati dan merupakan peubah yang

tidak teramati, yaitu peubah yang

menempatkan objek masuk ke gerombol tertentu. Jika saling bebas dan terdistribusi identik menurut sebaran peluang f dengan

parameter , maka likelihood data lengkap adalah

sedangkan likelihood data yang tidak lengkap adalah:

Penduga ML untuk berdasarkan data

teramati dengan memaksimumkan .

Algoritma EM merupakan metode iteratif, dimana dalam setiap iterasinya terdiri dari dua tahap. Expectation-Step (E-Step), tahap ini menghitung nilai harapan bersyarat dari fungsi loglikelihood data lengkap menggunakan penduga parameternya. Maximization-Step (M-Step), tahap ini menghitung parameter yang memaksimalkan nilai harapan dari fungsi loglikelihood yang diperoleh pada E-Step.

Algoritma EM dalam mixture model menyatakan bahwa data lengkap

, dimana

merupakan bagian dari data yang tidak teramati, dengan

Asumsikan bahwa saling bebas dan

terdistribusi identik berdasarkan sebaran multinomial dari G kategori dengan peluang . Fungsi kepekatan peluang dari pengamatan yang diberikan oleh adalah sehingga loglikelihood data lengkap adalah :

(11)

3

E-Step pada algoritma EM untuk GMM adalah:

Sedangkan pada M-Step, penduga parameter

yang memaksimalkan , dihitung

menggunakan yang dihitung pada E-Step (Fraley & Raftery 2002).

Algoritma EM membutuhkan inisialisasi

nilai awal untuk yang dapat

ditentukan menggunakan agglomerative

hierarchical clustering dengan model

. Metode ini dimulai dengan menjadikan setiap individu sebagai gerombol

kemudian digabungkan sehingga

memaksimalkan classification likelihood

(Fraley & Raftery 1998). Ketika dibuat

beragam antar gerombol, nilai loglikelihood

maksimum dapat diperoleh dengan

meminimumkan kriteria:

dimana (Fraley 1996).

Penentuan Jumlah Gerombol

Jumlah gerombol terbaik dapat ditentukan dengan memilih model terbaik. Pendekatan yang umum digunakan sebagai kriteria pemilihan model adalah Bayes Information Criterion (BIC). Nilai untuk BIC dapat diperoleh dengan menggunakan rumus:

dimana adalah likelihood dari data

untuk model , adalah loglikelihood

mixture maksimum untuk model dan adalah jumlah parameter bebas yang diduga

dalam model. Model terbaik dipilih

berdasarkan nilai BIC terbesar.

Metode penggerombolan menggunakan

algoritma EM dengan nilai awal

menggunakan agglomerative hierarchical

clustering untuk GMM dapat diterapkan menggunakan paket Mclust ver 3.4.8 pada R ver 2.12.1.

METODOLOGI

Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi yang dibangkitkan dengan menggunakan fungsi mvrnorm pada

program R ver 2.12.1. Setiap kasus simulasi terdiri dari tiga gerombol yang dibangkitkan dari sebaran normal ganda (Gaussian) dengan empat peubah. Gerombol yang dibangkitkan masing-masing sebanyak seratus amatan sehingga peluang suatu amatan masuk ke setiap gerombol bernilai sama (

).

Penelitian ini secara garis besar

membangkitkan gerombol yang berasal dari sebaran Gaussian dengan empat kondisi parameter yaitu, parameter vektor rataan dan matriks peragam ketiga gerombol identik, vektor rataan ketiga gerombol identik dengan matriks peragam yang berbeda, vektor rataan yang berbeda dengan matriks peragam yang identik, dan terakhir adalah parameter vektor rataan dan matriks peragam yang berbeda. Selain itu peneliti juga mempertimbangkan jarak antar pusat gerombol dan keragaman setiap gerombol untuk melihat keefektifan metode jika ketiga gerombol saling berjauhan, saling berdekatan, maupun saling tumpang tindih. Besarnya jarak antar dua pusat gerombol diperoleh dengan menggunakan rumus jarak antar dua vektor, yaitu

. Berdasarkan

pertimbangan diatas, parameter vektor rataan dan matriks peragam ketiga gerombol yang dibangkitkan adalah sebagai berikut:

1. .

Ketiga gerombol berasal dari sebaran yang identik, sehingga memiliki vektor rataan dan matriks peragam yang identik. Vektor rataan ketiga gerombol adalah:

Sedangkan matriks peragam ketiga

gerombol adalah:

a. ragam peubah pada setiap gerombol

bernilai kecil , sehingga

memiliki struktur matriks peragam:

b. ragam peubah pada setiap gerombol

bernilai besar , sehingga

(12)

4

Tabel 2. Deskripsi setiap kasus simulasi yang telah dibangkitkan

1, 9, dan 25 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 1, 9, dan 25 K10 K11 K12 K13 K14 K15 K22 K23 K24 , , dan K16 K17 K18 K19 K20 K21 K25 K26 K27 2. .

Ketiga gerombol memiliki vektor rataan yang identik dengan matriks peragam yang berbeda. Vektor rataan ketiga gerombol adalah:

Sedangkan struktur matriks peragam ketiga gerombol adalah:

3. .

Ketiga gerombol memiliki vektor rataan yang berbeda dengan matriks peragam

yang identik. Kondisi yang diterapkan adalah:

a. Jarak antar pusat gerombol kecil d12=d23=5.830952 dan d13=7.071068.

Vektor rataan ketiga gerombol adalah:

Sedangkan matriks peragam ketiga gerombol yaitu:

i. ragam peubah pada setiap gerombol

bernilai kecil , struktur

matriks peragam seperti pada 1.a ii. ragam peubah pada setiap gerombol

bernilai besar , struktur

matriks peragam seperti pada 1.b b. jarak antar pusat gerombol besar

d12=d23=20.92845 dan d13=25.17936.

Vektor rataan ketiga gerombol adalah:

Sedangkan matriks peragam ketiga gerombol adalah:

(13)

5

i. ragam peubah pada setiap gerombol

bernilai kecil , struktur

matriks peragam seperti pada 1.a ii. ragam peubah pada setiap gerombol

bernilai besar , struktur

matriks peragam seperti pada 1.b

4. .

Ketiga gerombol memiliki vektor rataan dan matriks peragam yang berbeda. Kondisi yang diterapkan adalah:

a. jarak antar pusat gerombol kecil d12=d23=5.830952 dan d13=7.071068.

Vektor rataan ketiga gerombol seperti pada 3.a dan struktur matriks peragam ketiga gerombol seperti pada 2. b. jarak antar pusat gerombol besar

d12=d23=20.92845 dan d13=25.17936.

Vektor rataan ketiga gerombol seperti pada 3.b dan struktur matriks peragam ketiga gerombol seperti pada 2. Untuk mengkaji pengaruh adanya korelasi dan besar kecilnya korelasi antar peubah terhadap hasil penggerombolan, maka dicobakan =0, =0.2, dan =0.8 pada setiap kondisi di atas

( ).

Setiap kasus simulasi dilakukan sebanyak sepuluh kali ulangan. Untuk mempermudah

penelitian, maka setiap kondisi yang

diterapkan pada ketiga gerombol hasil bangkitan notasi seperti terlihat pada Tabel 2.

Metode

Tahapan yang dilakukan dalam

membangkitkan individu pada setiap kasus simulasi adalah sebagai berikut:

1. Menentukan banyak gerombol (G=3), banyak peubah (p=4), banyak amatan setiap gerombol (n1=n2=n3=100), dan

sebaran setiap gerombol (Gk~Normal

Ganda).

2. Menentukan parameter sebaran masing-masing gerombol, yaitu vektor rataan

( dan matriks peragam

( ). Matriks peragam tersebut

diperoleh dengan cara sebagai berikut:

a. Menentukan matriks yang

merupakan matriks diagonal

berdimensi 4x4 dengan elemen

diagonalnya adalah standar deviasi masing-masing peubah, k=1,2,3.

b. Menentukan matriks merupakan

matriks berdimensi 4x4 dengan

elemennya adalah korelasi antar peubah, k=1,2,3.

c. Menghitung matriks peragam masing gerombol dengan masing-masing gerombol,

3. Membangkitkan peubah acak sebanyak n1

untuk gerombol 1, .

untuk gerombol 2,

untuk gerombol 3, .

6. Menggabungkan ketiga gerombol tersebut menjadi sebuah kasus simulasi.

7. Ulangi tahap 2-6 untuk kondisi

penggerombolan yang telah ditentukan. Sedangkan tahapan yang dilakukan dalam analisis data pada setiap kasus simulasi adalah sebagai berikut:

1. Membuat plot skor komponen utama pada setiap kasus simulasi untuk melihat tebaran data dan banyaknya gerombol yang dapat terbentuk.

2. Menerapkan metode penggerombolan

berdasarkan GMM dengan menggunakan paket Mclust pada program R dengan prosedur penggerombolan sebagai berikut: a. Melakukan agglomerative hierarchical

clustering dengan menggunakan model

,

sehingga diperoleh untuk G=1,2,…,M; M merupakan jumlah gerombol maksimum. Untuk menentukan nilai awal, maka lakukan M-Step saat iterasi m=0.

b. M-Step:

tergantung model, seperti yang terdapat dalam Ceuleux & Govaert (2006).

Setelah diperoleh nilai

dan , lakukan E-Step untuk

k=1,2,…,G. c. E-Step:

(14)

6

d. Menghitung nilai loglikelihood untuk data lengkap, kemudian ulangi E-Step dan M-Step untuk iterasi ke (m+1) hingga diperoleh nilai loglikelihood yang konvergen.

e. Menghitung nilai BIC.

f. Melakukan tahap a-e untuk banyak geombol berbeda, G=1,2,…,M. g. Membandingkan nilai BIC untuk

setiap solusi gerombol yang terbentuk. Nilai BIC yang dipilih adalah nilai terbesar sehingga dapat diketahui model dan banyaknya gerombol yang sesuai dengan data.

Tahap 2 menghasilkan banyaknya

gerombol, dugaan parameter sebaran

masing-masing gerombol ), , ,

dan nilai BIC.

3. Untuk setiap kasus simulasi:

a. Membuat plot skor komponen utama dengan menggunakan warna berbeda pada setiap amatan jika berasal dari gerombol berbeda.

b. Membandingkan plot skor komponen utama pada tahap 1 dengan tahap 3a. c. Membandingkan banyaknya gerombol

yang terbentuk dengan banyak

gerombol yang sebenarnya.

d. Membandingkan dugaan parameter yang dihasilkan pada tahap 2 dengan parameter yang sebenarnya.

e. Membandingkan hasil klasifikasi tiap

amatan yang dihasilkan metode

tersebut dengan klasifikasi yang sebenarnya, kemudian buat tabel

miss-match setiap ulangan untuk

menghitung rataan miss classifications rate (tingkat kesalahan klasifikasi) setiap gerombol.

4. Membandingkan persentase rataan miss classifications rate untuk setiap kasus simulasi. Metode GMM dikatakan efektif jika mempunyai rataan tingkat kesalahan klasifikasi kurang dari 10%.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Data yang dibangkitkan untuk setiap kasus simulasi terdiri dari tiga gerombol. Ketiga gerombol tersebut berasal dari sebaran normal ganda (Gaussian) dengan parameter vektor rataan ( dan matriks peragam ( ) yang dibuat sama maupun berbeda. Terdapat 27 kasus simulasi yang dibedakan atas parameter sebaran, jarak antar pusat gerombol, ragam setiap peubah pada setiap gerombol, dan nilai korelasi.

Plot skor komponen utama dibuat untuk memperlihatkan pola tebaran data yang terbentuk sesuai dengan kondisi ketiga gerombol yang dibangkitkan pada setiap kasus simulasi. Plot tersebut dapat memberikan gambaran untuk setiap gerombol yang saling berjauhan, saling berdekatan, maupun saling tumpang tindih. Setiap amatan diberikan warna berbeda jika berasal dari gerombol yang berbeda, sesuai dengan klasifikasi yang

sebenarnya. Metode penggerombolan

berdasarkan GMM diterapkan pada setiap kasus simulasi. Untuk memberikan gambaran mengenai gerombol yang dihasilkan metode ini, dibuat plot skor komponen utama dengan memberikan warna berbeda jika berasal dari gerombol yang berbeda, sesuai dengan hasil penggerombolan berdasarkan metode tersebut. Metode ini dikatakan efektif jika memiliki rataan tingkat kesalahan klasifikasi kurang dari 10%. Semakin kecil rataan tingkat kesalahan klasifikasi, maka metode ini semakin efektif dalam menggerombolkan kasus simulasi tersebut.

Kedua plot skor utama setiap kasus simulasi yang dibuat pada salah satu ulangan dapat dilihat pada Lampiran. Misalnya plot skor komponen utama untuk K7, ketiga

gerombol memiliki pusat gerombol yang sama dengan matriks peragam yang berbeda. Data saling tumpang tindih dengan membentuk pola seperti tiga lingkaran yang mempunyai pusat yang sama dengan diameter yang berbeda. Berdasarkan hasil metode, terbentuk dua gerombol yang memiliki pusat gerombol yang hampir sama dengan matriks peragam yang berbeda. Terlihat juga bahwa gerombol 2

dan gerombol 3 didefinisikan sebagai

gerombol yang sama.

Ketiga Gerombol Berasal dari Populasi Identik [ ]

Data yang terdiri dari tiga gerombol dengan vektor rataan dan matriks peragam yang identik terdapat pada K1, K2, K3, K4, K5,

dan K6. Tiga kasus pertama memiliki ragam

setiap peubah yang kecil sedangkan tiga kasus selanjutnya memiliki ragam setiap peubah yang besar.

Metode penggerombolan berdasarkan

GMM memisahkan gerombol sehingga

masing-masing gerombol memiliki sebaran

Gaussian dengan parameter berbeda.

Penerapan metode pada kasus simulasi dengan ketiga gerombol yang berasal dari populasi identik telah menghasilkan satu gerombol. Hal ini ditemukan pada K1, K3, K4, dan K6.

(15)

7

penerapan metode ini pada nilai korelasi antar peubah sebesar 0.2 (K2 dan K5) telah

menghasilkan dua gerombol. Kedua gerombol yang dihasilkan memiliki vektor rataan berbeda dengan matriks peragam yang sama. Rataan tingkat kesalahan klasifikasi yang diperoleh untuk K2 sebesar 40.9% dan untuk

K5 sebesar 30.7%. Rataan tingkat kesalahan

klasifikasi pada tiga nilai korelasi yang dicobakan untuk kasus-kasus tersebut dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar 1. Rataan tingkat kesalahan

klasifikasi pada kasus simulasi untuk ketiga gerombol yang berasal dari populasi identik

Ketiga Gerombol Berasal dari Populasi Berbeda

Matriks peragam ketiga gerombol berbeda

[ ]

Penerapan metode penggerombolan

berdasarkan GMM pada data yang terdiri dari tiga gerombol dengan vektor rataan yang identik dan matriks peragam yang berbeda yaitu pada K7, K8, dan K9 telah menghasilkan

dua gerombol yang saling tumpang tindih. Kedua gerombol yang dihasilkan memiliki vektor rataan yang hampir sama dengan matriks peragam yang berbeda. Jumlah gerombol yang seharusnya terbentuk adalah sebanyak tiga gerombol dengan vektor rataan identik dan matriks peragam berbeda (ketiga gerombol saling tumpang tindih). Rataan tingkat kesalahan klasifikasi yang diperoleh untuk K7, K8, dan K9 secara berturut-turut

sebesar 38.5%, 39%, dan 38.8%. Metode ini kurang efektif diterapkan pada data yang saling tumpang tindih.

Vektor rataan ketiga gerombol berbeda

[ ]

K10 terdiri dari tiga gerombol yang

memiliki vektor rataan berbeda dengan jarak

antar pusat gerombol yang bernilai kecil, matriks peragam identik dengan ragam setiap peubah pada setiap gerombol bernilai kecil, dan tidak terdapat korelasi antar peubah. Penerapan metode ini pada K10 menghasilkan

tiga gerombol dengan vektor rataan berbeda dan matriks peragam yang identik. Rataan tingkat kesalahan klasifikasi yang diperoleh sebesar 0.33%. Sedangkan pada kondisi yang sama dengan korelasi sebesar 0.2 untuk K11

dan korelasi sebesar 0.8 untuk K12, setelah

metode diterapkan, terbentuk tiga gerombol tanpa adanya kesalahan klasifikasi.

Data yang terdiri dari tiga gerombol yang memiliki vektor rataan berbeda dengan jarak antar pusat gerombol yang bernilai kecil, matriks peragam identik dengan ragam antar peubah pada setiap gerombol bernilai besar yaitu terdapat pada K13, K14, dan K15.

Metode penggerombolan berdasarkan GMM menghasilkan satu gerombol dengan rataan tingkat kesalahan klasifikasi sebesar 66.67% jika diterapkan pada K13. Jumlah gerombol

berbeda pada beberapa ulangan diperoleh pada K14 dan K15. Sebanyak satu gerombol

pada lima ulangan dan dua gerombol pada ulangan lainnya dengan rataan tingkat kesalahan klasifikasi sebesar 66.9% diperoleh pada K14. Sedangkan sebanyak satu gerombol

pada tujuh ulangan dan tiga gerombol pada ulangan lainnya dengan rataan tingkat klasifikasi sebesar 50.87% diperoleh pada K15.

Ragam setiap peubah pada setiap gerombol yang bernilai besar menyebabkan amatan menyebar jauh dari rataannya, sehingga jika

jarak antar pusat gerombolnya kecil

menyebabkan banyak amatan yang tumpang tindih dengan amatan pada gerombol lain. Metode penggerombolan berdasarkan GMM tidak efektif diterapkan untuk kasus simulasi dengan pola tersebut.

K16, K17, dan K18 memiliki vektor rataan

berbeda dengan jarak antar pusat gerombol bernilai besar dan matriks peragam identik dengan ragam setiap peubah pada setiap gerombol yang bernilai kecil. Setiap amatan

cenderung menggerombol di sekitar

rataannya. Penerapan metode pada ketiga kasus tersebut menghasilkan tiga gerombol tanpa adanya kesalahan klasifikasi.

Hasil penggerombolan pada K19, K20, dan

K21 menghasilkan tiga gerombol dengan

rataan tingkat kesalahan klasifikasi masing-masing sebesar 2.53%, 1.2% dan 0%. Kasus-kasus simulasi tersebut memiliki vektor rataan berbeda dengan jarak antar pusat gerombol yang besar, matriks peragam identik dengan ragam setiap peubah yang besar.

0 20 40 60 0 0.2 0.8 ra ta an t in g k at k esal ah an k la si fi k asi ( %) korelasi 1.a 1.b

(16)

8

Tabel 3. Rataan tingkat kesalahan klasifikasi setiap kasus simulasi

1, 9, dan 25 0 40.9±9.29 0 0 30.7±10.4 0 38.5±0.63 39±1.07 38.8±1.59 1, 9, dan 25 0.33±0.32 0 0 66.67 66.87±0.3 50.87±25.44 13.3±1.03 14.2±1.76 3.50±0.53 1, 9, dan 25 0 0 0 2.53±0.53 1.2±0.39 0 0.53±0.42 0.07±0.14 0

Vektor rataan dan matriks peragam ketiga gerombol berbeda [ ]

Kasus simulasi yang memiliki vektor rataan dan matriks peragam berbeda dengan jarak antar pusat gerombol bernilai kecil yaitu terdapat pada K22, K23, dan K24. K22 mewakili

data dengan kondisi tersebut tanpa adanya korelasi antar peubah, K23 mewakili data

dengan korelasi antar peubah sebesar 0.2, dan K24 mewakili data dengan korelasi antar

peubah sebesar 0.8. Penerapan metode penggerombolan berdasarkan GMM pada ketiga kasus tersebut menghasilkan tiga gerombol dengan rataan tingkat kesalahan klasifikasi sebesar 13.3% untuk K22, sebesar

14.2% untuk K23, dan sebesar 3.5% untuk K24.

Vektor rataan dengan jarak antar pusat gerombol yang besar dan matriks peragam berbeda untuk setiap gerombol terdapat pada K25, K26, dan K27. Nilai rataan tingkat

kesalahan klasifikasi sebesar 0.53% dan 0.07% masing-masing dihasilkan oleh K25 dan

K26, sedangkan pada K27 tidak terdapat

kesalahan klasifikasi.

Tabel 3 menunjukkan bahwa secara umum, rataan tingkat kesalahan klasifikasi berkurang jika jarak antar pusat gerombol semakin besar, hal ini disebabkan oleh

semakin sedikitnya amatan yang saling tumpang tindih dengan amatan pada gerombol yang lain. Ragam setiap peubah yang besar juga dapat meningkatkan tingkat kesalahan klasifikasi. Gerombol dengan ragam antar peubah pada setiap gerombol yang lebih besar daripada jarak antar pusat gerombol, memiliki rataan tingkat kesalahan klasifikasi yang sangat besar. Sedangkan untuk kasus dengan

atau tanpa adanya korelasi tidak

mempengaruhi tingkat kesalahan klasifikasi.

Hal ini disebabkan oleh metode

penggerombolan berdasarkan GMM

mempertimbangkan parameterisasi ,

dimana untuk data yang memiliki korelasi

antar peubah diberikan model

dan untuk data yang tidak memiliki korelasi antar peubah diberikan

model . Pada kasus dimana terdapat

korelasi antar peubah, nilai korelasi antar peubah sebesar 0.8 memberikan rataan tingkat kesalahan yang lebih kecil daripada kasus dengan nilai korelasi antar peubah sebesar 0.2. Penjabaran diatas untuk kasus simulasi dengan ketiga gerombol yang berasal dari populasi berbeda dapat terlihat pada Gambar 2.

Gambar 3 memperlihatkan bahwa rataan tingkat kesalahan klasifikasi terbesar

(17)

9

diperoleh pada data dengan

jarak antar pusat gerombol yang kecil dan ragam setiap peubah yang besar pada berbagai nilai korelasi yang dicobakan.

klasifikasi pada kasus simulasi dengan ketiga gerombol yang berasal dari populasi berbeda

klasifikasi pada setiap kasus simulasi

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Metode penggerombolan berdasarkan

Gaussian Mixture Models (GMM) dapat memisahkan gerombol berdasarkan parameter sebaran dengan proporsi tertentu. GMM efektif memisahkan gerombol pada kasus dengan pola sebaran sebagai berikut:

1. dengan ragam setiap

peubah pada setiap gerombol bernilai kecil

pada beberapa nilai korelasi yang

dicobakan, baik untuk jarak antar pusat gerombol yang bernilai kecil maupun besar.

2. dengan jarak antar

pusat gerombol bernilai kecil pada tingkat korelasi sebesar 0.8 dan dengan jarak antar pusat gerombol bernilai besar pada berbagai nilai korelasi yang dicobakan. GMM tidak efektif pada kasus dengan pola sebaran sebagai berikut:

1. pada berbagai tingkat

korelasi.

2. dengan jarak antar pusat

gerombol yang kecil dan ragam setiap peubah yang besar pada berbagai nilai korelasi.

3. dengan jarak antar

pusat gerombol yang kecil pada nilai korelasi 0 dan 0.2.

Rataan tingkat kesalahan klasifikasi berkurang jika jarak antar pusat gerombol semakin besar, hal ini disebabkan oleh semakin sedikitnya amatan yang saling tumpang tindih dengan amatan pada gerombol yang lain. Ragam setiap peubah yang besar juga dapat meningkatkan tingkat kesalahan klasifikasi. Gerombol dengan ragam antar peubah pada setiap gerombol yang lebih besar daripada jarak antar pusat gerombol, memiliki rataan tingkat kesalahan klasifikasi yang sangat besar. Sedangkan untuk kasus dengan

atau tanpa adanya korelasi tidak

mempengaruhi tingkat kesalahan klasifikasi.

Saran

Dalam penelitian ini, ketiga gerombol yang dibangkitkan berasal dari sebaran Gaussian dengan empat peubah, dimana setiap gerombol memiliki parameter vektor rataan dan matriks peragam dengan kondisi berbeda, dan tidak terdapat pencilan. Untuk penelitian selanjutnya, dapat dicobakan nilai korelasi yang lebih beragam, menggunakan sebaran t

untuk memisahkan gerombol yang

mempunyai pencilan, atau menerapkan

0 20 40 60 80 0 0.2 0.8 ra ta an t in g k at k esal ah an k la si fi k asi ( %) korelasi

2 3.a.i 3.a.ii 3.b.i

3.b.ii 4.a 4.b 0 20 40 60 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

rataan tingkat kesalahan klasifikasi (%)

n o m o r k asu s

(18)

10

metode Bayes untuk menduga parameter dalam mixture models.

DAFTAR PUSTAKA

Banfield JD, Raftery AE. 1993. Model-based Gaussian and non-Gaussian Clustering. Biometrics 49:803-821

Celeux G, Govaert G. 2006. Gaussian Parsimonious Clustering Methods. INRIA. Perancis.

Fraley C.1996. Algorithms for Model-Based Gaussian Hierarchical Clustering. Technical Report 311.

Fraley C, Raftery AE. 1998. How many

clusters? Which clustering method?

Answers via model-based cluster analysis. The Computer J 41(8).

Fraley C, Raftery AE. 2002. Model based clustering, discriminant analysis, and density estimation. J Amer Stat Assoc 97. Fraley C, Raftery AE. 2010. MCLUST

version 3 for R: normal mixture modeling and model-based clustering. Technical Report 504.

Johnson R.A. dan Wichern D.W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis. New Jersey: Prentice Hall.

McLachlan GJ, Basford KE. 1988. Mixture Models: Inference and Application to Clustering. New York: Marcel Dekker.

(19)

(20)

12

Lampiran Plot skor komponen utama setiap kasus simulasi pada ulangan ke 8 dan rataan tingkat kesalahan klasifikasi (TKK) yang dihasilkan metode penggerombolan berdasarkan GMM

Kasus simulasi

Plot skor KU 1 & KU 2 (kondisi populasi)

Plot skor KU 1 & KU 2 (hasil penggeromboaln) Rataan TKK K1 identik identik, kecil, 0%

Total keragaman dua KU 50% 50%

K2

identik

identik, kecil, 40.9%

K3

identik

identik, kecil,

0

K4

identik

identik, besar,

0%

-3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 comp1 co m p 2 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 comp1 co m p 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 comp1 co m p 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 comp1 co m p 2 -4 -2 0 2 4 -1 .0 -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 comp1 co m p 2 -4 -2 0 2 4 -1 .0 -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 comp1 co m p 2 -10 -5 0 5 10 15 -1 0 -5 0 5 10 15 comp1 co m p 2 -10 -5 0 5 10 15 -1 0 -5 0 5 10 15 comp1 co m p 2

(21)

13

Lampiran Plot skor komponen utama setiap kasus simulasi pada ulangan ke 8 dan rataan tingkat kesalahan klasifikasi (TKK) yang dihasilkan metode penggerombolan berdasarkan GMM (lanjutan)

Kasus simulasi

Plot skor KU 1 & KU 2 (hasil penggeromboaln) Rataan TKK K5 identik identik, besar, 0%

K6

identik

identik, besar, 0%

K7

identik berbeda,

38.5%

K8

identik berbeda,

39%

-10 0 10 20 -1 0 -5 0 5 10 comp1 co m p 2 -10 0 10 20 -1 0 -5 0 5 10 comp1 co m p 2 -20 -10 0 10 20 -6 -4 -2 0 2 4 6 comp1 co m p 2 -20 -10 0 10 20 -6 -4 -2 0 2 4 6 comp1 co m p 2 -10 -5 0 5 10 -1 5 -1 0 -5 0 5 10 pc1 p c2 -10 -5 0 5 10 -1 5 -1 0 -5 0 5 10 comp1 co m p 2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -1 0 -5 0 5 10 pc1 p c2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -1 0 -5 0 5 10 comp1 co m p 2

(22)

14

Lampiran Plot skor komponen utama setiap kasus simulasi pada ulangan ke 8 dan rataan tingkat kesalahan klasifikasi (TKK) yang dihasilkan metode penggerombolan berdasarkan GMM (lanjutan)

Kasus simulasi

Plot skor KU 1 & KU 2 (hasil penggeromboaln) Rataan TKK K9 identik berbeda, 38.8%

K10

berbeda, dij kecil

identik, kecil,

0.33%

K11

identik, kecil,

0%

K12

identik, kecil,

0%

-20 -10 0 10 20 -6 -4 -2 0 2 4 pc1 p c2 -20 -10 0 10 20 -6 -4 -2 0 2 4 comp1 co m p 2 -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 pc1 p c2 -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 comp1 co m p 2 -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 pc1 p c2 -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 comp1 co m p 2 -4 -2 0 2 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 pc1 p c2 -4 -2 0 2 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 comp1 co m p 2

(23)

15

Lampiran Plot skor komponen utama setiap kasus simulasi pada ulangan ke 8 dan rataan tingkat kesalahan klasifikasi (TKK) yang dihasilkan metode penggerombolan berdasarkan GMM (lanjutan)

Kasus simulasi

Plot skor KU 1 & KU 2 (hasil penggeromboaln) Rataan TKK K13 berbeda, dij kecil identik, besar, 66.67%

K14

identik, besar,

66.9%

K15

identik, besar,

50.87%

K16

berbeda, dij besar

identik, kecil,

0%

-15 -10 -5 0 5 10 15 -1 5 -1 0 -5 0 5 10 pc1 p c2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -1 5 -1 0 -5 0 5 10 comp1 co m p 2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -1 5 -1 0 -5 0 5 10 pc1 p c2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -1 5 -1 0 -5 0 5 10 comp1 co m p 2 -20 -10 0 10 20 30 -1 0 -5 0 5 10 pc1 p c2 -20 -10 0 10 20 30 -1 0 -5 0 5 10 comp1 co m p 2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -1 0 -5 0 5 pc1 p c2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -1 0 -5 0 5 comp1 co m p 2

(24)

16

Kasus simulasi

Plot skor KU 1 & KU 2 (hasil penggeromboaln) Rataan TKK K17 berbeda, dij besar identik, kecil, 0%

Total keragaman dua KU 98.62% 98.62%

K18

identik, kecil,

0%

K19

identik, besar,

2.53%

K20

identik, besar, 1.2%

-15 -10 -5 0 5 10 15 -1 0 -5 0 5 pc1 p c2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -1 0 -5 0 5 comp1 co m p 2 -10 -5 0 5 10 -1 0 -5 0 5 pc1 p c2 -10 -5 0 5 10 -1 0 -5 0 5 comp1 co m p 2 -20 -10 0 10 20 -2 0 -1 0 0 10 20 pc1 p c2 -20 -10 0 10 20 -2 0 -1 0 0 10 20 comp1 co m p 2 -20 -10 0 10 20 -2 0 -1 0 0 10 pc1 p c2 -20 -10 0 10 20 -2 0 -1 0 0 10 comp1 co m p 2

(25)

17

Kasus simulasi

Plot skor KU 1 & KU 2 (hasil penggeromboaln) Rataan TKK K21 berbeda, dij besar identik, besar, 0%

K22

berbeda,

13.3%

K23

berbeda,

14.2%

-15 -10 -5 0 5 10 15 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 pc1 p c2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 comp1 co m p 2 -15 -10 -5 0 5 10 -1 0 -5 0 5 10 pc1 p c2 -15 -10 -5 0 5 10 -1 0 -5 0 5 10 comp1 co m p 2 -15 -10 -5 0 5 10 -1 5 -1 0 -5 0 5 pc1 p c2 -15 -10 -5 0 5 10 -1 5 -1 0 -5 0 5 comp1 co m p 2

(26)

18

Kasus simulasi

Plot skor KU 1 & KU 2 (hasil penggeromboaln) Rataan TKK K24 berbeda, dij kecil berbeda, .8 3.5%

K25

berbeda,

0.53%

K26

berbeda,

0.07%

-20 -10 0 10 20 -4 -2 0 2 4 6 8 10 pc1 p c2 -20 -10 0 10 20 -4 -2 0 2 4 6 8 10 comp1 co m p 2 -10 0 10 20 -2 0 -1 0 0 10 pc1 p c2 -10 0 10 20 -2 0 -1 0 0 10 comp1 co m p 2 -30 -20 -10 0 10 -2 0 -1 0 0 10 pc1 p c2 -30 -20 -10 0 10 -2 0 -1 0 0 10 comp1 co m p 2

(27)

19

Kasus simulasi

Plot skor KU 1 & KU 2 (hasil penggeromboaln) Rataan TKK K27 berbeda, dij besar berbeda, .8 0%

-15 -10 -5 0 5 10 -1 5 -1 0 -5 0 5 10 pc1 p c2 -15 -10 -5 0 5 10 -1 5 -1 0 -5 0 5 10 comp1 co m p 2