1. Sebuah bola massa m, jari-ari a, dan momen inersia [
] menggelinding dari posisi awalnya di atas sebuah silinder
berjari-jari b. Bola m mula-mula dalam keadaan diam di puncak silinder. Posisi silinder dibuat tetap tidak bisa bergerak (lihat pada gambar)koefisien gesek antara permukaan bila dan silinder adalah [ ].
a. Tentukan sudut [ ] dimana bola mulai meninggalkan silinder !
Pembahasan
Bola menggelinding tanpa slip di atas permukaan silinder dengan nilai [ ] yang cukup besar. Kecepatan anguler bola akan terus bertambah dari pada sudut [ ], bola akan meninggalkan silinder.
Misalkan [ ] sebagai sudut yang ditempuh bola dan [ ] sudut yang dibentuk pusat massa bola terhadap sumbu vertical.
Persamaan perpindahan pusat massa bola adalah
𝑚
𝜃
𝜔
𝑎
𝑏
𝑚g
𝜃
𝜑
𝑎
𝑏
( )
(1) Persamaan kecepatan pusat massa bola( )
(2)Persamaan percepatan pusat massa bola
( ) ̈ ̈
(3)Persamaan gaya pada bola
̈
Masukkan nilai [
̈
], maka( ) ̈
(4) Persamaan torsi pada bolä
̈
( ) ̈
( ) Maka [̈
] percepatan bola terhadap pusat massanya diperoleh dari substitusi persamaan (5) ke (4)( ) ̈ ( ) ̈
( ) ̈
̈
( )
( )
Persamaan kinematika rotasi bola :
̈
̈
̈
̈
̈ (
)
Substitusikan persamaan (6) ke (7), kemudian lakukan dengan integral dari mulai bola bergerak dengan kondisi [
] dan [
] pada waktu t=0, maka
∫
∫
( )
( )
∫
( )
[ ]
[ ]
( )
(
)
Persamaan gerak melingkar bola terhadap pusat massa silinder
( )
(9)
Bila meninggalkan silinder ketika gaya normal sama dengan nol (N=0) pada sudut [ ] maksimum, maka
( )
(10)Maka nilai [
] diperoleh dari substitusi persamaan (8) dan (10), sehingga
( )[
]
( )
( )
( )
(
)
Cara lainBola menggelinding tanpa slip sehingga energi mekanik bola kekal karena tidak ada energi yang hilang oleh energi gesek. Sebagai acuan bahwa energi potensial dipusat massa silinder sama dengan nol, maka :
Persamaan energi awal sistem
( )
Persamaan energi akhir sistem
( )
( )
( )
Persamaan HK kekekalan energi mekanik adalah
( ) ( )
( )( )
( )
( )
Persamaan gerak melingkar bola terhadap pusat massa silinder adalah :
( )
[
] dan pada sudut pada sudut [ ] adalah bola meninggalkan silinder, maka
( )
( )
Bandingkan nilai [ ], maka
( )
(
) ( )
(
)
b. Berapa kecepatan pusat massa bola saat ia meninggalkan silinder ?
Pembahasan
Masukkan nilai [
], maka
√
( )
(
)
√
( )
[
]
√
( )
2. Sebuah bola dengan massa M bergerak dengan kecepatan [ ] pada sebuah bidang datar licin dan kemudian menumbuk untuk yang pertama kalinya sebuah sistem dua bola identic. Masing-masing bola identic bermassa [
] dan dihubungkan dengan sebuah pegas tak bermassa dengan konstanta pegas [
] lihat gambar di bawah. Perhatikan bahwa terjadi tumbukan secara sentral, elastis dan berlangsung hanya sesaat.
a. Tentukan nilai minimum M agar bola M bisa menumbuk sistem dua bola untuk yang kedua kalinya !
Pembahasan
Bola [
] bergerak dengan kecepatan [ ] dan [
], terjadi tumbukan sentral, elastis dan berlangsung sangat singkat, maka
Persamaan HK kekekalan momentum
(1)
Persamaan koefisien restitusi (e=1)
Substitusikan persamaan (2) ke (1) dengan perbandingan massa m dengan M adalah [
], maka
Nilai [ ], menjadi
Posisi tumbukan pertama kali sebagai pusat koordinat dan t=0, sehingga posisi M setiap waktu adalah
𝑘
Setelah tumbukan massa [ ] bergerak osilasi dengan pusat massanya bergerak dengan kecepatan konstan. Ambil acuan pada pusat massa [ ], setiap waktu dalam kerangka acuan pusat massa dua bola-pegas :
(
)
Kecepatan [ ] dalam kerangka acuan pusat massa adalah
Misalkan bahwa
Sehingga panjang pegas terhadap pusat massa adalah [
], sehingga konstata pegas terhadap pusat massa menjadi
Kecepatan sudut berbanding lurus dengan akar konstanta pegasnya, maka
√
√
√
Energi kinetic pada [ ] berbanding lurus dengan energi potensial pegas terhadap pusat massa
√
Posisi [ ] dalam kerangka acuan adalah
(
)
(
)
Syarat terjadi tumbukan untuk kedua kalinya adalah
Dengan memisalkan [
], maka {
}
Artinya bernilai negative, agar nilai [ ] positif, [ ] akan bernilai minimum, jika [ ] bernilai maksimum
(
)
Gunakan metode grafik, maka
b. Berapa lama waktu interval antara kedua tumbukan tersebut? Pembahasan
√
Maka :
√
𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜋
𝛾
𝑚𝑎𝑘𝑠𝜋
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑘𝑠
3. Tinjau sistem dua benda homogeny yang terdiri dari balok bermassa m dan bidang miring bermassa M seperti gambar. Balok dengan tinggi t dan lebar r, diletakkan pada bidang miring yang kasar dengan kemiringan [ ] dan memiliki koefisien gesek [ ] dan [ ]. Bidang miring kemudian didorong dengan gaya horizontal F. jika lantai dianggap licin, tentukan syarat F dalam [
] agar balok bergerak bersama-sama dengan bidang miring dan tidak menggelinding. Petunjuk : ambil kasus dimana gaya fiktif terpusat hanya di pusat massa balok dan balok mempunyai percepatan a terhadap lantai.
Pembahasan
Tinjauan saat benda M akan bergerak turun sehingga gaya gesek arahnya ke atas
Persamaan gaya pada massa m Sumbu x
(1) Sumbu y
(2)
𝑀
𝜃
𝐹
𝑚
𝑙
𝑡
𝑥
𝑦
𝜃
𝑚𝑔
𝑁
𝑎
𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑁𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑓
𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑓
𝑠𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑓
𝑠𝜃
𝜃
Bandingkan persamaan (1) dan (2), diperoleh [ ]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
(
)
(
)
]
( )
Sehingga gaya minimum supaya benda tidak turun adalah
( )
( ) (
)
( )Tinjauan benda m akan bergerak naik sehingga gaya gesek arahnya ke bawah
Persamaan gaya pada benda m Sumbu x
(5)
Sumbu y
(6)
Gaya normal pada persamaan (5) dan (6) adalah
Banding kedua persamaan ini, sehingga [ ] diperoleh
𝑥
𝑦
𝑚𝑔
𝑁
𝑎
𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑁𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝑓
𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑓
𝑠𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑓
𝑠( )
Besar gaya maksimum agar balok m tidak turun adalah
( )
( ) (
)
( )Syarat agar balok m tetap diam di atas bidang miring adalah
( ) (
) ( ) (
)
(
) (
)
Ketika benda M akan menggelinding ke bawah, gaya normal tepat tepat di titik tepi bawah balok m
Balok tidak akan menggelinding apabila torsi oleh gaya gesek terhadap pusat massa lebih besar dibandingkan dengan torsi oleh gaya normal.
Persamaan torsi di titik tepi bawah adalah
Ketika benda akan menggelinding ke atas, gaya normal tepat di titik tumpu atas balok m
𝑚𝑔
𝑁
𝑙
𝑓
𝑠𝑡
Balok tidak akan menggelinding apabila torsi oleh gaya gesek terhadap pusat massa lebih besar dibandingkan dengan torsi oleh gaya normal.
Sehingga koefisien gesek agar benda m tetap diam adalah
Metode lain
Besar gaya balok m dan bidang miring M adalah
( )
(9)Balok akan mendapatkan gaya fiktif ke kanan sebesar [
]. Untuk a terlalu kecil, maka m akan cenderung turun bergerak turun sehingga gaya gesek arahnya ke atas.
Persamaan gaya agar balok m tetap diam dalam kerangka acuan bidang miring adalah
Sumbu x
(10)
𝑚𝑔
𝑁
𝑙
𝑓
𝑠𝑡
𝑓
𝑠𝑚𝑔
𝑁
𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜃
𝜃
𝑚𝑎
𝑚𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜃
Sumbu y
(11) Substitusikan persamaan (11) ke (10),
( )
(
) (
)
( )
Ketika a terlalu besar, balok m akan cenderung bergerak naik sehingga gaya gesek arahnya ke bawah
Agar balok m tetap diam dalam kerangka acuan bidang miring adalah : Sumbu x
(13) Sumbu y
(14) Substitusikan persamaan (14) ke (13)
( )
(
) (
)
𝑓
𝑠𝑚𝑔
𝑁
𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜃
𝜃
𝑚𝑎
𝑚𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜃
( )
Persyaratan agar balok m tetap diam di atas bidang miring
( ) (
) ( ) (
)
(
) (
)
Ketika benda M akan menggelinding ke bawah, gaya normal tepat tepat di titik tepi bawah balok m
Persamaan torsi di titik tepi bawah
( )
Syarat agar balok tidak menuruni bidang ke bawah
( )
Ketika benda akan menggelinding ke atas, gaya normal tepat di titik tumpu atas balok m, sehingga persamaan torsi di tepi atas
𝑓
𝑠𝑚𝑔
𝑁
𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜃
𝜃
𝑚𝑎
𝑚𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜃
(
) (
)
( )
Syarat agar balok tetap diam pada bidang miring
( )
Kesimpulannya bahwa besar gaya gesek agar balok m tetap diam adalah
4. Sebuah boomerang terdiri dari empat sayap yang tersusun seperti tanda tambah “+” (lihat gambar bawah). Bumerang itu dimainkan dengan cara dilemparkan sedemikian rupa sehingga dapat kembali ke tempat pelemparan. Selama pelemparan, boomerang berotasi terhadap pusatnya pada bidang vertical dan berevolusi terhadap suatu titik pada bidang horizontal.
Setiap sayap memiliki panjang b dan massa M/4 (panjang
tangkai sayap diabaikan. Bentuk irisan sayap boomerang seperti irisan pesawat sehingga mampu memberikan gaya (sebut saja gaya angkat) yang arahnya tegak lurus bidang sayap (lihat gambar). Misalkan gaya angkat pada salah satu sayap adalah F. Anggap besar gaya angkat per satuan panjang yang bekerja pada suatu titik adalah r dari pusat boomerang (lihat gambar) dan pada waktu t diberikan oleh
( )
( )
[
( )
] adalah kecepatan tangensial titik tersebut dan c adalah tetapan aerodinamis sayap. Boomerang dilemparkan dengan kecepatan horizontal V dan berotasi terhadap pusatnya [ ]. Catatan :Abaikan gaya gravitasi dan gaya gesek, momen inersia batang terhadap ujung [
] dengan massa m dan L adalah massa dan panjang batang. Jika menggunakan sistem
koordinat, pilih sumbu-z sebagai sumbu bertikal. Hitunglah : a. Besar [
( )
] dari suatu titik pada salah satu sayap !Pembahasan
Boomerang dapat kembali ke posisi semula setelah dilempar kan disebabkan oleh efek giroskop.
Gambar gerakan boomerang
𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡
𝑟
𝑏
𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙 𝑖𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑦𝑎𝑝Boomerang berada pada posisi vertical berotasi pada sumbu nya dengan kecepatan anguler ( ) dan berevolusi pada bidang horizontal kecepatan anguler ( ). Misalkan
boomerang bergerak ke kiri dengan kecepatan ( ) dengan sudut (
). Kecepatan tangensial setiap elemen titik boomerang berjarak ( ) dari pusat sayap 1 adalah
b. Besar gaya angkat total terhadap pusat boomerang ! Pembahasan
Besar gaya angkat persatuan panjang pada sayap-1
( )
( )
Setiap sayap berbeda fase (
), sehingga keriga sayap lainnya berada pada sudut
Sehingga Pada sayap-2
( ) (
)
𝜃
𝑥
𝑟
𝜃
1
𝑦
𝑧
𝑉
𝑣
𝜔
𝑝𝛷
𝜔
𝑅
( )
Pada sayap-3( ) ( )
( )
Pada sayap-4( ) (
)
( )
Sehingga angkat persatuan panjang untuk setiap elemen titik sayap adalah
( )
( )
( )
( )
Maka angkat total semua sayap adalah integral dari ( ) dari setiap elemen titik sayap, yaitu
∫
∫
c. Besarnya momen gaya total terhadap pusat boomerang ! Pembahasan
Momen gaya persatuan panjang untuk setiap elemen titik sayap adalah
⃗
Gaya angkat persatuan panjang (
) arahnya ke arah sb. X Jarak elemen titik pada sayap-1
̂ ̂
Jarak elemen titik pada sayap-2
(
) ̂ (
) ̂
̂ ̂
Jarak elemen titik pada sayap-3
( ) ̂ ( ) ̂
̂ ̂
Jarak elemen titik pada sayap-4
(
) ̂ (
) ̂
̂ ̂
Besar momen gaya persatuan panjang dari elemen titik pada masing-masing sayap
Pada sayap-1
⃗
⃗
( ̂ ̂) ( ) ̂
⃗
( ̂ ̂) (
)
⃗ ( ̂ ̂ ̂ ̂) Pada sayap-2⃗
( ̂ ̂) ( ) ̂
⃗
( ̂ ̂) (
)
⃗ ( ̂ ̂ ̂ ̂) Pada sayap-3⃗
( ̂ ̂) ( ) ̂
⃗
( ̂ ̂) (
)
⃗ ( ̂ ̂ ̂ ̂) Pada sayap-4⃗
( ̂ ̂) ( ) ̂
⃗
( ̂ ̂) (
)
⃗ ( ̂ ̂ ̂ ̂)Organisir persamaan di atas
⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂
⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ( ̂ ̂ ̂ ̂) Momen gaya total persatuan panjang untuk setiap elemen sayap adalah
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ ( ̂ ̂ ̂ ̂) Dimanâ ̂ ( )
Sehingga⃗
̂( )
⃗
̂
Momen gaya total pada sayap pesawat
∫ ⃗
∫ ̂
̂
̂
d. Besarnya momentum anguler boomerang terhadap pusatnya Pembahasan
Momentum anguler boomerang terhadap pusat massa boomerang :
Momen inersia total boomerang dengan (
) dan (
) sehingga :
(
) (
1
)
Maka momentum anguler boomerang menjadi
1
e. Jari-jari revolusi boomerang ! Pembahasan
Boomerang menempuh sudut [ ] pada bidang horizontal
Besar percepatan (
) pada bidang horizontal
Sehingga
f. Kecepatan V !
√
5. Suatu kapasitor silinder dihubungkan dengan sumber tegangan DC sebesar V kemudian dicelupkan ke permukaan air pada salah satu ujungnya. Selanjutnya air akan naik masuk silinder hingga ketinggian h (lihat gambar penampangnya di bawah). Efek kapilaritas dalam hal ini dapat diabaikan. Jarak pemisahan d antara elektroda-elektroda kapasitor jauh lebih kecil dibanding kan radius rata-rata silinder R. Panjang kapasitor ini adalah [ ]. Permitivitas dan kerapatan air dapat dituliskan masing-masing sebagai [ ] dan [ ].
a. Dengan pendekatan jarak d kecil dibandingkan R ini, carilah kapasitas kapasitor sebelum air naik !
Pembahasan
Untuk jarak d kecil dibandingkan R, maka kapasitas silinder akan sana dengan kapasitas sejajar dengan luas penampang
[ ] adalah luas selimut silinder [ ] adalah jarak antar plat
Persamaan kapasitas kapasitor menjadi
( )
b. Ketika kapasior dihubungkan pada teganganyang sama dan sebelum air naik, hitung energi yang tersimpan oleh
kapasitor sebagai fungsi tegangan, panjang silinder, radius rata-rata silinder dan jarak pemisah antara dua elektroda !
Pembahasan
Energi yang tersimpan oleh kapasitor sebelum air naik atau mula-mula adalah
ℎ
𝑅
𝑑
(
( )
)
Kapasitas kapasitor setelah air naik setinggi h adalah
( ℎ)
ℎ
Maka kapasitas total kapasitor adalah
( ℎ)
ℎ
[
ℎ(
)]
Energi yang tersimpan oleh kapasitor setelah air naik setinggi h adalah
(
[
ℎ(
)])
Apabila massa air yang naik ke dalam kapasitor pada ketinggi an h adalah
ℎ ℎ
Persamaan energi potensial gravitasi air adalah
ℎ
( ℎ )
ℎ
ℎ
Energi yang berasal dari sumber tegangan negative
( ) ( )
( ) (
[
ℎ(
)])
c. gunakan pendekatan energi minimum dengan melibatkan gravitasi, carilah ketinggian h!
Pembahasan
Pada ketinggian h maksimum, maka energi sistem mencapai keadaan minimum (sistem dalam keadaan setimbang), maka energi total sistem adalah jumlah aljabar dari energi
kapasitor setelah air naik, energi potensial gravitasi dan energi dari sumber tegangan, sehingga persamaannya
( [ ℎ( )]) ℎ ( [ ℎ( )])
(
[
ℎ(
)])
ℎ
Nilai h diperoleh dari turunan energi total terhadap h sama dengan nol, maka
