1. Interval Kepercayaan Bagi Rata-Rata - Interval Kepercayaan - Repository UNIKOM

Teks penuh

(1)

INTERVAL KEPERCAYAAN

Tujuan utama diambil sebuah sampel dari sebuah populasi adalah untuk memperoleh informasi mengenai parameter populasi.. Ada 2 cara menentukan parameter populasi yaitu penaksiran dan pengujian hipotesis.

Penaksiran parameter

JIka penaksir ๐œƒ = ๐‘‹ ,๐‘ 2,๐‘ ,๐‘ dan parameter yang akan ditaksir adalah ๐œƒ = ๐œ‡,๐œŽ2,๐œŽ,๐œ‹ , maka ๐œƒ yang baik memiliki beberapa sifat yaitu:

1. ๐œƒ merupakan penduga tak bias, artinya harapan ๐ธ ๐œƒ = ๐œƒ

2. ๐œƒ merupakan penaksir yang efisien, artinya bila ada lebih dari satu penaksir, maka penduga yang efisien adalah penduga yang mempunyai varians paling kecil.

3. ๐œƒ merupakan penaksir yang konsisten, artinya bila sampel yang diambil mekin besar, maka nilai ๐œƒ akan semakin mendekati nilai ๐œƒ.

Penaksiran parameter dapat dilakukan DUA cara yaitu dengan penaksiran titik dan penaksiran interval. Penaksiran titik jika mengambil

Statistik ๐œƒ =๐‘‹ dipakai untuk menaksir parameter ๐œƒ=๐œ‡. Statistik ๐œƒ =๐‘† dipakai untuk menaksir parameter ๐œƒ=๐œŽ. Statistik ๐œƒ =๐‘ dipakai untuk menaksir parameter ๐œƒ=๐œ‹.

Untuk menaksir interval taksiran parameter ๐œƒ dengan koefisien kepercayaan ๐›พ, maka sebuah sampel acak diambil, lalu hitung nilai-nilai statistik yang diperlukan. Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter ๐œƒ antara A dan B:

๐‘ƒ ๐ด<๐œƒ<๐ต =๐›พ

dengan A dan B fungsi dari statistik, jadi merupakan variabel acak, tidak bergantung pada ๐œƒ.

Arti dari formula di atas adalah secara ๐›พ% percaya bahwa parameter ๐œƒ akan ada didalam interval

๐ด,๐ต . Jadi tidaklah dikatakan: peluangnya sama dengan ๐›พ bahwa ๐œƒ terletak A dan B, melainkan seseorang hamya yakin ๐›พ% bahwa ๐œƒ itu terletak antara A dan B.

1. Interval Kepercayaan Bagi Rata-Rata

Misalkan sebuah populasi berukuran N dengan rata-rata ๐œ‡ dan simpangan baku ๐œŽ. Dari populasi ini

(2)

yang perlu, ialah ๐‘ฅ dan ๐‘ . Titik taksiran untuk rata-rata ๐œ‡ ialah ๐‘ฅ . Dengan kata lain, nilai ๐œ‡ besarnya ditaksir oleh harga ๐‘ฅ yang didapat dari sampel.

Untuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaan, digunakan interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki. Dibedakan menjadi tiga hal

a. Simpangan baku ๐œŽ diketahui dan populasinya berdistribusi normal

๐‘ƒ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง1 2๐›พ

. ๐œŽ

๐‘›<๐œ‡<๐‘ฅ +๐‘ง12๐›พ

. ๐œŽ

๐‘› =๐›พ

Dengan ๐›พ = koefisien kepercayaan dan ๐‘ง1 2๐›พ

= bilangan z didapat dari tabel normal baku untuk peluang 1

2๐›พ.

Untuk interval kepercayaannya:

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง1 2๐›พ

. ๐œŽ

๐‘› <๐œ‡<๐‘ฅ +๐‘ง12๐›พ

. ๐œŽ

๐‘›

b. Simpangan baku ๐œŽ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal

๐‘ƒ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ก๐‘. ๐‘ 

๐‘›<๐œ‡<๐‘ฅ +๐‘ก๐‘. ๐‘  ๐‘› =๐›พ

dengan ๐›พ = koefisien kepercayaan dan ๐‘ก๐‘ = nilai t didapat dari daftar distribusi student dengan

๐‘=1

2 1 +๐›พ dan ๐‘‘๐‘˜= ๐‘› โˆ’1

Untuk interval kepercayaannya:

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ก๐‘. ๐‘ 

๐‘› <๐œ‡<๐‘ฅ +๐‘ก๐‘. ๐‘  ๐‘›

c. Simpangan baku ๐œŽ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi normal

Jika n cukup besar maka dalil limit pusat berlaku maka dapat digunakan cara a. dengan menggunakan kekeliruan yang sangat kecil. Jika populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel kecil sekali maka teorinya harus dipecahkan dengan menggunakan bentuk distribusi asli dari populasi bersangkutan.

Contoh:

Sebuah sampel acak terdiri dari 100 mahasiswa tealh diambil daris sebuah Universitas lain nilai-nilai IQ-nya dicatat. Didapat ๐‘ฅ = 112 dan ๐‘ = 10.

(3)

Dalam hal ini digunakan titik taksiran.

Jika dikehendaki interval taksiran IQ rata-rata dengan koefisien kepercayaan 0,95 maka ๐‘=

1

2 1 + 0,95 = 0,975 dan ๐‘‘๐‘˜= 100โˆ’1 = 99 dengan menggunakan interpolasi dari Daftar G dalam

lampiran didapat ๐‘ก๐‘ = 1,987. Maka interval kepercayaan

112โˆ’ 1,987 10

100<๐œ‡< 112 + 1,987 10

100

Atau: 110 <๐œ‡< 114

Jadi didapat 95% interval kepercayaan untuk IQ rata-rata mahasiswa ialah 110 <๐œ‡< 114

2. Interval Kepercayaan bagi selisih rata-rata

Misalkan terdapat dua populasi, kedua-duanya berdistribusi normal. Rata-rata dan simpangan bakunya masing-masing ๐œ‡1 dan ๐œŽ1 untuk populasi kesatu, ๐œ‡2 dan ๐œŽ2 untuk populasi kedua. Dari masing-masing

populasi secara independent diambil sebuah sampel acak dengan ukuran ๐‘›1 dan ๐‘›2. Rata-rata dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut ๐‘ฅ 1,๐‘ 1 dan ๐‘ฅ 2,๐‘ 2. Akan ditaksir selisih rata-rata

๐œ‡1โˆ’ ๐œ‡2 .

Jelas bahwa titik taksiran untuk ๐œ‡1โˆ’ ๐œ‡2 adalah ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1 2 . Untuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaan, digunakan interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki. Dibedakan menjadi tiga hal

a. ๐œŽ1 =๐œŽ2

Jika kedua populasi normal itu mempunyai ๐œŽ1=๐œŽ2=๐œŽ dan besarnya diketahui, maka dengan

interval kepercayaan ๐›พ% untuk ๐œ‡1โˆ’ ๐œ‡2 ditentukan oleh rumus:

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1 โˆ’ ๐‘ง2 1 2๐›พ

.๐œŽ 1

๐‘›1

+ 1

๐‘›2

<๐œ‡1โˆ’ ๐œ‡2< ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1 2 +๐‘ง1 2๐›พ

.๐œŽ 1

๐‘›1

+ 1

๐‘›2

Dengan ๐‘ง1 2๐›พ

didapat dari distribusi normal baku dengan peluang 1

2๐›พ.

b. Dalam hal ๐œŽ1=๐œŽ2=๐œŽ tetapi tidak diketahui besarnya, pertama-tama dari sampel-sampel

perlu ditentukan varians gabungannya, dinyatakan dengan ๐‘ 2, besarnya diberikan oleh rumus:

๐‘ 2 = ๐‘›1โˆ’1 ๐‘ 1 2+ ๐‘›

2โˆ’1 ๐‘ 22

(4)

Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi student. Formula dengan

dengan ๐‘ก๐‘ didapat dari daftar distribusi student dengan ๐‘=1

2 1 +๐›พ dan ๐‘‘๐‘˜= ๐‘›1+๐‘›2โˆ’2

c. ๐œŽ1 โ‰  ๐œŽ2

Dengan memisalkan ๐‘ 1=๐œŽ1 dan ๐‘ 2=๐œŽ2, untuk sampel-sampel acak berukuran cukup besar,

dapt dilakukan pendekatan kepada distribusi normal. Formula interval kepercayaannya ditentukan oleh:

Supaya ditentukan interval kepercayaan 95% mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu

Jawab:

Jika dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal, maka didapat varians gabungan:

๐‘ 2= 50โˆ’1 24,7 + 60โˆ’1 37,2

Dengan ๐‘= 0,975 dan ๐‘‘๐‘˜= 108, dari daftar distribusi t didapat ๐‘ก= 1,984. Maka interval kepercayaan: 70,4โˆ’60,2 โˆ’ 1,984 1,08 <๐œ‡1โˆ’ ๐œ‡2< 70,4โˆ’60,2 + 1,984 1,08

Atau

(5)

d. Observasi berpasangan

Misalkan populasi kesatu mempunyai variabel acak X dan populasi kedua mempunyai variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing ๐œ‡๐‘ฅ dan ๐œ‡๐‘ฆ. Diambil dua sampel acak masing-masing sebuah dari tiap populasi, yang berukuran sama, jadi ๐‘›1 =๐‘›2=๐‘›. Didapat data sampel: ๐‘ฅ1,๐‘ฅ2,โ€ฆ,๐‘ฅ๐‘› dan ๐‘ฆ1,๐‘ฆ2,โ€ฆ,๐‘ฆ๐‘› . Kedua data hasil observasi ini dimisalkan berpasangan sebagai berikut:

๐‘ฅ1 berpasangan dengan ๐‘ฆ1

๐‘ฅ2 berpasangan dengan ๐‘ฆ2

โ‹ฎ

๐‘ฅ๐‘› berpasangan dengan ๐‘ฆ๐‘›

Dalam hal pasangan data seperti ini, maka menaksir selisih atau beda rata-rata ๐œ‡๐ต =๐œ‡๐‘ฅโˆ’ ๐œ‡๐‘ฆ, dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data. Jadi dicari ๐ต1=๐‘ฅ1โˆ’ ๐‘ฆ1, ๐ต2=๐‘ฅ2โˆ’

๐‘ฆ2, โ€ฆ, ๐ต๐‘› =๐‘ฅ๐‘›โˆ’ ๐‘ฆ๐‘›.

Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari ๐ต1,๐ต2,โ€ฆ,๐ต๐‘› supaya dihitung rata-rata ๐ต dan simpangan baku ๐‘ ๐ต, dengan menggunakan:

๐ต = ๐ต๐‘–

๐‘› dan ๐‘ ๐ต2=

๐‘› ๐ต๐‘–2โˆ’ ๐ต๐‘– 2 ๐‘› ๐‘› โˆ’1

Maka interval kepercayaan untuk ๐œ‡๐ต dengan koefisien kepercayaan ๐›พ% yaitu:

๐ต โˆ’ ๐‘ก๐‘.๐‘ ๐ต

๐‘›<๐œ‡๐ต <๐ต +๐‘ก๐‘. ๐‘ ๐ต ๐‘›

Dengan ๐‘ก๐‘ didapat dari daftar distribusi student untuk ๐‘=1

2 1 +๐›พ dan ๐‘‘๐‘˜= ๐‘› โˆ’1

3. Interval Kepercayaan bagi proporsi

Misalkan populasi berdistribusi binom berukuran N, terdapat proporsi ๐œ‹ untuk suatu kejadian A dalam populasi tersebut. Diambil sampel acak berukuran n dari populasi itu dengan proporsi ๐‘ฅ

๐‘› untuk

kejadian A dalam sampel tersebut. Jadi taksiran titik untuk ๐œ‹ adalah ๐‘ฅ

๐‘› . Maka interval kepercayaan

untuk taksiran ๐œ‹ dengan koefisien kepercayaan ๐›พ% yaitu:

โ€ฆโ€ฆ(A)

โ€ฆ...(B)

๐‘›๐‘ฆ ๐‘›

๐‘ฆ=๐‘ฅ

๐œ‹๐‘ฆ 1โˆ’ ๐œ‹ ๐‘›โˆ’๐‘ฆ =1

2 1โˆ’ ๐›พ

๐‘›๐‘ฆ ๐‘ฅ

๐œ‹๐‘ฆ 1โˆ’ ๐œ‹ ๐‘›โˆ’๐‘ฆ =1

(6)

Formula (A) merupakan batas bawah interval kepercayaan dan formula (B) merupakan batas atas interval kepercayaan.

Rumus diatas tidak praktis, sehingga sering kali digunakan pendekatan distribusi normal kepada binom untuk ukuran sampel n cukup besar. Maka interval kepercayaan ๐œ‹, dengan koefisien kepercayaan ๐›พ% adalah:

๐‘ โˆ’ ๐‘ง1 2๐›พ

๐‘๐‘ž

๐‘› <๐œ‹<๐‘+๐‘ง12๐›พ

๐‘๐‘ž ๐‘›

Dengan ๐‘=๐‘ฅ

๐‘› dan ๐‘ž= 1โˆ’ ๐‘ Contoh

Misalkan kita ingin menaksir ada berapa persen anggota masyarakat berumur 15 tahun ke atas yang termasuk ke dalam golongan A. Untuk ini sampel acak berukuran acak ๐‘›= 1200 diambil yang menghasilkan 504 tergolong kategori A.

Jawab:

Persentase golongan A dalam sampel = 504

1200ร— 100% = 42%

Jika ditaksir ada 42% anggota masyarakat berumur 15 tahun ke atas yang termasuk golongan A, maka dalam hal ini telah digunakan titik taksiran. Untuk menentukan 95% interval kepercayaan parameter ๐œ‹, untuk n yang cukup besar, dengan ๐‘= 0,42; ๐‘ž= 0,58; ๐‘ง0,475 = 1,96, maka:

0,42โˆ’ 1,96 0,42 ร— 0,58

1200 <๐œ‹< 0,42 + 1,96

0,42 ร— 0,58

1200

Atau: 0,39 <๐œ‹< 0,45

4. Interval Kepercayaan bagi selisih proporsi

Misal terdapat dua populasi berdistribusi binom dengan parameter untuk peristiwa yang sama masing-masing ๐œ‹1 dan ๐œ‹2. Dari populasi ini secara independent masing-masing diambil sebuah sampel acak

(7)

diperhatikan dari sampel-sampel itu adalah ๐‘1=๐‘ฅ

menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan yang terdapat pada sampel kesatu dan sampel kedua. Penentuan interval kepercayaan untuk ๐œ‹1โˆ’ ๐œ‹2 akan digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan koefisien kepercayaan ๐›พ%, yaitu:

๐‘1โˆ’ ๐‘2 โˆ’ ๐‘ง1

Misal sampel acak satu terdiri 500 wanita dan sampel acak kedua 700 laki-laki yang mengunjungi sebuah pameran telah diambil. Ternyata bahwa 325 wanita dan 400 laki-laki menyenangi pameran itu.

(8)

๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1

๐‘ฆ2โˆ’ ๐‘ฆ1

= ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1

๐‘ฅ2โˆ’ ๐‘ฅ1

Dengan ๐‘ฅ1,๐‘ฆ1 = 60,2 dan ๐‘ฅ2,๐‘ฆ2 = 120,1.98 maka diperoleh

๐‘ฆ โˆ’2 1.98โˆ’2=

๐‘ฅ โˆ’60 120โˆ’60

๐‘ฆ โˆ’2

โˆ’0.02=

๐‘ฅ โˆ’60 60

๐‘ฆ โˆ’2 =โˆ’0,02

60 ๐‘ฅ+ 0,02

๐‘ฆ =โˆ’0,02

60 ๐‘ฅ+ 2,02

Substitusi x = 99, maka diperoleh

๐‘ฆ=โˆ’0,02

60 99 + 2,02 = 1.987

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...