Penyelesaian Persamaan Linier
Simultan
Persamaan Linier Simultan
Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang
secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas
Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas
aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan
simultan
Persamaan Linier Simultan
Penyelesaian persamaan linier simultan adalah
penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang
memenuhi semua persamaan yang diberikan.
AX = B
Persamaan Linier Simultan
Persamaan Linier Simultan
atau Sistem Persamaan
Linier mempunyai
kemungkinan solusi :
Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi
Augmented Matrix
matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan
menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:
Augmented (A) = [A B]
m mn
m m
m
n n
b a
a a
a
b a
a a
a
b a
a a
a
...
... ...
... ...
... ...
... ...
3 2
1
2 2
23 22
21
1 1
13 12
Contoh 1 :
Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam
boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing,
sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing.
Permasalahannya adalah berapa buah boneka
Contoh 1
Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A
y = jumlah boneka B
Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain
10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing
6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62
Atau dapat dituliskan dengan :
10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62
Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang
Contoh 2 :
Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai berikut :
Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus,
sehingga tampak kasar.
Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang
dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial.
Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan
lebih halus.
1
2
3
Contoh 2 :
4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini
dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas
akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d
Titik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
Titik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
Titik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.
d
cx
bx
ax
Contoh 2 :
Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan
Theorema 4.1.
Suatu persamaan linier simultan mempunyai
penyelesaian tunggal bila memenuhi
syarat-syarat sebagai berikut.
Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar,
dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas.
Persamaan linier simultan non-homogen dimana
minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn 0.
Determinan dari matrik koefisien persamaan linier
Metode Analitik
metode grafis
aturan Crammer
Metode Numerik
Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu
menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas
matrik diubah menjadi augmented matrik :
n nn
n
n n
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 n1
2 22
21
1 12
Metode Eliminasi Gauss
ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau
segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).
Operasi Baris Elementer
Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himp
solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan
Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step
yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer
1. Multiply an equation through by an nonzero constant.
2. Interchange two equation.
Metode Eliminasi Gauss
Sehingga penyelesaian dapat diperoleh
dengan:
Contoh :
Selesaikan sistem persamaan berikut:
Augmented matrik dari persamaan linier simultan
tersebut :
10 2
2
2 2
6
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
10
2
1
2
2
1
2
1
6
1
Contoh :
Lakukan operasi baris elementer
Contoh :
Penyelesaian :
6
2
3
1
1
1
2
3
)
2
(
4
1
1
3
2
6
1 2 3
Echelon Forms
This matrix which have following properties is in reduced
row-echelon form (Example 1, 2).
1. If a row does not consist entirely of zeros, then the first nonzero number in the row is a 1. We call this a leader 1.
2. If there are any rows that consist entirely of zeros, then they are grouped together at the bottom of the matrix.
3. In any two successive rows that do not consist entirely of zeros, the leader 1 in the lower row occurs farther to the right than the leader 1 in the higher row.
4. Each column that contains a leader 1 has zeros everywhere else.
A matrix that has the first three properties is said to be in
row-echelon form (Example 1, 2).
A matrix in reduced echelon form is of necessity in
Example 1
Row-Echelon & Reduced Row-Echelon form
reduced row-echelon form:
Example 2
More on Row-Echelon and Reduced
Row-Echelon form
All matrices of the following types are in row-echelon
form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :
All matrices of the following types are in reduced
Contoh
Solusi dari Sistem Pers Linier
4 1
0 0
2 0
1 0
5 0
0 1 (a)
4
2
5
z y
x
Solution (a)
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (b1)
Solution (b)
2
leading variables
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (b2)
4
Free variabel kita misalkan dengan t.
Sehingga selanjutnya dapat kita tentukan leading variabelnya.
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (c1)
Solution (c)
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (c2)
Solution (c)
2. Selesaikan leading variabel dengan free variabel
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (d)
1 0 0 0
0 2 1 0
0 0 0 1 (d)
Solution (d):
Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan Linier
Karena persamaan ini tidak konsisten, maka Sistem ini tidak mempunyai solusi
1 0
0
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (d)
1 0 0 0
0 2 1 0
0 0 0 1 (d)
Solution (d):
the last equation in the corresponding system of equation is
Since this equation cannot be satisfied, there is
no solution to the system.
1 0
0
Elimination Methods (1/7)
We shall give a step-by-step elimination
procedure that can be used to reduce any matrix to reduced row-echelon form.
1
5
6
5
4
2
28
12
6
10
4
2
12
7
0
2
Elimination Methods (2/7)
Step1. Locate the leftmost column that does not consist
entirely of zeros.
Step2. Interchange the top row with another row, to
bring a nonzero entry to top of the column found in Step1.
Leftmost nonzero column
preceding matrix were
Elimination Methods (3/7)
Step3. If the entry that is now at the top of the column
found in Step1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1.
Step4. Add suitable multiples of the top row to the rows
below so that all entires below the leading 1 become zeros.
matrix was multiplied by 1/2.
Elimination Methods (4/7)
Step5. Now cover the top row in the matrix and begin
again with Step1 applied to the submatrix that
remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form.
The 1st row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1.
Leftmost nonzero
Elimination Methods (5/7)
Step5 (cont.)
submatrix was added to the 2nd row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1.
The top row in the submatrix was covered, and we returned again Step1.
The first (and only) row in the new submetrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1.
Leftmost nonzero column in the new submatrix
Elimination Methods (6/7)
Step6. Beginning with las nonzero row and working upward, add
suitable multiples of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s.
preceding matrix was added to the 2nd row.
Elimination Methods (7/7)
Step1~Step5: the above procedure produces a
row-echelon form and is called Gaussian elimination.
Step1~Step6: the above procedure produces a
reduced row-echelon form and is called Gaussian-Jordan elimination.
Every matrix has a unique reduced
Metode Eliminasi Gauss
Jordan
Metode ini merupakan pengembangan metode
eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai
d1,d2,d3,…,dn dan atau:
Contoh :
Selesaikan persamaan
linier simultan:
Augmented matrik dari
persamaan linier simultan
Lakukan operasi
baris elementer
8
Example 3
Using Elementary row Operations(2/4)
Example 3
Using Elementary row Operations(3/4)
Example 3
Using Elementary row Operations(4/4)
Algoritma Metode
Metode Iterasi
Gauss-Seidel
Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang
menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.
Bila diketahui persamaan linier simultan
Metode Iterasi
Gauss-Seidel
Berikan nilai awal dari setiap x
i(i=1 s/d n)
kemudian persamaan linier simultan diatas
dituliskan menjadi:
Metode Iterasi
Gauss-Seidel
Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n)
menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut.
Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila
selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi
sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.
Catatan
Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier
ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini.
Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi
pada semua persamaan di diagonal utama (aii). Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk
setiap xi pada diagonal utama.
Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus
Contoh
Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0
Susun persamaan menjadi: 14
4 2
5
2 1
2 1
x x
x x
1
2
2 1
2 14 4 1 5
x x
x x
(5,1)
(4,3/2)
Contoh
(13/4 , 15/8)
(25/8 , 31/16)
(49/16 , 63/32 )
Contoh :
Selesaikan sistem persamaan berikut:
Augmented matrik dari persamaan linier simultan
tersebut :
10 2
2
2 2
6
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
10
2
1
2
2
1
2
1
6
1
Hasil Konvergen
2 6210 2
2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
Soal
Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 = 8
-x1 – 2x1 + 3x3 = 1 3x1 – 7x2 + 4x3 = 10
x – y + 2z – w = -1
2x + y - 2z -2w = -2 -x + 2y – 4z + w = 1
3x - 3w = -3
0 5
6 3
1 3
4 2
9 2
z y
x
z y
x
z y
Selesaikan dg Gauss Seidel
5x1 + 2x2 + 6x3 = 0
-2x1 + x2 + 3x3 = 0
X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1
X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2
Contoh Penyelesaian Permasalahan
Persamaan Linier Simultan
Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10
blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.
Model Sistem Persamaan Linier :
Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:
x1 adalah jumlah boneka A x2 adalah jumlah boneka B
Perhatikan dari pemakaian bahan :
B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80 B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36
Diperoleh model sistem persamaan linier
Contoh 1 :
metode eliminasi Gauss-Jordan
Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat
Contoh 2 :
Penghalusan Kurva Dengan
Fungsi Pendekatan Polinomial
Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis
lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi
pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.
1
2
3
Contoh 2 :
Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk
adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam
persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :
Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d
Titik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
Titik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
a = -0,303 b = 6,39 c = -36,59 d = 53,04
