SKRIPSI
ANALISIS SURVIVAL DENGAN PENDEKATAN REGRESI COX PADA KASUS DEMAM BERDARAH DENGUE (DBD) DI RUMAH SAKIT
LABUANG BAJI MAKASSAR
Diajukan kepada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Makassar untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Matematika
RIDWAN 1211141004
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
PERSETUJUAN PUBLIKASI UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK
Sebagai civitas akademika Universitas Negeri Makassar, saya bertanda tangan dibawah ini:
Nama : Ridwan
Nim : 1211141004
Program studi : Matematika Jurusan : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Negeri Makassar. Hak Bebas Royalti
Non-Eksklusif (Exclusice Royalti-Free Right) atas skripsi saya yang berjudul
“Analisis Survival Dengan Pendekatan Regresi Cox Pada Kasus Demam Berdarah
Dengue (DBD) Di Rumah Sakit Labuang Baji Makassar 2015”, beserta perangkat
yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif ini, Universitas Negeri Makassar berhak menyimpan mengalih media/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat dan mempublikasikan skripsi saya selama mencantumkan nama saya sebagai penulis, pencipta dan pemilik, hak cipta serta tidak dikomersilkan.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di : Makassar
Pada Tanggal : Maret 2016
Menyetujui
Pembimbing I Yang Menyatakan
Hj. Aswi, S.Pd., M.Si. Ridwan
PERNYATAAN KEASLIAN
Saya bertanda tangan di bawah ini menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, dan semua sumber yang dikutip ataupun yang dirujuk telah saya nyatakan dengan benar. Bila dikemudian hari ternyata pernyataan saya terbukti tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi yang ditetapkan oleh FMIPA UNM MAKASSAR.
Yang membuat pernyataan
MOTTO
7. Barangsiapa yang mengerjakan kebaikan seberat dzarrahpun, niscaya Dia akan melihat (balasan)nya.
8. dan Barangsiapa yang mengerjakan kejahatan sebesar dzarrahpun, niscaya Dia akan
melihat (balasan)nya pula.
“Pelajarilah apa yang ingin engkau pelajari karena keinginan untuk mengembangkan wawasanmu
dan keingin tahuanmu bukan untuk mendapatkan nilai yang tinggi”
“Tak ada badai yang tak dapat dilewati kecuali engkau akan mendapatkan kebahagiaan di dalamnya”
“Tanamkan kebaikan pada dirimu maka engkau mendaptkan kebaikan pula untuk masa depan yang lebih baik”
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kupersembahkan sebuah catatan kecil ini untuk:
Kedua orang tua, yang senantiasa mendoakan saya disetiap sujudnya, memotivasi, dan mendukung saya. terima kasih Bapak Mustang dan Ibu Hamsinah.
Kakakku Muh. Arifai dan adikku Awal, yang telah memberikan motivasi untuk menjadi semangat setiap hari.
Milih Ismail, Wahyudin, Normawati, Adhatami yang selalu membantu saya dalam menjalani kuliah. Kalian adalah bagian dari kehidupanku di kampus.
Bunda Susilawati beserta keluarganya, adinda Kholil Gibran dan Keiza Mutia yang selalu menghibur saya disaat sedih dan menjadi teman curhat saya.
Sahabatku yang tercinta dan dicintai Allah, yang selalu ada untuk mengingatkanku, memotivasiku, menemaniku, setiap hari meskipun bantuanmu bukan didepan mata. Terima kasih Nur Ilmi Amalia B.
Teman-teman mahasiswa Matematika Ang. 2012, yang menjadi teman yang baik saat menjalani perkuliahan.
ABSTRAK
Ridwan, (2016). Analisis Survival Dengan Pendekatan Regresi Cox Pada Kasus Demam Berdarah Dengue (DBD) Di Rumah Sakit Labuang Baji Makassar. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Makassar (dibimbing oleh Aswi dan Wahidah Sanusi).
Jenis penelitian ini merupakan penelitian terapan (applied research) dengan pendekatan kuantitatif yaitu dengan mengambil atau mengumpulkan data yang diperlukan dan menganalisisnya dengan menggunakan model regresi Cox pada kasus kejadian bersama dan penerapannya untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi laju kesembuhan pada penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) di Rumah Sakit Labuang Baji Makassar. Lama rawat inap di rumah sakit merupakan waktu survival. Sesuai dengan uji Anderson Darling menggunakan
software Minitab 15, maka hasil uji distribusi pada waktu survival dari penderita DBD berupa distribusi Gamma. Estimasi parameter pada distribusi Gamma dapat diestimasi menggunakan metode momen pada fungsi Gamma. Estimasi Parameter
dalam prosedur pembentukan model Cox pada umumnya menggunakan
Maximum Partial Likelihood Estimation (MPLE) yaitu dengan memaksimalkan fungsi partial likelihood. Pada kasus kejadian bersama dilakukan modifikasi pada
partial likelihood dengan pendekatan Breslow. Estimasi parameter dan perhitungan yang lainnya dalam penelitian ini dibantu dengan software SPSS 20. Hasil pemilihan model terbaik berdasarkan nilai dari setiap model dan nilai signifikansi dari setiap variabel pada pemilihan model menunjukkan, model Regresi Cox Nonproportional Hazard terbaik dari faktor-faktor mempengaruhi laju kesembuhan pasien Demam Berdarah Dengue (DBD) di Rumah Sakit Labuang Baji yaitu faktor Hematokrit ( ) dan Hemoglobin ( )
ABSTRACT
Ridwan, (2016). Survival analysis with Cox Regression Approach In Case of
Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) Hospital Labuang Baji Makassar. Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Makassar (guided by Aswi and Wahidah Sanusi).
This research is applied research (applied research) with quantitative approach is to take or collect the necessary data and analyzed using Cox regression models on the prevalence of joint and its application to determine the factors that affect the rate of healing in patients with Dengue Hemorrhagic Fever (DHF ) in Labuang Baji Makassar Hospital. Old inpatient in hospital is survival time , In accordance with the Anderson Darling test using the software Minitab 15, the test results on the distribution of survival time of patients with DHF form Gamma distribution. Estimation parameters on Gamma distribution can be estimated using the method
of moments in the Gamma function. Parameter estimation of β in the Cox model
building procedures in general use Maximum Partial Likelihood Estimation (MPLE) is to maximize the partial likelihood function. In the case of a modification to the incident along with the partial likelihood approach Breslow. Parameter estimates and other calculations in this study aided by software SPSS 20. The result of the selection of the best models based on the value of each model and the significance of each variable in the model selection show, models Regression Cox Non proportional Hazard best of these factors affect the rate of recovery of patients with Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) in the Hospital Labuang Baji is factor Hematocrit ( ) and Hemoglobin ( ).
Keywords: Gamma distribution, models of cox, joint events, Breslow method,
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi berjudul “Analisis Survival Dengan Pendekatan Regresi Cox Pada Kasus Demam Berdarah Dengue (DBD) Di Rumah Sakit Labuang Baji Makassar”. Penulisan skripsi ini dibuat untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Makassar.
Dibalik terselesaikannya skripsi ini banyak pihak yang telah membantu dan bekerja sama dengan penulis. Melalui pengantar ini penulis hendak menghaturkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ayahanda Mustang dan Ibunda Hamsinah yang tiada henti-hentinya memberikan dan menghantarkan do’a demi kesuksesan dan kebaikan penulis. Demikian juga buat saudara-saudaraku tercinta Muh. Arifai dan Awaluddin atas segala cinta, nasihat, kasih sayang, didikan, perhatian, dorongan, bantuan, pengorbanan dan dukungan yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan, serta doa dan kasih sayang yang tulus diberikan kepada penulis.
Tidak lupa penulis menghaturkan terima kasih yang sebesar-besarnya terutama kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Abdul Rahman, M.Pd. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Makassar yang telah memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
2. Bapak Dr. H. Djadir, M.Pd. selaku Ketua Jurusan Matematika Universitas Negeri Makassar yang telah memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
pelayanan dalam urusan akademik serta Penasehat Akademik yang telah memberikan bimbingan serta motivasi selama studi.
4. Ibu Hj. Aswi, S. Pd., M.Si. dan Ibu Wahidah Sanusi, S.Si, M.Si., Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah berkenan memberikan waktu luang, arahan, bimbingan serta dengan penuh kesabaran meneliti setiap kata demi kata dalam skripsi ini.
5. Seluruh dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Makassar yang telah memberikan ilmu, nasehat, bimbingannya kepada penulis.
6. Orangtua dan keluarga besar yang telah memberikan doa, dukungan, serta semangat kepada penulis.
7. Seluruh teman-teman matematika angkatan 2012 yang telah menghibur serta menyemangati penulis.
8. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini hingga selesai. Semoga yang telah penuliskan sebutkan di atas mendapat imbalan bernilai pahala di sisi Allah SWT. Penulis menyadari adanya ketidaktelitian, kekurangan dan kesalahan dalam penulisan tugas akhir skripsi ini. Oleh karena itu, penulis menerima kritik dan saranyang bersifat membangun. Semoga penulisan tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang terkait.
Makassar, 17 Februari 2016
Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERNYATAAN ... iv
MOTTO ... v
PERSEMBAHAN ... vi
ABSTRAK ... vii
KATA PENGANTAR ... viii
DAFTAR ISI ... ix
DAFTAR TABEL ... x
DAFTAR GAMBAR ... xi
DAFTAR LAMPIRAN ... xii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A.Latar Belakang Masalah ... 1
B. Rumusan Masalah ... 5
C.Batasan Masalah ... 5
D.Tujuan ... 6
E. Manfaat ... 7
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 8
A. Konsep Dasar Distribusi Survival ... 8
C. Fungsi Distribusi Kumulatif ... 11
D. Fungsi Survivor ... 11
E. Fungsi Hazard (Kegagalan)... 13
F. Analasis Distribusi ... 16
G. Cox Proportional Hazard (Cox PH) ... 20
H. Estimasi Parameter ... 23
I. Pengujian Signifikansi Parameter Model ... 25
J. Odds Ratio ... 29
K. Pemilihan Model Cox Terbaik ... 29
L. Pengujian Asumsi Proportional Hazard ... 30
M. Demam Berdarah Dengue (DBD) ... 31
N. Hipotesis ... 35
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 37
A. Jenis Penelitian ... 37
B. Waktu dan Tempat Penelitian ... 37
C. Sumber Data ... 37
D. Variabel Penelitian ... 38
E. Langkah Penelitian ... 38
F. Skema Prosedur Penelitian ... 42
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 43
A. Hasil Penelitian ... 43
pada Penderita Demam Berdarah Dengue ... 54
3. Model Regresi Cox dengan Variabel yang Berpengaruh ... 78
B. Pembahasan ... 83
BAB V PENUTUP ... 85
A. Kesimpulan ... 85
B. Saran ... 86
DAFTAR PUSTAKA ... 87
DAFTAR TABEL
Tabel Judul Halaman
3.1 Variabel-Variabel yang Terdapat dalam Penelitian ... 38
4.1 Data Survival Dengan Terdapat Ties ... 48
4.2 Analsis Deskriptif Terhadap Variabel Kontinu ... 58
4.3 Hasil Uji Kecocokan Distribusi pada Waktu Survival ... 62
4.4 Analisis Deskriptif Waktu Survival (Lama Rawat) ... 63
4.5 Prosedur Seleksi Backward Dalam Pemilihan Model Terbaik... 66
4.6 Estimasi parameter model Cox terbaik dengan metode Breslow ... 67
4.7 Estimasi parameter model Cox terbaik dengan seleksi backward ... 75
4.8 Hasil Pengujian Parameter Secara Partial dengan Uji Wald ... 77
4.9 Estimasi Parameter Dengan Dua Variabel yang Signifikan ... 77
DAFTAR GAMBAR
Gambar Judul Halaman
1.1 Kurva Fungsi Densitas Peluang ... 10
1.2 Grafik Sebaran Gam(3,14) ... 18
1.3 Grafik FKP Weib(1,2) ... 19
3.1 Skema Penelitian ... 42
4.1 Waktu Survival Penderita DBD ... 54
4.2 Persentase Penderita DBD Tahun 2015 di Rumah Sakit Labuang Baji ... 55
4.3 Persentase Kondisi Trombosit Penderita DBD Tahun 2015 di Rumah Sakit Labuang Baji ... 55
4.4 Persentase Kondisi Hematokrit Penderita DBD Tahun 2015 di Rumah Sakit Labuang Baji ... 56
4.5 Persentase Kondisi Hemoglobin Penderita DBD Tahun 2015 di Rumah Sakit Labuang Baji ... 57
4.6 Persentase Kondisi Leukosit Penderita DBD Tahun 2015 di Rumah Sakit Labuang Baji ... 58
4.7 Plot Hasil Uji Kenormalan Data Pasien DBD dengan Anderson Darling ... 60
4.8 Plot Hasil Uji Kesesuaian Distribusi Pada Lama Rawat Pasien DBD ... 62
4.9 Grafik dari distribusi Gam(7,086;0,873) ... 64
DAFTAR LAMPIRAN
1 Data Penderita DBD Di Rumah Sakit Labuang Baji Makassar 2015
2 Output Hasil Analisis Deskriptif
3 Output Hasil Uji Kenormalan Waktu Survival
4 Output Hasil Uji Kecocokan Distribusi Waktu Survival 5 Output Estimasi Parameter Pemilihan Model Cox
dengan seleksi backward
6 Output Pengujian Parameter Model Cox
DAFTAR SIMBOL
: Fungsi densitas peluang
: Fungsi survivor
: Fungsi distribusi kumulatif : Waktu
: Anderson darling : Banyaknya data
: Baseline hazard : Koefisien regresi : Variabel bebas
: Likelihood
: Seluruh individu yang memiliki resiko gagal pada waktu ke-i
: Nilai indikator (tersensor atau tidak) : Uji partial likelihood rasio
: Nilai Chi-square
W : Uji Wald
: Standar error koefisien regresi
: Odds rasio
: Parameter shape (bentuk)
̂ : Parameter scale (lokasi)
̂ : Fungsi gamma ̂
: Fungsi hazard kumulatif : Jumlah kovariat pada kasus ties
: Banyaknya kasus ties pada waktu
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Berbagai penelitian di bidang Biologi, Fisika, Pertanian dan Kedokteran biasanya akan menghasilkan data yang berhubungan dengan waktu hidup dari suatu individu. Data waktu hidup merupakan variabel random non negatif. Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup tersebut disebut analisis tahan hidup (Survival) (Lawless, 1982).
Analisis survival adalah salah satu prosedur statistik untuk melakukan analisa data berupa waktu tahan hidup dan variabel yang mempengaruhi waktu tahan hidup, yaitu data waktu tahan hidup mulai dari waktu awal penelitian yang sudah ditentukan sampai waktu terjadinya suatu kejadian. Kejadian yang diamati dapat bermacam-macam, yaitu kejadian meninggal, kejadian sakit, kejadian sakit yang terulang kembali setelah pengobatan, munculnya penyakit baru, kejadian kecelakaan dan lain-lain. Analisis tahan hidup berkaitan dengan waktu tahan hidup, dengan diketahui waktu tahan hidup maka dapat diketahui peluang tahan hidup (Lawless, 1982).
jika semua individu atau unit-unit data yang diteliti meninggal atau mengalami kejadian yang diamati.
Untuk menganalisis data survival dengan data tidak tersensor diperlukan asumsi tertentu tentang distribusi populasinya. Beberapa distribusi parametrik yang populer dan dapat digunakan untuk menganalisis model survival adalah Distribusi Log-normal, Distribusi Gamma, Lognormal (2P), Smallest extreme value, Exponential (2P), Exponential, Loglogistik, Logistik, Normal, dan Weibull
(Sari, 2011 dan Nelson, 1982). Distribusi yang memiliki nilai Anderson-Darling
(AD) terkecil adalah distribusi yang paling cocok atau mendekati variabel respon yang berupa survival time.
Menurut Collett (2004) dalam Ratnaningsih, dkk. (2008), analisis ketahanan hidup menggambarkan analisis data waktu tahan hidup dari awal waktu penelitian sampai kejadian tertentu terjadi. Salah satu metode analisis ketahanan hidup adalah regresi Cox. Regresi Cox merupakan salah satu metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel dependen dengan variabel independen.
Pada dasarnya model regresi cox terdiri dari dua, yaitu regresi cox proportional hazard dan regresi cox nonproportional hazard. Model regresi dapat dimodelkan sebagai regresi cox proportional hazard jika memenuhi asumsi proportional yang menunjukkan bahwa rasio dari dua individu konstan dari waktu ke waktu. Sedangkan model regresi cox dimodelkan sebagai regresi cox nonproportional hazard jika tidak memenuhi asumsi proportional yang menunjukkan bahwa rasio dari dua individu tidak konstan dari waktu ke waktu Menurut Collett (2004) dalam Hutahaean (2014), pada regresi Cox Proportional Hazard tidak diperlukan asumsi distribusi seperti halnya pada regresi linear, melainkan waktu kegagalan individu suatu faktor dengan faktor yang lainnya harus proporsional. Regresi Cox ini tidak mempunyai asumsi mengenai sifat dan bentuk yang sesuai dengan distribusi normal seperti asumsi pada regresi yang lain, distribusi yang digunakan adalah sesuai dengan distribusi dari variabel responnya yaitu lama rawat inap pasien demam berdarah dengue, yang diperoleh dari uji
Anderson-Darling. Secara umum model regresi Cox dihadapkan pada situasi dimana kemungkinan kegagalan individu pada suatu waktu yang dipengaruhi oleh satu atau lebih variabel independen.
penular. Menurut penelitian menyatakan bahwa nyamuk penular dengue ini terdapat hampir di seluruh pelosok Indonesia, kecuali di tempat yang memiliki ketinggian lebih dari 1000 meter di atas permukaan laut seperti di daerah pegunungan. Akan tetapi penduduk yang ada di daerah pegunungan sering kali terjangkit penyakit DBD meskipun dalam jumlah penderita sedikit. Penyakit DBD banyak dijumpai terutama di daerah tropis dan sering menimbulkan kejadian luar biasa (KLB). Ada beberapa faktor yang mempengaruhi munculnya DBD antara lain rendahnya status kekebalan kelompok masyarakat dan kepadatan populasi nyamuk penular karena banyaknya tempat perindukan nyamuk yang biasanya terjadi pada musim penghujan dan ditempat yang terdapat banyak genangan air terutama di daerah perkotaan. Hal ini menyebabkan DBD menjadi salah satu obyek yang menarik untuk diteliti dan dikaji lebih lanjut.
dengue dirumah sakit Labuang Baji Makassar tergolong masih banyak. Hal ini menunjukkan bahwa penyakit yang masih perlu untuk penanganan serius di Kota Makassar.
Beberapa penelitian sebelumnya pernah dilakukan tentang DBD yang menjadi dasar penelitian dan menjadi dasar dalam pengambilan variabel, diantaranya:
1. Kasus DBD pada Analisis survival dengan di RS. Pamekasan dengan pendekatan Bayesian Mixture Survival Amalia, S (2010).
2. Analisis Survival dengan Model Regresi Cox, dengan 2 faktor yang mempengaruhi yaitu Umur dan Trombosit (Ernawatiningsih, 2012). 3. Analisis Survival Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Laju Kesembuhan
Pasien Penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) di RSU Haji Surabaya dengan Regresi Cox,dengan 2 faktor yang mempengaruhi yaitu Umur dan
Trombosit (Fa’rifah, dkk., 2012).
4. Analisis Survival dengan Pendekatan Multivariate Adaptive Regression Splines pada Kasus Demam Berdarah Dengue (DBD), dengan 4 faktor yang mempengaruhi yaitu jumlah trombosit, kadar hematokrit, umur, dan pembesaran hati (Nisa dan Budiantara, 2012).
dengue dari diagnosis klinis dan laboratorium, selanjutnya menghitung laju kesembuhan pasien penderita demam berdarah dengue dengan pendekatan
Regresi Cox.
Hal tersebut di atas yang mendasari penulis untuk melakukan penelitian yang berjudul “Analisis Survival dengan Pendekatan Regresi Cox pada Kasus Demam
Berdarah Dengue (DBD) di Rumah Sakit Labuang Baji Makassar”.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, maka rumusan masalahnya ialah sebagai berikut.
1. Bagaimana prosedur matematis Analisis Distribusi dan Regresi Cox pada penderita Demam Berdarah Dengue (DBD)?
2. Bagaimana penerapan Analisis Distribusi dan Regresi Cox pada penderita Demam Berdarah Dengue (DBD)?
3. Faktor apa yang paling berpengaruh pada laju kesembuhan pasien demam berdarah dengue (DBD)?
C. Batasan Masalah
D. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini ialah sebagai berikut.
1. Mengetahui prosedur matematis Analisis Distribusi dan Regresi Cox pada penderita Demam Berdarah Dengue (DBD).
2. Mengetahui penerapan Analisis Distribusi dan Regresi Cox pada penderita Demam Berdarah Dengue (DBD).
3. Mengetahui faktor yang paling berpengaruh pada laju kesembuhan pasien demam berdarah dengue (DBD).
E. Manfaat Penulisan
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
A. Konsep Dasar Distribusi Survival
Data survival adalah data lamanya individu-individu atau unit-unit dari suatu populasi menjalankan fungsinya dengan baik sampai kematian individu-individu tersebut. Dalam mempelajari penerapan data survival, terlebih dahulu harus diketahui konsep-konsep statistik pada distribusi survival (Sari, 2011).
Analisis data tahan hidup (survival analysis) adalah suatu metode untuk menganalisis yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau start-point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end start-point (Yasril dan Kasjono SB, 2009; Collet, D (1994) dalam Romadhoni, dkk., 2012).
Menurut Nisa dan Budiantara (2012), dalam menentukan waktu survival T, terdapat tiga elemen yang perlu diperhatikan, yaitu:
1. Time Origin or Starting Point (titik awal) adalah waktu dimulainya suatu penelitian. Titik awal pada penelitian ini adalah tangga masuk pasien rawat inap DBD di Rumah Sakit.
2. Ending Event of interest (kejadian akhir) adalah kejadian yang menjadi inti dari penelitian. Titik akhir yang dimaksud pada penelitian adalah tanggal dimana pasien rawat inap DBD yang dinyatakan keluar dari Rumah Sakit dalam keadaan sembuh.
Misalkan T merupakan variabel random kontinu non negatif yang menunjukkan tahan hidup individu-individu dari suatu populasi. Pada model kontinu, fungsi-fungsi seperti fungsi densitas peluang, fungsi distribusi kumulatif, fungsi hazard dan fungsi survivor didefinisikan dalam interval (Lawless, 1982).
Fungsi densitas peluang pada analisis survival adalah peluang suatu individu mati atau gagal dalam interval waktu sampai dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi densitas peluang dari T dapat dinyatakan sebagai seperti pada persamaan (2.1):
(2.1)
Yang mempunyai sifat sebagai berikut: a)
b) ∫
Gambar 2.1. Kurva fungsi densitas peluang (Sari, 2011).
Dengan demikian luas daerah yang diarsir adalah ∫ dengan a,b (Lawless,1982).
Adapun sumber kesulitan data pada analisis survival adalah adanya kemungkinan beberapa individu tidak bisa diobservasi yang disebut dengan data tersensor yang dijelaskan pada sub bab berikutnya.
B. Data Tersensor
Data tersensor adalah data yang diperoleh sebelum semua data teramati waktu hidupnya, sedangkan waktu pengamatan telah berakhir atau oleh sebab lain. Dalam penelitian uji hidup, data waktu hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Pada pengambilan data menggunakan data lengkap, percobaan akan dihentikan jika semua komponen atau individu yang diteliti gagal atau mati (Lawless, 1982 dalam Sari, 2011). Metode menggunakan data lengkap memerlukan waktu yang lama sehingga jarang digunakan (Sari, 2011).
tipe II merupakan data hasil penelitian dimana penelitian dihentikan setelah kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982; Sari, 2011).
Data tersensor tipe II merupakan data kematian atau kegagalan yang tidak lengkap (incomplete mortality data) yaitu data waktu kematian atau kegagalan 10 dari r observasi terkecil dalam sampel random yang berukuran n dengan 1≤ r ≤ n. Dalam suatu penelitian, penyensoran tipe II lebih sering digunakan, yaitu dalam uji hidup yang terdapat observasi sebanyak n, tetapi penelitian dihentikan ketika observasi mengalami kegagalan ke-r, sehingga dapat menghemat waktu dan biaya. Dalam penyensoran ini, r ditentukan terlebih dahulu sebelum data dikumpulkan (Lawless, 1982).
C. Fungsi Distribusi Kumulatif
Jika T merupakan variabel random dari waktu hidup suatu individu dalam
interval [0, ∞), maka fungsi distribusi kumulatif F(t) untuk distribusi kontinu dengan fungsi densitas peluang f(t) dinyatakan pada persamaan (2.2) sebagai berikut (Yasril dan Kasjono SB, 2009; Lawless (1982) dalam Sari, 2011):
atau
∫ (2.2)
D. Fungsi Survivor
Menurut Yasril dan Kasjono SB (2009); Lawless (1982), fungsi survivor S(t)
halus, dimana t adalah baris dan S(t) adalah kolom. Terjadi penurunan dari
pada sampai pada . Yaitu peluang hidup =1 pada waktu = 0, dan peluang hidup pada waktu tak terhingga = 0. Namun dalam kenyataannya biasanya grafik dalam step fungsi, tidak dengan kurva halus, karena waktu studi tidak pernah sampai waktu tak terhingga, ada kemungkinan setiap orang dalam studi tidak muncul keinginan yang diinginkan, sehingga estimasi fungsi survivor yang dilambangkan dengan S pada grafik tidak selalu menjadi 0 pada akhir studi. Jika T merupakan variabel random dari waktu hidup suatu
individu dalam interval [0, ∞), maka fungsi survivor S(t) dapat dinyatakan dalam persamaan (2.3):
∫ (2.3)
(Yasril dan Kasjono SB, 2009; Lawless, 1982) Dengan demikian diperoleh persamaan (2.4) yang menyatakan hubungan antara fungsi survivor dan fungsi distribusi kumulatif, yaitu (Rahayu, 2015):
(2.4) Jadi hubungan fungsi densitas peluang dengan fungsi tahan hidup (Survival) pada persamaan (2.5):
| (2.5)
1. , artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1
2. artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah nol (0).
Fungsi survivor digunakan untuk merepresentasikan peluang individu untuk survive dari waktu awal sampai beberapa waktu tertentu (Yasril dan Kasjono SB, 2009; Lawless, 1982).
E. Fungsi Hazard (Kegagalan)
Menurut Yasril dan Kasjono SB (2009), fungsi hazard merupakan peluang kegagalan seseorang atau suatu komponen pada waktu t yang ditentukan, jika diketahui bahwa komponen tersebut tetap hidup hingga waktu t, seperti kebalikan dari fungsi S(t). Fungsi hazard adalah peluang suatu individu mati dalam interval waktu t sampai , jika diketahui individu tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t, yang dinyatakan persamaan (2.6) sebagai berikut (Yasril dan Kasjono SB, 2009):
|
(2.6)
Berbeda dengan fungsi survival, dimana fokusnya adalah “not falling”, pada
fungsi hazard fokusnya adalah “falling” pada munculnya suatu kejadian. Dengan
demikian jika S(t) lebih tinggi untuk waktu t maka h(t) akan lebih rendah dan sebaliknya (Yasril dan Kasjono SB, 2009; Lawless, 1982).
|
(2.7)
dari persamaan (2.5) dan (2.7) diperoleh (2.8) sebagai berikut (Rahayu, 2015):
(2.8) Dari persamaan (2.8) diperoleh
∫ ∫
∫ ∫
∫ |
(Rahayu, 2015)
Karena dan , maka diperoleh (Lawless (2007) dalam Rahayu, 2015):
∫
Dari uraian di atas diperoleh hubungan antara f(t), S(t), dan h(t) pada persamaan (2.9) sebagai berikut:
i. ii.
iii. ∫ (2.9) (Aini, 2011: 9)
Dengan demikian, jika fungsi hazard h(t) dari suatu distribusi dalam tahan hidup diketahui, maka f(t), F(t), dan S(t) dapat dicari. Sedangkan fungsi hazard kumulatif didefinisikan dengan persamaan (2.10) berikut ini (Lawless, 1982):
∫ (2.10)
Melalui persamaan (9), fungsi hazard kumulatif yang dihubungkan dengan fungsi tahan hidup diperoleh (Lawless (2007) dalam Rahayu, 2015):
atau
dari persamaan (2.7) dan (2.9) diperoleh persamaan (2.11):
∫ (2.11)
(Nisa dan Budiantara, 2012) Menurut Kleinbaum (1997), kegunaan fungsi hazard adalah:
3. Membuat model matematik untuk survival analisis biasanya ditulis dalam bentuk fungsi hazard.
F. Analisis Distribusi
Menurut Nisa dan Budiantara (2012), pendugaan distribusi digunakan pada data survival yang dalam penelitian ini adalah data lama rawat inap pasien DBD hingga dinyatakan sembuh. Pendugaan distribusi dilakukan dengan statistik uji
Anderson-Darling untuk mengetahui distribusi data survival yang paling sesuai. Persamaan statistik uji Anderson-Darling dapat dituliskan pada persamaan (2.12)
sebagai berikut (Fa’rifah dan Purhadi, 2012) :
∑ (2.12)
dimana
F = fungsi distribusi kumulatif dari distribusi tertentu. = data waktu survival.
= banyaknya data atau individu.
Dalam hal ini pendugaan distribusi yang sesuai dipilih berdasarkan nilai
Anderson-Darling terkecil.
Menurut Rahmantya K. (2009), dilakukan uji normalitas dengan menggunakan nilai Anderson-Darling. Hipotesis dari uji Anderson-Darling adalah data mengikuti distribusi normal atau data tidak mengikuti distribusi normal.
Jika maka menolak , sehingga data tidak mengikuti distribusi normal (Rahmantya, 2009).
Jika data tidak mengikuti distribusi normal, maka langkah pertama adalah pemeriksaan distribusi yang sesuai, pemilihan distribusi yang sesuai menggunakan acuan nilai Anderson Darling dan koefisien korelasi. Suatu distribusi dikatakan paling sesuai apabila mempunyai nilai Anderson Darling paling kecil dan nilai koefisien korelasi terbesar (Rahmantya, 2009).
Ada beberapa distribusi yang dapat digunakan ketika melakukan uji distribusi menggunakan Software Minitab 16 yaitu Lognormal (2P), Smallest extreme value, Exponential (2P), Exponential, Loglogistik, Logistik, Normal, dan Weibull
(Lawlwss, 1982; Nelson, 1982). Distribusi yang memiliki nilai Anderson Darling (AD) terkecil adalah distribusi yang paling cocok atau mendekati variabel respon yang berupa survival time (Ernawatiningsih dan Purhadi, 2012) . Berikut akan dijelaskan dua jenis distribusi, yaitu:
1. Distribusi Gamma
Sebaran gamma umumnya digunakan untuk mengkaji peubah acak malar yang bernilai non-negatif. Penggunaan model ini menjelaskan tentang masalah waktu tunggu (waiting time). Misalnya, dalam pengujian daya tahan penggunan sejenis alat, dengan memperhatikan waktu tunggu sampai alat tersebut tidak berfungsi.
Definisi 2.1 (Tiro, 2008:266)
P eub a h a ca k Y dika ta ka n mempun ya i seba r a n ga mma
jika da n ha n ya jika fu ngsi kepa d a ta n
pelua ngn ya a da la h :
{
dimana ∫ Diagram f(y) untuk tiga pasangan ( ) dari sebaran ditunjukkan pada Gambar 2.2 dibawah:
Gambar 2.2 Grafik sebaran Gam(3,14)
2. Distribusi Weibull
Definisi 2.2 (Tiro, 2008: 297)
Sua tu p euba h a ca k Y dika ta ka n mempun ya i seba r a n
Weib ull den ga n pa r a meter p d a n , jika da n h a n ya
jika fungsi kepa da ta n pelu a ngn ya :
untuk ,
ditulis d eng a simbol
untuk lebih memperjelas bentuk dari sebaran Weibull, grafik fkp
sebaran Weibull (bantuan Maple 17) untuk dan dapat dilihat pada Gambar diabawah:
Gambar 2.3 Grafik fkp Weib (1,2)
Teorema 9.2 (Tiro, dkk., 2008: 267)
Jika maka fpm-nya adalah
Teorema 9.3 (Tiro, dkk., 2008: 268)
Nilai harapan dan variansi peubah acak adalah
G. CoxProportional Hazard (Cox PH)
Pemodelan data survival dengan menggunakan Model Cox Proportional Hazard merupakan pemodelan dengan metode parametrik yang digunakan untuk mengestimasi efek kovariat pada data survival. Pemodelan regresi untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi data survival untuk data tidak tersensor yang disebut dengan Regresi Cox (Cox Model) (Cox dan Oakes (1982) dalam Nisa dan Budiantara, 2012).
Menurut Yasril dan Kasjono SB (2008), regresi Cox digunakan untuk membuat model yang menggambarkan hubungan antara survival time sebagai dependen variabel dengan satu set variabel independen. Variabel independen ini bisa kontinu maupun kategorik.
Regresi Cox menggunakan fungsi hazard sebagai dasar untuk memperkirakan
Relative Risk untuk gagal. Fungsi hazard adalah sebuah rate yang merupakan estimasi potensi untuk mati pada satu unit waktu pada suatu saat tertentu, dengan catatan bahwa kasus tersebut masih hidup ketika menginjak interval waktu tersebut. Karena fungsi hazard bukan suatu peluang (0 s/d 1), maka ia dapat mempunyai nilai dari 0 hingga .
Menurut Nisa dan Budiantara (2012), pemodelan ini merupakan hubungan log-linear antara X dan fungsi umum hazard pada T seperti pada persamaan (2.13):
| |
Menurut Cox dan Oakes (1984) dalam Yensy (2009); Rahayu, dkk. (2012), untuk variabel X yang ber-Covariate, maka persamaan yang digunakan adalah persamaan (2.14):
(2.14)
dimana:
= Waktu hingga suatu kejadian tertentu terjadi
= baseline hazard = koefisien regresi
= variabel bebas,
Menurut Yasril dan Kasjono (2009), model Cox sangat populer digunakan karena:
1. Dapat mengestimasi hazard rasio tanpa perlu diketahui atau fungsi baseline. Akan tetapi dalam penelitian ini akan dicari fungsi baselinenya dengan menggunakan distribusi yang terbaik.
2. Dapat mengestimasi , , dan fungsi survivor meskipun tidak spesifik.
3. Cox model robust sehingga dari model Cox hampir sama dengan hasil model parametrik.
Rumus model Cox pada persamaan (14) dan persamaaan (15) memiliki sifat bahwa jika semua X sama dengan nol, maka rumus tereduksi menjadi fungsi hazard dasar . Dengan demikian dianggap sebagai awal atau dasar dari fungsi hazard dapat dituliskan pada persamaan (2.15) sebagai berikut (Rahayu, 2015):
(2.15)
Persamaan (2.14) dapat dituliskan dalam persamaan (216) sebagai berikut (Rahayu, 2015):
Model Cox mengestimasi parameter regresi ( tanpa mengestimasi fungsi hazard dasar (fungsi baseline). Model pada persamaan (2.15) merupakan model dari Log hazard rasio. Hazard rasio didefinisikan sebagai hazard dari satu individu dibagi dengan hazard individu yang berbeda (Kleinbaum & Klein (2005). Persamaan (2.16) dapat dinyatakan dalam persamaan (2.17) sebagai berikut (Iskandar 2015):
(2.17)
variabel bebas yang lain konstan. Dengan kata lain adalah rasio hazard untuk peningkatan satu satuan dalam , ketika variabel bebas dengan rasio hazard . Peningkatan nilai variabel bebas berhubungan dengan lebih menurunnya risiko dan lebih panjangnya waktu bertahan hidup. Ketika rasio hazard , peningkatan nilai variabel bebas berhubungan dengan peningkatan risiko dan dan lebih pendeknya waktu bertahan hidup (Iskandar, 2015: 21 ; Vittinghoff, dkk. (2004) dalam Nurhaniah, 2015).
H. Estimasi Parameter
Parameter pada model Cox proporsional hazard dapat diestimasi dengan menggunakan metode Maximum Partial Likelihood Estimation (MPLE). Pendugaan dengan metode MPLE adalah nilai ketika fungsi partial likelihood -nya maksimum. Misal data untuk n individu yang terdiri dari r waktu kejadian yang tidak tersensor dan n-r individu tersensor kanan, diurutkan menjadi
dengan merupakan urutan waktu kejadian ke – i
(Iskandar, 2015:21; Hanni & Wuryandari, 2013).
Menurut Cox (1972) fungsi likelihood untuk model hazard proportional
seperti pada persamaan (2.18) berikut (Rahayu, 2015; Wuryandari, 2013):
∏
∑
(2.18)
adalah vektor variabel dari individu yang gagal pada saat ke – i dengan waktu . adalah seluruh individu yang memiliki resiko gagal pada waktu ke-i. Jika terdapat n waktu survival yang diobservasi, dinotasikan oleh
dalam fungsi parsial likelihood pada persamaan (2.19) sebagai berikut (Hanni dan Wuryandari, 2013):
∏ ( )
∑ ( )
(2.19)
Dengan {
Fungsi log likelihood yang bersesuaian yaitu persamaan (2.20) berikut:
∑ ∑ (2.20)
(Hanni dan Wuryandari, 2013) Estimasi koefisien diselesaikan dengan metode numerik melalui penyelesaian iterasi Newton Raphson. Taksiran pada iterasi ke , yaitu pada persamaan (2.21) berikut :
( ̂) ( ̂) ( ̂) ̂ (2.21)
Dengan
= 0, 1, 2,….
̂ = vektor skor efisien berukuran ( ̂)
= invers matriks informasi yang diamati berukuran
yang mati pada waktu kegagalan, dengan syarat menjadi salah satu yang diamati dari r waktu kegagalan (Iskandar (2015) dalam Nurhaniah (2015).
I. Pengujian Signifikansi Parameter Model
Melalui model Cox dapat dilihat hubungan antara variabel bebas (variabel independent) terhadap variabel terikat (variabel dependent) yaitu waktu survival melalui fungsi hazardnya, seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.14):
Menurut Febriyanti, A., dkk., (2012) dan Cahyani, dkk., (2014), pada model dilakukan uji signifikansi parameter yang meliputi uji bersamaan (serentak) dan uji individu.
1. Uji Signifikansi Bersamaan (Serentak)
Uji signifikansi yang dilakukan secara bersamaan terhadap banyaknya variabel bertujuan untuk mengetahui apakah secara umum model terpilih merupakan model yang sesuai dan menunjukkan hubungan yang tepat antara variabel bebas dengan variabel respon. Hipostesis yang digunakan adalah:
Nilai diperoleh dari perhitungan seperti pada persamaan (2.22) berikut:
∑
( ̅ )
∑ ( ̂ )
(2.22)
(Febriyanti, A., dkk., 2012) Menurut Nurhaniah (2015), untuk menguji hipotesis satu atau beberapa regresi adalah nol dapat menggunakan uji Partial Likelihood rasio dinotasikan dengan G. Statistik uji ini mengikuti distribusi chi-square dengan derajat bebas p. Berikut langkah-langkah uji Partial Likelihood rasio:
a. Hipotesis:
b. Taraf signifikan : c. Statistik Uji:
Dengan memisalkan,
adalah Log Partial Likelihood dari model tanpa variabel bebas (model nol).
adalah Log Partial Likelihood dari model yang terdiri dari p
variabel.
d. Daerah penolakan
ditolak jika ( atau p-value
e. Jika ditolak maka mengindikasikan bahwa variabel bebas berpengaruh terhadap waktu survival (variabel dependen).
Dalam penelitian ini, diuji dengan uji Partial Likelihood untuk menguji satu atau beberapa variabel bebas.
2. Uji Signifikansi Individu
Pengujian untuk masing-masing variabel bertujuan untuk mengetahui apakah parameter yang terbentuk mempunyai pengaruh signifikan terhadap model. Selain itu dapat diketahui pula apakah model yang memuat parameter tersebut telah menggambarkan keadaan data yang sebenarnya. Hipotesisnya adalah sebagai berikut:
Hipotesis nol akan ditolak jika artinya terdapatpengaruh variabel bebas terhadap variabel respon pada variabel ke-k didalam model. Nilai
diperoleh dengan derajat bebas dan tingkat signifikansi .
Nilai dari persamaan (2.23) sebagai berikut:
̂
̂
(2.23)
Dengan ̂ merupakan standar error ̂ yang diperoleh dari persamaan (2.24):
(Febriyanti, A., dkk., 2012) Menurut Windari (2015), uji individu dapat juga diuji menggunakan uji Wald
untuk melihat apakah terdapat variabel bebas yang tidak signifikan di dalam model. Jika variabel bebas yang tidak signifikan, maka perlu dilakukan reduksi terhadap variabel bebas tersebut. Dengan mengasumsikan data berdistribusi normal baku atau Z-score.
Langkah-langkah uji Wald adalah sebagai berikut (Agresti (2007) dalam Windari, 2015):
a. Merumuskan Hipotesis:
Dimana:
b. Memilih tingkat signifikan c. Menentukan statistik uji
Statistik uji yang digunakan adalah uji Wald:
̂ ( ̂ )
dimana:
̂ : koefisien penduga parameter
̂ : standar error penduga parameter ̂ d. Kriteria keputusan
Dalam penelitian ini akan dilakukan uji Wald untuk menguji pengaruh signifikan masing-masing variabel bebas secara individu.
J. Pemilihan Model Cox Terbaik
Pemilihan model terbaik diawali dengan pemilihan variabel yang masuk atau keluar dari model. Menurut Collet (2003) dalam Nurhaniah (2015), pemilihan variabel yang masuk atau keluar dari model dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu seleksi forward, eliminasi backward dan prosedur stepwise. Prosedur seleksi
stepwise merupakan kombinasi dari dua proses yaitu seleksi forward dan seleksi
backward. Seleksi backward atau seleksi mundur dengan memasukkan semua variabel ke dalam model kemudian mengeluarkannya satu persatu jika variabel peningkatan nilai terbesar. Jika sudah tidak ada peningkatan nilai
secara signifikan dari pengurangan variabel maka langkah backward
dihentikan. Seleksi forward atau seleksi maju yaitu dengan menambahkan variabel satu demi satu dalam setiap langkahnya. Menurut David W. Hosmer dan Stanley Lemeshow (2008) dalam Nurhaniah (2015), taraf signifikan yang digunakan dalam seleksi forward disarankan antara 20% - 25% untuk memungkinkan lebih banyak variabel yang masuk dalam model. Pada masing-masing tahapan, kita akan memutuskan variabel mana yang merupakan bebas terbaik untuk dimasukkan ke dalam model dan variabel yang keluar dari model. Dalam skripsi ini ini pemilihan model terbaik dilakukan menggunakan seleksi
K. Odds Rasio
Menurut Hosmer, dkk (2008) dalam Bastyan dan Latra (2013), odds ratio
adalah suatu ukuran yang untuk mengetahui tingkat resiko/kecenderungan.
| | (2.25)
Tingkat kecepatan terjadinya laju kesembuhan pada individu dengan kategori
adalah sebesar kali tingkat kecepatan terjadinya resiko terjadinya peristiwa failure event pada individu dengan kategori . Untuk variabel independen yang kontinu, nilai dari mempunyai interpretasi bahwa perbandingan odds ratio antara individu dengan nilai lebih besar 1 satuan dibanding individu lain.
L. Pengujian Asumsi Proporsional Hazard
Proporsional Hazard (PH) artinya perbandingan terjadinya suatu kejadian antar kelompok setiap saat adalah sama. Asumsi proporsiona hazard dapat diketahui dengan membuat kurva kapplan – meier. Metode lain untuk menguji asumsi proporsional hazard adalah dengan membuat kurva ln-ln survival dan
global test (Dahlan (2012) dalan Nurhaniah, 2015). Asumsi Proportional Hazard
terpenuhi apabila :
1. Garis survival pada kurva Kapplan – Meier tidak saling berpotongan 2. Garis survival pada ln-ln survival tidak saling berpotongan
3. Nilai p pada uji global test lebih besar dari 0,05
1. Dengan pendekatan grafik, caranya dengan membuat plot Log Minus Log
(LML) dari fungsi ketahanan. Pada plot untuk setiap strata harus paralel/sejajar. Cara ini hanya dapat digunakan untuk variabel kategorik. Untuk variabel kontinu harus diubah menjadi kategorik (2 atau 3 kelompok).
2. Menggunakan variabel time dependent dalam extended Cox model,
caranya adalah membuat interaksi antar variabel bebas dengan waktu ketahanan hidup kemudian lihat nilai signifikansinya.
3. Menggunakan goodnest of fit test. Untuk menguji dengan cara ini menggunakan program komputer khusus yaitu Minitab 16.
Dari ketiga cara tersebut, maka dalam penelitian ini menggunakan pendekatan grafik dan variabel time dependent dalam extended Cox model.
M. Demam Berdarah Dengue (DBD)
Adapun beberapa pembahasan yang penting untuk demam berdarah dengue yang akan diteliti, yaitu
1. Pengertian Demam Berdarah Dengue
Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD) termasuk penyakit menular yang disebabkan oleh virus dengue dan ditularkan oleh nyamuk Aedes Agepti yang ditandai dengan demam mendadak 2-7 hari tanpa penyebab yang jelas, lemah/lesu, gelisah, nyeri ulu hati, disertai tanda pendarahan dikulit berupa bintik-bintik pendarahan (petechlae), lebam (eechymosis), atau ruam (purpura), dan atau syok (Nisa dan Budiantara, 2012).
2. Penyebaran dan Penularan Demam Berdarah Dengue.
David Bylon (1779) melaporkan bahwa epidemiologi dengue di Batavia disebabkan oleh tiga faktor utama, yaitu virus, manusia, dan nyamuk. Faktor utama penyakit DBD adalah nyamuk Aedes Aegypti (di daerah perkotaan) dan Aedes albopictus (di daerah pedesaan). Nyamuk yang menjadi faktor penyakit DBD adalah nyamuk yang terinfeksi saat menggigit manusia yang sedang sakit dan viremia (terdapat virus dalam darahnya) dan juga ditularkan ke dalam telurnya.
Virus berkembang dalam tubuh nyamuk selama 8-10 hari terutama dalam kelenjar air liurnya, dan jika nyamuk ini menggigit orang lain maka virus dengue akan dipindahkan bersama air liur nyamuk. Dalam tubuh manusia, virus ini akan berkembang selama 4-6 hari dan orang tersebut akan mengalami sakit demam berdarah dengue. Virus dengue memperbanyak diri dalam tubuh manusia dan berada dalam darah selama satu minggu.
3. Diagnosis Demam Berdarah Dengue.
berlaku untuk semua rumah sakit, adakalnya penderita kebanyakan dari jenis kelamin perempuan atau sebaliknya. Begitu pula dengan umur penderita yang dapat bervariasi pada rumah sakit tertentu. Pasien penyakit DBD pada umumnya disertai dengan tanda-tanda berikut:
a. Suhu badan ( ) biasanya tinggi 39º C dan kadang setinggi 40-41º C selama 2-7 hari tanpa sebab yang jelas.
b. Manifestasi pendarahan dengan tes Rumpel Leede (+), mulai dari petekie (+), samapi pendarahan spontan seperti mimisan, muntah darah, atau berak darah hitam.
c. Hasil pemeriksaan trombosit menurun (normal: 150.000-300.000 µL), hematokrit meningkat (normal: pria < 45, wanita < 40).
d. Akral dingin, gelisah, tidak sadar (DSS, dengue shok syndrome). Kriteria diagnosis menurut klinis (WHO, 1999)
a. Demam tinggi mendadak tanpa sebab yang jelas dan berlangsung terus-menerus selama 2-7 hari.
b. Terdapat manifestasi pendarahan, yaitu munculnya bintik hitam di permukaan kulit, terjadinya pelebaman pada kulit, hingga terjadi mimisan. Pendarahan yang terjadi ini mengindikasikan rendahnya jumlah trombosit.
d. Syok, ditandai dengan nadi cepat, lemah, tekanan nadi < 20 mmHg, perfusi jaringan menurun, hipotensi, kulit dingin dan lembab, dan tamapk gelisah.
Kriteria diagnosis menurut laboratories (WHO, 1999)
a. Trombositopenia ( ) merupakan kelainan trombosit yang mengakibatkan gangguan fungsi trombosit dan dapat menyebabkan pendarahan. Trombosit mengendikasikan DBD adalah < 100.000/mm³ ( ).
b. Hemokonsentrasi (kebocoran plasma darah) ( ). Salah satu penyebab terjadinya kebocoran pada plasma darah ditandai dengan peningkatan maupun penurunan nilai hematokrit > 20% dari kondisi normal sesuai dengan umur dan jenis kelamin. Kadar normal hematokrit ini tiap individu tergantung pada umur pasien. Rata-rata kadar hematokrit normal adalah antara 40%-50%.
c. Hemoglobin ( ), kadar hematokrit biasanya meningkat setelah hari kedua sakit dan sering merupakan kelainan hematologiawal yang dapat ditemukan. Peningkatan kadarnya mengikuti peningkatan keadaan hemokonsentrasi. Adapun kadar normal hemoglobin berdasarkan umur yaitu laki-laki dewasa: 13,5 – 18 gram/dl, wanita : 12 – 16 gram/dl, anak
virus misalnya dengue. Adapun kadar normal Leukosit antara 5.000 – 10.000 /mm3
Seorang pasien dinyatakan menderita penyakit DBD bila terdapat minimal 2 gejala klinis yang positif dan 1 hasil laboratorium yang positif. Bila gejala dan tanda tersebut kurang dari ketentuan di atas maka pasien dinyatakan menderita demam dengue (Widoyono, 2005 dan WHO, 1999).
N. Hipotesis
Berdasarkan teori tentang demam berdarah dengue sebelumnya, maka diperoleh hipotesis sebagai berikut:
: Faktor jenis kelamin, umur pasien, jumlah trombosit, Persentase hematokrit, jumlah hemoglobin, jumlah leukosit, dan suhu badan berpengaruh signifikan terhadap lamanya (waktu survival) pasien DBD dirawat di Rumah Sakit : Faktor jenis kelamin pasien berpengaruh signifikan terhadap lamanya (waktu
survival) pasien DBD dirawat di Rumah Sakit
: Faktor umur pasien berpengaruh signifikan terhadap lamanya (waktu survival) pasien DBD dirawat di Rumah Sakit
Faktor jumlah trombosit pasien berpengaruh signifikan terhadap lamanya (waktu survival) pasien DBD dirawat di Rumah Sakit
: Faktor persentase hematokrit berpengaruh signifikan terhadap lamanya (waktu survival) pasien DBD dirawat di Rumah Sakit
Faktor jumlah leukosit pasien berpengaruh signifikan terhadap lamanya (waktu survival) pasien DBD dirawat di Rumah Sakit.
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
A. Jenis Penelitian
Penelitian yang dilakukan merupakan penelitian terapan (applied research) dengan pendekatan kuantitatif yaitu dengan mengambil atau mengumpulkan data yang diperlukan dan menganalisisnya dengan menggunakan model regresi Cox untuk mengetahui apakah ada pengaruh signifikan faktor-faktor yang diduga mempengaruhi laju kesembuhan penyakit demam berdarah dengue (DBD) di Rumah Sakit Labuang Baji Makassar tahun 2015.
Penelitian dengan pendekatan kuantitatif menekankan analisisnya pada data numerikal (angka) yang diolah dengan metode statistika. Pada dasarnya, pendekatan kuantitatif dilakukan pada penelitian inferensial (dalam rangka pengujian hipotesis) dan menyandarkan kesimpulan hasilnya pada suatu probabilitas kesalahan penolakan hipotesis nihil. Dengan metode kuantitatif akan diperoleh signifikansi hubungan antara variabel yang diteliti.
B. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini telah dilaksanakan pada bulan Desember 2015 - Maret 2016. Adapun lokasi penelitian dilakukan di Rumah Sakit Labuang Baji Makassar.
C. Sumber Data
D. Variabel Penelitian
Menurut WHO (1999), Widoyono (2005) dan Soedarmo (2009), berdasarkan diagnosis klinis dan diagnosis laboratorium pada Bab II, maka variabel penelitian yang digunakan adalah sebagai berikut:
Tabel 3.1 Variabel-variabel yang terdapat dalam penelitian
Variabel Penjelasan Tipe Kategori
Lamanya (waktu survival) pasien DBD dirawat di Rumah Sakit, mulai dirawat sampai dinyatakan sembuh (hari)
Kontinu -
Jenis kelamin Kategorik 1 : laki-laki
2 : perempuan Umur pasien DBD di rumah Sakit
dirawat awal masuk (tahun) Kontinu - Jumlah trombosit saat diperiksa
pertama kali (ribu/ ) Kategorik
0: tidak normal 1: normal Persentase hematokrit pasien DBD
saat diperiksa pertama kali (%) Kategorik
0: tidak normal 1: normal Jumlah hemoglobin saat diperiksa
pertama kali (gram/dl) Kategorik
0: tidak normal 1: normal Jumlah leukosit saat diperiksa
pertama kali (ribu/ ) Kategorik
Pada tahap ini data diambil dari Rumah Sakit Labuang Baji untuk diolah menggunakan metode Regresi Cox.
2. Kajian matematis analisis distribusi dan regresi cox
Pada tahap ini, kajian matematis untuk analisis distribusi menjelaskan penurunan terhadap persamaan fungsi kepadatan peluang sehingga diperoleh fungsi hazard kumulatif yang menggunakan data waktu survival atau lama rawat inap pasien rumah sakit. Sehingga diperoleh fungsi kepadatan peluang distribusi gamma. Sedangkan untuk regresi cox menjelaskan prosedur matematis dari estimasi parameter secara parsial dari koefisien dengan menggunakan turunan pertama dan turunan partial kedua dari . Kemudian, dari turunan pertama dan turunan partial kedua disubtitusi pada persamaan iterasi Newton Rsphdon untuk estimasi nilai
3. Statistika deskriptif data pasien Demam Berdarah Dengue (DBD) 4. Pemodelan distribusi
Pada tahap ini, data respon dianalisis distribusinya menggunakan uji Anderson Darling dengan menggunakan Software Minitab 15, yaitu: a. Uji kenormalan waktu survival, tahap pertama adalah melakukan uji
kenormalan data waktu survival pasien DBD. Apabila data tidak berdistribusi normal, maka dilakukan langkah kedua
baseline hazard dari regresi Cox. Setelah mengetahui distribusi terbaik, selanjutnya dilakukan analisis parameter distribusi dan menghitung fungsi baseline hazard.
5. Pemodelan Regresi Cox
a. Estimasi Parameter Model Cox
Parameter pada model Cox proportional hazard akan diestimasi dengan menggunakan metode Maximum Partial Likelihood Estimastion (MPLE). Pendugaan dengan metode MPLE adalah nilai ketika fungsi partial likelihood maksimum. Nilai dapat diduga secara matematis melalui prosedur MPLE atau dengan bantuan pengolahan menggunakan program aplikasi SPSS 20 hingga diperoleh model awal persamaan regresi Cox.
b. Pemilihan model yang cocok
Menurut David Collet (2003: 61) dalam Nurhaniah (2015: 32), pemilihan variabel yang masuk atau keluar dari model dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu forward, eliminasi backward, dan prosedur
stepwise. Pada penelitian ini menggunakan seleksi backward, sehingga masing-masing tahapan akan diputuskan variabel mana yang merupakan variabel bebas terbaik untuk dimasukkan ke dalam model. Seleksi model berdasarkan perubahan nilai -2 Log Likelihood pada setiap langkah untuk memperoleh model yang terbaik.
Melalui model Cox dapat dilihat hubungan antara variabel bebas (variabel independen) terhadap variabel terikat (variabel dependen) yaitu waktu survival. Pada model dilakukan uji signifikansi parameter yang meliputi uji bersamaan menggunakan metode log partial likelihood dan uji individu dengan uji Wald.
d. Pemilihan model terbaik pada model regresi cox
e. Pengujian asumsi Proportional Hazard
Pengujian Asumsi Proportional Hazard sangat penting untuk mengetahui rasio fungsi hazard dari dua variabel konstan dari waktu ke waktu atau ekuivalen dengan pernyataan bahwa fungsi hazard suatu individu terhadap fungsi hazard individu yang lain adalah
proportional. Pengujian ini dengan menggunakan kurva Kapplan
-Meier. Asumsi proportional hazard terpenuhi apabila garis pada kurva
Kapplan-Meier tidak berpotongan. 6. Interpretasi hasil.
Interpretasi hasil menjelaskan hasil dari kesignifikanan variabel bebas yang terkait dalam model cocok.
7. Kesimpulan.
F. Skema Prosedur Penelitian
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada Bab IV akan dibahas tentang prosedur-prosedur matematis analisis distribusi dan pemodelan Cox proportional hazard pada kasus kejadian bersama dan penerapan pemodelan Cox proportional hazard pada kasus kejadian bersama. Terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai analisis distibusi dan kejadian bersama.
A.
HASIL PENELITIAN1. Prosedur Matematis Model Distribusi dan Regresi Cox
a. Model Distribusi
1) Fungsi hazard komulatif
Fungsi hazard komulatif tidak bisa kita nyatakan dalam bentuk implisit, karena fungsi hazardnya sendiri dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Misalkan
adalah fungsi densitas peluang pada waktu t, maka dari persamaan (2.6) diperoleh (4.1) berikut:
|
[( ) ]
(4.1)
dimana
Misalkan merupakan data waktu survival, sehingga diperoleh persamaan (4.2)
∫
∫ (4.2)
dimana merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi tertentu yang mengikuti sebaran dara waktu survival dan y adalah waktu survival.
2) Estimasi Parameter Distribusi Gamma
Jika data waktu survival mengikuti sebaran Gamma maka fungsi merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi gamma. Sehingga bentuk umum dari fungsi kepadatan peluang distribusi gamma pada persamaan (4.3) yaitu:
(4.3)
dimana:
∫ adalah fungsi gamma.
: parametershape (bentuk) : parameter scale (lokasi)
Berdasarkan Teorema 9.2 menyatakan bahwa jika maka
fpmnya adalah . Seperti pada persamaan (4.4) berikut:
Bukti:
∫
∫
Sekarang, kita menuliskan
, sehingga
dan
.
Akibatnya∫
∫
(4.4)
Sedangkan, berdasarkan Teorema 9.3 yang menyatakan bahwa
. Seperti yang ditunjukkan pada pembuktian berikut
Bukti:
Berdasarkan fungsi pembangkit momennya, kita peroleh:
( ̅) dan variansi ( ) dari data waktu survival atau lama rawat inap penderita DBD digunakan untuk menentukan nilai estimasi ̂ dan ̂.
Sehingga fungsi hazard komulatif distribusi gamma yang merupakan fungsi dari baseline hazard pada persamaan (4.6) yaitu:
̂
:
estimasi parameterb. Estimasi Parameter Model Regresi Cox
Pada bagian akan dibahas tentang prosedur-prosedur pemodelan Cox pada kasus kejadian bersama dan penerapan pemodelan Cox pada kasus kejadian bersama. Terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai kejadian bersama.
1) Kejadian Bersama
Dalam analisis survival terkadang ditemukan adanya kejadian bersama atau yang sering disebut ties. Ties adalah keadaan yang terdapat dua individu atau lebih yang mengalami kejadian pada waktu yang bersamaan. Jika suatu data terdapat ties, maka akan menimbulkan permasalahan dalam membentuk
partial likelihoodnya yaitu saat menentukkan anggota dari himpunan risikonya.
2) Estimasi Parameter Model Cox Pada Kejadian Bersama
Pada estimasi digunakan pendekatan metode breslow. Pendekatan ini banyak digunakan karena fungsi partial likelihoodnya sederhana daripada metode lain. Dalam setiap kasus kejadian bersama tidak mungkin untuk menentukan urutan kejadian, metode Breslow mengasumsikan bahwa ukuran dari himpunan risiko adalah sama. Terdapat dua kasus yang memiliki waktu yang sama yaitu tiga dan empat yang dapat dilihat pada Tabel 4.1 berikut ini:
Tabel 4.1 Data survival dengan terdapat ties Individu dibedakan dan ketiga kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi atau saling bebas (independen). Berdasarkan persamaan (2.19) dapat disusun bentuk
Himpunan risiko untuk individu 3 sama dengan himpunan risiko untuk individu 2, sehingga bentuk partial likelihood untuk individu 3 seperti pada persamaan (4.8) sebagai berikut
|
(4.8)
|
|
Begitu juga dengan himpunan risiko untuk individu 3 sama dengan himpunan risiko untuk individu 2, sehingga bentuk partial likelihood untuk individu 4 seperti pada persamaan (4.9) sebagai berikut
|
(4.9)
|
|
Selanjutnya, himpunan risiko untuk individu 3 sama dengan himpunan risiko untuk individu 2, sehingga bentuk partial likelihood untuk individu 5 seperti pada persamaan (4.10) sebagai berikut:
|
(4.10)
|
Dari persamaan (4.4), (4.5), (4.6), dan (4.7) masing-masing diperkalikan sehingga memberikan fungsi hazard dasar pada persamaan (4.11) sebagai berikut:
| | | | |
∑ (4.11)
Sehingga, bentuk umum dari fungsi hazard pada persamaan (4.12) sebagai berikut.
|
∑∑ ∑ (4.12)
∏ ∑
∑ ∑
∑ ∑ (4.13)
Turunan pertama dari (4.12) terhadap yaitu sebagai berikut,
Persamaan Maximum Likelihood pada persamaan (4.12) dapat diselesaikan secara numerik yaitu menggunakan metode Newton-Raphson. Negatif turunan kedua dari (4.16)yaitu pada persamaan (4.17) sebagai berikut:
Untuk memaksimalkan fungsi partial likelihood dalam penaksiran parameter model Cox dapat menggunakan prosedur Newton Rapshon. Misalkan merupakan fungsi partial likelihood p dimensi vektor
. Misalkan merupakan vektor berukuran p dari turunan parsial pertama seperti pada persamaan (4.18) berikut.
Algoritma metode Newton Rapshon yaitu persamaan (4.21) berikut:
̂ ̂ ̂ ̂ (4.21)
Dengan memisalkan dan ̂ merupakan invers dari
̂ . Langkah iterasi dengan metode Newton Rapshon sebagai berikut: a) Menentukan nilai awal, ̂
b) ̂ ̂ ̂ ( ̂ )
c) Iterasi dilakukan sampai memperoleh nilai yang konvergen, ̂ ̂ Varians dari dapat didefinisikan pada persamaan (4.22) sebagai berikut:
( ̂ ) ( ̂) (4.22)
Standar deviasi dari merupakan akar kuadrat dari varians pada persamaan (4.23) sebagai berikut:
( ̂) √ ( ̂) √ ̂ (4.23)
Standar deviasi pada persamaan diatas dapat digunakan untuk mencari selang kepercayaan yaitu selang kepercayaan untuk ̂ sebagai berikut:
2. Penerapan Analisis Distribusi dan Regresi Cox pada Penderita Demam
Berdarah Dengue (DBD)
a. Analisis Statistika Deskriptif
Dalam menganalisis jenis distribusi yang sesuai dengan data survival, dapat digunakan plot data antara jumlah individu dan waktu survival seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.1. Namun demikian, grafik tersebut belum cukup akurat untuk menentukan distribusi yang cocok, sehingga perlu dilakukan uji distribusi dengan bantuan software Minitab 15. Grafik waktu survival tersebut sebagai berikut:
Gambar 4.1 Waktu survival penderita DBD
Gambar 4.2 Persentase penderita DBD tahun 2015 di Rumah Sakit Labuang Baji
Pada Gambar 4.2 dapat dilihat bahwa persentase jenis kelamin laki-laki dari pasien penderita penyakit DBD merupakan penderita terbesar dari seluruh penderita yaitu sebesar 68 %. Sedangkan persentase penderita perempuan yaitu 32 %. Hasil ini memperlihatkan bahwa selama periode Januari-Desember 2015, pasien penderita DBD di RSU Labuang Baji Makassar lebih banyak yang berjenis kelamin laki-laki.
Gambar 4.3 Persentase kondisi trombosit penderita DBD tahun 2015 di Rumah Sakit Labuang Baji
permpuan 32%
