PENGANTAR DAN APLIKASI MATRIKS
1. Pendahuluan
Analisis model I-O dan SNSE (SAM) dilakukan melalui operasi matematika berupa pembalikan matriks. Lagipula, dengan menggunakan notasi matriks semua perhitungan yang menyangkut model I-O dan dSNSE dapat dijelaskan dengan singkat. Kebanyakan literatur mengenai I-O dan SNSE pun ditulis dengan bahasa matematika sehingga dasar-dasar matematika yang digunakan untuk menerangkan cara-cara penyusunan suatu tabel I-O dan SNSE perlu diperkenalkan lebih dahulu.
Dalam modul ini akan dijelaskan beberapa hal mengenai matriks yang erat kaitannya dengan penyusunan dan analisis model I-O dan SNSE. Tentu saja pengetahuan yang lengkap hanya akan dapat diperoleh dari pustaka yang sesuai. Sebagai pengantar bagi analisis model I-O dan SNSE hal penting yang perlu diperkenalkan menyangkut operasi matriks, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembalikan matriks (matrix inversion), yang mempunyai arti sangat penting bagi analisis model I-O dan SNSE.
2. Definisi Matriss
Matriks didefnisikan sebagai bilangan-bilangan yang disusun membentuk segi empat, yang disusun menurut baris (i) dan kolom (j) sebagai berikut:
a11 a12 a13
a31 a32 a33
Pada model I-O dan SNSE, matriksnya berupa matriks bujur sangkar karena jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Bilangan yang hanya terdiri dari satu kolom, disebut vestor solom. Sedangkan yang terdiri atas satu baris, disebut vestor baris. Kalau bilangan tersebut hanya terdiri atas satu kolom dan satu baris, disebut ssalar.
a11
a21 ( a11 a12 a13 ) a11 a31
vestor solom vestor baris ssalar
Untuk memudahkan notasi, matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar dan skalar dengan huruf kecil. Salah satu keuntungannya adalah persamaan-persamaan yang rumit dapat ditulis dengan singkat. Disini matriks-matriks tersebut diperlakukan seolah-olah seperti bilangan biasa, padahal bukan. Misalkan persamaan linier sebagai berikut:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = y1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = y2 . . . . . an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = yn
Seluruh sistem dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks yang elemen-elemennya terdiri dari dua vektor kolom dan satu matriks bujur sangkar :
a11 a12 a13 x1 y1 a21 a22 a23 x2 = y2
a31 a32 a33 x3 y3
Ax = y
dimana A adalah matriks bujur sangkar yang mengandung sebanyak n2 elemen (aij), x adalah vektor kolom dengan n elemen, dan y adalah vektor kolom lain dengan n elemen juga.
Dalam aljabar biasa A dan y adalah bilangan yang diketahui, sedangkan x bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya, sehingga x = y/A. Dalam aljabar matriks, jika semua elemen (aij) dan elemen y diketahui, maka penyelesaian nilai-nilai x dilakukan dengan cara serupa walaupun tidak persis.
3. Beberapa Istilah
Suatu matriks bujur sangkar disebut tidas singular apabila determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol. Matriks ini mempunyai matriks kebalikan (inverse).
3 2
2 3 = (3)(3) -(2)(2) = 9 - 4 = 5
Matrik yang singular adalah suatu matriks yang determinannya sama dengan nol. Matriks ini tidak mempunyai kebalikan.
2 2
3 3 = (2)(3) -(3)(2) = 6 - 6 = 0
Suatu matriks dimana elemen pada diagonal utama bernilai 1 sedangkan elemen lain bernilai nol disebut matriss identitas. Matriks identitas biasanya dituliskan sebagai I, mempunyai peran dalam aljabar matriks mirip dengan angka 1 pada aljabar biasa.
1 0 0
Dua matriks dikatakan sama hanya bila mereka berderajat sama dan setiap elemen salah satu matriks sama dengan nilai elemen yang seletak pada matriks lainnya. Ini berarti bahwa suatu matriks sama dengan matriks lain yang merupakan duplikasinya.
2 2 4 2 2 4
B = 5 3 1 B = 5 3 1 3 1 6 3 1 6
Istilah lain yang penting adalah putaran matriks, yaitu apabila semua baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan maka diperoleh suatu matriks putaran (transpose). Putaran matriks B ditulis dengan B’
2 2 4 2 5 3
B = 5 3 1 B’ = 2 3 1 3 1 6 4 1 6
4. Penjumlahan dan Pengurangan Matriss
Jika matriks A dan matriks B berderajat sama, maka dapat ditentukan suatu matriks C sebagai A + B. Penjumlahan matriks dilakukan dengan
menambahsan elemen-elemen yang seletas pada matriks A dan B untuk memperoleh elemen C yang seletak. Misalnya :
2 2 4 2 5 3 4 7 7 A = 5 3 1 B = 2 3 1 C = A + B =
7 6 2
3 1 6 4 1 6 7 2 12
sehingga A + B = B + A. Juga husum asosiatif dalam penjumlahan matriks tetap berlaku sehingga A + (B+C) = (A+B) + C.
Pengurangan merupakan kebalikan dari penjumlahan. Jadi jika A dan B adalah dua matriks berderajat sama, pengurangan dapat dianggap sebagai beda A dan B. Contoh :
2 2 4 2 5 3 0 -3 1 A = 5 3 1 B = 2 3 1 C = A - B =
3 0 0
3 1 6 4 1 6 -1 0 0
Pada umumnya penjumlahan dan pengurangan matriks sama dengan penjumlahan dan pengurangan bilangan biasa karena operasi-operasi tersebut dilakukan hanya terhadap elemen-elemen seletak saja.
5. Persalian Matriss
Hanya matriks-matriks yang sesuai yang dapat dikalikan. Suatu matriks A dapat dikalikan dengan matriks B hanya kalau jumlah solom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Kemudian hasil kalinya, yaitu AB akan mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah baris matriss A dan jumlah solom yang sama dengan jumlah solom matriss B.
Jika dua matriks A dan B berikut :
a11 a12 a13 b11 b12 b13 A= a21 a22 a23 , B = b21 b22 b23
a11 b11 + a12 b21 + a31 b31 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a11 b13 + a12 b23 + a13 b33
AB= a21 b11 + a22 b21 + a32 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a21 b13 + a22 b23 + a23 b33
a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 a31 b12 + a32 b22 + a33 b32 a31 b13 + a32 b23 + a33 b33
Contoh berikut menggunakan bilangan sesungguhnya :
1 2 3 1
A = 3 1 B = 2 2
(1)(3) + (2)(2) (1)(1) + (2)(2) 7 5 AB = (3)(3) + (1)(2) (3)(1)+ (1)(2) = 11 5
Jika susunan perkaliannya dibalik, yaitu BA akan diperoleh hasil yang berbeda :
(3)(1) + (1)(3) (3)(2) + (1)(1) 6 7 BA = (2)(1) + (2)(3) (2)(2)+ (2)(1) = 8 6
AB tidak sama dengan BA, artinya pada umumnya perkalian matriks tidak bersifat somutatif. Sifat perkalian matriks yang tidak komutatif ini paling jelas bila diilustrasikan dengan perkalian antara vektor baris dan vektor kolom. Jika vektor baris f dikalikan dengan vektor kolom g berikut :
4 f = ( 3 1 ) g = 2
(4)(3) (4)(1) 12 4
sedangkan gf = (2)(3) (2)(1) 6 2
Disini jelas bahwa vestor baris (f) dikalikan vestor solom (g) menghasilkan ssalar. Tetapi vestor solom dikalikan vestor baris
menghasilkan matriss.
Hukum asosiatif masih berlaku untuk perkalian matriks. Artinya, jika kita mempunyai 3 matriks A, B dan C, maka : A(BC) = (AB)C dengan syarat urutan letak matriks tidak dapat ditukar.
Ada suatu kekecualian mengenai keadaan umum mengenai perkalian matriks ini. Pada bagian berikut akan dijelaskan mengenai matriks kebalikan yang dilambangkan dengan pangkat -1. Urutan perkalian antara suatu matriks dengan kebalikannya tidak akan merubah hasil, artinya AA-1 = A-1A = I.
6. Membalis Matriss
Dikenal dua cara membalik matriks, yaitu pertama dengan menghitung determinan, minor, kofaktor dan melakukan penjumlahan, pengurangan dan perkalian dan kedua dengan cara penguraian menjadi: I + A + A2 + A3 + A4 + ...+ An.
Matriks kebalikan (inverse matrix) merupakan suatu matriks khusus (unique matrix) yang mempunyai pemecahan umum (general solution) persamaan-persamaan dalam suatu sistem input-output. Secara konvensional akan dibahas dengan singkat. Nanti akan diberikan contoh perhitungan menggunakan spreadsheet dengan menggunakan program MS-Excel.
matriks aslinya. Jika hasilnya tidak menghasilkan matriks identitas maka prosedur perhitungannya perlu diperiksa kembali. Dengan demikian kita dapat menguji apakah matriks kebalikan yang dihasilkan sudah benar.
Sebagai ilustrasi, dipilih matriks yang mempunyai nilai determinan sama dengan 1. Maksudnya adalah untuk menyederhanakan perhitungan, sehingga perhatian dapat difokuskan ke proses pembalikan matriksnya, bukan pada perhitungannya.
Carilah kebalikan matriks A, jika : 1 2 3
A = 1 3 3 1 2 4
Langkah pertama adalah menghitung determinan dari matriks dengan jalan menguraikan semua kofaktor sepanjang baris pertama.
1 2 3 3 3 1 3 1 3
D = 1 3 3 = 1 2 4 - 2 1 4 +3 1 2
1 2 4
D = (12-6) - 2(4-3) + 3 (2-3) = 6 - 2 - 3 = 1 Jadi nilai determinan matriks A sama dengan satu.
Langkah selanjutnya adalah menandai semua kofaktor dari determinan, sebagai berikut :
3 3 1 3 1 3
A11 = 2 4 A12 = - 1 4 A13 = 1 2
(6) (-1) (-1)
A21 = - 2 4 A22 = 1 4 A23 = - 1 1 (-2) (1) (0)
2 3 1 3 1 2
A31 = 3 3 A32 = - 1 3 A33 = 1 3
(-3) (0) (1)
Semua angka dalam kurung di bawah setiap kofaktor adalah nilai kofaktor yang bersangkutan. Nilai kofaktor ini kemudian disusun dalam bentik matriks dan setelah itu matriks tersebut diputar (transpose). Matriks kofaktor yang sudah diputar disebut matriks adjoint. Langkah ini digambarkan sebagai berikut :
6 -1 -1 6 -2 -3 -2 1 0 -1 1 0
-3 0 1 -1 0 1 Matriss sofastor Matriss adjoint
Langkah berikut adalah membagi setiap elemen dari matriks adjoint dengan nilai determinan matriks asal. Karena nilai determinan matriks asal sama dengan satu, maka matriks adjoint ini merupakan matriks kebalikan. Untuk mengujinya dapat diperiksa dengan mengalikan matriks kebalikan dengan matriks asalnya dan harus menghasilkan matriks identitas.
(1)(6)+(2)(-1)+(3)(-1) (1)(-2)+(2)(1)+(3)(0) (1)(-3)+(2)(0)+(3)(1) 1 0 0
(1)(6)+(3)(-1)+(3)(-1) (1)(-2)+(3)(1)+(3)(0) (1)(-3)+(3)(0)+(3)(1) = 0 1 0
(1)(6)+(2)(-1)+(4)(-1) (1)(-2)+(2)(1)+(4)(0) (1)(-3)+(2)(0)+(4)(1) 0 0 1
Hasilnya adalah matriks I, sehingga terbukti bahwa matriks A-1 yang diperoleh merupakan kebalikan dari matriks A.
Seperti dijelaskan bahwa perkalian matriks umumnya tidak bersifat komutatif. Tetapi dalam hal perkalian dengan matriks kebalikan urutan pengali dan yang dikalikan tidak menjadi soal.
Metode pembalikan matriks dengan cara ini dapat dengan mudah dan cepat jika matriksnya berukuran kecil, 3 x 3. Akan tetapi menjadi tidak efsien untuk matriks berukuran besar, misalnya 40 x 40. Metode lain adalah yang disebut metode deret pangkat. Untuk analisis dampak berganda secara rinci metode ini sangat berguna. Disini akan diberikan contoh membalik matriks Leontief (I - A) untuk melihat pengaruh awal (initial efeets), pengaruh langsung (direet efeets) dan pengaruh tidak langsung (indireet efeets). Dalam hal ini I adalah matriks identitas dan A adalah matrik koefsien input langsung dari suatu tabel IO. Matrik kebalikan Leontief (I - A)-1 dihitung sebagai I + A + A2 + A3 + ...+An, sehingga :
(I - A)-1 = I + A + A2 + A3 + ...+An
penjumlahan A2 + A3 + ...+An , dimana untuk n yang cukup besar nilainya dapat diabaikan karena sangat kecil.
CONTOH: Operasi Matriss Menggunasan Spreadsheet
Perangkat lunak MS-Excel yang digunakan pada hampir semua modul pelatihan ini akan digunakan untuk memberikan contoh pengoperasian (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembalikan) matriks.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Jalankan program MS-Excel
2. Buka fle “Operasi Matriksl pada disket yang diberikan
3. Pada “sheet1l, terdapat dua matriks yaitu matriks A (B1:D3) dan matriks B (G1:I3)
4. Untuk operasi penjumlahan, letakkan kursor pada B5, lalu ketikkan perintah “= (B1+G1)l
5. Salin perintah pada B5 ke B6, B7, C5, C6, C7, D5, D6, D7. 6. Diperoleh hasil penjumlahan matriks A + B pada C (B5:D7)
8. Salin perintah pada G5 ke G6, G7, H5, H6, H7, I5, I6, I7. 9. Diperoleh hasil pengurangan matriks A - B pada D (G5:I7) 10. Untuk operasi persalian matriks, klik “sheet2l.
11. Terdapat matriks A (B1:C2) dan matriks B(G1:H2)
12. Karena operasi perkalian matriks menggunakan MS-Excel agak sedikit rumit disarankan untuk menggunakan Lotus-123 yang terdapat dalam program MS-Excel. Untuk itu, klik “Helpl. Kemudian klik “Lotus 123 Helpl. Klik 2 kali “Data>l. Klik 2 kali “Matrik >l. Klik 2 kali “Multiplyl.
13. Di kiri atas akan muncul “Help for Lotus 123 Usersl dengan perintah: “Enter choices to use in demonstration of Data Matrix Multiply “
14. Isikan “First Rangel dengan memilih matriks A (B1:C2). 15. Isikan “Second Rangel dengan memilih matriks B (G1:H2)
16. Isikan “Output Rangel untuk menunjukkan lokasi output perkalian AB (B4:C6)
17. Klik OK yang ada di ujung kanan atas
18. Tunggu sampai operasi selesai, hasilnya terdapat pada C=AB (B4:C6)
19. Untuk operasi pembalisan matriks, Klik “sheet3l, dimana terdapat matriks A (B1:D3)
20. Lakukan seperti Langkah 12, tetapi yang dilakukan terakhir kali adalah Klik dua kali “Invertl, busan “Multiply”.
21. Di kiri atas akan muncul “Help for Lotus 123 Usersl dengan perintah :
22. Isikan “Range to Invertl, dengan memilih range matriks A (B1:D3)
23. Isikan “Output rangel, untuk menunjukkan lokasi output pembalikan matriks A (G1:I3)
24. Klik perintah OK yang ada diujung kanan atas
25. Tunggu sampai operasi selesai, hasilnya A-1 terdapat pada cel (G1:I3)
7. Matriss Koefisien Langsung
Tabel 1.
Tabel Transassi Domestis Atas Dasar Harga Produsen (Rp. Miliar)
1 4.057 4 22.706 3.439 30.206 21.280 320 1.379 53.186
2 7 142 9.384 3.026 12.559 0 2.796 13.265 28.620
3 3.771 718 19.866 23.848 48.202 42.271 3.965 28.621 123.059 4 2.239 1.799 11.745 26.439 42.223 52.690 58.529 10.023 163.465 Total
Input
Antara 10.073 2.664 63.701 56.751 133.190 116.242 65.610 53.289 368.330
Gaji dan
Upah 7.951 2.155 10.615 36.256 56.978 0 0 0 56.978
Input Primer
Lainnya 34.581 23.479 31.352 61.412 150.824 0 0 0 150.824
Impor 581 322 17.390 9.046 27.339 7.942 17.829 0 53.111
TK (ribu) 39.005 698 8.027 26.548 74.278 0 0 0 74.278
Sumber : Diolah dari Biro Pusat Statistik, 1994 Sektor 1 meliputi sektor pertanian
Sektor 2 meliputi sektor pertambangan dan galian Sektor 3 meliputi sektor industri
Sektor 4 meliputi sektor jasa
Matriks koefsien langsung atau sering disebut juga dengan matriks koefsien I-O seperti disajikan pada Tabel 2, dihitung dengan cara membagi setiap sel (menurut kolom) dengan total input. Misalnya, untuk kolom sektor 1 Tabel 2, semua sel dibagi dengan 53.186 (total input pada Tabel 2). Matriks koefsien ini sering digunakan secara membingungkan karena kadang-kadang ada yang menyebutnya sebagai matriks koefsien teknik, matriks koefsien teknologi, matriks koefsien input-output ataupun matriks koefsien langsung. Kadang-kadang, istilah ini juga digunakan untuk seluruh matriks dan kadang-kadang hanya mencakup kuadran-antara saja. Lebih sering matriks ini disebut dengan matriks A, yang unsur-unsurnya adalah aij. Menggunakan program spreadsheet matriks ini dengan mudah dapat dihitung. Walaupun sudah ada perangkat lunak khusus untuk analisis model I-O, modul pelatihan ini lebih menekankan penggunaan spreadsheet terutama agar proses pemahamannya lebih mudah.
Tabel 2.
Matriss Koefisien Langsung
Sektor 1 2 3 4 Permin-Total
taan Antara 1 0,0763 0,0002 0,1845 0,0210 0,2820 0,1714 0,0038 0,0259 0,4831
2 0,0001 0,0050 0,0763 0,0185 0,0999 0,0000 0,0335 0,2489 0,3823
3 0,0709 0,0251 0,1614 0,1459 0,4033 0,3404 0,0475 0,5371 1,3283
4 0,0421 0,0629 0,0954 0,1617 0,3621 0,4243 0,7015 0,1881 1,6760
Total Input Antara
Gaji dan
Upah 0,1495 0,0753 0,0863 0,2218 0,5329 0,0000 0,0000 0,0000 0,5329 Input Primer
Lainnya 0,6502 0,8204 0,2548 0,3757 2,1010 0,0000 0,0000 0,0000 2,1010
Impor 0,0109 0,0113 0,1413 0,0553 0,2188 0,0640 0,2137 0,0000 0,4965
Total Input 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,0000 1,0000 1,0000 1,0000 7,0000
TK 0,7334 0,0244 0,0652 0,1624 0,9854 0,0000 0,0000 0,0000 0,9854
Sumber : Diolah dari Biro Pusat Statistik, 1994
Koefsien setiap kolom pada Tabel 2 menunjukkan jumlah input yang dibutuhkan secara langsung oleh setiap sektor dengan nomor di atasnya dari setiap sektor yang ada di sebelah kirinya. Misalnya, untuk setiap Rp. 10.000 output sektor 1 membutuhkan:
Rp 763 dari sektor 1 (sektor pertanian)
Rp 1 dari sektor 2 (sektor pertambangan dan galian) Rp 709 dari sektor 3 (sektor industri manufaktur)
Rp 421 dari sektor 4 (sektor jasa)
atau secara total sebanyak Rp 1.894 dari seluruh sektor produksi lokal.
Selain itu, sebanyak :
Rp 1.495 dalam bentuk gaji dan upah
Rp 6.502 dalam bentuk input primer lainnya, dan Rp 109 dalam bentuk input yang diimpor
koefsien aij menunjukkan jumlah input yang dibutuhkan dari sektor i untuk setiap unit output sektor j.
8. Matriss Kebalisan
8.1. Matriss Kebalisan Terbusa
Selain pengaruh langsung, terdapat juga serangkaian pengaruh tidak langsung sebagai suatu gelombang pembelian putaran kedua, ketiga dan selanjutnya dalam suatu perekonomian. Misalnya, peningkatan permintaan terhadap output sektor 1 akan membutuhkan input dari semua sektor pada putaran pertama; sektor-sektor ini kemudian perlu meningkatkan outputnya agar dapat menyediakan permintaan sektor 1 yang meningkat tadi dan karenanya perlu membeli input sebagai pengaruh putaran kedua terhadap suatu perekonomian.
Satu hal penting dalam analisis model I-O adalah penyusunan suatu tabel yang dapat menunjukkan pengaruh langsung dan pengaruh tidak langsung sebagai akibat berubahnya output suatu sektor. Berbagai metode, yang secara konsepsi serupa, dapat digunakan untuk menghitung pengaruh-pengaruh ini. Salah satu teknik yang paling dikenal adalah teknik matriks kebalikan (matrix inversion) yang biasanya disebut dengan matriks kebalikan Leontief terbuka (open Leontief inverse), matriks penyelesaian umum terbuka (open general solution matrix) atau secara sederhana disebut sebagai matriks kebalikan terbuka (open inverse matrix). Kata “terbukal digunakan untuk menunjukkan bahwa model yang digunakan hanya mencakup sektor-sektor produksi atau sektor-antara dan tidak ada satupun sektor permintaan akhir yang dicakup oleh matriks A.
Matriks kebalikan terbuka untuk contoh kasus disajikan pada Tabel 3 yang dengan menggunakan program spreadsheet matriks ini dengan mudah dapat dihitung.
Matriss Kebalisan Terbusa
Sestor 1 2 3 4 Total
1 1,1052 0,0111 0,2524 0,0719 1,4406
2 0,0095 1,0100 0,0985 0,0397 1,1576
3 0,1056 0,0453 1,2449 0,2203 1,6162
4 0,0682 0,0815 0,1618 1,2246 1,5361
Total 1,2886 1,1478 1,7576 1,5565 5,7505
Tabel 3 menunjukkan pengaruh langsung dan tidak langsung dari meningkatnya permintaan akhir sektor yang ada diatasnya terhadap sektor-sektor yang ada disebelah kiri. Misalnya, meningkatnya permintaan output sektor 1 sebesar Rp 10.000, setelah memperhitungkan pengaruh langsung dan tidak langsung, akan meningkatkan output sektor 1 sebesar Rp11.052 (termasuk Rp 10.000 injeksi awal), sektor 2 hanya sebesar Rp 95, sektor 3 sebesar Rp 1.056 dan sektor 4 sebesar Rp 682 sehingga secara total meningkatkan output perekonomian secara keseluruhan sebesar Rp 12.886. Setiap sel pada Tabel 2 sebenarnya merupakan angka-angka dampak berganda yang mengindikasikan besarnya respon yang diharapkan dari meningkatnya permintaan akhir sebesar Rp 10.000.
Matriks kebalikan terbuka mempunyai sejumlah kegunaan dalam analisis ekonomi. Yang jelas, matriks ini mempunyai beberapa karakteristik yang dapat diduga. Pertama, unsur-unsur dalam diagonal utama akan bernilai 1 atau lebih besar. Kedua, unsur-unsur pada tabel adalah positif dan mencerminkan tingkat saling ketergantungan ekonomi secara terbuka.
8.2. Matriss Kebalisan Tertutup
akhir diasumsikan ditentukan oleh faktor-faktor di luar sistem produksi. Jika asumsi ini tidak memuaskan, model I-O dapat secara sebagaian atau seluruhnya “ditutupl.
Kebanyakan pakar I-O setuju dengan asumsi bahwa sektor rumah tangga merupakan komponen endogen dalam suatu perekonomian, dalam arti bahwa tingkat produksi adalah penting dalam penentuan tingkat pendapatan rumah tangga, yang kemudian sebagian besar dibelanjakan secara lokal dan selanjutnya mempengaruhi tingkat konsumsi, yang lebih lanjut akan mempengaruhi tingkat output setiap sektor. Pada kasus ini, model telah memasukkan sektor rumah tangga ke dalam kuadran-antara (intermediate quadran); dengan cara menggabungkan kolom dan baris rumah tangga ke dalam kuadran antara.
Matriks baru disebut sebagai matriks yang ditambahkan (augmented matrix) dan dinyatakan dengan A*. Secara konseptual matriks ini sama dengan matriks A, kecuali bahwa setiap putaran dalam reaksi ekonomi telah menggabungkan pendapatan rumah tangga dan peningkatan output sektor-sektor untuk memenuhi kebutuhan yang ditimbulkan oleh meningkatnya pengeluaran rumah tangga karena meningkatnya pendapatan. Dengan demikian, matriks kebalikan dari model tertutup mencakup dampak berganda pendapatan dan pengaruh konsumsi. Untuk kasus pada bahasan ini, matriks kebalikan tertutup
