Jurnal Penelitian Sains Volume 17 Nomor 1 Januari 2014
© 2014 JPS MIPA UNSRI 17101-1
Kekontinuan Fungsi Bervariasi Terbatas
pada Ruang Euclide
�
�
Novi Rustiana Dewi
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya, Indonesia
Intisari: Teori Integral Lebesgue dibangun oleh H. Lebesgue pada tahun 1902. Jika fungsi f terintegral Lebes-gue pada interval = , , maka f juga terintegral pada setiap interval bagiannya. Oleh karena itu terbentuk
= � �, untuk setiap ∈ , yang disebut primitif fungsi f. Primitif fungsi f pada suatu interval mempunyai sifat-sifat antara lain bervariasi terbatas dan kontinu mutlak. Penelitian ini mengkaji sifat kekonti-nuan fungsi bervariasi terbatas pada ruang Euclide ℜ . Hasil penelitian menunjukkan bahwa setiap fungsi yang bervariasi terbatas tidak harus bersifat kontinu mutlak. Sebaliknya, setiap fungsi yang kontinu mutlak tidak ha-rus bervariasi terbatas.
Kata kunci: integral lebesgue, variasi terbatas, kontinu mutlak
Abstract: The theory of Lebesgue integration is constructed on 1902 by H. Lebesgue. If the function f is Le-besgue integrated on interval = , , so f will be integrated on every sub intervals. So we can perform
= � �, for every ∈ , which we can call primitive of f. Primitive of f on an interval will have certain properties such as bounded variation and absolutely continue. On this paper, we analyzed the continu-ity properties of bounded variation function on Euclidean space ℜ . The research show that every bounded variation functions must not be absolutely continue. Otherwise, every absolutely continue functions must not be bounded variation.
Keywords: lebesgue integration, bounded variation, absolutely continue
1
PENDAHULUAN
odel matematika dalam kehidupan sehari-hari, khususnya pada bidang fisika dan teknik, pada umumnya berbentuk persamaan diferensial dan integral. Penyelesaian integral di bidang fisika mau-pun teknik masih banyak menggunakan konsep integral Riemann. Integral ini mempunyai kelema-han, antara lain bahwa fungsi yang terintegral Rie-mann hanya berupa fungsi yang terbatas dan konti-nu hampir dimana-mana pada daerah integrasinya (Gordon, 1994). Kelemahan di dalam integral Rie-mann diperbaiki oleh Lebesgue yang membangun integral melalui pengertian dan sifat-sifat ukuran. Ternyata setiap fungsi yang terintegral Riemann akan terintegral Lebesgue pada interval yang sama, sebaliknya tidak selalu berlaku. Integral Lebesgue dikenal sebagai integral mutlak dalam arti fungsi f terintegral jika dan hanya jika � terintegral. Mudah dicermati bahwa jika fungsi f terintegral Lebesgue pada suatu interval = , , maka fungsi tersebut juga terintegral Lebesgue pada setiap interval ba-giannya. Oleh karena itu terbentuk fungsi = � �, untuk setiap ∈ , yang disebut primi-tif fungsi f.
Salah satu karakteristik primitif fungsi terintegral Lebesgue pada interval , ⊂ ℜ diberikan dengan pengertian kontinu mutlak. Pengembangan penger-tian kontinu mutlak diikuti dengan pengembangan pengertian variasi terbatas.
Pengertian beserta sifat-sifat fungsi bervariasi ter-batas dan fungsi kontinu mutlak pada garis lurus cu-kup banyak dijumpai dalam literatur-literatur bidang analisis khususnya bidang teori integral. Darmawi-jaya (2003) menganalisis beberapa sifat fungsi-fungsi interval yang bervariasi terbatas. Berdasarkan hal tersebut, peneliti tertarik untuk mengkaji keterkaitan antara fungsi bervariasi terbatas dengan fungsi kon-tinu mutlak.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Himpunan semua bilangan real dan himpu-nan semua bilangan real yang diperluas berturut-turut dinotasikan dengan ℜ dan ℜ∗. Telah diketahui bahwa
ℜ = = 1, 2, 3,⋯, : � ∈ ℜ dan 1 � Merupakan ruang Euclide terhadap operasi-operasi:
(i) Jumlahan
+ = 1, 2, 3,⋯,
Novi/Kekontinuan Fungsi Bervariasi … JPS Vol.17 No. 1 Januari 2014
17101-2 + 1, 2, 3,⋯,
≡ 1+ 1, 2+ 2, 3+ 3,⋯, +
(ii) Perkalian dengan skalar
= 1, 2, 3,⋯,
≡ 1, 2, 3,⋯,
(iii)Operasi hasil kali dalam (inner product)
, = � � �=1
Untuk setiap , ∈ ℜ dan skalar . Selanjutnya, ℜ merupakan ruang bernorma terhadap norma
. 1 ∞ :
= �=1
1
.
Ruang ℜ juga merupakan ruang bernorma terha-dap norma . ∞ dengan
∞ = maks : 1 .
uang bernorma ℜ , . dan ruang bernorma ℜ , . ∞ ekuivalen secara topologi. Hal ini meru-pakan salah satu alasan bahwa untuk selanjutnya ℜ dipandang sebagai ruang bernorma terhadap norma
. ∞. hal iniberakibat jarak (metric) antara dua titik atau dua vektor dan dalam ℜ disajikan dengan
, = − ∞= maks − : = 1,2,3,⋯ . Selanjutnya dengan pengertian jarak antara dua titik tersebut di atas, jarak antara titik dengan himpu-nan A adalah
, =� � , : ∈ .
Suatu himpunan yang anggotanya hanya ditulis dengan dan disebut singleton. Jika A himpunan bagian tak kosong di dalam ℜ , diameter himpunan E di dalam ℜ dilambangkan dengan diam (E) atau d(E) adalah
= � = , : , ∈ Untuk titik ∈ ℜ , persekitaran (neighbourhood) titik
dengan jari-jari > 0 dinotasikan dengan , , didefinisikan sebagai
, = ; ∈ ℜ dan , < = { ; ∈ ℜ ( − ) < }
Himpunan semua penutup (closure) E, himpunan semua titik dalam (interior point) E dan himpunan semua titik batas (boundary point) E berturut-turut didefinisikan dengan
= = ∈ ℜ :∀ > 0, , ≠ ∅
= = ∈ ℜ :∃ > 0, , ⊂
= ∈ ℜ :∀ > 0, , ≠ ∅ , ℜ − ≠ ∅
= .
Lebih lanjut, ℜ merupakan ruang bernorma yang lengkap (complete normed space), dengan norma
. ∞.
Operasi hasil kali dalam di dalam ℜ : , =
=1 , mengakibatkan ℜ merupakan ruang
Hilbert. Dengan demikian ℜ merupakan ruang Hil-bert berdimensi hingga atas lapangan ℜ yang diken-al dengan ruang Euclide.
Jika = 1, 2, 3,⋯, dan = ( 1, 2, 3,
⋯, ) dua titik di dalam ℜ , didefinisikan < jika � < � � � untuk �= 1,2,3,⋯, . Jika < , himpunan , disebut interval tertutup sejati (non degenerate closed interval) atau sel tertu-tup (closed cell), atau disebut sel (cell) saja. Jika ti-dak demikian, , disebut interval degenerate. Mudah difahami bahwa sel E = , dapat dinyata-kan dengan 1, 1 2, 2 ⋯ , dengan
� < � untuk �= 1,2,3,⋯, . Suatu interval
0=
�, �
�=1 dan = , = �=1 �, �
Berturut-turut merupakan interval terbuka dan sel. Dua interval atau sel dikatakan tidak saling tumpang tindih (non overlapping), jika irisan antara dua inte-rior interval atau sel tersebut adalah himpunan ko-song, tetapi jika tidak demikian dikatakan saling tumpang tindih (overlapping).
Definisi 2.1 Diberikan sel ⊂ ℜ .
1. Divisi pada sel E adalah koleksi berhingga sel � yang tidak saling tumpang tindih dengan
=
∈� .
2. Divisi parsial pada sel E adalah koleksi berhingga sel � yang tidak saling tumpang tindih dengan ∈� ⊆ .
3. Partisi pada sel E adalah koleksi berhingga pasangan sel-titik �= , = { 1, 1 ,
2, 2 ,⋯, , } dengan 1, 2,⋯, divisi
pada E dan � ∈ untuk setiap i.
4. Segmentasi pada koleksi berhingga sel ℭ adalah koleksi berhingga sel-sel � yang tidak saling tumpang tindih sehingga untuk setiap ∈ � termuat di dalam suatu ∈ ℭ dan ∈ �: ⊂
adalah divisi pada . Jadi
= = ∈� ⊂
∈ℭ ∈ℭ
Novi/Kekontinuan Fungsi Bervariasi … JPS Vol.17 No. 1 Januari 2014
17101-3 Selanjutnya diberikan definisi fungsi bervariasi terbatas dan fungsi kontinu mutlak pada ruang Euc-lide ℜ .
Definisi 2.2 Diberikan sel ⊂ ℜ , � ⊂ dan fungsi interval :ℐ → ℜ∗.
1. Fungsi F dikatakan bervariasi terbatas pada X, jika ada bilangan 0 sehingga untuk setiap divisi parsial �= = 1, 2, 3,⋯, pada
E yang titik pangkal dan ujung setiap � anggota X berlaku
� = �=1 � .
2. Fungsi F dikatakan bervariasi terbatas kuat pada X, jika ada bilangan 0 sehingga untuk setiap divisi parsial �= = 1, 2, 3,⋯, pada E yang titik pangkal atau ujung setiap � anggota X berlaku
� � ;
dengan � ; = : sel, dan ⊆
.
Koleksi fungsi interval bervariasi terbatas pada X dan koleksi fungsi interval bervariasi terbatas kuat pada X berturut-turut dinotasikan dengan � � dan �∗ � .
Definisi 2.3 Diberikan sel ⊂ ℜ dan � ⊂ . Varia-si fungVaria-si interval F pada sel X adalah bilangan
� � = ∈� ,
dengan supremum diambil atas semua divisi parsial �= = 1, 2, 3,⋯, pada E yang titik pang-kal dan ujung para � anggota X.
Jika � � ∞, maka fungsi interval F merupakan fungsi bervariasi terbatas pada X.
Definisi 2.4 Diberikan sel ⊂ ℜ , fungsi aditif :ℐ → ℜ∗ dan � volume pada E.
1. Fungsi F dikatakan kontinu mutlak-� pada � ⊂ , dinotasikan dengan ∈ � � jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan
> 0 sehingga berlaku
� = � �=1
<
Untuk setiap divisi parsial �= =
1, 2, 3,⋯, pada E yang titik pangkal dan
ujung setiap � anggota X dengan
� � = � � �=1
<
2. Fungsi F dikatakan kontinu mutlak kuat-� pada � ⊂ , dinotasikan dengan ∈ �∗ � jika
untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 sehingga berlaku
� = � �=1
<
Untuk setiap divisi parsial �= =
1, 2, 3,⋯, pada E yang titik pangkal atau
ujung setiap � anggota X dengan
� � = � � �=1
<
(Dewi, 2003).
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut ini diberikan sebuah teorema yang menyata-kan hubungan antara fungsi yang kontinu mutlak dengan fungsi yang bervariasi terbatas pada ruang Euclide ℜ .
Teorema 3.1 Diberikan sel ⊂ ℜ , � ⊆ , fungsi interval :ℑ → ℜ∗ dan � volume pada E. Jika ∈ � � maka ∈ � � , namun sebaliknya be-lum tentu berlaku.
Bukti: Diberikan ∈ � � . Berdasarkan definisi 2.4 maka untuk bilangan = 1 terdapat bilangan
> 0 sehingga berlaku
� = � �=1
< 1
Untuk setiap divisi �= = 1, 2,⋯, pada
� ⊆ dengan
� � = � �=1 � < .
Jika �= = 1, 2, 3,⋯, sebarang divisi pada X, diperoleh segmentasi ℭ pada � �. Selan-jutnya dibentuk ℭ� = ∈ ℭ: ⊂ � untuk �= 1,2,3,⋯ dan ℭ = ∈ ℭ: ⊂ untuk setiap
∈ �, diperoleh
� =� ℭ ℭ = ℭ�=1 � < �=11= .
Karena � sebarang divisi pada X, diperoleh � � , atau ∈ � � .
Sebaliknya, untuk membuktikan bahwa sebalik-nya belum tentu berlaku, yaitu jika ∈ � � maka belum tentu berlaku ∈ � � , digunakan suatu contoh penyangkal. Untuk lebih memperjelas, con-toh diberikan dalam ℜ.
Novi/Kekontinuan Fungsi Bervariasi … JPS Vol.17 No. 1 Januari 2014
17101-4 0,2 , yang berakibat F tidak kontinu mutlak pada 0,2 .
Contoh 3.2 menyatakan bahwa setiap fungsi yang bervariasi terbatas tidak harus kontinu mutlak, bah-kan tidak harus kontinu. Demikian juga setiap fungsi kontinu, tidak harus bervariasi terbatas. Hal ini ter-tuang dalam contoh berikut.
Contoh 3.3 Diberikan fungsi : 0,1 → ℜ. Selan-jutnya didefinisikan:
= sin � , jika ≠0 = 0, jika = 0.
Cukup jelas bahwa F kontinu, namun F tidak berva-riasi terbatas pada 0,1 , karena jika diambil 2
3, 1 , 2 5,
2 3 ,
2 7,
2
5 ,⋯, 0, 2
2 +1 divisi parsial pada
0,1, dengan n bilangan bulat positif, diperoleh:
1 − 2
3 + 2 3 −
2
5 + 2 5 −
2 7
+⋯+ 2
2 + 1 − (0)
= 2
3+ 2 3+
2
5 +⋯+
2 2 +1
= 4 1 3+
1 5+
1 7+⋯+
1 2 + 1
Karena 1
2 +1 divergen, maka jumlahan parsial
menjadi tidak terbatas, sehingga mengakibatkan F tidak bervariasi terbatas.
Contoh 3.3 menyatakan bahwa ternyata setiap fungsi interval kontinu mutlak juga belum tentu ber-variasi terbatas.
4
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bah-wa untuk sel ⊂ ℜ , � ⊆ , fungsi interval
:ℑ → ℜ∗ dan � volume pada E,
1.Jika ∈ � � maka belum tentu ∈ � � 2.Jika ∈ � � maka belum tentu juga ∈
� �
yang merupakan generalisasi dari sifat yang berlaku pada garis lurus.
Saran
Untuk penelitian lanjutan, disarankan untuk meng-kaji aplikasi sifat-sifat fungsi yang kontinu mutlak dan sifat-sifat fungsi yang bervariasi terbatas di dalam ruang Euclide berdimensi n.
REFERENSI _____________________________
Darmawijaya, S., 2003, On The Bounded Variation Func-tions, Proceeding of SEAMS GMU, International Confe-rence on Mathematics ang its Applications,International Conference on Mathematics ang its Applications, Yo-gyakarta.
Gordon, R. A., 1994. The integral of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock, American Mathematical Society, USA.
Dewi, N. R., 2003. Fungsi Bervariasi Terbatas Pada Ruang Euclide ℜ , Tesis Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Pfeffer. W. F., 1993. The Riemann Approach to
