Sistem Bilangan Riil dan Konsep Fungsi

!

"

!

#

$ # % &

Fakultas Program Studi TatapMuka Kode MK DisusunOleh

Fakultas Teknik Teknik Sipil MK90016 Reza Ferial Ashadi, ST, MT

Abstract

Kompetensi

Teknik sipil sebagai ilmu rekayasa membutuhkan pemahaman mengenai apa itu kalkulus. Untuk mempelajari kalkulus kita harus mengerti mengenai sistem bilangan dan fungsi matematika sebagai dasar dari kalkulus. Dalam modul ini mahasiswa akan mempelajari tentang dasar dari kalkulus yaitu

sistem bilangan rill dan fungsi

matematika, diantaranya operasi pada fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers serta berbagai macam fungsi dan grafiknya.

Diharapkan setelah membaca modul ini Mahasiswa mampu:

1. Mengerti mengenai Sistem Bilangan Riil, Bilangan Asli, Bilangan Bulat, Bilangan Rasional.

2. Mengerti mengenai konsep fungsi

3. Mengerti tentang operasi-operasi

fungsi

4. Mengerti tentang fungsi komposisi dan fungsi invers

1. SISTEM BILANGA

Kalkulus didasarkan pada sis itu dan sifat-sifatnya? Berikut i Diantara sistem bilangan, yan

Dengan bilangan ini kita dap nol, kita peroleh bilangan-bila

Bilangan-bilangan yang dapa bilangan-bilangan bulat denga

Ada juga bilangan-bilangan ya bulat, contohnya

√2, √5, √7,

ini dinamakan

bilangan-bila

Sekumpulan bilangan (ras

bersama-sama dengan nega

EMPAT OPERASI HITUNGAN

Dengan dua bilangan riil x dan memperoleh dua bilangan riil dan perkalian mempunyai sifa

1. Hukum Komutatif. x + y = y + 2. Hukum Asosiatif. x + (y + z) = ( 3. Hukum Distribusi. x(y + z) = xy 4. Elemen-elemen Identitas. Terd

dan x . 1 = x

5. Balikan(Invers). Setiap bilanga memenuhi x + (-x) = 0. Juga, se kebalikan) x-1, yang memenuh

AN RIIL

sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Tetapi a ut ini akan dibahas beberapa sistem bilangan. ang paling sederhana adalah bilangan-bilanga

1, 2, 3, 4, 5, 6, ....

apat menghitung. Jika kita gandengkan deng

ilangan bulat,

...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

apat dituliskan dalam bentuk m/n, dimana gan n≠_{0, disebut bilangan-bilangan rasional}

3

4 ,

8 ,

7

21

5 ,

19

2 ,

16

2 ,

2

17

yang tidak dapat dituliskan sebagai hasil bagi

, dan sekelompok bilangan lainnya. B

bilangan tak-rasional

.

asional dan tak-rasional) yang dapat me

gatifnya dan nol dinamakan bilangan-bilang

AN

an y, kita dapat menambahkan atau mengalika iil baru x+y dan x.y (biasanya cukup dituliskan ifat-sifat yang telah dikenal berikut.

Sifat-sifat Medan

y + x dan xy = yx

) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z = xy + xz

Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0 dan 1 ya ngan x mempunyai balikan aditif (disebut juga sebua a, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan pe nuhi x . x-1 = 1

i apakah bilangan riil

gan asli,

ngan negatifnya dan

a m dan n adalah

al

gi dua buah bilangan

. Bilangan-bilangan

engukur panjang,

ngan riil.

likan keduanya untuk an xy). Penambahan

Pengurangan dan pembagian

dan

2. KONSEP FUNGSI

f : X → _{Y adalah sebuah fung}

Setiap elemen dalam X berhu

Definisi

Sebuah fungsi f adalah s dalam satu himpunan, ya himpunan kedua. Himpuna

fungsi tersebut.

1 2 3 4

X

an didefinisikan dengan

x – y = x + (-y)

= .

SI

ngsi.

hubungan dengan tepat satu buah elemen dala h suatu aturan padanan yang menghubungk yang disebut daerah asal, dengan sebuah ni unan nilai yang diperoleh secara demikian dise

5

6

7

Y

f

alam Y.

gkan tiap obyek x

g : X → _{Y adalah BUKAN seb}

Elemen 1 dalam X berhubung

CARA MENULISKAN FUNGS

DAERAH ASAL DAN DAERA

Aturan padanan merupakan lengkap di tentukan sampai da

Daerah asal adalah himpunan

Daerah Nilai adalah himpuna

1

ngan dengan dua buah elemen dalam Y yaitu 5

GSI

si dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau tau “f pada x”, menunjukkan nilai yang diberika

,

f(a) = a3 – 4

f(a+h) = (a+h)3 – 4 = a3 + 3a

RAH NILAI

an pusat dari suatu fungsi, tetapi sebuah fun daerah asalnya diberikan.

an elemen-elemen pada mana fungsi itu mend nan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.

Misalnya, jika F adalah suatu sebagai {-1, 0, 1, 2, 3} , maka

Daerah asal dan aturan untuk Bilamana untuk sebuah fungs daerah asalnya adalah himp maknanya dan memberikan n CONTOH :

Cari daerah asal alamiah untu

(a)

( ) =

_{( )}

Daerah asal alamiah untu (bilangan riil) sedemikian menghindari pembagian o

(b)

(!) = √9 !

"

Disini kita harus memb menghindari nilai-nilai tak ≤ _{3. Sehingga, daerah as} selang, kita dapat menulis Bilamana aturan untuk suatu

(misalnya, y = x3 + 3x – 6) , x

Sebarang elemen dari daerah pilihan itu secara tuntas men tergantung dari pilihan nilai x.

-1 ka daerah nilainya adalah {1, 2, 5, 10}.

uk menentukan daerah nilai tersebut.

gsi daerah asalnya tidak dirinci, kita selalu me punan bilangan riil yang tebesar sehingga nilai bilangan riil. Ini disebut daerah asal alam

tuk :

lis daerah asal sebagai [-3,3].

tu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan

x seringkali disebut peubah bebas dan y pe

a daerah asal di rinci

menganggap bahwa a aturan fungsi ada

lamiah.

impunan x dalam R kecualikan 3 untuk

≥ _{0 dengan tujuan} syaratkan bahwa |!| alam cara penulisan

n berbentuk y = f(x)

3. OPERASI PADA F

Fungsi bukanlah bilangan. Te untuk menghasilkan sebuah ditambahkan untuk menghasil jenis operasi pada fungsi yang

JUMLAH, SELISIH, HASIL

Kita dapat membuat sebuah

√

, yakni,

(

Tentu saja, kita harus sedikit bilangan pada mana f maupu irisan (bagian irisan/bagian be

n suku

Daerah asal f

FUNGSI

Tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b d h bilangan baru a+b, demikian juga dua fun silkan sebuah fungsi baru f+g. Ini baru salah s ng lainnya.

ILKALI, HASILBAGI, dan PANGKAT

fungsi riil dengan daerah asal Df dan Dg

it hati-hati mengenai daerah asal. Jelas, x har pun g berlaku. Dengan lain perkataan, daerah bersama) dari daerah asal f dan g.

Daerah asal g

Daerah asal f + g

dapat ditambahkan ungsi f dan g dapat h satu dari beberapa

an pada x nilai "

+

Dengan anggapan bahwa f d

daerah asal alamiah berikan daerah asal

4. FUNGSI KOMPOS

FUNGSI KOMPOSISI

Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan g(f(x)), dikatak dihasilkan, disebut komposit

SISI DAN FUNGSI INVERS

k menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerj takan bahwa kita telah menyusun g denga

g dengan f, dinyatakan g ◦ _f.

X

f(X)

g(f(X))

(g

(g

(g

(g

◦

f)(x) = g(f(x))

f)(x) = g(f(x))

f)(x) = g(f(x))

f)(x) = g(f(x))

Jika g bekerja pada x untuk menghasilkan f(g(x)), dikatak dihasilkan, disebut komposit

uk menghasilkan g(x) dan kemudian f bekerja takan bahwa kita telah menyusun f dengan

f dengan g, dinyatakan f ◦ _g.

X

g(X)

f(g(X))

((((ffff

◦

gggg)(x) =

)(x) =

)(x) =

)(x) = ffff((((gggg(x))

(x))

(x))

(x))

Contoh :

(g

◦

(f

◦

Segera kita perhatikan satu h umumnya berlainan.

CONTOH 2. Andaikan

( ) =

Pertama, cari (f ◦ _{g)(12) ; kemu}

Penyelesaian :

(f ◦ _{g)(12) = f(g(12)) = f(}√36_{) =}

(f ◦ _{g)(x) = f(g(x)) = f(}√3 _{) =}

-√

Daerah asal f ◦ _{g adalah [0}

gabungan pada himpunan). menghindari pembagian oleh

( ) =

( _" )

( ) = √

◦

f)(x) = g(f(x)) = g

3

"

4 = 5

"

◦

g)(x) = f(g(x)) =

-√ . =

√

"

hal : Susunan (komposisi) fungsi tidak komut

( ) =

67 ₈

dan

( ) = √3

mudian cari (f ◦ _{g)(x) dan berikan daerah asaln}

) = f(6) = 6(6)

(6)7 ₈

=

_{6 8}6

=

_"96

=

:

6√ -√ .7 8

=

6√ 8

=

"√

[0,3) ∪ (3,∞). (Ingat kembali bahwa ∪ me ). Perhatikan bahwa 3 dikecualikan dari d h 0.

utatif ; g ◦ _{f dan f} ◦ _g

alnya.

FUNGSI INVERS

Jika fungsi f memetakan seti unsur y tersebut ke unsur x se

Perhatikan gambar sebagai be

Untuk menentukan rumus fung

• Memisalkan f(x) = y

ungsi invers dari fungsi f dapat dilakukan langk

y

mengganti variabel y

Contoh :

ABC!DE=C FCGBHI >=HJ

Jawab :

K KL" ,

K KL" ,

2 1

1

5. FUNGSI TRIGONO

mir

L"

"

NOMETRI

sin P

@>Q

RH

cos P

>E!

RH

tan P

@>Q

>E!

hadapan (hdp) miring (mrg)

Beberapa Fungsi Trigono

tan !

sin !

cos !

sec !

1

cos !

Hubungan Dengan Trigonom

Sudut biasanya diukur dalam satu putaran putaran penuh berukuran 1800 atau π _radian.

atau,

Grafik Sinus dan Cosinus

nometri

!

cot !

cos

sin

!

csc !

sin

ometri Sudut

m derajat atau dalam radian. Sudut yang ber h berukuran 3600, atau 2π _{radian. Demikian}

n.

1800 = π radian X 3.1415927 radian

10 X 0.0174533 radian atau

1 radian X 57.295780

cos !

sin !

1

sin !

6. MACAM-MACAM F

FUNGSI GENAP

Fungsi f disebu Grafik dari fung

FUNGSI GANJIL

Fungsi f disebu Grafiknya sime

FUNGSI DAN GRAFIKNYA

but fungsi genap bila memenuhi f(−a) = f(a). ngsi genap simetri terhadap sumbu-y

but fungsi ganjil bila memenuhi f(−a) = −f(a). etri terhadap titik asal (titik pusat koordinat).

FUNGSI KONSTAN

Fungsi f : x → _{C dengan C kon} Fungsi f memetakan setiap bil Grafik fungsi konstan y = f(x) d c ≠ _{0 dan berimpit dengan sum} Contoh :

Fungsi f : x → ₃

FUNGSI IDENTITAS

Fungsi R → _{R yang didefinisik} Grafik fungsi identitas y = x ad

y

konstan disebut fungsi konstan (tetap). bilangan rill dengan C.

x) dengan f(x) = C adalah garis lurus yang seja umbu-X jika c = 0.

sikan sebagai : I : x → _{x disebut fungsi identita} adalah garis lurus yang melalui O(0,0).

y =

ejajar sumbu-X untuk

itas. = f(x) = 3

FUNGSI LINEAR

Fungsi f : R → _{R yang didefin} fungsi linear.

y

1

0 2

f(1) 3 4 5

f(

finisikan : f(x) = ax + b , a dan b konstan den

y = f(x) = 2x + 1

2 1

f(2) = 5

) = 3

f(0) = 1

engan a ≠ _{0 disebut}

FUNGSI KUADRAT

Fungsi f : R → _{R yang didefini}

fungsi kuadrat.

f(-2) =

finisikan : f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R

y = f(x) = x2

y

1

1

-1 0 2

f(1) = 1 f(2) =

-2

4

f(0) = 1 f(-1) = 1

) = 4

R dan a ≠ _{0, disebut}

1. ________. e-paper. Ba

https://sultansevgilim.fi

2. Djohan, Warsoma, Drs

Kalkulus I. Departemen

http://personal.fmipa.itb

3. Markaban, Drs, Msi. 20 Matematika. Yogyakar

4. Nicholas, Jacky. et al. Learning Centre. Unive

http://sydney.edu.au/st

5. Purcell, Edwin J dan V Jakarta. Penerbit Erlan

Bab 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.

.files.wordpress.com/2008/11

rs, Msi dan Budhi, Wono Setya, Dr. 2007. e-pa en Matematika, Fakultas MIPA, ITB, Bandung

.itb.ac.id/hgunawan/my-courses/files/2009/08

2004. e-paper. Fungsi, Persamaan, Pertidaksa

arta. http://p4tkmatematika.org/downloads/sma

l. 1997. e-paper. Function and Their Graphs. M iversity of Sydney.

/stuserv/documents/maths_learning_centre Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geome

langga.

paper. Diktat

ng.

ksamaan. PPPG

ma

. Mathematics