BAB III Matrik dan Relasi

(1)

Matrik dan Relasi

(2)

Matriks

• _{Di dalam MD, matriks digunakan}

untuk merepresentasikan struktur diskrit

• _{Struktur diskrit adalah struktur}

matematika abstrak yang digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara

(3)

• _{Struktur diskrit yang di}

(4)

defnisi

• _{Matriks adalah susunan skalar}

elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.

• _{Matriks A yang berukuran dari m baris}

(5)

(6)

Macam-macam matriks

1. Matriks diagonal 2. Matriks identitas

3. Matriks segitiga atas bawah 4. Matriks Transpose

(7)

Matriks diagonal

• Matriks bujur sangkar dengan a_ij= 0

untuk i ≠ j

• _{Seluruh elemen tidak terdapat pada}

posisi i ≠ j bernilai 0

• _{Matrik diagonal adalah matriks bujur}

sangkar dimana semua elemen

(8)

2. Matriks Identitas

• _{Matriks identitas dilambangkan}

dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1

• _{Matrik identitas adalah matriks}

(9)

3. Matriks segitiga atas

/bawah

• _{Matrik yang elemen-elemen di}

atas/di bawah diagonal bernilai 0, yaitu a_ij = 0 , jika i<j(i>j)

• _{Matriks segitiga atas adalah matriks}

dimana semua elemen dibawah diagonal utama adalah nol.

• _{Matriks segitiga bawah adalah}

(10)

4. Matriks tranpose

• _{Matriks yang diperoleh dengan}

mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom.

• Misalkan A=[a_ij] berukuran m x n,

maka transpose dari matriks A ditulis AT, adalah matriks n x m yang dalam

hal ini jika AT=[b

ij] maka bij = aij

(11)

5. Matriks Simetri

• _{A adalah matriks simetri jika A}T=A

yaitu jika a_ij = a_ji untuk setiap I dan j

• _{Pada matriks simetri elemen di}

bawah diagonal adalah hasil

(12)

6. Matriks 0/1

• _{Adalah matriks yang setiap}

elemennya hanya bernilai 0 atau 1

• _{Matriks ini banyak digunakan untuk}

(13)

Operasi Pada Matriks

• _{Penjumlahan dua buah matriks}

• _{Defnisi. A dan B adalah suatu dua}

matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang

diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian

(14)

Perkalian dua buah matriks

• _{Defnisi. Jika A adalah matriks m x r dan B}

adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB,

(15)

(16)

(17)

Perkalian matriks dengan

skalar

• _{Misal k adalah sebuah skalar}

• _{Perkalian matriks A dengan skalar k}

(18)

Defnisi Relasi

• _{Hubungan antara elemen himpunan dengan}

elemen himpunan lain

• _{Relasi (R) dari himpunan X ke himpunan Y adalah}

sebuah sub himpunan dari hasil kali X.Y.

– _{Maka himpunan X atau x Є X | (x,y) Є R untuk beberapa}

y Є Y disebut daerah asal (domain).

– _{Kemudian himpunan Y atau y Є Y | (x,y) Є R untuk}

beberapa x Є X disebut daerah kawan (kodomain)

– _{Sedangkan daerah hasil (range) adalah himpunan relasi}

(19)

• _Contoh:

– _{X ={Bill,Marry,Beta,Dave}}

– _{Y ={Ilmu komputer, Matematika, Seni,}

sejarah} maka relasi X.Y adalah R={(Bill,ilmu komputer),

(Marry,Matematika),(Bill,Seni),

(20)

Representasi Relasi

• _{Ada 3 cara untuk penyajian:} – _Tabel

– _Matrik

(21)

Bentuk Tabel

• _{Misal : X ={2,3,4}, Y={3,4,5,6,7} jika}

(22)

Bentuk Matrik

• Misalkan R adalah relasi dari A ={a,b,...z} dan B={1,2,...,100}. Relasi R dapat disajikan

dengan matrik M=[mij].

• _{M =}

• Dengan kata lain, elemen matrik pada posisi

(23)

Contoh Matrik

• _{A = {Amir,Budi,Cecep}}

• _{B={IF221,IF251,IF342,IF323}}

(24)

Bentuk Graf Berarah

• _{Merupakan representasi relasi secara grafs} • _{Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan}

sebuah titik (simpul) dan tiap pasangan

terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan sebuah panah.

• _{Contoh :}

– _{R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),}

(25)

Mengkombinasikan Relasi

• _{Jika R1 dan R2 merupakan relasi dari himpunan A ke}

himpunan B, maka R1 ∩ R2, R1 U R2, dan sebagainya.

• Contoh :

A ={a,b,c} dan B={a,b,c,d}, Relasi R1={(a,a),(b,b),(c,c)} dan relasi R2={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B. Kombinasi relasi :

(26)

Komposisi Relasi

• _{Komposisi R dari S, dinotasikan dengan RoS adalah relasi}

A ke C yang didefnisikan oleh:

RoS ={(a,c)| a Є A, c Є C}, dimana b Є B, (a,b) Є R dan (b,c) Є S.

• _Contoh:

R={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} dan S={(2,u), (u,s),(4,t),(6,t),(8,4)} dan relasi dari himpunan {2,4,6,8} ke himpunan {s,t,u} maka komposisi relasi R dan S

(27)

Soal

1. P={2,4,8,9,15} dan Q={2,3,4}. Defnisikan bahwa R jika P habis dibagi Q.

Jawab:

(28)

2. Berapa relasi (R) pada x={1,2,3,4} dengan didefnisikan oleh (x,y) Є R jika x ≤ y, x, y Є x ! 3. Gambarkan graf pada relasi (R) pada soal 2! 4. R adalah relasi pada A={2,3,4,8,9} yang

didefnisikan oleh (x,y) Є R, jika x adalah faktor prima dari Y.

a. Berapa R!

(29)

6. R adalah relasi pada A ={1,2,3,4} jika didefnisikan oleh “ X lebih kecil dari Y”!

7. Tentukan Invers dari R (R^-1) dari relasi pada soal

6!

8. R adalah relasi dari A={1,2,3,4} ke B={x,y,z} didefnisikan oleh:

R={(1,y),(1,z),(3,y),(4,x),(4,z)}

(30)

9. Buatlah diagram panah untuk sebuah relasi dari himpunan berhingga A ke himpunan berhingga B. R={(1,y),(1,z),(3,y),(4,x),(4,z)}!

10. S adalah relasi dari A ={Ellen,Stephania,Audrey,Jane} ke b={ya,tidak} didefnisikan dengan R={(ellen,tidak), (stephania,ya),(audrey,ya),(jane,tidak)}. Tentukan matrik M yang mewakili relasi R.

11. R adalah relasi dari X={1,2,3,4} ke Y={a,b,c,d} seperti ditunjukkan pada berikut:

(31)

12. A ={1,2,3}, B={a,b,c}, C={x,y,z}, relasi R dari A ke B adalah {(1,b),

(2,a),(2,c)} dan relasi B ke C adalah {(a,y),(b,x),(c,y),(c,z)}, tentukan

komposisi RoS!

13. A={1,2,3,4}, B={a,b,c,d} dan C={x,y,z}. Relasi R dari A ke B

adalah {(1,a),(2,d),(3,a),(3,b),(3,d)}, relasi S dari B ke C adalah {(b,x),