4. Persamaan Diferensial - II-7 Persamaan Diferensial Orde-1

1/8

4. Persamaan Diferensial

(Orde Satu)

Sudaryatno Sudirham

4.1. Pengertian

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak kita pelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada

dalam persamaan.

3 3

dx y d

adalah orde tiga;

2 2

dx y d

adalah orde dua;

dx dy

adalah orde satu.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Sebagai contoh: ex

x y dx

y d dx

y d

= + +

       

+

       

1 2 5

2 2 2

3 3

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga,

derajat dua.

Dalam buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial biasa, orde satu dan orde dua, derajat satu.

4.2. Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya. Kita ambil satu contoh:

x

ke

y= − adalah solusi dari persamaan + y=0 dt

dy _{karena turunan y=ke}−x _{adalah ke} x

dt

dy ₋

−

= , dan

jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh −ke−x+ke−x=0

Persamaan terpenuhi.

Pada contoh di atas kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu mempunyai solusi yang melibatkan satu tetapan sembarang yaitu k. Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde dua yang akan kita bahas di bab berikutnya, kita akan menemukan solusi dengan dua tetapan sembarang. Nilai dari tetapan ini ditentukan oleh kondisi awal.

4.3. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan

Solusi suatu persamaan diferensial bisa diperoleh apabila peubah-peubah dapat dipisahkan; pada pemisahan peubah ini kita mengumpulkan semua y dengan dy dan semua x dengan dx. Jika hal ini bisa dilakukan maka persamaan tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk

0 ) ( )

(y dy+g xdx=

f (4.1) Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

∫

Kita ambil dua contoh.

1). ex y dx dy ₋

= . Persamaan ini dapat kita tuliskan

y x

e e dx dy

= sehingga kita dapatkan persamaan

dengan peubah terpisah

0

= −e dx dy

ey x dan

∫

eydy−

∫

exdx=K

sehingga ey−ex=K atau ey=ex+K

2).

xy dx

dy 1

= . Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

0

= −

x dx

ydy dan K

x dx ydy−

∫

=

∫

sehingga y −lnx=K

2 2

atau y= lnx2+K′

4.4. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk

     

=

x y F dx dy

(4.3)

Persamaan demikian ini dapat dipecahkan dengan membuat peubah bebas baru

x y v=

Dengan peubah baru ini maka

vx y= dan

dx dv x v dx dy

+ =

Persamaan (14.2) menjadi

) (v F dx dv x

v+ = (4.4) yang kemudian dapat dicari solusinya melalui pemisahan peubah.

0 ) ( =

− +

v F v

dv x

dx

(4.5)

Solusi persamaan aslinya diperoleh dengan menggantikan v dengan y/x setelah persamaan terakhir ini dipecahkan.

Kita ambil contoh: (x2+ y2)dx+2xydy=0

Persamaan ini dapat kita tulis (1 ) 2 0 2

2

2 _{+ dx+ xydy=}

x y

x atau

dy x y dx x y

2 ) 1 (

2 2

− =

+ sehingga ( / )

) / ( 2

) / (

1 2

x y F x y

x y dx

dy₌₋ + ₌

yang merupakan bentuk persamaan homogen. Peubah baru v = y/x memberikan

vx y= dan

dx dv x v dx dy

3/8

dan membuat persamaan menjadi

v v dx

dv x v

2 1+ 2

− =

+ atau

v v v

v v dx dv x

2 3 1

2

1 2 + 2

− = + − −

=

Dari sini kita dapatkan

x dx v v dv

− = +3 )/2 1

( 2

atau 0

3 1

2

2 =

+ +

v vdv x

dx

Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan v sebagai fungsi x. Kita perlu pengalaman untuk ini.

Kita tahu bahwa

x dx

x d(ln ) 1

= . Kita coba hitung

) 6 ( 3 1

1 ) 3 1 (

) 3 1 (

) 3 1 ln( ) 3 1 ln(

2 2

2 2 2

x x dx

x d x d

x d

dx x d

+ = + +

+ = +

Kembali ke persamaan kita. Dari percobaan perhitungan di atas kita dapatkan solusi dari

0 3 1

2 2 =

+ +

v vdv x

dx

adalah x+ + v =K= lnK′

3 1 ) 3 1 ln( 3 1

ln 2 atau

K K v

x+ln(1+3 )= =ln ′ ln

3 2 sehingga x3(1+3v2)=K′

Dalam x dan y solusi ini adalah

(

y x

)

K

x31+3( / )2 = ′ atau x

(

x2+3y2

)

=K′

4.5. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol. Dalam menentukan derajat ini kita harus memperhitungkan pangkat dari peubah dan turunannya; misal y(dy/dx) adalah berderajat dua karena y dan dy/dx masing-masing berpangkat satu dan harus kita jumlahkan untuk menentukan derajat dari y(dy/dx).

Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk

Q Py dx dy

=

+ (4.6)

dengan P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan. Persamaan diferensial bentuk inilah selanjutnya akan kita bahas dan kita akan membatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena kita akan langsung melihat pemanfaatan praktis dengan contoh yang terjadi pada analisis rangkaian listrik.

Dalam analisis rangkaian listrik, peubah fisis seperti tegangan dan arus merupakan fungsi waktu. Oleh karena itu persamaan diferensial yang akan kita tinjau kita tuliskan secara umum sebagai

) (t

f by dt dy

a + = (4.7)

Persamaan diferensial seperti (4.7) mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan (4.7) sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen

0

= +by dt dy

a (4.8)

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi (4.7) dan fungsi f2(t) memenuhi (4.8), maka y =

(f1+f2) akan memenuhi (4.7) sebab

(

)

0 ) (

1 1 2 2 1 1

2 1 2 1

+ + = + + + =

+ + + =

+

bf dt df a bf dt df a bf dt df a

f f b dt

f f d a by dt dy a

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari (4.7), dan kita sebut solusi total yang terdiri dari solusi khusus f1 dari

(4.7) dan solusi homogen f2 dari (4.8).

Peristiwa Transien. Sebagaimana telah disebutkan, persamaan diferensial seperti (14.7) dijumpai

dalam peristiwa transien, yaitu selang peralihan dari suatu keadaan mantap ke keadaan mantap yang lain.. Peralihan kita anggap mulai terjadi pada t = 0 dan peristiwa transien yang kita tinjau terjadi dalam kurun waktu setelah mulai terjadi perubahan yaitu dalam kurun waktu t > 0. Sesaat setelah mulai perubahan kita beri tanda t = 0+ dan sesaat sebelum terjadi perubahan kita beri tanda t = 0−.

Solusi Homogen. Persamaan (4.8) menyatakan bahwa y ditambah dengan suatu koefisien konstan

kali dy/dt, sama dengan nol untuk semua nilai t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika y dan dy/dt berbentuk sama. Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi dari (4.8) mempunyai bentuk eksponensial y = K1e

st

. Jika solusi dugaan ini kita masukkan ke (4.8), kita peroleh

(

)

0

atau

0 ₁

1

1se +bKe = K as+b y=

aK st st (4.9)

Peubah y tidak mungkin bernilai nol untuk seluruh t dan K1 juga tidak boleh bernilai nol karena hal itu

akan membuat y bernilai nol untuk seluruh t. Satu-satunya cara agar persamaan (4.9) terpenuhi adalah

0

= +b

as (4.10)

Persamaan (4.10) ini disebut persamaan karakteristik sistem orde pertama. Persamaan ini hanya mempunyai satu akar yaitu s = −(b/a). Jadi solusi homogen yang kita cari adalah

t a b st

a Ke Ke

y = ₁ = ₁ −( / ) (4.11) Nilai K1 masih harus kita tentukan melalui penerapan suatu persyaratan tertentu yang kita sebut

kondisi awal yaitu kondisi pada t = 0+ sesaat setelah mulainya perubahan keadaan. Ada kemungkinan bahwa y telah mempunyai nilai tertentu pada t = 0+ sehingga nilai K1 haruslah sedemikian rupa

sehingga nilai y pada t = 0+ tersebut dapat dipenuhi. Akan tetapi kondisi awal ini tidak dapat kita terapkan pada solusi homogen karena solusi ini baru merupakan sebagian dari solusi. Kondisi awal harus kita terapkan pada solusi total dan bukan hanya untuk solusi homogen saja. Oleh karena itu kita harus mencari solusi khusus lebih dulu agar solusi total dapat kita peroleh untuk kemudian menerapkan kondisi awal.

Solusi khusus. Solusi khusus dari (4.7) tergantung dari bentuk fungsi pemaksa f(t). Seperti halnya

dengan solusi homogen, kita dapat melakukan pendugaan pada solusi khusus. Bentuk solusi khusus haruslah sedemikian rupa sehingga jika dimasukkan ke persamaan (4.7) maka ruas kiri dan ruas kanan persamaan itu akan berisi bentuk fungsi yang sama. Jika solusi khusus kita sebut yp, maka yp

5/8

bentuk

adalah

Solusi total. Jika solusi khusus kita sebut yp, maka solusi total adalah

t

Pada solusi lengkap inilah kita dapat menerapkan kondisi awal yang akan memberikan nilai K1.

Kondisi Awal. Kondisi awal adalah kondisi pada awal terjadinya perubahan yaitu pada t = 0+. Dalam menurunkan persamaan diferensial pada peristiwa transien kita harus memilih peubah yang disebut peubah status. Peubah status harus merupakan fungsi kontinyu. Nilai peubah ini, sesaat sesudah dan sesaat sebelum terjadi perubahan harus bernilai sama. Jika kondisi awal ini kita sebut y(0+) maka

)

Jika kondisi awal ini kita masukkan pada dugaan solusi lengkap (14.12) akan kita peroleh nilai K1.

)

) adalah tertentu (yaitu nilai pada t = 0+). Jika kita sebut

maka solusi total menjadi

t s p A e

y

y= + ₀ (4.16)

4.6. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa

Tanpa Fungsi Pemaksa, f(t) = 0. Jika f(t) =0 maka solusi yang akan kita peroleh hanyalah solusi

homogen saja. Walaupun demikian, dalam mencari soluai kita akan menganggap bahwa fungsi pemaksa tetap ada, akan tetapi bernilai nol. Hal ini kita lakukan karena kondisi awal harus diterapkan pada solusi total, sedangkan solusi total harus terdiri dari solusi homogen dan solusi khusus (walaupun mungkin bernilai nol). Kondisi awal tidak dapat diterapkan hanya pada solusi homogen saja atau solusi khusus saja.

Contoh: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

0 Dugaan

pemaksa) Dugaan

: homogen solusi

Dugaan

1000 Persamaan

V Penerapan

Contoh: Pada kondisi awal v(0+) = 10 V, analisis transien menghasilkan persamaan

0 Penerapan

V Dugaan

: homogen solusi Persamaan

3

Fungsi Pemaksa Berbentuk Anak Tangga. Kita telah mempelajari bahwa fungsi anak tangga adalah

fungsi yang bernilai 0 untuk t < 0 dan bernilai konstan untuk t > 0. Jadi jika kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0 saja, maka fungsi pemaksa anak tangga dapat kita tuliskan sebagai f(t) = A (tetapan).

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

12 Persamaan

− konstan.

V Penerapan

persamaan ke

Contoh: Pada kondisi awal v(0+) = 11 V, analisis transien menghasilkan persamaan

7/8

Tanggapan

29 Penerapan Persamaan

5

berbentuk sinus. Karena solusi homogen tidak tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, maka pencarian solusi homogen dari persamaan ini sama seperti apa yang kita lihat pada contoh-contoh sebelumnya. Jadi dalam hal ini perhatian kita lebih kita tujukan pada pencarian solusi khusus. Dengan pengertian bahwa kita hanya memandang kejadian pada t > 0, bentuk umum dari fungsi sinus yang muncul pada t = 0 kita tuliskan

) cos(ω +θ

=A t

y

Melalui relasi

{

ω θ− ω θ

}

bentuk umum fungsi sinus dapat kita tuliskan sebagai

θ

Dengan bentuk umum seperti di atas kita terhindar dari perhitungan sudut fasa θ, karena sudut fasa ini tercakup dalam koefisien Ac dan As. Koefisien Ac dan As tidak selalu ada. Jika sudut fasa θ = 0 maka

As = 0 dan jika θ = 90

o

maka Ac = 0. Jika kita memerlukan nilai sudut fasa θ dari fungsi sinus yang

dinyatakan dengan pernyataan umum, kita dapat menggunakan relasi

c turunannya akan berbentuk fungsi sinus juga.

t homogen solusi Persamaan

−

V Penerapan

persamaan

ke

Contoh: Apabila kondisi awal adalah v(0+) = 10 V, bagaimanakah solusi pada contoh sebelum ini? Solusi total telah diperoleh; hanya kondisi awal yang berubah.

V

4.7. Ringkasan

Solusi total terdiri dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi homogen merupakan bagian transien dengan konstanta waktu yang ditentukan oleh tetapan-tetapan dalam persamaan, yang dalam hal rangkaian listrik ditentukan oleh nilai-nilai elemen rangkaian. Solusi khusus merupakan solusi yang tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, yang dalam hal rangkaian listrik ditentukan oleh masukan dari luar; solusi khusus merupakan bagian mantap atau kondisi final.

Solusi khusus :

ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen mantap; tetap ada untuk t →∞.

Solusi homogen : tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen transien; hilang pada t