DENGAN MODEL SUSCEPTIBLE VACCINATED INFECTED
RECOVERED (SVIR)
Septiawan Adi Saputro, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Campak merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh virus dan
menjadi perhatian Kementerian Kesehatan Republik Indonesia (Kemenkes RI). Indi-vidu yang terinfeksi penyakit ini dapat sembuh dan mendapatkan kekebalan sehingga penyebaran penyakit tersebut dapat dikonstruksikan dengan model susceptible in-fected recovered (SIR). Untuk mencegah meluasnya penularan campak, Kemenkes RI menyelenggarakan program vaksinasi. Penyebaran campak dengan vaksinasi dapat dikonstruksikan dengan modelsusceptible vaccinated infected recovered (SVIR). Mo-delSIR danSVIRmerupakan sistem persamaan diferensial orde satu. Dalam artikel ini diturunkan ulang model SV I R dan diterapan model tersebut pada penyebaran penyakit campak di Indonesia. Berdasarkan penerapan tersebut, Indonesia dapat di-nyatakan bebas penyakit campak pada tahun 2186 dengan rata-rata cakupan vaksin 88% dan angka kegagalan vaksin 4.9%. Hasil tersebut disimulasikan sesuai program baru Kemenkes RI dengan cakupan vaksin 95% dan angka kegagalan vaksin 3%, In-donesia bebas campak pada tahun 2183. Target InIn-donesia bebas campak pada tahun 2020 tidak tercapai.
Kata kunci : campak, vaksinasi,SI R,SV I R.
1. PENDAHULUAN
Penyakit campak merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh virus golongan Paramyxovirus. Penularan penyakit ini dapat terjadi melalui udara yang telah terkontaminasi oleh droplet (ludah) individu yang telah terinfeksi. Kemenkes RI [7] mencatat bahwa sebagian besar penderita penyakit ini adalah anak-anak usia pra sekolah dan usia SD. Gejala campak diawali dengan demam, batuk, pilek dan kemudian muncul bercak merah pada kulit. Menurut Baldy et al.[1], individu yang telah terinfeksi akan sembuh dan mendapat kekebalan secara alami.
Pemodelan matematika dapat digunakan sebagai alat untuk mengamati penyebaran penyakit infeksi seperti campak. Hethcote [2] memperkenalkan mo-del susceptible infected recovered (SIR) untuk menjelaskan penyebaran penyakit campak, cacar air, difteri, polio, dan batuk rejan. Mengacu pada model ter-sebut, Islam pada tahun 2015 [3] mengembangkan model SIR dengan adanya vaksinasi untuk panyakit campak menjadi model susceptible vaccinated infected recovered (SVIR). Dalam artikel ini diturunkan ulang modelSV IR. Selanjutnya, model tersebut diterapkan pada penyebaran penyakit campak di Indonesia dan diinterpretasikan hasilnya.
2. MODEL SIR
Model SIR pertama kali diperkenalkan oleh Kermack dan McKendrick [4] pada tahun 1927. Kemudian model tersebut dikembangkan dan diterapkan oleh Hethcote [2] pada tahun 1989. Hethcote [2] membagi populasi menjadi tiga ke-lompok individu. Pertama, keke-lompok individususceptible (S) yaitu individu yang sehat namun rentan terinfeksi penyakit. Kedua, kelompok individu infected (I) yaitu individu yang terinfeksi penyakit. Ketiga, kelompok individurecovered (R) yaitu individu yang sembuh dan kebal terhadap penyakit.
Pada model ini diberikan asumsi bahwa tidak ada perubahan jumlah po-pulasi setiap waktunya, hanya terdapat satu penyakit pada popo-pulasinya, dan individu yang lahir adalah individu yang sehat dan rentan terhadap penyakit. Besarnya laju kelahiran dan kematian pada model ini diasumsikan sama sebesar
µsehungga banyaknya kelahiran adalah µN dan banyaknya individu susceptible
bertambah sebesarµN. Setiap kelompok individuS,I, danRterdapat kematian sehingga setiap kelompok individu tersebut berturut turut berkurang sebesarµS,
µI, dan µR. Kelompok individu susceptible dapat terinfeksi campak setelah me-lakukan kontak dengan kelompok individuinfected. Jika β adalah besarnya laju kontak individususceptible dengan individuinfected dan diasumsikan setiap indi-vidu susceptible mempunyai kemungkinan yang sama untuk terinfeksi penyakit, maka individu susceptible terinfeksi sebanyakβSIN.
sebagai
dS
dt =µN −βS I N −µS dI
dt =βS I
N −γI −µI dR
dt =γI−µR,
(2.1)
dengan µ, β, γ > 0. Model (2.1) merupakan sistem persamaan diferensial non-linear orde satu.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1. Model SVIR. Penurunan ulang modelSV IR ini mengacu pada Islam
[3] yang berdasarkan pada model SIR Hethcote [2]. Islam [3] mengembangkan model SIR tersebut dengan menambahkan kelompok individu vaccinated yaitu kelompok individu yang mendapatkan vaksin.
Pada model SV IR oleh Islam [3], banyaknya individu susceptible, vaccina-ted,infected, danrecovered pada waktutdinyatakan denganS(t),V(t),I(t), dan
R(t) sehingga banyaknya populasi pada waktu t adalah N(t) = S(t) + V(t) +
I(t) +R(t). Berbeda dengan Hethcote [2], pada model ini besarnya laju kelahiran dan kematian diasumsikan tidak sama sehingga banyaknya individu pada popula-si tersebut berubah-ubah atau tidak konstan. Jikaθ adalah laju kelahiran, maka banyaknya kelahiran adalah θN. Individu yang lahir diasumsikan rentan ter-hadap penyakit sehingga kelompok individu susceptible bertambah sebesar θN. Untuk menambah kekebalan pada individu susceptible, diberikan vaksin. Jika
α adalah laju vaksinasi, maka banyaknya individu susceptible berkurang sebe-sarαS. Dengan demikian, perubahan sesaat kelompok individu susceptible pada model Islam [3] dinyatakan sebagai
dS
dt =θN−β SI
N −αS−µS. (3.1)
Banyaknya individu vaccinated bertambah dengan adanya program vaksi-nasi pada individu susceptible sebesar αS. Tidak semua proses vaksinasi berha-sil sehingga individu yang telah tervaksin dapat terinfeksi penyakit. Jika laju kegagalan vaksin adalah σ, maka kelompok individu vaccinated akan terinfeksi sebanyak βσV IN. Dimisalkan laju kematian adalah µ sehingga banyaknya indivi-du yang mati pada kelompok ini adalah µV dan banyaknya individu vaccinated berkurang sebesar µV. Perubahan sesaat kelompok individu vaccinated dapat dinyatakan sebagai
dV
dt =αS−βσ V I
Banyaknya individuinfected bertambah karena adanya individususceptible dan vaccinated yang terinfeksi sehingga banyaknya kelompok ini bertambah se-besarβV IN dan βσV IN . Perubahan sesaat kelompok individu infected pada model Islam [3] dapat dinyatakan sebagai
dI dt =β
SI N +βσ
V I
N −(µ+γ)I. (3.3)
Perubahan sesaat kelompok individu recovered pada model Islam [3] sama seperti pada model Hethcote [2] yang dinyatakan sebagai
dR
dt =γI−µR. (3.4)
Berdasarkan persamaan (3.1), (3.2), (3.3), dan (3.4) secara lengkap model susceptible vaccinated infected recovered (SV IR) adalah
dS
dt =θN −β SI
N −αS−µS dV
dt =αS−βσ V I
N −µS dI
dt =β SI
N +βσ V I
N −(µ+γ)I dR
dt =γI−µR,
(3.5)
denganS(0)>0, V(0) >0, I(0) >0, R(0) ≥0 danθ, α, β, σ, γ, µ >0. Parameter
θ, α, β, σ, γ, µ secara berturut-turut adalah laju kelahiran, laju vaksinasi, laju
kontak, laju kegagalan vaksin, laju kesembuhan dan laju kematian. Model (3.5) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu. Pola penyebaran penyakit dapat ditentukan dari penyelesaian sistem (3.5).
3.2. Penerapan. Model SV IR (3.5) diterapkan pada penyebaran penyakit campak di Indonesia. Saputro dan Widyaningsih [5] mengamati penyebaran penyakit campak di Indonesia dengan modelSV IRberdasarkan data tahun 2010-2014. Pada penelitian ini diamati pula penyebaran penyakit campak di Indonesia dengan model SV IR, namun berdasarkan data tahun 2006-2014. Menurut Ke-menkes RI [7], penderita penyakit tersebut adalah anak-anak usia pra sekolah dan usia SD sehingga populasi (N) pada model ini adalah total penduduk usia 0-14 tahun.
0.043, dan laju kesembuhan γ individu yang terinfeksi sebesar 0.04762. Ber-dasarkan nilai-nilai parameter tersebut dan dengan memperhatikan sistem (3.5), model penyebaran penyakit campak di Indonesia dapat dituliskan sebagai
dS
dt = 0.0210N −0.000207 SI
N −0.0655S−0.0069S dV
dt = 0.0655S−0.000010 V I
N −0.0069S dI
dt = 0.000207 SI
N + 0.000010 V I
N −0.04762I−0.0069I dR
dt = 0.04762I −0.0069R.
(3.6)
Tahun 2006 adalah waktu awal pengamatan. Banyaknya individu suscep-tible (S), vaccinated (V), infected (I), dan recovered (R) pada tahun tersebut
dipandang sebagai syarat awal yang harus dipenuhi, yaitu
S(0) = 58555165, V(0) = 4200446, I(0) = 17926, R(0) = 17922. (3.7)
Penyelesaiaan model (3.6) dengan syarat awal (3.7) ditentukan mengguna-kan metode Runge-Kutta orde empat dengan ketentuan bahwa tahun 2006 seba-gai tahun ke-0 (t= 0)danh= 1. Atas hal tersebut banyaknya individu kelompok
S dan V serta I dan R pada 180 tahun pertama tampak pada Gambar 1 (a) dan (b).
[image:5.595.110.515.484.649.2](a) (b)
Gambar 1. Banyaknya individuS danV (a) sertaI danR (b) 180
tahun pertama
susceptible yang terinfeksi. Pada tahun-tahun berikutnya, banyaknya individu
tersebut mengalami peningkatan. Banyaknya individu vaccinated terus bertam-bah dari tahun ke tahun karena adanya program vaksin pada individu suscepti-ble. Berdasarkan Gambar 1 (b), banyaknya individurecovered yang semula 17922 mengalami kenaikan hingga mencapai puncak 25675 pada tahun ke-29. Setelah tahun ke-29 banyaknya individu recovered mengalami penurunan dikarenakan adanya kematian alami dan berkurangnya individu yang sembuh dari penyakit. Banyaknya individuinfected mengalami penurunan yang semula 17926 menjadi 0 pada tahun ke-180 sehingga dapat dinyatakan Indonesia bebas penyakit campak pada tahun 2186.
Menurut Kemenkes RI [6], vaksinasi merupakan langkah yang paling tepat dan murah dalam mencegah dan mengurangi kejadian sakit serta terjadinya cacat akibat penyakit tertentu. Saat ini, Indonesia memiliki cakupan vaksinasi cam-pak sebesar 88%. Dalam rangka eliminasi camcam-pak Kemenkes RI berkomitmen pada lingkup ASEAN dan SEARO untuk mencapai cakupan vaksinasi campak minimal 95% dengan angka kegagalan vaksinasi sebesar 3%. Kemenkes RI juga menargetkan Indonesia campak tereliminasi atau bebas campak pada tahun 2020. Pada penelitian ini dilakukan simulasi model (3.6) terkait dengan program vak-sinasi oleh Kemenkes RI dan parameter yang berpengaruh yaitu α dan σ. Hasil simulasi untuk parameterα dan σ dituliskan pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil simulasi parameterα dan σ
Parameterα Parameterσ Parameter α dan σ
Tervaksin α Tahun σ Tahun α σ Tahun
% Bebas Bebas Bebas
88 0.0655 2186 0.049 2186
95 0.0722 2185 0.030 2185 0.0722 0.030 2184
98 0.0744 2185 0.015 2185 0.0744 0.015 2183
100 0.0760 2184 0.000 2184 0.0760 0.000 2183
(1) Parameter α
bahwa dengan persentase cakupan vaksinasi minimal 95%, diperoleh be-bas campak pada tahun 2185. Hal ini belum mencapai target yang dii-nginkan Kemenkes RI bahwa Indonesia bebas campak pada tahun 2020. Bahkan dengan cakupan vaksinasi 100% juga belum mencapai target ter-sebut.
(2) Parameterσ
Pada simulasi ini dimisalkan nilai parameter σ yang berubah-ubah, sementara nilai parameter lainnya tetap. Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa dengan persentase kegagalan vaksin maksimal 3%, diperoleh bebas campak pada tahun 2185. Hal ini belum mencapai target yang diinginkan Kemenkes RI bahwa Indonesia bebas campak pada tahun 2020. Bahkan dengan tidak adanya kegagalan vaksinasi (σ = 0) juga belum mencapai target tersebut.
(3) Parameterα dan σ
Pada simulasi ini dimisalkan nilai parameterα dan σ berubah-ubah dan parameter yang lain tetap. Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa de-ngan diberikan persentase cakupan vaksinasi minimal 95% dan persentase kegagalan vaksin maksimal 3% yang sesuai dengan program Kemenkes RI [6], Indonesia bebas campak pada tahun 2184. Hal ini berarti, pada tahun 2020 Indonesia belum mencapai target bebas campak. Bahkan dengan persentase cakupan vaksinasi 100% dan tidak terdapat kegagalan vaksin pun, target tersebut belum dicapai.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh tiga kesimpulan berikut.
(1) Model SIR dengan program vaksinasi untuk penyebaran penyakit cam-pak di Indonesia dapat dinyatakan sebagai model SV IR yang dituliskan sebagai
dS
dt =θN−β SI
N −αS−µS dV
dt =αS−βσ V I
N −µS dI
dt =β SI
N +βσ V I
N −(µ+γ)I dR
dt =γI−µR,
(2) ModelSV IR untuk penyakit campak di Indonesia dapat dituliskan seba-gai
dS
dt = 0.0210N −0.000207 SI
N −0.0655S−0.0069S dV
dt = 0.0655S−0.000010 V I
N −0.0069S dI
dt = 0.000207 SI
N + 0.000010 V I
N −0.04762I−0.0069I dR
dt = 0.04762I−0.0069R.
Berdasarkan model tersebut didapatkan Indonesia bebas penyakit cam-pak pada tahun 2186.
(3) Berdasarkan pada program Kemenkes RI dengan persentase tervaksin se-besar 95% dan angka kegagalan sese-besar 3%, Indonesia bebas penyakit campak pada tahun 2184. Target Indonesia bebas campak pada tahun 2020 belum tercapai.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Baldy, L. M., S. W. Roush, and L. Mclntyre.Manual for the Surveillance of Vaccine Pre-ventble Diseases. Creat Space Independent Publishing Platform, USA, 6th Edition edition, 2013.
[2] Hethcote, H.W.Tree Basic Epidemiological Models. Applied Matematical Ecology,18:119– 144, 1989.
[3] Islam, S. Equilibriums and Stability of SVIR Epidemic Model. Internasional Journal of Humanities, Arts, Medicine and Sciences,3:1–10, 2015.
[4] Kermack, W.O. and A.G. McKendrick. Proceedings of the Royal Society of London. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics,115:700–721, 1927.
[5] Saputro, S.A. dan P. Widyaningsih.Program Vaksinasi Penyakit Campak di Indonesia Me-lalui Model Susceptible Infected Recovered (SIR) dan Hasilnya . Dipresentasikan pada Se-minar Nasional 2016 Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret,
Surakarta, 2016.
[6] Tim Pusat Data dan Informasi Kementerian Kesehatan RI.Situasi Imunisasi di Indonesia. Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, Jakarta, 2016.
