• Tidak ada hasil yang ditemukan

Transformasi Fourier Quaternion yang Didasarkan pada Bidang Ortogonal Split dengan Satu atau Dua Quaternion Murni

N/A
N/A
Info
Unduh - Bebas
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Transformasi Fourier Quaternion yang Didasarkan pada Bidang Ortogonal Split dengan Satu atau Dua Quaternion Murni"

Copied!
9
0
0

Memuat.... (Lihat teks lengkap sekarang)

Unduh sekarang ( 9 Halaman )

Teks penuh

(1)

Transformasi Fourier Quaternion yang Didasarkan pada Bidang Ortogonal Split dengan Satu atau Dua Quaternion Murni

Sukardi, Mawardi Bahri, dan Naimah Aris

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin (UNHAS)

Jl. Perintis Kemerdekaan KM 10 Makassar 90245, Indonesia [email protected]

The Quaternion Fourier Transforms Based on Orthogonal Planes Split with One or Two Pure Quaternion

Sukardi, Mawardi Bahri, and Naimah Aris

Department of Mathematics

Faculty of Mathematics and Natural Sciences Hasanuddin University (UNHAS)

Jl. Perintis Kemerdekaan KM. 10 Makassar 90245, Indonesia [email protected]

Abstrak

Transformasi Fourier quaternion merupakan metode yang digunakan untuk mengetahui sinyal yang berupa quaternion. Dalam penelitian ini akan dikembangkan transformasinya menjadi sebuah transformasi yang berdasarkan quaternion split sehingga transformasinya dinamakan transformasi Fourier quaternion yang didasarkan pada bidang ortogonal split dengan satu atau dua quaternion murni. Dalam transformasi itu akan diselidiki sifat-sifatnya seperti penjumlahan, linear, pergeseran waktu, invers dan pergeseran frekuensi. Hasil dari penelitian ini memperlihatkan bahwa sifat-sifat tersebut masih bawaan dari sifat transformasi Fourier.

Kata kunci: Transformasi Fourier quaternion, bidang ortogonal split, quaternion murni.

(2)

2 Abstract

The quaternion Fourier transformation is a method used to transform the quaternion signal. In this research it will be developed transformation on quaternion split so that the transform is called Fourier transformation quaternion based on orthogonal planes split with one or two pure quaternion. It also will be investigated some of its properties such as addition, linear, inverse, time shift, and frequency shift. The result in this study show that they correspond to Fourier transform properties.

Keywords: quaternion Fourier transform, orthogonal planes split, pure quaternion.

1. Pendahuluan

Quaternion pertama kali diperkenalkan oleh Sir William Rowan Hamilton (1809 βˆ’ 1865 𝑀) pada tahun 1843 M. Hamilton menemukan perkalian tertutup untuk bilangan kompleks empat- dimensi dari bentuk 𝑖π‘₯ + 𝑗𝑦 + π‘˜π‘§, dimana 𝑖2 = 𝑗2 = π‘˜2 = π‘–π‘—π‘˜ = βˆ’1. Hamilton dijuluki dengan bilangan kompleks quaternion empat dimensi. Secara umum quaternion ditulis [𝑠, 𝑣], 𝑠 ∈ ℝ , 𝑣 ∈ ℝ3. Dimana 𝑠 ini dikatakan bagian skalar dan 𝑣 = (π‘₯, 𝑦, 𝑧) adalah bagian vektor. [1]

Transformasi matematis digunakan terhadap suatu sinyal untuk mengetahui informasi yang terkandung dalam sinyal tersebut yang tidak dapat terbaca pada sinyal aslinya. Transformasi ini telah umum digunakan untuk merubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi.

Transformasi Fourier (TF) dikenal sebagai alat yang handal untuk menganalisis sinyal termasuk untuk pengolahan gambar. [2]

Transformasi Fourier riil atau kompleks diperluas menjadi transformasi Fourier quaternion dengan menggunakan aljabar quaternion, transformasi itu akan dikaji sifat sifatnya yang didasarkan pada bidang orthogonal split dengan menggunakan parameter dua unit quaternion murni 𝑓 dan 𝑔. metode yang digunakan dalam pengkajian tersebut adalah metode literatur baik dari jurnal, buku atau penelitian yang dilakukan para ahli.

(3)

3 2. Aljabar Dasar Quaternion

Quaternion merupakan perluasan dari bilangan kompleks yang tidak komutatif yang diperkenalkan oleh Sri William Roman Hamilton pada tahun 1843 M. Secara umum quaternion memiliki bentuk himpunan yang dapat ditulis sebagai berikut:

ℍ = {𝑠 + 𝑖π‘₯ + 𝑗𝑦 + π‘˜π‘§|𝑠, π‘₯, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}

Setiap quaternion dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:

π‘ž = 𝑠 + 𝑖π‘₯ + 𝑗𝑦 + π‘˜π‘§ ∈ ℍ, 𝑠, π‘₯, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ, dan quaternion mempunyai bentuk konjugat, yaitu:

π‘žΜƒ = 𝑠 βˆ’ 𝑖π‘₯ βˆ’ 𝑗𝑦 βˆ’ π‘˜π‘§, π‘π‘žΜƒ = π‘žΜƒπ‘Μƒ,

Pada bagian skalar konjugat quaternion tidak mengalami perubahan sedangkan untuk bagian vektor mengalami perubahan. Akar kuadrat dari perkalian quaternion dengan konjugatnya menghasilkan sebuah norm yang didefinisikan sebagai

β€–π‘žβ€– = βˆšπ‘žπ‘žΜƒ = βˆšπ‘žΜƒπ‘ž = βˆšπ‘ 2+ π‘₯2 + 𝑦2+ 𝑧2, β€–π‘π‘žβ€– = β€–π‘β€–β€–π‘žβ€–.

Norm quaternion yang memiliki jarak satu disebut unit quaternion yang dapat ditulis sebagai

β€–π‘žβ€– = 1.

Himpunan quaternion dinotasikan dengan ℍ1. Bagian 𝑣 = 𝑠 βˆ’ π‘ž =1

2(π‘ž βˆ’ π‘žΜƒ) = 𝑖π‘₯ + 𝑗𝑦 + π‘˜π‘§ disebut quaternion murni, dan ketika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif βˆ’(π‘₯2+ 𝑦2+ 𝑧2). Setiap unit quaternion dapat ditulis sebagai berikut:

π‘ž = β€–π‘žβ€–(cos πœƒ + 𝑒 sin πœƒ) = π‘’π‘’πœƒ, Dengan 𝑠 = β€–π‘žβ€– cos πœƒ , ‖𝑣‖ = β€–π‘žβ€– sin πœƒ, dan 𝑒 = 𝑣

‖𝑣‖= βˆšβˆ’1.

Invers dapat juga dikatakan sebagai konjugat dari quaternion yaitu:

π‘žβˆ’1 = π‘žΜƒ

β€–π‘žβ€–2 = π‘žΜƒ, π‘ž β‰  0.

Bagian skalar dari quaternion didefinisikan sebagai

(4)

4 𝑆𝑐(π‘ž) = 𝑠 =1

2(π‘ž + π‘žΜƒ)

Sedangkan skalar untuk perkalian dua buah quaternion didefinisikan sebagai 𝑆𝑐(π‘π‘ž) = 𝑆𝑐(π‘žπ‘) = π‘ π‘ β€²βˆ’ π‘₯π‘₯β€²βˆ’ π‘¦π‘¦β€²βˆ’ 𝑧𝑧′,

Dengan sifat linear yang dapat ditulis sebagai

𝑆𝑐(π›Όπ‘ž + 𝛽𝑝) = 𝛼𝑆𝑐(π‘ž) + 𝛽𝑆𝑐(𝑝) = 𝛼𝑠 + 𝛽𝑠′.

3. Bidang Ortogonal Split

Bidang ortogonal split dengan dua unit quaternion murni bebas linear dengan parameter 𝑓 dan 𝑔 dimana 𝑓2 = 𝑔2 = βˆ’1, 𝑓 β‰  ±𝑔, didefinisikan sebagai

π‘žΒ± =1

2(π‘ž Β± π‘“π‘žπ‘”),

dan untuk satu unit quaternion murni (𝑓 = 𝑔) didefinisikan sebagai π‘žΒ±=1

2(π‘ž Β± π‘“π‘žπ‘“).

Bidang ortogonal π‘ž+ dibangun oleh basis ortogonal quaternion {𝑓 βˆ’ 𝑔, 1 + 𝑓𝑔} dan bidang orthogonal π‘žβˆ’ dibangun oleh basis ortgonal quaternion {𝑓 + 𝑔, 1 βˆ’ 𝑓𝑔}. Basis dari bidang ortogonal π‘ž+ dan π‘žβˆ’ dapat dinterpretasikan dalam bentuk ℝ4, yang dapat ditulis dalam bentuk himpunan sebagai berikut:

{𝑓 βˆ’ 𝑔, 1 + 𝑓𝑔, 𝑓 + 𝑔, 1 βˆ’ 𝑓𝑔},

Oleh karena itu, dapat dipresentasikan dalam bentuk kombinasi linear untuk setiap quaternion π‘ž ∈ ℍ, dengan 4 koefisien bilangan riil π‘ž1, π‘ž2, π‘ž3, π‘ž4 ∈ ℝ, yaitu:

π‘ž = π‘ž1(1 + 𝑓𝑔) + π‘ž2(𝑓 βˆ’ 𝑔) + π‘ž3(1 βˆ’ 𝑓𝑔) + π‘ž4(𝑓 + 𝑔), Dimana

π‘ž+ = π‘ž1(1 + 𝑓𝑔) + π‘ž2(𝑓 βˆ’ 𝑔) π‘žβˆ’ = π‘ž3(1 βˆ’ 𝑓𝑔) + π‘ž4(𝑓 + 𝑔),

Untuk bidang ortogonal π‘ž+ dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:

(π‘ž1+ π‘ž2𝑓)(1 + 𝑓𝑔) = (1 + 𝑓𝑔)(π‘ž1βˆ’ π‘ž2𝑔), (3.1)

(5)

5

dan untuk bidang ortogonal π‘žβˆ’ dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:

(π‘ž3+ π‘ž4𝑓)(1 βˆ’ 𝑓𝑔) = (1 βˆ’ 𝑓𝑔)(π‘ž3+ π‘ž4𝑔). (3.2) Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) diperoleh bentuk identitas dengan dua sudut πœƒ dan πœ— yaitu:

π‘’πœƒπ‘“π‘žΒ±π‘’πœ—π‘”= 𝑒(πœƒβˆ“πœ—)π‘“π‘žΒ±= π‘žΒ±π‘’(πœ—βˆ“πœƒ)𝑔. (3.3) 4. Transformasi Fourier Quaternion

Transformasi Fourier quaternion merupakan perluasan dari transformasi Fourier riil atau kompleks dengan menggunakan aljabar quaternion. Transformasi Fourier quaternion dapat singkat sebagai QFTs (Quaternion Fourier Transforms), dan secara umum QFTs mempunyai bentuk kompleks sebagai berikut:

𝐹𝑓,𝑔{β„Ž}(π’˜) = ∫ 𝑒ℝ2 βˆ’π‘“π‘₯1𝑀1β„Ž(𝒙)π‘’βˆ’π‘”π‘₯2𝑀2𝑑2𝒙, (4.1) dengan fungsi modul quaternion β„Ž ∈ 𝐿1(ℝ2; ℍ), dimana 𝑑2𝒙 = 𝑑π‘₯1𝑑π‘₯2 dan 𝒙, π’˜ ∈ ℝ2. Dan mempunyai bentuk invers yang dapat ditulis sebagai:

β„Ž(𝒙) = 1

(2πœ‹)2 ∫ 𝑒𝑓π‘₯1𝑀1𝐹𝑓,𝑔{β„Ž}(π’˜)𝑒𝑔π‘₯2𝑀2𝑑2π’˜.

5. OPS-QFTs

Pada Persamaan (4) telah didefinisikan QFTs, dimana 𝐹𝑓,𝑔{β„Ž}(π’˜) adalah operator dari QFTs.

Dengan memisalkan β„Ž = β„Žβˆ’+ β„Ž+, β„ŽΒ± =1

2( β„Ž Β± π‘“β„Žπ‘”) , maka berlaku 𝐹𝑓,𝑔{β„Ž}(π’˜) = 𝐹𝑓,𝑔{β„Žβˆ’+ β„Ž+}(π’˜)

= 𝐹𝑓,𝑔{β„Žβˆ’}(π’˜) + 𝐹𝑓,𝑔{β„Ž+}(π’˜)

Sehingga QFTs dapat ditulis dengan bentuk QFTs yang didasarkan pada quaternion split, sedemikian sehingga transformasi itu dapat katakan sebagai transformasi Fourier quaternion yang didasarkan pada bidang orotogonal split dengan dua unit quaternion murni dapat disingkat sebagai OPS-QFTs dari β„ŽΒ± dengan operator 𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž}(π’˜).

Misalkan πœƒ = π‘₯1𝑀1 dan πœ— = π‘₯2𝑀2, dengan mentransformasikan 𝑓 β†’ βˆ’π‘“ dan 𝑔 β†’ βˆ’π‘”, berdasarkan pada Persamaan (3.1) dan Persamaan (3.2) maka basis bidang ortogonalnya

(6)

6

menjadi β„Ž+ = (β„Ž1βˆ’ β„Ž2𝑓)(1 + 𝑓𝑔) = (1 + 𝑓𝑔)(β„Ž1+ β„Ž2) dan β„Žβˆ’ = (β„Ž3βˆ’ β„Ž4𝑓)(1 βˆ’ 𝑓𝑔) = (1 βˆ’ 𝑓𝑔)(β„Ž3 + β„Ž4𝑔), maka OPS-QFTs memiliki bentuk sisi kiri dan sisi kanan yang termuat dalam teorema berikut:

Teorema 5.1 (OPS-QFTs dari 𝒉±)

OPS-QFTs dari split β„ŽΒ± dengan dua unit quaternion murni bebas linear 𝑓 dan 𝑔 dari fungsi modul quaternion β„Ž ∈ 𝐿2(ℝ2; ℍ), mempunyai bentuk kompleks sebagai berikut:

𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž}(π’˜) = ∫ β„ŽΒ±(𝒙)π‘’βˆ’π‘”(π‘₯2𝑀2βˆ“π‘₯1𝑀1)

ℝ2

𝑑2𝒙 = ∫ π‘’βˆ’π‘“(π‘₯1𝑀1βˆ“π‘₯2𝑀2)β„ŽΒ±(𝒙)𝑑2𝒙

β„πŸ

,

dengan 𝒙 = π‘₯1𝑒1+ π‘₯2𝑒2 ∈ ℝ2, π’˜ = 𝑀1𝑒1+ 𝑀2𝑒2 ∈ ℝ2 dan 𝑑2𝒙 = 𝑑π‘₯1𝑑π‘₯2. 6. Sifat-Sifat Dari OPS-QFTs

OPS-QFTs dari β„ŽΒ±π‘“,𝑔 memiliki sifat-sifat sebagaimana sifat-sifat yang dimiliki trasnformasi Fourier, diantara sifat-sifat OPS-QFTs dengan dua quaternion murni termuat dalam teorema- teorema berikut:

Teorema 6.1 (Sifat Penjumlahan)

Jika QFTs β„ŽΒ±π‘“,𝑔 dari OPS split β„ŽΒ± dan π‘˜Β± dengan fungsi modul quaternion β„Ž, π‘˜ ∈ 𝐿2(ℝ2, ℍ) maka berlaku

𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž(𝒙) + π‘˜(𝒙)}(π’˜) = 𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž(𝒙)}(π’˜) + 𝐹±𝑓,𝑔{π‘˜(𝒙)}(π’˜) dimana 𝒙 = π‘₯1𝑒1+ π‘₯2𝑒2 ∈ ℝ2, π’˜ = 𝑀1𝑒1+ 𝑀2𝑒2 ∈ ℝ2.

Teorema 6.2 (Sifat Linear)

Jika QFTs β„ŽΒ±π‘“,𝑔 dari OPS split β„ŽΒ± dan π‘˜Β± dengan fungsi modul quaternion β„Ž, π‘˜ ∈ 𝐿2(ℝ2, ℍ) maka berlaku

𝐹±𝑓,𝑔{π›Όβ„Ž(𝒙) + π›½π‘˜(𝒙)}(π’˜) = 𝛼𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž(𝒙)}(π’˜) + 𝛽𝐹±𝑓,𝑔{π‘˜(𝒙)}(π’˜) dimana 𝒙 = π‘₯1𝑒1+ π‘₯2𝑒2 ∈ ℝ2, π’˜ = 𝑀1𝑒1+ 𝑀2𝑒2 ∈ ℝ2 dan 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.

(7)

7 Teorema 6.3 (Pergeseran Waktu)

Misalkan QFTs β„ŽΒ±π‘“,𝑔 dari OPS split β„ŽΒ±(𝒙) dengan fungsi modul quaternion β„Ž ∈ 𝐿2(ℝ2, ℍ) yang digeser oleh π’™πŸŽ= π‘₯01𝑒1+ π‘₯02𝑒2 ∈ ℝ2, yaitu

β„Ž0,Β±(𝒙) = β„ŽΒ±(𝒙 βˆ’ π’™πŸŽ), maka diperoleh:

Pergeseran waktu sisi kiri

𝐹0,±𝑓,𝑔{β„Ž(𝒙)}(π’˜) = π‘’βˆ’π‘“(π‘₯01𝑀1βˆ“π‘₯02𝑀2)𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž(𝒙 βˆ’ π’™πŸŽ)}(π’˜).

Dan Pergeseran waktu sisi kanan

𝐹0,±𝑓,𝑔{β„Ž(𝒙)}(π’˜) = 𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž(𝒙 βˆ’ π‘₯0)}(π’˜)π‘’βˆ’π‘”(π‘₯02𝑀2βˆ“π‘₯01𝑀1), dengan 𝒙 = π‘₯1𝑒1+ π‘₯2𝑒2 ∈ ℝ2, π’˜ = 𝑀1𝑒1+ 𝑀2𝑒2 ∈ ℝ2.

Definisi 6.1 (Invers)

Misalkan 𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž}(π’˜) adalah operator dari OPS-QFTs dari β„ŽΒ±π‘“,𝑔 dengan fungsi modul quaternion β„Ž ∈ 𝐿2(ℝ2, ℍ) maka OPS-QFTs dari β„ŽΒ±π‘“,𝑔 mempunyai invers yang didefinsikan sebagai:

β„ŽΒ±π‘“,𝑔(𝒙) = 1

(2πœ‹)2 ∫ 𝑒𝑓(π‘₯1𝑀1βˆ“π‘₯2𝑀2)𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž}(π’˜)

ℝ2

𝑑2π’˜

= 1

(2πœ‹)2 ∫ 𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž}(π’˜)

ℝ2

𝑒𝑔(π‘₯2𝑀2βˆ“π‘₯1𝑀1)𝑑2π’˜.

dengan 𝒙 = π‘₯1𝑒1+ π‘₯2𝑒2 ∈ ℝ2, π’˜ = 𝑀1𝑒1+ 𝑀2𝑒2 ∈ ℝ2 dan 𝑑2π’˜ = 𝑑𝑀1𝑑𝑀2. Teorema 6.4 (Invers)

Jika 𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž(π‘₯)}(𝑀) adalah operator dari OPS-QFTs β„ŽΒ±π‘“,𝑔 dengan fungsi modul quaternion β„Ž ∈ 𝐿2(ℝ2, ℍ) maka berlaku

{𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž(π‘₯)}(𝑀)}βˆ’1= β„ŽΒ±π‘“,𝑔(𝒙), dengan 𝒙 = π‘₯1𝑒1+ π‘₯2𝑒2 ∈ ℝ2, π’˜ = 𝑀1𝑒1+ 𝑀2𝑒2 ∈ ℝ2.

(8)

8 Teorema 6.5 (Pergeseran Frekuensi)

Misalkan bidang ortogonal split β„ŽΒ±(𝒙) dengan fungsi modul quaternion β„Ž ∈ 𝐿2(ℝ2, ℍ) yang digeser oleh π’˜πŸŽ = 𝑀01𝑒1+ 𝑀02𝑒2 ∈ ℝ2, yaitu

𝐹0,±𝑓,𝑔{β„Ž(𝒙)}(π’˜) = 𝐹±𝑓,𝑔{β„Ž(𝒙)}(π’˜ βˆ’ π’˜πŸŽ) Maka diperoleh pergeseran frekuensi sisi kanan

β„ŽΒ±(𝒙) = β„ŽΒ±(π’˜ βˆ’ π’˜πŸŽ)𝑒𝑓(π‘₯1𝑀01βˆ“π‘₯2𝑀02). Dan pergeseran frekuensi sisi kiri

β„ŽΒ±(𝒙) = 𝑒𝑔(π‘₯2𝑀02βˆ“π‘₯1𝑀01)β„ŽΒ±(π’˜ βˆ’ π’˜πŸŽ).

Dengan 𝒙 = π‘₯1𝑒1+ π‘₯2𝑒2 ∈ ℝ2, π’˜ = 𝑀1𝑒1+ 𝑀2𝑒2 ∈ ℝ2. 7. Kesimpulan

OPS-QFTs dengan dua quaternion murni memiliki sifat-sifat seperti sifat penjumlahan, linear, pergeseran waktu, invers dan pergeseran frekuensi. Sifat tersebut masih bawaan dari sifat transformasi Fourier. Penelitian lebih lanjut dapat dikaji sifat-sifat terutama sifat konvolusi, dan dapat juga dikembangkan dengan menggunakan komputasi dalam pengolahan citra yang berupa quaternion.

Catatan: artikel ini disusun berdasarkan skripsi penulis dengan pembimbing utama Dr. Eng.

Mawardi Bahri, M.Si dan Pembimbing Pertama Naimah Aris, S.Si., M.Math.

Referensi

[1] E. B. Dam, K. Martin and L. Martin, "Quaternions, Interpolation and Animation,"

Universitetsparken 1, Denmark, 1998.

[2] Rusdin, M. Bahri and L. Haryanto, "Fourier Transforms and Their Properties," Master Thesis, 2011.

[3] J. Suter, "Geometric Algebra Primer," 2003.

(9)

9

[4] E. Hitzer and S. J. Sangwine, "The Orthogonal Planes Split Of Quaternions," in International Conference on Clifford Algebras and their Aplication in Mathematical Physics, Germany, 2011.

[5] K. Rubrecht, "Convolutions of hypercomplex Fourier transforms with applications in image processing," Universiteit Gent, 2013.

[6] J. P. Morais and S. Georgiev, Real Quaternionic Calculus Handbook, Jerman: Birkhauser, 2014.

[7] J. Y. Bin, "Quaternion and Rotations," 4 Februari 2015. [Online]. Available:

www.cs.iastate.edu. [Accessed 12 3 2015].

[8] E. Hitzer, "The orthogonal planes split of quaternions and its relation to quaternion geometry of rotations," Conference Series, vol. 597, pp. 1-10, 2015.

[9] E. Hitzer, "OPS-QFTs: A new type of quaternion Fourier transforms based on the orthogonal planes split with one or two general pure quaternions," vol. 1389, pp. 280-283, 2013.

[10] M. Bahri, E. Hitzer, A. Hayashi and R. Ashino, "An Uncertainty Principle for Quaternion Fourier Transform," Computer and Mathematics with Applications, vol. 56, no. 9, pp.

2398-2410, November 2008.

[11] E. Hitzer, "Quaternion Fourier Transform on Quaternion Fields and Generalizations,"

Advances in Applied Clifford Algebras, vol. 17, no. 3, pp. 497-517, 2007.

Referensi

Unduh sekarang ( PDF - 9 Halaman - 202.38 KB )

Dokumen terkait