OPTIMASI (Pemrograman Non Linear)

OPTIMASI

( Pemrograman Non Linear)

3 SKS – PILIHAN

▸ Baca selengkapnya: trend linear dan non linear

Silabus

I. Pendahuluan

1. Perkuliahan: Silabus, Referensi, Penilaian 2. Pengantar Optimasi

3. Riview Differential Calculus

II. Dasar-Dasar Pemrograman Non Linier III. Model-Model Pemrograman Non Linier

Silabus

IV. Pemrograman Non Linier Tanpa Kendala

V. Pemrograman Non Linier Berkendala

VI. Optimasi Kuadrat Terkecil

Referensi

1. A.L. Peressini, F.E. Sullivan, and J.J. Uhl, Jr, The Mathematics of Non Linear Programming, Springer- Verlag (1998)

2. Griva, I., Nash, S. G., Sofer, A., Linear and Non Linear Optimization, SIAM, Philadelphia, 2009

3. Winston, W.L., Operation Research : Applications and Algorithms, Brooks/Cole, USA, 2004.

Evaluasi Dan Penilaian

Penilaian:

UAS : 50%

TUGAS KELOMPOK : 40%

KEHADIRAN : 20%

Pengantar Optimisasi

Optimisasi – Definisi Umum

 Optimisasi mencakup penentuan cara terbaik untuk melakukan sesuatu.

 Optimisasi merupakan proses untuk menentukan himpunan kondisi yang diperlukan untuk mencapai hasil terbaik dengan situasi yang diberikan.

Penerapan Metode Optimisasi

• Sains, Engineering, Matematika, Ekonomi, Komersial.

• Contoh persoalan optimisasi : - Perancangan reaktor kimia.

- Perancangan enjin pesawat dan struktur pesawat.

- Perancangan struktur bangunan, jembatan.

- Alokasi sumber, penjadwalan, komposisi produksi, persediaan.

- Analisis numerik.

Elemen Model Optimisasi

• Fungsi tujuan (objective function)

- Merupakan pernyataan tujuan secara matematik yang akan dioptimisasi, dapat berupa :

* Kuantitas yang dihasilkan.

* Keuntungan dari suatu sistem operasi.

• Fungsi pembatas (constraint function) - Variabel yang memiliki daerah kerja.

- Hubungan berbagai hal yang dibatasi.

• Variabel keputusan (decision variables)

- Merupakan besaran yang dapat berubah pada sistem operasinya,

- Varibel dapat memiliki daerah kerja (batasan).

Klasifikasi Model Optimisasi

Karakteristik Properti Klasifikasi

Banyak variable keputusan Satu Univariat Lebih dari satu Multivariat Tipe variable keputusan Kontinu Kontinu

Beberapa integer Integer atau diskret

Tipe fungsi Linier Linier

Beberapa nonlinier Nonlinier

Banyak fungsi objektif Satu Single

Lebih dari satu Multiple Formulasi masalah Dengan kendala Berkendala

Tidak dengan kendala Tak berkendala Kondisi data input Diketahui Deterministik

Riview Differential Calculus

Dasar-Dasar Pemrograman NonLinier

Non-Linear Programming (NLP)

• Berkendala / Constrained NLP

• Tak berkendala / Unconstrained NLP

Dalam banyak kasus real baik ekonomi maupun

teknologi, fungsi tujuan / kendala adalah nonlinier, yang dapat berbentuk variabel berpangkat, logaritma, eksponensial dan bentuk lain yang bukan linier.

Contoh

Misalkan h(x) adalah harga pada tingkat penjualan x.

K adalah profit/ keuntungan, dihitung dari pendapatan dikali penjualan dikurangi dengan ongkos produksi dan distribusi, ditulis K(x) = x . h(x) – c(x) ; K nonlinier.

Permasalahan: memaksimumkan profit dengan batasan sumber-sumber yang diperlukan untuk menghasilkan suatu produk, dimana terdapat elastisitas harga, jumlah yang dapat dijual berbanding terbalik dengan harga

yang diberikan (lihat gambar).

Jika industri tersebut menghasilkan n jenis produk dan apabila x_j unit produk dijual (j = 1,2, …, n), maka fungsi tujuan akan menjadi :

  



 ⁿ

j

j j x K x

F

1

) (

dimana K_j adalah keuntungan (profit) produk ke-j dalam tingkat x_j. Penjumlahan ini adalah suatu jumlah fungsi-fungsi nonlinier. Bentuk nonlinier juga muncul pada kendala-kendala.

Ilustrasi Grafik

Contoh 1 :

Jika KL unit produk dapat dihasilkan dengan K sumber pertama (modal) dan L orang pekerja dengan harga

sumber pertama Rp 4/unit dan pekerja di bayar

Rp 1/orang. Modal yang tersedia Rp 8, maka formulasi problem dengan memaksimumkan jumlah produk yang di buat adalah : Maks : Z = K . L

Kendala : 4K + L ≤ 8 K, L ≥ 0

L

Z = 4 Z = 2 Z = 1 Optimal : K = 1, L = 4, Z = 4

8

1 2 K 4

Contoh 2 :

Min : Z = (x – 3)² + (y – 4)² Kendala : x ≤ 3

y ≤ 2

y

4

3

2

Z=4 Z=1

Optimal, x=3, y=2; Z=4

Bentuk Umum NLP

Maks/Min : Z = f (x₁, x₂, …, x_n)

Kendala : g_j (x₁, x₂, …, x_n) ≤ (atau ≥ atau = ) b_j

; j = 1, 2, …, m

Dimana f, g_j diantaranya adalah fungi nonlinier.

Jika NLP diatas dimana g_j ≠ ø ; j = 1, 2, …, m , maka nilai NLP tersebut dinamakan NLP berkendala (constrained), dan jika g_j = ø

; j = 1, 2, …, m , maka disebut NLP tak berkendala (unconstrained).

Daerah layak (feasible region) dari NLP sama saja dengan LP biasa.

Suatu titik di dalam suatu daerah layak, dimana

pada daerah layak adalah optimal untuk kasus maksimasi (dan “ ≤ ” untuk kasus minimasi).

 x x f

x

f  



 



^

,

Pemrograman Non Linier Berkendala

NLP n Variabel dengan Kendala = (Pengali Lagrange)

Problem : Max/Min : f (x₁, x₂, …, x_n) ...(3) Kendala : g_i(x₁, x₂, …, x_n) = bi ; i = 1,2,…,m Jika terdapat sedemikian sehingga

L (x₁, x₂, …, x_n, ) = f (x₁, x₂, …, x_n) +

maka :

m



₁, ₂,...,

m



₁, ₂,...,   , ,...,  0

1

2

1 





 n

i

n i

i b g x x x



0 ...

... 



 

 

 



 



 

 

 



 L L L

x L x

L x

L







Teorema :

1. Problem (3) max, f concav, semua kendala linear, (x₁, x₂, …, x_n) solusi optimal

2. Problem (3) min, f covex, semua kendala linear, (x₁, x₂, …, x_n) solusi optimal

Variabel sebagai harga bayangan dari

konstrain ke-i. Bila sisi kanan dari konstrain ke-i

dinaikkan dengan sejumlah kecil (pada masalah max atau masalah min), maka nilai fungsi objektif

optimal untuk (3) akan naik dengan pendekatan

i







Contoh :

Sebuah perusahaan berencana untuk mengeluarkan

biaya $10.000 untuk iklan, yaitu $3.000 / menit untuk iklan di televisi dan $1.000 / menit untuk iklan di

radio, pendapatannya dalam $1.000 diberikan oleh Bagaimana perusahaan dapat memaksimalkan

pendapatannya?

  ^{x y x y xy x y}

f ,   2

²



²

  8  3

Max :

Kendala : 3x + y = 10

Kita set :

Menghasilkan :

y x

xy y

x

Z  2 ²  ²  8 3



^{x y z}



^{x y xy x y}



^{x y}



L , ,  2 ²  ²  8  3   103 

 0



 



 





 L y

L x

L

0 3

8

4    



 

 x y 

x L

0 3

2    



 

 y x 

y L

0 3

10   

 

L x y



Subsitusi persamaan-persamaan di atas, sehingga didapatkan : x = 69/28, y = 73/28

Hessian untuk f(x,y) adalah :

Karena semua principal minor pertama (yaitu: -4 dan -2) adalah negatif dan principal minor kedua (yaitu: 7) > 0, maka f(x,y)

adalah concav. Konstrain adalah linear, sehingga dari teorema memperlihatkan bahwa pengali Lagrange menghasilkan solusi optimal terhadap NLP.

Jadi perusahaan harus membeli 69/28 menit waktu televisi dan 73/28 menit waktu radio. λ = ¼ artinya bahwa perusahaan

Mengeluarkan ekstra (ribuan) untuk yang kecil, yang akan menaikkan pendapatan perusahaan sebesar $ 0,25



 







 

2 1

1 ) 4

, (x y H

 



Tugas :

Tentukan titik ekstrim dan jenisnya:

1. Min : f(x,y) = 2x

²

+ y

²

Kendala : x + y = 10

2. Min :

Kendala : x

₁

+ x

₂

+ x

₃

= 5

 ^x

₁

^{, x}

₂

^{, x}

₃

 ^x

₁³

^{4 x}

₂²

^{16 x}

₃

f   

Pemrograman NonLinier Tanpa Kendala

NLP Satu Variabel

Bentuk Umum : Max/Min : Z = f(x) (1) Kendala : x є [a, b]

Jika b  +∞, daerah yang layak untuk NLP pada persamaan (1) adalah x ≥ a.

Jika a  -∞, daerah yang layak untuk NLP pada persamaan (1) adalah x ≤ b.

a

b

a. Max f(x)

Kendala x є (-∞, b]

b. Min f(x)

Kendala x є [a, +∞)

Terdapat tiga tipe titik-titik dimana bentuk umum NLP pada persamaan (1) dapat memiliki nilai maksimum / minimum lokal (titik ini disebut kandidat ekstrim), yaitu :

Kasus 1 : titik dimana a < x < b, dan f’(x) = 0 (disebut titik stationer dari f(x))

Kasus 2 : titik dimana f’(x) tidak ada

Kasus 3 : ujung selang dari interval [a, b]

Titik-titik ekstrim (max/min) sebagaimana dalam kalkulus : 1. f’(x) = 0

2. Titik-titik ujung x = a dan x = b 3. f’(x) tidak ada

Contoh :

1. Problem NLP : Max : f(x) = 5x – x² Kendala : x є [0, 10]

Uji : 1. f’(x) = 5 – 2x = 0 , x = 2,5 є [0, 10]

f(x=2,5) = 6,25

2. f’(x) = 5 – 2x, f’(x) ada x є [0, 10]

Maka kasus f’(x) tidak ada, tidak ada 3. x = 0  f(0) = 0

x = 10  f(10) = -50

Jadi karena problem max, maka solusi x = 2,5 dengan nilai max = 6,25

2. Problem NLP : Max : f(x) = x² + 2x Kendala : -3 ≤ x ≤ 5 Uji : 1. f’(x) = 2x + 2= 0 , x = 1 є [-3, 5]

f(x= -1) = -1

2. f’(x) tidak ada, tidak ada 3. x = -3  f(-3) = 3

x = 5  f(5) = 35

Jadi karena problem max, maka solusi x = 5 dengan nilai max = 35

3. Problem NLP : Max : Z = x - e^x Kendala : -1 ≤ x ≤ 3

Uji : 1. f’(x) = 1 – e^x = 0 , e^x = 1 x = 0 є [-3, 5]

f(x= 0) = -1 є [-1, 3]

2. f’(x) tidak ada, tidak ada

3. x = -1  f(-1) = -1 – 1/e ≈ -1,333 x = 3  f(3) = 1 – e³ ≈ - 17

NLP n Variabel

Bentuk Umum : Max/Min : Z = f (x₁, x₂, …, x_n) Kendala : (x₁, x₂, …, x_n) …(2) Asumsi : turunan parsial pertama dan kedua

ada dan kontinu pada semua titik.

b



Teorema :

Jika adalah ekstrim local untuk problem (2), maka Kondisi keekstriman titik diuji dengan melibatkan

matrik Hessian untuk menentukan apakah ekstrim max local (cekung / concav) atau min local (cembung / convex).

Teorema :

1. Jika H ( ) ≥ 0  cembung

 min local

2. Jika H( ), bertanda (-1)^k  cekung

 max local

3. Jika H( ) tidak memenui (1) dan (2), maka ekstrim tidak max / min.

x

 

x i x f

i



 

 0

x

x

x

x x

x

x x

Dasar-Dasar Pemrograman NonLinier

Convex Set (Himpunan Convex/Daerah Cembung

)

Definisi :

Suatu himpunan convex adalah suatu koleksi titik-titik

sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik-titik dalam koleksi itu, keseluruhan segmen garis yang menghubungkan setiap dua titik ini juga di dalam koleksi.

Cara menguji suatu kurva dikatakan convex set, yaitu :

• Ambil 2 titik (di dalam/di batas) kurva

• Semua titik pada garis yang menghubungkan 2 titik

A

a b

e d

c

B C D

Contoh :

A : convex set B : convex set C : convex set

D : bukan convex set

NLP  daerah solusinya harus convex set ( supaya hasilnya optimal)

Fungsi Convex (Cembung) dan Fungsi Concave (Cekung)

Dalam kalkulus dikenal fungsi dimana nilai kritisnya diuji dengan turunan kedua, jika x_o adalah titik kritis pada D_f dan f”(x_o) ≤ 0, maka x_o adalah titik kritis maksimum pada D_f dan bila f”(x_o) ≥ 0, maka x_o adalah titik kritis

minimum pada D_f, dan apabila :

f” (x) = maka f dikatakan fungsi cekung (concave)

pada Df

f” (x) = maka f dikatakan fungsi cembung (convex)

Df

dx x f

d ₂  0 ,  

2

Df

dx x f

d ₂  0 ,  

2

Akibatnya, fungsi linier (f”(x) = 0 )

dikatakan cembung sekaligus cekung. Fungsi cembung biasa dinamakan juga cekung ke atas dan fungsi cekung sebagai cekung ke bawah.

x

Andaikan sebarang fungsi satu variabel f(x) yang memiliki

turunan kedua pada setiap nilai x pada daerah definisinya, maka f(x) pada D_f adalah :

1. Cembung (convex) 2. Cembung sejati

3. Cekung (concave) 4. Cekung sejati

Df

dx x f

d   

 ₂ 0

2

Df

dx x f

d   

 ₂ 0

2

Df

dx x f

d   

 ₂ 0

2

Df

dx x f

d   

 ₂ 0

2

Contoh:

Fungsi cekung Fungsi cembung Fungsi cekung

sejati sejati

Fungsi cekung Fungsi bukan cekung sekaligus cembung dan bukan cembung

      ²

2 1

2 1 2

2 2

2 1 2

2 1

2 1

2 , ,

, .



 









 









x x

x x f x

x x f x

x x f

 

2 1

2 1

2 ,

x x x f





 

2 2

2 1

2 ,

x x x f





Uji kecembungan fungsi dua variabel

Kuantitas Cembung Cembung

Sejati Cekung Cekun g Sejati

≥ 0

≥ 0

≥ 0

> 0

> 0

> 0

≥ 0

≤ 0

≤ 0

> 0

< 0

< 0 Nilai-nilai (x₁,x₂) Semua nilai f yang mungkin

Untuk ilustrasi uji kecembungan fungsi dua variabel, misalkan :

Dengan demikian : (1)

(2)

(3)

maka ketiga kondisi memenuhi tanda ≥, jadi f(x₁,x₂) adalah cembung, dan bukan cembung sejati.

2 2 2

1 2

1 2

2 1

2

1, ) ( ) 2

(x x x x x x x x

f     

     

0 )

2 ( ) 2 ( , 2

. ,

, ² ₂

2 1

2 1 2

2 2

2 1 2

2 1

2 1

2     



 









 









x x

x x f x

x x f x

x x f

 

0 , 2

2 1

2 1

2  





x

x x f

 

0 , 2

2 2

2 1

2  





x

x x f

Untuk memperumum ini, dan untuk fungsi yang memiliki lebih dari dua variabel, sebagai contoh dalam ungkapan matematika,

adalah cembung jika dan hanya jika matriks Hessian nxn adalah semi definit positif untuk semua nilai (x

₁

, x

₂

, …,x

_n

) yang mungkin, atau bisa dinyatakan bahwa : jika terdapat 2 variabel atau lebih gunakan Hessian Matriks dan ditulis : H (x

₁

, x

₂

, …, x

_n

)

) ,...,

,

( x

₁

x

₂

x

_n

f

n j

i j x i

x f

j nxn i

,..., 2 , 1 ,

; ,

2  

















 

Definisi :

Matriks Hessian dari f (x

₁

, x

₂

, …, x

_n

) adalah matriks nxn, dimana elemen ke-ij adalah

Contoh :

f (x

₁

, x

₂

, x

₃

) = 2x

₁²

+ x

₂²

+ 2x

₃

j

i x

x f





²



_{1 2 3}



0 0 0

0 2 0

0 0 4 ,

, x x x

H



















Teorema 1 :

Determinan minor utama (Leading Principle

Minor) yang ke-k adalah determinan matrik n x n dengan menghapus (n – k) baris dan kolom

terakhir.

Contoh :  



















0 0 0

0 2 0

0 0 4 ,

, _{2 3}

1 x x x

H

, determinan minor utama ke-1 = 4

Ket : bilangan yang digaris bawahi yaitu 2 (n – k = 3 – 1) baris dan kolom terakhir

dihapus sehingga yang tersisa adalah 4

















0 0 0

0 2 0

0 0 4

Teorema 2 :

Principal Minor (minor utama) ke-k dari matrik n x n adalah determinan dari matrik k x k yang diperoleh dengan menghapus n – k baris dan n – k kolom yang sesuai dengan matrik.

Contoh :

Principal minor ke-1 adalah : -4 dan -2 (n=2, k=1, n – k = 1) Principal minor ke-2 adalah : 7 (n=2, k=2, n – k = 0)



 











 

4 1

1 ) 2

, (x₁ x₂ H

Teorema 3 :

Andaikan f (x

₁

, x

₂

, …, x

_n

) mempunyai turunan parsial kedua kontinu untuk setiap

x = (x

₁

, x

₂

,…, x

_n

) di S , maka f (x

₁

, x

₂

, …, x

_n

) adalah suatu fungsi cembung / cekung pada S jika dan hanya jika untuk setiap x є S semua

principal minor dari matrik H adalah non negatif

(convex) / matrik H yang ≠ 0 mempunyai tanda

(-1)

^k

untuk principal minor ke-k (concave).

Contoh :

1.

Principal minor ke-1 adalah : 2 dan -2 (tanda (-1)¹ : negatif)

Principal minor ke-2 adalah : -4 (tanda (-1)² : positif)

Jadi : karena tidak ada yang sesuai dengan teorema 3, maka f tidak cembung dan tidak cekung.



 





 

2 0

0 ) 2

, (x₁ x₂ H

2.

Principal minor ke-1 adalah : 2 dan 6x₁ Principal minor ke-2 adalah : 12x₁ – 4

Karena sudah ada 2 yang positif (2 dan 6x₁), maka yang dapat kita tentukan hanya selang untuk f

cembung / convex, yaitu : dan dan sehingga f cembung / convex.



 



 

2 2

2 ) 6

,

( _{1 2} x¹

x x H

0

6x₁  12x₁ 4  0



x₁  0 x₁ 1/3



x1 ^1/3 _{(x1,x2 x1 1/3)}

Soal-soal 1.

Karena semua principal minor (ke-1 adalah 2 dan 2, yang ke-2 adalah 0) merupakan non negatif,

maka f adalah fungsi cembung pada R².

 ^x

₁

^{, x}

₂

 ^{ x}

₁²

^{ 2 x}

₁

^x

₂

^{ x}

₂²

^,  ^x

₁

^{, x}

₂

 ^{di S  }

²

f



 



 

2 2

2 ) 2

, (x₁ x₂ H

2.

Karena principal minor pertama, (-2 dan -4) keduanya negatif, dan principal minor kedua adalah -2(-4) – (-1)(-1) = 7 > 0, jadi f adalah suatu fungsi cekung pada R

²

.



^x₁^{, x}₂



^{ x}₁^{2  x}₁^x₂ ^{ 2x}₂^{2 ,}



^x₁^{, x}₂



^{di 2}

f



 











 

4 1

1 ) 2

, (x₁ x₂ H