BAB V PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR

BAB V

PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR

5.1. Pendahuluan

Berkas (beam) optik yang merambat pada medium linier mempunyai kecenderungan untuk menyebar karena adanya efek difraksi; lihat Gambar 5.1.

Secara umum, semakin sempit berkas optik akan semakin cepat terdifraksi.

Pada medium nonlinier Kerr, keberadaan berkas optik menyebabkan perubahan indeks bias medium. Perubahan indeks bias tergantung pada intensitas berkas;

semakin besar intensitas menyebabkan perubahan indeks bias yang semakin besar pula. Pada material Kerr positif, hal ini mengakibatkan terbentuknya ’lensa’

optik dengan peningkatan indeks bias yang sangat besar pada pusat berkas, sedangkan pada ’ekor’nya tidak mengalami perubahan. Fenomena perubahan indeks bias ini disebut self-focusing. Ketika efek self-focusing dan difraksi linier seimbang, berkas optik akan merambat tanpa mengalami perubahan bentuk.

Gelombang optik seperti ini sering disebut gelombang soliter. Jika gelombang soliter juga bersifat seperti partikel, yaitu jika suatu gelombang soliter bertumbukan dengan gelombang soliter lainnya, profil (bentuk) dan kecepatan masing-masing gelombang soliter tidak mengalami perubahan setelah tumbukan tersebut, maka gelombang tersebut disebut dengan gelombang soliton.

Gelombang soliton pada medium optik tidak hanya diprediksi secara teori tetapi juga telah dibuktikan secara eksperimen. Bab ini akan membahas sekilas tentang solusi soliton pada medium nonlinier Kerr. Pembahasan diawali dengan

Gambar 5.1. Difraksi berkas Gauss

A.SURYANTO

38 L^AB.PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN

JURUSAN MATEMATIKA –UNIBRAW

persamaan Maxwell. Akan ditunjukkan bahwa persamaan Maxwell dapat direduksi menjadi persamaan Schrodinger nonlinier, yaitu dengan menggunakan asumsi bahwa amplitudo/selubung berkas optik sepanjang perambatannya berubah secara lambat (slowly varying amplitude/envelope approximation atau disingkat SVEA).

5.2. Persamaan Maxwell

Teori propagasi cahaya pada medium dielektrik yang melibatkan medan listrik dan medan magnet dikembangkan oleh Maxwell tahun 1860an. Dalam notasi vektor persamaan tersebut dinyatakan sebagai

, 0

;

;

;

=

•

∇

=

•

∇

∂

−∂

=

×

∇

∂

−∂

=

×

∇

B E H D E B

ρ t t

(5.1)

dimana E, D, H, B, J dan ρ masing-masing menyatakan medan elektrik, rapat fluks elektrik, medan magnet, rapat fluks magnetik, arus bebas dan muatan bebas dalam material. Dalam buku ini, pembahasan dibatasi untuk material non- magnetik, tanpa ada arus dan bebas muatan, yaitu

H, B

P E D

J

0

0 ;

; 0

; 0 µ ε ρ

= +

=

=

=

(5.2)

dimana P adalah vektor polarisasi dalam medium; ε0 dan µ0 adalah permitivitas dan permeabilitas ruang hampa. Untuk material Kerr, vektor perpindahan dielektrik berbentuk

(

^E

)

^E

D=ε₀ 1+χ⁽¹⁾ +χ⁽³⁾ | |² . (5.3) Dengan menggunakan persamaan (5.3) dan (5.2), persamaan Maxwell (5.1) dapat direduksi menjadi

( )

(

1 ^{(1) (3)} | |²

)

( ).

2 2 0 0

2E + + E E =∇ ∇•E

∂

− ∂

∇ ε µ χ χ

t (5.4)

Persamaan (5.4) merupakan persamaan gelombang elektrik. Dapat diperhatikan bahwa persamaan tersebut melibatkan vektor kompleks dimensi tiga. Permasa- lahan tersebut dapat disederhanakan dengan mengasumsikan bahwa medium

PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR 39

berbentuk lempengan (sering disebut slab waveguide; lihat Gambar 5.2) sedemikian hingga ketergantungan medan listrik dan magnetik terhadap salah satu dimensi dapat diabaikan. Di sini perambatan gelombang elektromagnetik dapat disederhanakan dengan mempertimbangkan dua tipe solusi, yaitu gelombang Transverse Elektric Mode (TE) atau gelombang Trasverse Magnetic Mode (TM). Pada buku ini pembahasan dibatasi pada kasus gelombang TE, yaitu vektor medan listrik tegak lurus dengan arah perambatan. Dengan memilih arah perambatan searah sumbu z, vektor medan listrik dan medan magnet berturut-turut (medan tidak berubah sepanjang sumbu y) adalah

( )

[ ]

( ) ( )

[ , , ,0, , , ].

; 0 , , , , 0

t z x H t z x H

t z x E

z x

y

=

= H E

Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa ∇ E• =0. Dengan demikian, persamaan (5.4) dapat ditulis sebagai persamaan skalar, yaitu

( )

(

^{1 | |}

)

^0,

1 _{(1) (3) 2}

2 2 2 2

2

2 2

= +

∂ +

− ∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

y y y

y E E

t c z

E x

E χ χ (5.5)

dengan c=1/ ε₀µ₀ adalah kecepatan cahaya di ruang hampa.

Gambar 5.2. Pandu gelombang lempeng (slab waveguide)

Selanjutnya diasumsikan bahwa cahaya yang dipancarkan dalam medium Kerr mempunyai frekuensi tunggal (gelombang monokromatik), yaitu

(^{x z t}) ^E( ) (^{x z i t})

E_y , , = , exp− ω , (5.6) sedemikian hingga persamaan (5.6) akan menjadi persamaan Helmholtz nonlinier

,

2 0

2 2 2

2 2 2

=

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂ n E

c z

E x

E ω

(5.7)

n 0

n =

n 0

n =

2 2

0 n | E |

n

n = +

A.SURYANTO

40 L^AB.PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN

JURUSAN MATEMATIKA –UNIBRAW

dimana n adalah indeks bias nonlinier. Indeks bias nonlinier di sini diaproksimasi sebagai (dengan asumsi bahwa n₂ <<1):

( )

2 2 0 2 0

2 2 2 0 2

|

| 2

|

| E n n n

E n n n

+

≈ +

=

dengan n₀ = 1+χ^{( )1} adalah indeks bias linier,

( )

0 3

2 2n

n ₌ χ

adalah koefisien nonlinier Kerr. Jadi perubahan indeks bias akibat pengaruh nonlinieritas Kerr adalah ∆n=n₂ |E|² .

5.3. Persamaan Schrodinger nonlinier

Persamaan Helmholtz nonlinier (5.7) merupakan persamaan diferensial parsial eliptik yang secara umum sangat sulit diselesaikan. Di sini, persamaan tersebut akan disederhanakan dengan mengambil solusi dalam arah tertentu. Untuk itu akan dicari solusi yang berbentuk

( )^{x z A}( ) (^{x z ik z}) ^cc

E , = , exp ₀ + , (5.8) dimana A ,( )x z adalah selubung gelombang yang diasumsikan berubah secara lambat sepanjang arah perambatan (SVEA) dan k adalah bilangan gelombang ₀ yang memenuhi hubungan

c k₀ ωn⁰

= . Solusi (5.8) merupakan solusi yang bergerak ke arah z positif. Dengan menggunakan Ansatz (5.8), persamaan Helmholtz dapat dituliskan sebagai (setelah dibagi dengan 2k₀²exp(ik₀z)):

, 0

| 2 |

1 2

1 ₂

0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0

=

∂ + + ∂

∂ + ∂

∂

∂ A A

n n z

A k x

A k z A k

i (5.9)

dengan koefisien nonlinieritas Kerr n₂ akan bernilai positif untuk material self- focusing dan bernilai negatif untuk material self-defocusing. Dengan mengaplikasikan SVEA, suku yang memuat turunan kedua terhadap z dapat dihilangkan. Untuk lebih tepatnya, didefinisikan parameter kecil δ dengan

. 1

0<δ << Selanjutnya diasumsikan bahwa selubung gelombang berubah secara lambat sepanjang arah perambatan. Untuk melihat apa yang terjadi pada jarak perambatan yang cukup jauh (tetapi masih berhingga), didefinisikan variabel lambat dan sangat lambat: X =δk₀x dan Z =δ²k₀²z dan menskala selubung gelombang sebagai ^A( )^x,z =δ ⁿ0^/n2^B(^X,Z). Dengan substitusi tersebut,

PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR 41

persamaan (5.9) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan Schrodinger nonlinier (NLS) yang ternormalisasi

( )^{| |}

( )

^,

2

1 _{2 2}

2 2

2 sign n B B Oδ

X B Z

i B + =

∂ + ∂

∂

∂ (5.10)

dimana ( )

⎩⎨

⎧

<

−

≥

= + .

0

; 1

0

; 1

2 2

2 n

n n

sign Pada persamaan NLS (5.10), diindikasikan bahwa suku-suku ^O

( )

^δ2 diabaikan. Persamaan NLS adalah salah satu persamaan dalam fisika matematika yang dapat dintegralkan, yang berarti persamaan tersebut memuat bentuk hukum konservasi yang tak terhingga banyaknya dan persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan inverse scattering method.

Solusi fundamental dari persamaan tersebut adalah gelombang soliton. Berikut akan dibahas bagaimana mencari solusi soliton dengan memanfaatkan analogi mekanika klasik (lihat Bab III).

Catatan:

Di atas telah dikenalkan parameter kecil δ. Dalam prakteknya parameter tersebut digunakan untuk mengukur nilai δ =1/ k₀w₀ dimana w0 adalah lebar berkas (beam) input. Karena biasanya lebar berkas input jauh lebih besar dari panjang gelombang λ₀ =2π/k₀, jelaslah bahwa δ =λ0 ^/(²πw0)<<¹, yaitu konsisten dengan definisi δ. Hal inilah yang memotivasi pengabaian suku O(δ²) dalam persamaan (5.10).

5.4. Gelombang Soliton tunggal sebagai solusi persamaan NLS

5.4.1. Gelombang soliton stasioner

Seperti disebutkan di muka gelombang soliton tidak mengalami perubahan bentuk selama perambatannya. Oleh karena itu, untuk mencari solusi soliton diasumsikan bahwa selubung gelombang berbentuk

(X,Z) f( )X exp(i Z)

B = β . (5.11) Jika Ansatz (5.11) disubstitusikan ke dalam persamaan (5.10), maka diperoleh persamaan

( ) 0. 2

1 3

2 2

2 ⎟⎟− + =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ f sign n f

dX f

d β

A.SURYANTO

42 L^AB.PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN

JURUSAN MATEMATIKA –UNIBRAW

Jika persamaan tersebut dikalikan dengan f dan hasilnya diintegralkan terhadap X, maka diperoleh persamaan

( ) kontanta.

2 ² ₂ ⁴

2

= +

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ f sign n f

dX

df β (5.12)

Dengan analogi mekanika klasik, persamaan (5.12) merupakan bentuk persamaan Newton yang menggambarkan gerakan partikel dengan f menyatakan variabel posisi partikel dan X menyatakan variabel waktu akibat energi potensial

( )n₂ f⁴ 2 f ². sign

U = − β

Persamaan Newton (5.12) dapat diselesaikan dengan mudah, yaitu dengan merubah persamaan (5.12) ke dalam bentuk

( ) konstanta

2 − ₂ ² −

±

= f sign n f dX

df β . (5.13)

Berikut akan ditunjukkan dua macam solusi soliton stasioner, bergantung pada

( )n2 ^.

sign

• Solusi soliton terang (Bright Soliton), (sign( )n2 =+¹)

Dengan analisa bidang fasa (lihat Bab III), solusi soliton terang diperoleh jika konstanta = 0. Selanjutnya, untuk mencari soliton terang, diasumsikan bahwa f dan dx

df bernilai nol pada X →±∞. Selain itu, juga diasumsikan bahwa soliton

berpusat di X = 0 sehingga =1dan =0pada X =0. dX

f df Dengan asumsi

tersebut diperoleh bahwa β = ½. Selanjutnya, dengan mengambil tanda negatif untuk ruas kanan pada persamaan (5.13), persamaan tersebut dapat ditulis menjadi

∫_{− −} ⁼∫ ^{= − .}

1 ^{2 0}

X X dX f

f df

Dengan rumus integral standard, penyelesaian persamaan tersebut adalah

( )^.

sech X X₀

f = −

Karena diasumsikan bahwa f = 0 pada X = 0, maka jelaslah bahwa X0 = 0.

Jadi selubung gelombang elektrik yang merupakan solusi persamaan NLS adalah

PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR 43

( ) ( ) .

2 exp 1 sech

, ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= X ⎛ iZ

Z X

B (5.14) Solusi (5.14) merupakan solusi soliton stasioner dengan amplitudo satu. Plot untuk solusi tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.3. Solusi soliton ini sering disebut dengan soliton terang karena pusatnya mempunyai intensitas tinggi dan disekitar pusat tersebut intensitasnya rendah sekali (hampir nol).

Perhatikan bahwa gelombang soliton stasioner bergerak dengan kecepatan (sudut) nol.

Gambar 5.3. Soliton terang stasioner.

• Solusi soliton gelap (Dark Soliton), (sign( )n₂ =−1)

Untuk mencari solusi soliton pada medium self-defocusing, pada persamaan (5.12) diambil konstanta=β ² dan diasumsikan bahwa f =1 dan =0

dx

df untuk +∞.

→

X Dengan asumsi tersebut dapat dibuktikan bahwa β = -1 dan persamaan (5.13) dapat ditulis menjadi

∫ _f^df2 ₋₁⁼∫^{dX = X −X0.}

Persamaan tersebut mempunyai solusi eksplisit, yaitu

( 0)

tanh X X

f = − .

Tanpa mengurangi perumuman, solusi soliton tersebut diasumsikan berpusat di X = 0. Jadi X0 = 0 dan solusi persamaan NLS untuk medium self-defocusing adalah

(^X,Z) ^tanh( ) (^{X exp iZ})^.

B = − (5.15)

A.SURYANTO

44 L^AB.PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN

JURUSAN MATEMATIKA –UNIBRAW

Solusi (5.15) merupakan solusi soliton stasioner dengan amplitudo satu. Plot untuk solusi tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.4. Perhatikan bahwa intensitas pusat soliton sangat rendah (hampir nol), sehingga solusi ini disebut dengan soliton gelap. Dari Gambar 5.4, gelombang soliton gelap stasioner ini juga bergerak dengan kecepatan (sudut) nol.

Gambar 5.3. Soliton gelap stasioner.

5.4.2. Transformasi solusi

Solusi soliton yang telah dibahas pada bagian sebelumnya mempunyai amplitudo tunggal dan merambat dengan kecepatan (sudut) nol. Berikut akan ditunjukkan bahwa dengan transformasi sederhana, solusi yang lebih umum dapat ditentukan.

Transformasi pertama yang akan dikenalkan adalah transformasi penskalaan.

Dapat dibuktikan (lihat latihan pada akhir bab ini) bahwa jika B₁(X,Z) adalah solusi persamaan NLS maka keluarga solusi dengan parameter η dapat diperoleh dengan transformasi

(^{X Z}) ^B

(

^{X Z}

)

B₂ , =η ₁η ,η² . (5.16) Jika transformasi tersebut diaplikasikan pada solusi soliton terang (5.14) dan solusi soliton gelap (5.15), maka akan didapat keluarga solusi berparameter η:

• Soliton terang:

( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= X ⎛ i Z

Z X

B ²

2 exp 1 sech

, η η η (5.17)

PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR 45

• Soliton gelap:

(^{X Z}) ( )^X

(

^{i Z}

)

B , =ηtanhη exp − η² (5.18)

Jelas bahwa parameter η menyatakan amplitudo soliton dan sekaligus lebar dan periodenya dalam Z. Gambar 5.4 menunjukkan profil soliton dengan tiga amplitudo berbeda, baik untuk soliton terang maupun untuk soliton gelap.

Gambar 5.4. Soliton dengan amplitude berbeda-beda: (a) soliton terang (b) soliton gelap.

Solusi (5.17) dan (5.18) tidak bergerak sepanjang sumbu Ζ karena kecepatan (sudut-) nya sama dengan nol. Untuk memperoleh solusi dengan sembarang kecepatan (sudut) V, akan digunakan transformasi sebagai berikut. Jika B₁(X,Z)

adalah solusi persamaan NLS maka

( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

= B X VZ Z iVX i V Z Z

X

B_{2 1} ²

2 exp 1

,

, (5.19)

juga merupakan solusi dari persamaan NLS (lihat latihan pada bagian akhir dari bab ini). Transformasi (5.19) dikenal sebagai transformasi Galilean.

Transformasi tersebut menjelaskan bahwa solusi gelombang dari persamaan (a)

η = 0.5

η ^{= 1} η ^{= 2}

(b)

η = 0.5 η = 1

η = 2

A.SURYANTO

46 L^AB.PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN

JURUSAN MATEMATIKA –UNIBRAW

NLS adalah invarian terhadap rotasi pada bidang (^{X ,Z})^{. Dengan}

mengaplikasikan transformasi Galilean terhadap solusi (5.17) dan (5.18) diperoleh:

• Soliton terang:

( ) ( ( ))

( )

( )

( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

Z V i

iVX VZ

X

Z iV iVX Z

i VZ

X Z

X B

2 2

2 2

2 exp 1

sech

2 exp 1

2 exp 1 sech

,

η η

η

η η

η

(5.20)

• Soliton gelap

( ) ( ( ))

( )

( )

( )

( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

−

=

Z V i

iVX VZ

X

Z iV iVX Z

i VZ

X Z

X B

2 2

2 2

2 2 exp 1

tanh

2 exp 1

exp tanh

,

η η

η

η η

η

(5.21)

Persamaan (5.20) dan (5.21) masing-masing menyatakan keluarga solusi soliton terang dan soliton gelap dengan dua parameter η dan V. Pada Gambar 5.5 ditunjukkan soliton terang dengan η = 1 dengan V berbeda yaitu (a) V = π/2 dan (b) V = π. Tampak pada gambar tersebut bahwa semakin besar kecepatan V berarti semakin besar penyimpangannya terhadap sumbu Z. Hal yang sama juga dapat diamati pada kasus soliton gelap (lihat Gambar 5.6).

Gambar 5.5. Perambatan soliton terang dengan amplitudo η = 1 dan kecepatan (a) V = π/2 dan (b) V = π.

(a) (b)

PERAMBATAN GELOMBANG OPTIK PADA MEDIUM NONLINIER KERR 47

Gambar 5.6. Perambatan soliton gelap dengan amplitudo η = 1 dan kecepatan (a) V = π/2 dan (b) V = π.

5.5. Latihan

1. Buktikan bahwa jika B₁(X,Z) adalah solusi persamaan NLS maka

(^{X Z}) ^B

(

^{X Z}

)

B₂ , =η ₁η ,η²

juga merupakan solusi persamaan NLS (transformasi penskalaan).

2. Buktikan bahwa jika ^B1(^X,Z) adalah solusi persamaan NLS maka

( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=B X VZ Z iVX i V Z Z

X

B_{2 1} ²

2 exp 1

, ,

juga merupakan solusi persamaan NLS (transformasi Galilean).

3. Persamaan NLS sebagai persamaan yang dapat diintegralkan mempunyai konsekuensi bahwa persamaan tersebut mempunyai sejumlah tak berhingga kuantitas (integral) yang kekal (conserved).

Tiga kuantintas yang kekal tersebut adalah a. Energi (atau daya atau intensitas):

∫∞

∞

−

= B dX

Q | |² (5.22)

(a) (b)

A.SURYANTO

48 L^AB.PEMODELAN DAN KOMPUTASI MATEMATIKA TERAPAN

JURUSAN MATEMATIKA –UNIBRAW

b. Momentum

∫∞

∞

− ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

= ∂ B dX

X B B X

M B (5.23)

c. Hamiltonian

∫∞

∞

− ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

∂

= ∂ B dX

X

H B ⁴

2

|

| (5.24)

Tunjukkan bahwa ketiga kuantitas tersebut tetap konstan dengan berubahnya Z, yaitu 0; 0; =0.

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂

Z H Z

M Z

Q