PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM (TSP) DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA SIMULATED ANNEALING

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM (TSP) DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA SIMULATED

ANNEALING

(Studi Kasus : Mail Processing Center (MPC) Medan PT. Pos Indonesia)

SKRIPSI

PUTRI M. HUTABARAT 130803085

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

2017

SIMULATED ANNEALING

(Studi Kasus : Mail Processing Center (MPC) Medan PT.

Pos Indonesia)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

PUTRI M. HUTABARAT 130803085

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

2017

i

PERSETUJUAN

Judul : Penyelesaian Travelling Salesman Problem (TSP) dengan Menggunakan Algoritma Simulated Annealing Studi Kasus : Mail Processing Center Medan PT.

Pos Indonesia

Kategori : Skripsi

Nama : Putri M. Hutabarat

Nomor Induk Mahasiswa : 130803085

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Disetujui di,

Medan, Maret 2017 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dr. Elly Rosmaini, M.Si Dr. Esther Sorta M. Nababan, M.Sc NIP. 19600520 198503 2 002 NIP. 19610318 198711 2 001

Disetujui oleh :

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Dr. Suyanto, M.Kom

NIP.19590813 198601 1 002

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM (TSP) DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA SIMULATED ANNEALING

(Studi Kasus: Mail Processing Center Medan PT. Pos Indonesia)

SKRIPSI

Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,Maret 2017

PUTRI M. HUTABARAT

130803085

iii

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang atas limpahan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul “Algoritma Simulated Annealing untuk Menyelesaikan Travelling Salesman Problem (TSP)”.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut mendukung dalam penulisan skripsi ini:

1. Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS sebagai Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom sebagai ketua Departemen Matematika dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si sebagai Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

3. Ibu Dr. Esther Sorta M. Nababan, M.Sc selaku Dosen Pembimbing 1 dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku Dosen Pembimbing 2 yang telah meluangkan waktu untuk membimbing penulis serta memberikan nasihat dan pengarahan yang berharga kepada penulis selama proses pengerjaan skripsi ini.

4. Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku Dosen Pembanding 1 dan Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si selaku Dosen Pembanding 2 yang memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini.

5. Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA USU yang

telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama

masa studi.

Johannes Hutabarat, SH, Maria Hutabarat, S.Pd yang selama ini memberikan bantuan, doa, dan motivasi yang luar biasa kepada penulis selama menempuh pendidikan dan menjalani perkuliahan.

7. Teman-teman seperjuangan Angkatan 2013 Matematika FMIPA USU dan teman-teman lainnya yang memberikan motivasi serta doa.

8. Dan kepada semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masing banyak kekurangan yang disebabkan keterbatasan pengetahuan serta pengalam penulis.

Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun dari semua pihak. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak.

Medan,

Maret 2017

Penulis

Putri M. Hutabarat

130803085

v

ABSTRAK

Traveling salesman problem (TSP)merupakan salah satu permasalahan optimasikombinatorial yang penyelesaian akhirnya bertujuan untuk mendapatkan solusioptimal yakni menemukan rute perjalanan yang paling minimum.Untukmenyelesaikan dan menemukan solusi dari permasalahan tersebut salah satu algoritmayang bisa digunakan adalah simulatedannealing.

Simulatedannealing merupakananalogi dari proses pendinginan cairan logam yang disebut annealing.Penelitian ini membahas tentang penerapan TSP denganmenggunakan algoritma Simulated Annealing pada pencarian rute terpendek penjemputan barang di Mail Processing Center (MPC) Medan PT.

Pos Indonesia. Untuk perangkat informasi lokasi dan gambar peta menggunakanfasilitas Google Maps dan memperoleh jarak antar titik yang akan dikunjungi. Untuk proses optimisasi dilakukan dengan cara manual 10 iterasi dan dengan menggunakan bantuan software MATLAB

Kata Kunci : Rute Terpendek, Algoritma Metropolis, TSP, Simulated

Annealing, graf, Mailing Processing Center (MPC) Medan PT.Pos Indonesia.

(Case Study: Mail Processing Center (MPC) Medan PT.Pos Indonesia) Traveling salesman problem is one of combinatorial optimization problems that aimto obtain an optimal solution which determines the route that most minimum.And toresolve and find solutions to these problems one algorithm to be used is simulatedannealing. Simulated annealing is an analogy of a liquid metals cooling processcalled annealing. Annealing is the metallurgical process of heating up a solid andthen cooling slowly until it crystallizes.This study discusses the application of theTSP using simulated annealing algorithm to the search the shortest route when pick up the goods in the Mailing Processing Center Medan PT.POS Indonesia.For the device locationinformation and image map using Google Maps facility and acquire the distancebetween the point to be visited. For the optimization process is done by manual with 10 iterations and using MATLAB software assistance.

Key Word: Shortest route, Metropolis Algorithm, TSP, Simulated Annealing,

graph, Mailing Processing Center (MPC) Medan PT.Pos Indonesia.

vii

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR ix

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Tinjauan Pustaka 4

1.6 Manfaat Penelitian 6

1.7 Metodologi Penelitian 7

BAB 2. LANDASAN TEORI

2.1 Travelling Salesman Problem 8

2.2 Metode Metropolis 12

2.3 Simulated Annealing 14

2.5 Simulated Annealing pada Travelling Salesman Problem 21 BAB 3. METODOLLOGI PENELITIAN

3.1 Sumber Data 22

3.2 Lokasi Penelitian 22

3.3 Prosedur Penelitian 22

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pembahasan Manual 25

4.2 Pembahasan menggunakan software MATLAB 33

BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 39

5.2 Saran 40

DAFTAR PUSTAKA x

LAMPIRAN

Tabel

2.1 Analogi Proses Annealing 15

4.1 Data jarak cabang kantor pos 25

4.2 Hasil total jarak dari iterasi manual yang dilakukan 33

ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1 Graph lengkap dengan 6 verteks dan 15 edge. 10 2.2 Graph tidak lengkap dengan 5 verteks dan 8 edge 11 2.3 Flowchart untuk Algoritma SimulatedAnnealing 20

4.1 Hasil Run Program di Matlab 37

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Seiring berkembangnya kemajuan teknologi sistem informasi membuat pelayanan jasa pengiriman barang yang dilakukan kantor pos kini lebih sistematis. Kantor pos tidak hanya mengantarkan surat tetapi juga mengantarkan barang paket dari pengirim yang ditujukan ke suatu alamat tertentu. Dalam hal ini petugas pos harus mengirimkan banyak barang ke alamat-alamat pelanggan dengan pertimbangan efisiensi waktu.

Sedangkan pada jaman sekarang, jumlah jalan raya yang sangat banyak terkadang menyulitkan petugas pos untuk dapat memilih jalur yang cepat ke alamat tujuan pelanggan. Biasanya jalur yang ditempuh hanyalah jalur yang dihafal dan sering dilalui serta dianggap terpendek, padahal belum tentu jalur tersebut lebih optimal. Untuk itu diperlukan sebuah sistem yang memanfaatkan teknologi informasi guna melakukan proses pencarian jalur optimum secara otomatis.

Travelling Salesman Problem (TSP) merupakan masalah seorang salesman yang ingin mengunjungi beberapa tempat dimana kembali lagi ke tempat asalnya tepat satu kali sehingga diperoleh jarak terpendek. Beberapa contoh penerapan TSP yang muncul dalam kehidupan sehari–hari, misalnya:

efesiensi pengiriman surat, pengiriman barang, dan masalah transportasi (Hillier

SF, Lieberman, 2008). Permasalahan dalam bidang transportasi darat merupakan

salah satu penerapan TSP dengan harapan biaya perjalanan yang dikeluarkan dan

jarak perjalanan seminimum mungkin. Masalah TSP dapat diselesaikan dengan

beberapa metode diantaranya Pemrograman Linear, Genetik Algoritma, Hill

Climbing, Simulated Annealing (SA), dan Tabu Search (Rizal. J, 2007).

Travelling Salesman Problem (TSP) juga merupakan masalah yang terkenal dalam teori graf. Graf terdiri dari berbagai jenis, diantaranya graf sederhana, graf tak sederhana, graf berarah dan graf tidak berarah. Graf merupakan struktur diskrit yang terdiri dari himpunan objek yang disebut simpul (vertex) dan himpunan sisi (edges) yang menghubungkan simpul–simpul tersebut.

Graf digunakan untuk mempresentasikan objek–objek diskrit dan menjelaskan hubungan–hubungan antar objek–objek tersebut. Objek–objek diskrit biasanya digambarkan sebagai simpul–simpul terpisah, sedangkan hubungan antar objek–

objek tersebut digambarkan dalam suatu sisi (Wijaya. A, 2009)

Travelling Salesman Problem (TSP) dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu Travelling Salesman Problem dan Travelling Salesman Problem asimetris.

Travelling Salesman Problem (TSP) asimetris merupakan TSP dengan biaya atau jarak perjalanan dari kota A menuju kota B tidak sama dengan biaya atau jarak perjalanan dari kota B menuju kota A. Sedangkan Travelling Salesman Problem (TSP) simetris merupakan TSP dengan biaya atau jarak perjalanan dari kota A menuju kota B sama dengan biaya atau jarak perjalanan dari kota B menuju kota A . (Muzid. S, 2008)

Terdapat banyak cara pendekatan dan algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini diantaranya adalah algoritma brute force, algoritma greedy, Simulated Annealing, algoritma genetik, algoritma semut, algoritma Branch and Bound dan lain sebagainya. Permasalahan TSP pada penelitian ini diselesaikan dengan menggunakan Simulated Annealing (SA).

Simulated Annealing (SA) adalah suatu varian dari teknik Heuristic Search Hill Climbing dimana variasi ini merupakan kebalikan dari Steepest Hill Climbing. Variasi rute yang dipilih untuk diobservasi adalah rute yang terendah (terkecil nilai bobotnya). Heuristic Search adalah sebuah cara yang meningkatkan efisiensi dari sebuah pencarian (Hillier SF, Lieberman, 2008).

Prinsip kerjanya yaitu pada temperatur (suhu) yang tinggi molekul-

molekul cairan logam tersebut mempunyai tingkat energi yang tinggi juga

sehingga relatif mudah bergerak terhadap molekul lainnya (karena berada dalam

kondisi cair). Bila temperatur diturunkan, molekul-molekul tersebut mampu

mengatur dirinya untuk mencari konfigurasi atau susunan dengan tingkat energi

3

Universitas Sumatera Utara

yang lebih rendah. Dengan menurunkan temperatur secara perlahan, molekul- molekul tersebut mempunyai kesempatan untuk mengatur diri sendiri sehingga diperoleh suatu keadaan stasioner atau stabil dengan tingkat energi yang minimum pula. Jeda atau penurunan temperatur secara perlahan tersebut yang merupakan inti dari proses “annealing” (Kirkpatrick et al, 1982 ; 1983). Prinsip kerja dari annealing inilah yang dipakai dan di adaptasikan pada Travelling Salesman Problem dalam bentuk simulasi untuk menemukan solusi yang paling optimal.

Kirkpatrick et al (1982; 1983) menggunakan suatu algoritma untuk menyelesaikan permasalahan ini dalam skala besar (sekitar 6000 kota) tetapi tidak menyediakan informasi yang lengkap tentang kualitas dari solusi yang ditemukan, sehingga nilai dan Simulates Annealing pada Travelling Salesman Problem tidak pernah jelas secara numerik. Kemudian Jose Rizal (2007) juga telah menggunakan pendekatan simulasi untuk menyelesaikan Travelling Salesman Problem dengan menyusun suatu algoritma dan dihitung secara komputasi namun secara numerik tidak dirincikan secara detail nilai optimal beserta proses eksekusinya.

Berdasarkan hal tersebut, penulis melakukan studi literatur mengenai proses Simulated Annealing serta menerapkannya untuk menyelesaikan Travelling Salesman Problem. Contoh kasus yang dibahas adalah rute perjalanan penjemputan barang pada Kantor Pos pusat kotamadya Medan.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan dari penelitian ini adalah bagaimana penyelesaian Travelling Salesman Problem dengan menggunakan algoritma Simulated Annealing.

1.3 Batasan Masalah

Batasan-batasan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Penelitian dilakukan di Mail Processing Center Medan PT. Pos Indonesia yang disingkat MPC PT.Pos Indonesia

2. Data yang digunakan adalah data sekunder yaitu data dari administrasi perusahaan tersebut

3. Keluaran hasil penelitian jarak tempuh paling optimal dari satu kantor pos ke kantor pos lain yang terdapat pada wilayah Medan Barat.

4. Kecepatan rata-rata transportasi pengangkut barang 20-40 km/jam

5. Keadaan lalu lintas normal, tidak dikaji dari sisi kemacetan dan keramaian lalu-lintas.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menerapkan Algoritma Simulated Annealing pada Travelling Salesman Problem di MPC Medan PT.Pos Indonesia untuk memperoleh jarak tersingkat pada rute penjemputan paket.

1.5 Tinjauan Pustaka

Penerapan TSP yang muncul dalam kehidupan sehari–hari misalnya permasalahan dalam bidang transportasi darat dengan harapan jarak yang ditempuh seminimum mungkin. Jumlah rute yang mungkin diperoleh pada TSP dengan menggunakan rumus permutasi seperti berikut (Muzid. S, 2008):

𝑛

𝑃

_𝑘

= 𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

Secara matematis Travelling Salesman Problem didefinisikan sebagai suatu himpunan {𝑐

₁

, 𝑐

₂

, 𝑐

₃

, … , 𝑐

_𝑛

} yang merupakan bagian dari kota dan untuk masing- masing pasangan (𝑐

_𝑖

, 𝑐

_𝑗

) kota yang berbeda dengan suatu jarak 𝑑(𝑐

_𝑖

, 𝑐

_𝑗

) .

Salah satu metode penyelesaian permasalahan TSP adalah simulated

annealing yang merupakan analogi dari proses fisika yaitu teknik pendinginan

cairan logam. Annealing adalah teknik metalurgi yang menggunakan ilmu

5

Universitas Sumatera Utara

penjadwalan proses pendinginan untuk menghasilkan efisiensi dalam menggunakan energi dan menghasilkan logam yang optimal.

Penyelesaian dengan Simulated Annealing dinilai ampuh dalam mencari solusi optimum yang bersifat numerik karena mampu menghindari kondisi jebakan optimum lokal. Optimum lokal adalah suatu keadaan dimana semua tetangga yang berdekatan dengannya lebih buruk atau sama dengan keadaan dirinya yang mengakibatkan solusi yang dihasilkan tidak diterima (Kirkpatrick et al 1982; 1983 , Cerny 1985).

Secara garis besar, dasar algoritma Simulated Annealing (Kirkpatrick et al, 1982; 1983) adalah sebagai berikut:

1. Inisialisasi solusi trial awal yaitu membangkitkan solusi awal secara acak.

2. Iterasi, dengan cara menukarkan dan mengubah solusi trial terdekat yang digunakan. Jika solusi yang terbaru adalah yang terbaik, maka solusi tersebut akan menggantikan solusi yang digunakan sebelumnya.

3. Memeriksa temperature schedule.

4. Menghentikan aturan perpindahan iterasi.

Sedangkan David S. Johnson dan Lyle A. McGeoch (1989) memperkenalkan bentuk umum dari algoritma Simulated Annealing adalah sebagai berikut.

1. Membangkitkan kondisi awal simulasi S dan menginisialisasi solusi akhir 𝑆

^∗

= 𝑆

2. Menentukan temperatur T awal

3. Jika “pendinginan” belum terpenuhi, maka :

(i) jika temperatur yang “seimbang” belum terpenuhi, maka:

a. pilih neighbor acak S′ sebagai solusi terbaru b. tentukan ∆=panjang (S′)−panjang (S) c. jika ∆≤ 0 (menurun) maka, S= S′

jika panjang (S) < panjang(S′) ; 𝑆

^∗

= 𝑆

d.

selain itu (meningkat) :

pilih bilangan r yang berdistribusi seragam secara acak dari [0,1],

jika 𝑟 < 𝑒

^{−∆ 𝑇⁄}

; S= S′

e. Akhiri simpul “keseimbangan belum terpenuhi.”

(ii) turunkan temperatur T

(iii) akhiri simpul “pendinginan belum terpenuhi.”

4. Kembali ke . * S

Menurut Jose Rizal (2007) ada lima komponen utama yang sangat penting dalam menyusun algoritma Simulated Annealing pada Travelling salesman problem, yaitu :

1. Konfigurasi sistem atau image awal proses.

2. Fungsi objektif di mana fungsi ini didefinisikan sebagai fungsi sasaran yang diminimumkan yang analogi dengan energi (total jarak yang ditempuh salesman)

3. Parameter kontrol yang analogi dengan temperatur sistem dan merupakan parameter bebas.

4. Mekanisme untuk mengubah konfigurasi interaksi antar titik pengamatan yang analogi dengan pertukaran rute-rute perjalanan antar titik.

5.

Annealing schedule yang dinotasikan dengan fungsi 𝑇_𝑛= 𝑓(𝑇₀, 𝑖, 𝑁) , analogi dengan menurunkan temperatur untuk setiap iterasinya

1.6 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Memperoleh gambaran mengenai aplikasi algoritma Simulated annealing dalam menyelesaikan Travelling Salesman Problem

2. Sebagai tambahan rujukan penelitian selanjutnya yang berhubungan

dengan Travelling Salesman Problem dan Algoritma Simulated Annealing.

7

Universitas Sumatera Utara

1.7 Metodologi Penelitian

Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah:

1. Identifikasi masalah 2. Pengambilan data

3. Menjelaskan definisi Algoritma Simulated Annealing dan Travel Salesman Problem Simetris.

4. Menyelesaikan permasalahan Travellingl Salesman Problem. dengan penyelesaian awal menggunakan Algoritma Simulated Annealing

5. Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang

telah diselesaikan.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Travelling Salesman Problem

Travelling salesman problem memiliki sejarah panjang. Dicetuskan pertama kali oleh Euler pada awal tahun 1759, walaupun dengan nama yang berbeda, yang tertarik untuk menyelesaikan permasalahan “knight’s tour”. Solusi yang tepat akhirnya diperoleh ketika pion kuda melewati tiap-tiap rute yang memungkinkan dari 64 kotak pada papan catur tepat satu kali dalam perjalanannya. Yang artinya setelah pion kudatersebut melewati seluruh kemungkinan rute akhirnya dia menemukan solusi yang tepat.

Kemudian sekitar tahun 1800 diperkenalkan kembali oleh matematikawan Irlandia bernama William Rowan Hamilton dan matematikawan Inggris bernama Thomas Penyngton yang berupa suatu permainan bernama Icosian Hamilton yang mengharuskan pemain untuk menyelesaikan perjalanan dari 20 titik dengan menggunakan hanya jalur-jalur tertentu. Oleh karena itu travelling salesman problem sangat erat hubungannya dengan cycle hamilton di mana dideskripsikan sebagai lintasan seorang salesman yang harus mengunjungi sebanyak n kota.

Misalkan adalah jarak perjalanan dari kota i ke kota j dan salesman ingin melakukan perjalanan dengan biaya total yang minimum, yang mana biaya total adalah jumlah masing-masing biaya tiap edge atau jalur perjalanannya (Vasudev, 2006, hal : 88). Sehingga travelling salesman problem didefinisikan sebagai suatu permasalahan optimasi yang bertujuan untuk mendapatkan rute terpendek (minimum) dari beberapa tempat atau kota yang harus dilalui seorang salesman tepat satu kali ia hingga kembali ke tempat awal keberangkatannya.

Jadi, secara sederhana Travelling salesman problem merupakan

permasalahan seorang salesman yang harus melakukan kunjungan tepat satu kali

pada semua kota dalam sebuah lintasan sebelum dia kembali ke titik awal

keberangkatannya.

9

Universitas Sumatera Utara

Definisi 2.1.1 Andaikan dinotasikan sebagai kota-kota yang telah dikunjungi, khususnya jika 𝑥

_𝑖

= 𝑘 , maka kota 𝑘 adalah kota ke i yang telah dikunjungi selama perjalanan dan 𝐷 = [𝑑

_𝑖𝑗

] merupakan matriks jarak yang mana anggota-anggota dinotasikan sebagai jarak antara kota i dan kota j.

Permasalahannya adalah menemukan rute terpendek untuk melewati seluruh kota tepat satu kali. Sehingga secara matematis Travelling sallesman problem didefinisikan sebagai :

Minimum

∑ 𝑑𝑥

_𝑖

𝑥

_𝑖−1

𝑁

𝑖=2

Dengan kendala :

𝑥

_𝑖

≠ 𝑥

_𝑗

, 1 ≤ 𝑖 , 𝑗 ≤ 𝑁 , ∀

_𝑖

, ∀

_𝑗

(𝑖 ≠ 𝑗)

1 ≤ 𝑥

_𝑖

≤ 𝑁 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁

Model dari permasalahan Travelling salesman problem dapat digambarkan sebagai graph lengkap dengan n verteks. Bentuk travelling salesman problem dengan graph didefinisikan sebagai berikut.

TSP = {〈𝐺, 𝑑, 𝑘〉}, dimana : 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graph lengkap yang sering dinotasikan dengan 𝐾

_𝑛

. d adalah fungsi dari verteks dari 𝑉×𝑉 → 𝑍 , 𝑘 ∈ 𝑍 dan G memiliki rute perjalanan dengan biaya sebanyak k.

Graph G adalah pasangan (V(G),E(G)) dengan (V(G)) adalah himpunan tidak

kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, (E(G)) adalah

himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik- titik berbeda di

(V(G)) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan

dilambangkan dengan p(G), dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G

dan dilambangkan dengan q(G). Jika graph yang dibicarakan hanya graph G, maka order dan ukuran dari G masing-masing cukup ditulis p dan q. Graph dengan order p dan q disebut graph-(p,q) (Abdusakir, 2009)

Definisi 2.1.2 Suatu graph dikatakan lengkap apabila graph sederhana dengan n verteks dan setiap verteks pada G terhubung dengan verteks lainnya tepat satu edge.. Dengan catatan bahwa 𝐾

_𝑛

memiliki tepat

^{𝑛(𝑛−1)}

2

edge dan (n–1)!

lintasan (Vasudev, 2006, hal : 20)

Contoh. 2.1 : Berikut diberikan gambaran travelling salesman problem dengan menggunakan graph lengkap dari lintasan hamilton. Andaikan G = (V,E) adalah suatu graph lengkap dengan V = {

𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄, 𝑣₅, 𝑣₆

} dan 𝐸 = {𝑒

₁

, 𝑒

₂

, 𝑒

₃

, 𝑒

₄

, 𝑒

₅

, 𝑒

₆

, 𝑒

₇

, 𝑒

₈

, 𝑒

₉

, 𝑒

₁₀

, 𝑒

₁₁

, 𝑒

₁₂

, 𝑒

₁₃

, 𝑒

₁₄

, 𝑒

₁₅

} maka bentuk graph tersebut adalah :

Gambar 2.1 Graph lengkap dengan 6 verteks dan 15 edge.

11

Universitas Sumatera Utara

Namun, travelling salesman problem juga dapat dideskripsikan kedalam bentuk graph tidak lengkap seperti contoh berikut.

Contoh 2.2 : Diberikan suatu 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dengan 5 verteks dan 8 edge

Gambar 2.2 Graph tidak lengkap dengan 5 verteks dan 8 edge

Tiap verteks pada suatu graph merupakan representasi dari kota-kota yang harus dikunjungi oleh seorang salesman, sedangkan edge yang menghubungkan antar verteks merupakan representasi dari nilai jarak antar kedua kota. Dalam graph, travelling salesman problem direpresentasikan sebagai graph berbobot.

Graph berbobot adalah graph yang setiap sisinya diberi sebuah nilai atau bobot. Bobot pada setiap sisi graph dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan. Bobot dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjalanan antara dua buah kota, waktu tempuh antara dua buah kota, waktu tempuh pesan antara simpul komunikasi dengan simpul komunikasi lainya, ongkos produksi dan sebagainya. Graph berbobot juga sering dikaitkan dengan istilah graph berlabel (Munir, 2012).

Definisi. 2.1.3 Andaikan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah suatu graph dan 𝑤: 𝐸 → ℕ adalah suatu fungsi berbobot maka bersama dengan fungsi disebut graph berbobot.

Definisi. 2.1.4 Andaikan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah suatu graph dan 𝑤: 𝐸 →

ℕ adalah suatu graph berbobot dan terhubung dengan T adalah spanning tree

pada G maka :

𝑤(𝑇) = ∑ 𝑤(𝑐)

𝑐∈𝑇

Adalah jumlah bobot tiap edge pada T

Ada dua metode yang sering digunakan dalam menyelesaikan travelling salesman problem, yaitu :

a.

Metode Optimal

Metode ini menghasilkan nilai yang optimal dengan menemukan secara pasti nilai minimum dari Travelling salesman problem. Biasanya metode optimal ini digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang ruang lingkupnya masih kecil. Namun, dibutuhkan waktu yang cukup lama jika lingkup permasalahan sudah memasuki skala besar yaitu jumlah kota yang harus dilalui sangat banyak. Metode optimal itu meliputi complete enumeration, branch and bound, cutting plane dan dynamic programming.

b.

Metode Aproksimasi

Metode aproksimasi atau sering disebut juga dengan metode heuristik menghasilkan penyelesaian yang hanya mendekati nilai yang optimal.

Metode aproksimasi ini meliputi tabu search, local search, algoritma acak, Simulated Annealing, algoritma greedy, ant colony dan neural network.

2.2 Metode Metropolis

Pada tahun 1953 Metropolis, Rosenbluth dan Teller memperkenalkan suatu

metode dan algoritma yang sederhana untuk menyimulasikan perubahan benda

dari yang bertemperatur sangat tinggi ke dalam “thermal equilibrium” dengan

menampilkan langkah per langkah dari simulasi tersebut pada temperatur T (Aarts

et al, 1989, hal :14).

13

Universitas Sumatera Utara

Mereka menyatakan permasalahan dengan menyimulasikan reaksi partikel dari suatu sistem fisis berdasarkan mekanika statistika. Mekanika statistika adalah aplikasi dari teori probabilitas yang menerapkan fungsi matematika untuk menangani permasalahan dalam jumlah populasi yang besar kedalam bentuk matematika. Metode dasar dari permasalahan ini dinyatakan sebagai probabilitas menemukan sistem fisis didalam state dengan energi E yang sesuai dengan fungsi Gibs-Boltzmann yaitu 𝑒

^{−𝐸⁄𝑘𝑇}

dimana 𝑇 > 0 adalah temperature dan 𝑘 > 0 adalah konstanta Boltzman

Untuk setiap temperatur fungsi tersebut menurun secara monoton pada energi E, sehingga state yang berada pada sistem fisis tampak lebih seperti menurunkan energi state dari tingginya energi state sebelumnya. Efek dari temperature adalah ketika nilai kecil probabilitas untuk energi state yang rendah adalah lebih besar daripada energi state yang tinggi. Dengan kata lain, jika nilai temperatur besar, maka perbedaan antara dua probabilitas itu sangat kecil dan sistem menjadi lebih sama persis dalam kondisi state apapun.

Definisi 2.2.1 Diberikan state awal i dengan energy 𝐸

_𝑖

, maka state selanjutnya j dihasilkan dengan mengaplikasikan suatu mekanisme acak yang mana mengubah state awal menjadi state selanjutnya dengan tindakan yang kecil, sebagai contoh adalah pertukaran partikel-partikelnya. Energi dari state selanjutnya adalah . Jika perubahan energi yaitu 𝐸

_𝑗

− 𝐸

_𝑖

lebih kecil dari 0, maka state j diterima sebagai state yang akan dipakai selanjutnya. Dan jika perubahan energi tersebut lebih besar atau sama dengani 0 maka state j diterima sebagai state berikutnya jika memenuhi syarat probabilitas berikut.

exp ( 𝐸

_𝑖

− 𝐸

_𝑗

𝑘

_𝐵

𝑇 )

di mana T dinotasikan sebagai temperatur pada ruang panas dan 𝑘

_𝐵

adalah konstanta Boltzmann. Aturan penerimaan diatas disebut dengan kriteria Metropolis dan algoritmanya disebut dengan algoritma Metropolis.

Berikut adalah algoritma Metropolis untuk permasalahan minimasi.

Mulai

Ambil S sebagai solusi current.

Ambil 𝑆

^′

sebagai solusi terpilih dengan distribusi seragam secara acak dari tetangga S

Jika 𝐸(𝑆′) ≤ 𝐸(𝑆)

Perbaharui 𝑆 ← 𝑆′

Yang lain

Dengan probabilitas 𝑒

^{−∆𝐸𝑘𝑇}

Perbaharui 𝑆 ← 𝑆′

Selain itu

Tinggalkan S yang tidak berubah Akhiri

Kriteria Metropolis diaplikasikan ke simulasi annealing untuk membangkitkan atau mendapatkan suatu barisan solusi dari permasalahan optimasi kombinatorial. Dengan menerapkan algoritma Metropolis ke simulasi annealing maka pada simulasi annealing akan terlihat sebagai suatu iterasi untuk mengevaluasi seluruh perubahan fungsi objektif dan nilai penurunan suhu.

2.3 Simulated Annealing

Pengertian umum simulasi adalah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan model atau algoritma dari suatu sistem nyata.

Konsep dasarnya adalah menggunakan beberapa perangkat untuk meniru sistem nyata guna mempelajari dan memahami sifat-sifat, perangai atau tingkah laku dan karakteristik operasinya. Simulasi juga merupakan alat percobaan untuk mengetahui data sampel serta taksiran statistik dari suatu model atau algoritma.

Oleh karena itu, simulasi sangat berkaitan dengan percobaan untuk menaksir

karakteristik dari sistem nyata tersebut dengan tujuan untuk merancang,

menyusun dan mengembangkan sistem atau mengubahnya. Simulasi yang baik

membutuhkan perencanaan dan organisir yang bagus, namun bentuk simulasi

15

Universitas Sumatera Utara

tersebut tidak selalu tetap dan selamanya akan terus berubahubah sesuai dengan permasalahan dan kendala yang muncul. Pada umumnya terdapat lima langkah utama yang diperlukan dalam menggunakan simulasi sebagai metode penyelesaian suatu permasalahan, yaitu :

1. Tentukan sistem atau persoalan yang ingin disimulasikan.

2. Kembangkan model atau algoritma simulasi yang ingin digunakan.

3. Menguji model atau algoritma tersebut dan bandingkan karakteristiknya dengan karakteristik sistem nyata yang diadopsi, kemudian berlakukan model simulasinya.

4. Rancang percobaan-percobaan simulasi.

5. Jalankan simulasi dan analisis outputnya.

Simulated Annealing (SA) mensimulasikan proses annealing pada pembuatan materi yang terdiri dari butir Kristal (glassy) atau logam. Tujuan dari proses ini adalah menghasilkan struktur Kristal yang baik dengan menggunakan energy seminimal mungkin.

Penyelesaian suatu permasalahan optimasi dengan menggunakan simulasi annealing terinspirasi dari proses fisika yakni pendinginan bahan logam yang disebut dengan annealing. Dalam proses pendinginan suatu benda, annealing diketahui sebagai proses penurunan suhu secara bertahap untuk mendapatkan tingkat energy yang rendah pada benda (dalam hal ini adalah logam) pada suhu ruang tertentu. Proses tersebut terdiri atas dua langkah (Kirkpatrick et al, 1982;

1983) sebagai berikut.

1. Menaikkan temperature ruang panas hingga mencapai nilai maksimum pada tiap-tiap lelehan benda tersebut.

2. Menurunkan temperatur secara perlahan hingga partikel-partikel benda

tersebut menyusun diri mereka sendiri dalam bentuk yang stabil hingga

akhirnya menjadi benda padat, yang dalam bentuk cair partikel-partikel

benda tersebut mampu menyusun diri mereka sendiri secara acak.

Berikut adalah tabel dari analogi antara annealing dalam permasalahan proses pendinginan logam dan annealing dalam permasalahan optimasi :

Tabel 2.1 Analogi proses annealing

Proses Annealing pada logam Permasalahan Optimisasi

State Solusi Layak

Energi Fungsi Evaluasi

Keadaan Stabil Solusi Optimal

Rapid Quenching Local Search

Suhu Parameter Kontrol

Pendinginan bertahap Simulated Annealing

Dari tabel diatas diperoleh gambaran analogi antara permasalahan optimasi kombinatorial dan Simulated Annealing yaitu sebagai berikut :

1. Solusi-solusi dari permasalahan optimasi kombinatorial (dalam hal ini adalah travelling salesman problem) ekuivalen terhadap state dari sistem annealing.

2. Total biaya atau bobot dari solusi-solusi tersebut ekuivalen terhadap energy state.

Simulated Annealing pada Travelling salesman problem memiliki beberapa pertanyaan dasar yang harus diselesaikan dalam bentuk algoritma yaitu :

1. Apa solusinya?

2. Apa titik tetangga dari solusinya?

3. Berapa total biaya dari solusi tersebut?

4. Bagaimana cara menentukan solusi awalnya?

17

Universitas Sumatera Utara

Berdasarkan analogi antara annealing dalam permasalahan proses pendinginan logam dan annealing dalam permasalahan optimasi ada beberapa pertanyaan tambahan untuk menentukan algoritma yang cocok dalam permasalahan yaitu sebagai berikut.

1.

Bagaimana menentukan temperatur awal T?

2.

Bagaimana menentukan rasio penurunan pendinginan pada cooling scheduling?

3.

Bagaimana menentukan keadaan akhirnya?

4.

Bagaimana menentukan kriteria penghentian iterasinya?

Dari beberapa pertanyaan tersebut, aplikasi dari analogi algoritma Simulated Annealing harus memenuhi tiga rincian berikut.

1.

Representasi dari permasalahan

Representasi dari permasalahan mengandung representasi ruang solusi dan fungsi nilai. Fungsi nilai harus ditetapkan sebagai nilai efektif dari solusi yang berkaitan dengan objektif optimasi.

2.

Mekanisme transisi

Membangkitkan trail untuk mengubah solusi awal menjadi solusi berikutnya memiliki tiga langkah. Pertama, solusi awal yang baru dibangkitkan dari salah satu solusi current dengan menerapkan mekanisme pembangkitan. Kedua, perubahan nilai diantara dua solusi dihitung dan yang ketiga, tentukan keputusan diterima atau tidaknya solusi yang baru dan mengganti solusi current dengan solusi terbaru jika solusi yang baru tersebut diterima.

Evaluasi trail merupakan bagian yang menghabiskan waktu yang cukup banyak dalam algoritma Simulated Annealing dan harus dilakukan dengan waktu yang seefisien mungkin. Mekanisme pembangkitan biasanya memilih solusi baru yang terkandung dalam salah satu solusi current dengan penyusunan ulang sederhana.

Keputusan untuk menerima solusi baru tersebut berdasarkan atas

kriteria penerimaan yaitu kriteria Metropolis berikut.

ℙ{𝑎𝑐𝑐𝑒𝑝𝑡} = { 1 jika ∆𝑓 < 0 𝑒𝑥𝑝 (−

^∆𝑓

𝑐

) jika ∆𝑓 ≥ 0

di mana c adalah parameter kontrol yaitu 𝑘

_𝑏

𝑇 dengan 𝑘

_𝑏

adalah konstanta Boltzmann dan T adalah temperatur serta ∆𝑓 adalah perubahan biaya antara solusi baru dan solusi current dalam kasus permasalahan minimasi. Dalam mekanisme transisi terdapat proses modifikasi, langkah acak atau perubahan apa yang harus dilakukan terhadap elemen-elemen konfigurasi untuk menghasilkan konfigurasi berikutnya serta fungsi evaluasi atau fungsi objektif yang dapat menyatakan baik-buruknya suatu solusi terhadap permasalahan.

3. Jadwal pendinginan atau cooling schedule.

Simulated annealing bekerja dengan menjalankan algoritma Metropolis yang secara perlahan menurunkan nilai hingga akhir proses penurunan. yang diperbaharui tersebut disebut sebagai jadwal pendinginan atau cooling schedule. Secara resmi, cooling schedule adalah suatu fungsi 𝑇

_𝑛

dari {1,2,3, … } yang merupakan bilangan real positif dalam iterasi dari algoritma Metropolis dan digunakan temperatur 𝑇

_𝑛

(𝑖) sebagai definisi dari probabilitas.

Dari rincian diatas diperoleh hal-hal penting yang harus diperhatikan dalam pelaksanaan proses simulated annealing yaitu sebagai berikut.

1. Inisialisasi solusi awal yang dipilih secara acak.

Memilih solusi awal secara acak sebagai posisi awal iterasi dalam proses simulasi.

2. Temperatur awal

Temperatur awal harus memiliki nilai yang cukup besar agar mampu terhindar dari bad local optima. Biasanya nilai temperatur awal ini ditetapkan sebesar dua kali panjang suatu jalur yang telah dipilih secara acak.

3. Mekanisme pertukaran.

19

Universitas Sumatera Utara

Tentukan operator yang dibutuhkan untuk menentukan pertukaran solusi yang dianggap sebagai iterasi.

4.

Fungsi objektif permasalahan

Mengevaluasi setiap fungsi energi yang berubah karena proses iterasi dari mekanisme pertukaran.

5. Cooling schedule

Fungsi cooling schedule yang umum digunakan adalah : 𝑇

_𝑖+1

= 𝑔×𝑇

_𝑖

di mana 𝑔 adalah rasio pendinginan untuk menurunkan temperatur dengan 𝑔 < 1 . Hasil yang bagus akan diperoleh jika 𝑔 berada pada range [0.8, 0.99] (Chibante, 2010)

6. Kriteria penghentian proses simulasi.

Ada beberapa metode yang biasa digunakan untuk mengontrol penghentian algoritma (Chibante, 2010), yaitu dilihat dari :

a. Maksimum jumlah iterasi b. Nilai minimum temperature c. Nilai minimum fungsi objektif

d. Nilai minimum dari tingkat penerimaan.

Sebagian besar penerapan simulated annealing mengikuti algoritma dari barisan sederhana berikut (Michalewicz et al, 2000, hal : 122)

Langkah 1 : 𝑇 ← 𝑇

_𝑚𝑎𝑥

Pilih 𝑣

_𝑐

secara acak

Langkah 2 : Ambil titik 𝑣

_𝑛

dari tetangga pada 𝑣

_𝑐

Jika 𝑒𝑣𝑎𝑙 (𝑣

_𝑛

) lebih baik dari pada 𝑒𝑣𝑎𝑙 (𝑣

_𝑐

) Maka pilih 𝑣

_𝑛

(𝑣

_𝑐

← 𝑣

_𝑛

)

Selain itu pilih 𝑣

_𝑛

dengan probabilitas 𝑒

−∆𝑒𝑣𝑎𝑙 𝑇

Ulangi langkah ini hingga 𝑘

_𝑇

kali Langkah 3 : tetapkan 𝑇 ← 𝑟𝑇

Jika 𝑇 ≥ 𝑇

_𝑚𝑖𝑛

Maka ulangi langkah 2 Selain itu pergi ke langkah 1

Dimana 𝑇

_𝑚𝑎𝑥

adalah temperatur awal, 𝑘

_𝑇

adalah jumlah iterasi, r adalah rasio pendinginan dan 𝑇

_𝑚𝑖𝑛

adalah temperatur setelah membeku.

Berikut ini adalah flowchart dari algoritma simulated annealing (Chibante, 2010).

N Y

Y

N

Y

Gambar 2.3 Flowchart untuk Algoritma Simulated Annealing

Parameter

Awal

Evaluasi Solusi

Bangkitkan solusi baru

Penelusuran dihentikan ?

Output

Diterima ?

Ubah temperatur Update state terbaru

Turunkan temperatur

STOP N

21

Universitas Sumatera Utara

2.4 Simulated Annealing pada Travelling Salesman Problem.

Travelling salesman problem dikenal sebagai suatu permasalahan optimasi yang bersifat klasik dan non-deterministic polynomial-time complete yang berarti tidak ada penyelesaian yang paling optimal selain harus mencoba seluruh kemungkinan penyelesaian yang ada. Permasalahan ini melibatkan seorang salesman yang harus melakukan kunjungan sekali pada semua kota dalam sebuah lintasan sebelum dia kembali ke titik awal keberangkatannya.

Dalam mengadopsi simulated annealing pada Travelling salesman problem, Kirkpatrick (1982; 1983) dan Cerny (1985) menyarankan untuk menggunakan aturan perpindahan 2-opt ketika memilih titik yang bertetanggaan dengannya. Cerny (1985) juga menjelaskan langkah sederhana dalam perubahan posisi antar kota tetapi bagian dalam diantara kota tersebut tidak berubah. Namun dalam bukti nyatanya pendekatan ini tidak efektif.

Kirkpatrick, dkk (1982; 1983) menggunakan suatu algoritma untuk

menyelesaikan permasalahan dalam skala besar (sekitar 6000 kota) tetapi mereka

tidak menyediakan informasi yang lengkap tentang kualitas dari solusi yang

ditemukan, sehingga nilai dan simulated annealing pada Travelling salesman

problem tidak pernah jelas secara numerik.

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data primer dan data sekunder.

Data primer berupa penghitungan langsung jarak dari satu kantor cabang ke kantor cabang lain . Pada penelitian ini terdapat 8 (delapan) titik penjemputan barang. Data sekunder berupa data yang diperoleh dari Mail Processing Center PT. Pos Indonesia Medan dan dilanjutkan pengambilan jarak dengan bantuan aplikasi Google Map.

3.2 Lokasi Penelitian

Penelitian dilakukan di Mail Processing Center PT. Pos Indonesia Medan yang disingkat MPC PT.Pos Indonesia Medan. MPC Medan merupakan tempat untuk memroses surat maupun paket secara lengkap. MPC berfungsi sebagai perencanaan, pengorganisasian, tempat keluar masuknya paket dan pengantaran kiriman secara efektif serta efisien di wilayah Medan yang dapat mengcover untuk wilayah Sumatera Utara.

3.3 Prosedur Penelitian

Dari uraian sebelumnya, algoritma simulated annealing akan dijalankan dengan

menggunakan algoritma Metropolis sehingga nantinya mampu menyelesaikan

Travelling salesman problem. Sebelumnya proses simulated annealing akan

dimodelkan terlebih dahulu agar mempermudah penyusunan algoritma dan

23

Universitas Sumatera Utara

proses simulasi nantinya. Karena kasusnya adalah travelling salesman problem maka model simulasinya adalah model state yang dibangun untuk menyatakan rute-rute yang mungkin menjadi anggota dalam ruang solusi dan energi yang dinyatakan sebagai total jarak yang ditempuh salesman tersebut. Hal-hal dan parameter yang diperlukan untuk menyusun algoritma simulasi yang cocok.

Langkah-langkah dari proses simulasi yang akan dijalankan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Inisialisasi parameter yang dibutuhkan yaitu :

a.

Membangkitkan solusi awal dengan cara memilih rute awal yang dilalui salesman tersebut secara acak dan mengevaluasi solusi awal tersebut.

b.

Tentukan rasio penurunan parameter atau rasio pengoptimalan yang nantinya akan digunakan untuk annealing schedule atau cooling schedule.

2. Tentukan parameter awal yaitu dua kali panjang suatu jalur yang telah dipilih secara acak.

3. Jalankan iterasi dengan menukarkan neighbourhood (tetangga) berikutnya dari solusi yang dipakai sekarang untuk mendapatkan solusi terbaru dengan syarat :

a. Jika solusi terbaru lebih baik dari solusi sebelumnya maka ia dijadikan solusi yang akan dipakai selanjutnya.

b. Jika solusi baru tidak lebih baik dari solusi yang sedang dipakai, gunakan algoritma Metropolis untuk memperbaharui atau update state yaitu :

𝑝 = 𝑒

^∆𝐸𝑇

Jika 𝑟 < 𝑝 maka perubahan jalur atau state diterima.

Sebelumnya tentukan operator yang diperlukan dan sesuai dengan permasalahan

untuk menjalankan mekanisme transisi. Operator ini digunakan hanya sebagai

mekanisme pertukaran titik pada state yang dihasilkan dalam proses iterasi. Dan

berikut adalah salah satu contoh operator yang bisa digunakan.

1. Kota-kota disimpan pada baris L sebagai jalur.

2. Bangkitkan dua bilangan random yang berbeda pada masing-masing iterasi antara 1 sampai NC di mana NC adalah jumlah kota yang akan dikunjungi yaitu 𝑁

_𝑎

dan 𝑁

_𝑏

dengan 𝑁

_𝑎

< 𝑁

_𝑏

3. Pisahkan barisan menjadi tiga bagian : Depan = 𝐿(1) sampai 𝐿(𝑁

_𝑎

− 1) Tengah = 𝐿 (𝑁

_𝑎

) sampai 𝐿(𝑁

_𝑏

) Belakang = 𝐿(𝑁

_𝑏

+ 1) sampai 𝐿(𝑁𝐶) 4. Bangkitkan bilangan random 𝑟 ,

Jika < 0.5 , maka:

Depan Baru = “Depan”

Tengah Baru = “Tengah” dengan urutan yang dibalik.

Belakang Baru = “Belakang”

L Baru = [DepanBaruTengahBaruBelakangBaru]

Jika 𝑟 ≥ 0.5 maka lakukan :

Pilih jalur sementara = [Depan Belakang] , misalkan memiliki M elemen

Bangkitkan bilangan random N dari 1 sampai M sehingga diperoleh

Depan Baru = Jalur sementara (1 sampai N) Tengah Baru = Tengah

Belakang Baru = Sementara (N +1 sampai M) L Baru = [DepanBaruTengahBaruBelakangBaru]

5. Hentikan iterasi sesuai dengan kriteria penghentian iterasi yang diinginkan. Jika kriteria penghentian iterasi adalah dengan cara membatasi jumlah iterasi maka jumlah iterasi yang diinginkan untuk menghentikan proses simulasi adalah lebih kecil atau sama dengan

^(𝑛−1)!

2

25

Universitas Sumatera Utara

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Berikut data jarak rute area Medan Barat pengambilan paket pengiriman di Mail Processing Center PT.Pos Indonesia Medan dalam satuan Km

JARAK Merdeka Walk

Paya Geli

Sunggal Sei Sikambing

Sei Agul

Helvetia Medan Baru

Polonia

Merdeka Walk 0 9 8 5 4 6 4 3

Paya Geli 11 0 6 5 10 7 9 12

Sunggal 8 5 0 4 8 6 6 8

Sei Sikambing 6 7 4 0 5 4 4 6

Sei Agul 4 10 9 5 0 3 5 4

Helvetia 7 8 6 5 4 0 6 8

Medan Baru 3 10 6 4 5 6 0 3

Polonia 2 11 8 6 6 9 2 0

Tabel 4.1 Data Jarak Kantor Pos Cabang

Daftar nama titik yang dilewati : 1 : Merdeka Walk (Kantor Pusat) 2 : Paya Geli

3 : Sunggal

4 : Sei Sikambing

5 : Sei Agul

6 : Helvetia

7 : Medan Baru

8 : Polonia

4.1 Pembahasan dengan Manual Inisialisasi Prameter Awal

Rasio Penurunan (𝑔) = 0,9

Jalur Awal = 1 2 3 4 5 6 7 8

Panjang Jalur (𝐸

_{𝑎𝑤𝑎𝑙}

) = 9 + 6 + 4 + 5 + 3 + 6 + 3 + 2 = 38 Parameter awal (T) = 2×𝐸

_{𝑎𝑤𝑎𝑙}

= 76 Jumlah Iterasi = 10

Iterasi 1 :

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,18 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 3 dan 𝑁

_𝑏

= 4 maka : Depan : 1 2

Tengah : 3 4 Belakang : 5 6 7 8

Karena 𝑟 < 0,5 maka Jalur Baru nya menjadi : 1 2 4 3 5 6 7 8 3. Panjang Jalur baru (𝐸

₁

) = 9 + 5 + 4 + 8 + 3 + 6 + 3 + 2 = 41 4. Karena 𝐸

₁

≥ 𝐸

_{𝑎𝑤𝑎𝑙}

maka gunakan uji kriteria dengan menggunakan

Algoritma Metropolis : 𝑝 = 𝑒

^{−∆𝐸⁄𝑇}

= 𝑒

^{−∆𝐸⁄𝑇}

= 0,9613

5. Oleh karena 𝑟 < 𝑝 maka jalur baru diterima yaitu 1 2 4 3 5 6 7 8

6. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×41 = 36,9

27

Universitas Sumatera Utara

Iterasi 2 :

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,7 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 4 dan 𝑁

_𝑏

= 6 maka : Depan : 1 2 3

Tengah : 4 5 6 Belakang : 7 8 Karena 𝑟 > 0,5 maka

Pilih jalur sementara yaitu : 1 2 3 7 8 Bangkitkan bilangan random 𝑁 = 4 Maka di dapat

Depan Baru : 1 2 3 7 Tengah Baru : 4 5 6 Belakang Baru : 8

3. Panjang Jalur baru (𝐸

₂

) = 9 + 6 + 6 + 4 + 5 + 3 + 8 + 2 = 40 4. Karena 𝐸

₂

< 𝐸

₁

maka jalur baru diterima yaitu 1 2 3 7 4 5 6 8 5. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×40 = 39

Iterasi 3

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,78 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 2 dan 𝑁

_𝑏

= 5 maka : Depan : 1

Tengah : 2 3 4 5 Belakang : 6 7 8 Karena 𝑟 > 0,5 maka

Pilih jalur sementara yaitu : 1 6 7 8 Bangkitkan bilangan random 𝑁 = 2 Maka di dapat

Depan Baru : 1 6

Tengah Baru : 2 3 4 5 Belakang Baru : 7 8 Jalur baru : 1 6 2 3 4 5 7 8

3. Panjang Jalur baru (𝐸

₃

) = 6 + 8 + 6 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 = 38 4. Karena 𝐸

₃

< 𝐸

₂

maka jalur baru diterima yaitu 1 6 2 3 4 5 7 8 5. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×38 = 34,2

Iterasi 4

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,36 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 5 dan 𝑁

_𝑏

= 7 maka : Depan : 1 2 3 4

Tengah : 5 6 7 Belakang : 8

Karena 𝑟 < 0,5 maka Jalur Baru nya menjadi : 1 2 3 4 7 6 5 8 3. Panjang Jalur baru (𝐸

₄

) = 9 + 6 + 4 + 4 + 6 + 4 + 4 + 2 = 39

4. Karena 𝐸

₄

≥ 𝐸

₃

maka gunakan uji kriteria dengan menggunakan Algoritma Metropolis :

𝑝 = 𝑒

^{−∆𝐸⁄𝑇}

= 𝑒

^−1⁄34,2

= 0,97118

5. Oleh karena 𝑟 < 𝑝 maka jalur baru diterima yaitu 1 2 3 4 7 6 5 8 6. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×39 = 35,1

Iterasi 5

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,58 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 3 dan 𝑁

_𝑏

= 6 maka :

Depan : 1 2

29

Universitas Sumatera Utara

Tengah : 3 4 5 6

Belakang : 7 8 Karena 𝑟 > 0,5 maka

Pilih jalur sementara yaitu : 1 2 7 8 Bangkitkan bilangan random 𝑁 = 3 Maka di dapat

Depan Baru : 1 2 7 Tengah Baru : 3 4 5 6 Belakang Baru : 8 Jalur baru : 1 2 7 3 4 5 6 8

3. Panjang Jalur baru (𝐸

₅

) = 9 + 9 + 6 + 4 + 5 + 3 + 8 + 2 = 46

4. Karena 𝐸

₅

≥ 𝐸

₄

maka gunakan uji kriteria dengan menggunakan Algoritma Metropolis :

𝑝 = 𝑒

^{−∆𝐸⁄𝑇}

= 𝑒

^−7⁄35,1

= 0,8191

5. Oleh karena 𝑟 < 𝑝 maka jalur baru diterima yaitu 1 2 7 3 4 5 6 8 6. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×46 = 41,4

Iterasi 6

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,35 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 2 dan 𝑁

_𝑏

= 6 maka : Depan : 1

Tengah : 2 3 4 5 6 Belakang : 7 8

Karena 𝑟 < 0,5 maka Jalur Baru nya menjadi : 1 6 5 4 3 2 7 8

3. Panjang Jalur baru (𝐸

₆

) = 6 + 4 + 5 + 4 + 5 + 9 + 3 + 2 = 38

4. Karena 𝐸

₆

< 𝐸

₅

maka jalur baru diterima yaitu 1 6 5 4 3 2 7 8

5. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×38 = 34,2

Iterasi 7

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,62 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 2 dan 𝑁

_𝑏

= 3 maka : Depan : 1

Tengah : 2 3 Belakang : 4 5 6 7 8 Karena 𝑟 > 0,5 maka

Pilih jalur sementara yaitu : 1 4 5 6 7 8 Bangkitkan bilangan random 𝑁 = 4 Maka di dapat

Depan Baru : 1 4 5 6 Tengah Baru : 2 3 Belakang Baru : 7 8 Jalur baru : 1 4 5 6 2 3 7 8

3. Panjang Jalur baru (𝐸

₇

) = 5 + 5 + 3 + 8 + 6 + 6 + 3 + 2 = 38

4. Karena 𝐸

₇

≥ 𝐸

₆

maka gunakan uji kriteria dengan menggunakan Algoritma Metropolis :

𝑝 = 𝑒

^{−∆𝐸⁄𝑇}

= 𝑒

^−0⁄35,1

= 1

5. Oleh karena 𝑟 < 𝑝 maka jalur baru diterima yaitu 1 4 5 6 2 3 7 8 6. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×38 = 34,2

Iterasi 8

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,15 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 5 dan 𝑁

_𝑏

= 7 maka :

Depan : 1 2 3 4

31

Universitas Sumatera Utara

Tengah : 5 6 7

Belakang : 8

Karena 𝑟 < 0,5 maka Jalur Baru nya menjadi : 1 2 3 4 7 6 5 8 3. Panjang Jalur baru (𝐸

₈

) = 9 + 6 + 4 + 4 + 6 + 4 + 4 + 2 = 39

4. Karena 𝐸

₈

≥ 𝐸

₇

maka gunakan uji kriteria dengan menggunakan Algoritma Metropolis :

𝑝 = 𝑒

^{−∆𝐸⁄𝑇}

= 𝑒

^−1⁄35,1

= 0,9791

5. Oleh karena 𝑟 < 𝑝 maka jalur baru diterima yaitu 1 2 3 4 7 6 5 8 6. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×39 = 35,1

Iterasi 9

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,97 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 3 dan 𝑁

_𝑏

= 7 maka : Depan : 1 2

Tengah : 3 4 5 6 7 Belakang : 8

Karena 𝑟 > 0,5 maka

Pilih jalur sementara yaitu : 1 2 8 Bangkitkan bilangan random 𝑁 = 3 Maka di dapat

Depan Baru : 1 2 8 Tengah Baru : 3 4 5 6 7 Belakang Baru : -

Jalur baru : 1 2 8 3 4 5 6 7

3. Panjang Jalur baru (𝐸

₈

) = 9 + 12 + 8 + 4 + 5 + 3 + 6 + 3 = 51

4. Karena 𝐸

₈

≥ 𝐸

₇

maka gunakan uji kriteria dengan menggunakan Algoritma

Metropolis :

𝑝 = 𝑒

^{−∆𝐸⁄𝑇}

= 𝑒

^−12⁄35,1

= 0,71

5. Oleh karena 𝑟 > 𝑝 maka jalur baru ditolak sehingga jalur yang digunakan untuk iterasi selanjutnya adalah jalur 1 2 3 4 7 6 5 8

6. 𝐸

₉

= 39

7. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×39 = 35,1

Iterasi 10

1. Bangkitkan bilangan random 𝑟 = 0,45 2. Tentukan posisi jalur baru

Bangkitkan 2 bilangan random 𝑁

_𝑎

= 4 dan 𝑁

_𝑏

= 7 maka : Depan : 1 2 3

Tengah : 4 5 6 7 Belakang : 8

Karena 𝑟 < 0,5 maka Jalur Baru nya menjadi : 1 2 3 7 6 5 4 8 3. Panjang Jalur baru (𝐸

₁₀

) = 9 + 6 + 6 + 6 + 4 + 5 + 6 + 2 = 44 4. Karena 𝐸

₁₀

≥ 𝐸

₉

maka gunakan uji kriteria dengan menggunakan

Algoritma Metropolis : 𝑝 = 𝑒

^{−∆𝐸⁄𝑇}

= 𝑒

^−5⁄35,1

= 0,85

5. Oleh karena 𝑟 < 𝑝 maka jalur baru diterima yaitu 1 2 3 7 6 5 4 8 6. Parameter baru (𝑇

_𝑖

) = 0,9×44 = 39,6

Berikut ini adalah tabel hasil dari proses simulasi berupa iterasi yang telah

dilakukan :

33

Universitas Sumatera Utara

Iterasi Rute Total Jarak

1 1 2 4 3 5 6 7 8 41

2 1 2 3 7 4 5 6 8 40

3 1 6 2 3 4 5 7 8 38

4 1 2 3 4 7 6 5 8 39

5 1 2 7 3 4 5 6 8 46

6 1 6 5 4 3 2 7 8 38

7 1 4 5 6 2 3 7 8 38

8 1 2 3 4 7 6 5 8 39

9 1 2 3 4 7 6 5 8 39

10 1 2 3 7 6 5 4 8 44

Tabel 4.2 Hasil total jarak dari iterasi manual yang dilakukan

Dari hasil yang didapat total jarak terpendek dari rute adalah 38 km dengan beberapa rute yang memiliki total jarak yang sama, hasil tersebut belum cukup akurat oleh karena iterasi yang masih sangat sedikit, untuk itu dibutuhkan bantuan program untuk mencari jarak teroptimal

4.2 Pembahasan Menggunakan Software MATLAB

1. Input data matriks jarak

d = [0 9 8 5 4 6 4 3 ; 11 0 6 5 10 7 9 2 ; 8 5 0 4 8 6 6 8 ;

6 7 4 0 5 4 4 6 ; 4 10 9 5 0 3 5 4 ; 7 8 6 5 4 0 6 8 ; 3 10 6 4 5 6 0 3 ; 2 11 8 6 6 9 2 0 ];

2. Inisialisasi jarak dari satu titik ke titik lain

d_orig = d;

start_time = cputime;

dim1 = size(d,1);

dim12 = size(d);

for i=1:dim1

d(i,i)=10e+06;

end

3. Inisialisasi semua parameter

d1=d;

tour = zeros(dim12); cost = 0;

min_dist=[];

short_path=[];

Lmax = 400;

ATmax = 200 alfa = 0.9;

Rf = 0.0001;

Iter_max = 1000000;

start_time = cputime;

4. Membangkitkan solusi awal dan Rute terpendek

k = 1;

for i=1:dim1-1

min_dist(i) = min(d1(k,:));

short_path(i) = find((d1(k,:)==min_dist(i)),1);

cost = cost+min_dist(i);

k = short_path(i);

d1(k,1)=10e+06;

for visited_node = 1:length(short_path);

d1(k,short_path(visited_node))=10e+06;

end end

tour(1,short_path(1))=1;

for i=2:dim1-1

tour(short_path(i-1),short_path(i))=1;

end

last_indx = length(short_path)+1;

short_path(last_indx)=1;

tour(k,short_path(last_indx))=1;

cost = cost+d(k,1);

crnt_tour = short_path;

best_tour = short_path;

best_obj =cost;

crnt_tour_cost = cost;

obj_prev = crnt_tour_cost;

fprintf('\nInitial solution');

crnt_tour

fprintf('Initial tour cost = %d\t', crnt_tour_cost);