INDEKS KOMPETISI DARI DIGRAF DWIWARNA DUA LINGKARAN DENGAN PANJANG BERBEDA EMPAT SKRIPSI JUNIOR BAMBA PASORONG

(1)

DUA LINGKARAN DENGAN PANJANG BERBEDA EMPAT

SKRIPSI

JUNIOR BAMBA PASORONG 130803053

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2017

(2)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2017

(3)

Judul : Indeks Kompetisi dari Digraf Dwiwarna dengan Panjang Berbeda Empat

Kategori : Skripsi

Nama : Junior Bamba Pasorong

Nomor Induk Mahasiswa : 130803053

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Agustus 2017

Disetujui Oleh

Komisi Pembimbing Departemen Matematika FMIPA USU

Pembimbing Ketua

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc —

NIP.19640109 198803 1 004 NIP.—

(4)

INDEKS KOMPETISI DARI DIGRAF DWIWARNA DUA LINGKARAN DENGAN PANJANG BERBEDA EMPAT

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Agustus 2017

(5)

Puji Syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpah- kan kasih sayang-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Indeks Kompetisi dari Digraf Dwiwarna Dua Lingkaran dengan Panjang Berbeda Empat.

Terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada:

1. Ibunda Melva Olivia Theresia Purba, kakanda Febriela Pasorong dan Opung Tiur Manalu yang senantiasa mendoakan, memberi dukungan dan motivasi kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku pembimbing yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat kepada penulis serta dapat meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pe- nguji yang telah memberikan masukan dan saran selama penyusunan skripsi ini.

4. Seluruh Dosen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat kepada penulis selama 4 tahun menimba ilmu di kampus ini.

5. Seluruh staff administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, terkhusus Bang Bandi dan Kak Wanti yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan urusan-urusan terkait seminar pro- posal, seminar hasil, dan ujian skripsi.

6. Rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2013 khususnya Sishi Liani Salnaz, Ericha Anggelina dan Hesty Hermina Udrayanti sebagai rekan seperjuangan yang telah banyak membantu dan memberikan dukungan demi penyelesaian skripsi ini, serta Helda Oktavia sesama pejuang dengan dosen pembimbing yang sama.

(6)

purnaan skripsi ini.

Medan, Juli 2017 Penulis

JUNIOR BAMBA PASORONG

(7)

DENGAN PANJANG BERBEDA EMPAT

ABSTRAK

Suatu Digraf dwiwarna dua lingkaran adalah sebuah digraf yang terdiri dari dua lingkaran dimana busur-busurnya berwarna merah atau biru. Scrambling index dari digraf dwiwarna primitif, dinotasikan dengan k(D⁽²⁾) adalah bilangan bulat positif terkecil h + ` atas semua bilangan bulat tak negatif h dan ` sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D⁽²⁾, terdapat titik w di D⁽²⁾ dengan sifat terdapat jalan u ke w dan v ke w yang terdiri dari h busur merah dan ` busur biru. Pada digraf primitif D, definisi scrambling index dan indeks kompetisi adalah sama. Akan didiskusikan indeks kompetisi dari kelas khusus digraf dwiwarna D⁽²⁾ primitif dua lingkaran dengan panjang lingkaran c dan c + 4. Diberikan formula dari k(D⁽²⁾) yang bergantung pada c dan jarak dari dua titik tertentu ke titik yang berdegree masuk 2.

Kata kunci: digraf terhubung kuat, digraf primitif, scrambling index, indeks kompetisi.

(8)

ABSTRACT

A two-colored two cycles digraph is a digraph consists of two cycles whose arcs are colored red or blue. Scrambling index of primitive two-colored digraph, denoted by k(D⁽²⁾) is a smallest positive integer h + ` over all pairs of nonnegative integers h and ` such that for every pair of vertices u and v in D⁽²⁾ there is a vertex w in D⁽²⁾ with the property that there exist walk from u to w and v to w consisting of h rec arcs and ` blue arcs. In primitive digraph D, definition of scrambling index and competition index are same. We discuss the competition index of a certain class of primitive two-colored two-cycles with cycles of length c and c + 4. We present a formula for k(D⁽²⁾) that depends on c and the distance of two certain vertices to the vertex of indegree 2.

Keywords: strongly connected digraph, primitive digraph, scrambling index, competition index.

(9)

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

BAB 2 DIGRAF DWIWARNA 4

2.1 Digraf Dwiwarna 4

2.2 Matriks Ketetanggan Digraf Dwiwarna 5

2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna 7

2.4 Scrambling Indeks atau Indeks Kompetisi 9

2.5 Batas-Batas Scrambling Index 12

BAB 3 INDEKS KOMPETISI DARI DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DUA LINGKARAN DENGAN PANJANG BERBEDA EMPAT 16

3.1 c ≡ 1(mod 4) 16

(10)

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 58

4.1 Kesimpulan 58

4.2 Saran 59

LAMPIRAN 61

1. c ≡ 1 mod 4 61

2. c ≡ 3 mod 4 64

3. Hurwitz Matriks 67

(11)

Nomor Judul Halaman 1.1 Digraf Dwiwarna dua lingkaran c dan c + 4. 2

2.1 Digraf dwiwarna dengan 9 titik. 5

3.1 Digraf Dwiwarna dua lingkaran c dan c + 4. 16

(12)

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu digraf D terdiri dari himpunan berhingga V yang element-elementnya dise- but titik bersama dengan himpunan E dari pasangan titik berurut yang tidak harus berbeda di V (Brualdi & Ryser, 1991). Misalkan vi dan vj adalah sebarang dua titik di D. Jalan dengan panjang k dari vi ke vj adalah barisan busur-busur yang menghubungkan titik vi dan vj. Kita gunakan notasi vi

→ vk j untuk menunjukkan jalan dengan panjang k dari vi ke vj. Lintasan vi → vj adalah jalan dengan titik- titik yang berbeda. Lingkaran adalah lintasan v_i → v_j dengan v_i = v_j. Digraf D dikatakan primitif jika terdapat bilangan positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D terdapat jalan u→ v dan v^k → u.^k

Suatu digraf dwiwarna D⁽²⁾ adalah digraf dimana busur-busurnya berwarna merah atau biru (Shader & Suwilo, 2003). Untuk bilangan bulat tak negatif h dan `, (h, `)-jalan adalah jalan yang terdiri dari h busur merah dan ` busur biru. Misalkan W adalah jalan di D⁽²⁾, notasikan r(W ) dan b(W ) adalah jumlah busur merah dan biru dari W . Digraf dwiwarna D⁽²⁾ dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan ` sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D⁽²⁾terdapat jalan u−→ v dan v^(h,`) −→ u. Bilangan bulat positif h+` terkecil atas semua bilangan bulat^(h,`) positif yang demikian disebut eksponen D⁽²⁾.

Penelitian mengenai digraf primitif berkembang menggunakan scrambling index. Scrambling index dari digraf primitif D, dinotasikan dengan k(D), adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik dari titik u dan v di D, terdapat titik w di D dengan sifat terdapat jalan u→ w dan v^k → w (Akelbek^k

& Kirkland, 2009). Kim (2010) mengatakan bahwa pada digraf primitif D, definisi scrambling index dan indeks kompetisi adalah sama, sehingga scrambling index dapat disebut juga sebagai indeks kompetisi.

(13)

Mulyono dan Suwilo (2014) mengeneralisir srambling index dari digraf primitif menjadi scrambling index dari digraf dwiwarna primitif. Scrambling index dari digraf dwiwarna primitif D⁽²⁾, dinotasikan dengan k(D⁽²⁾) adalah bilangan bulat positif terkecil h+` atas semua bilangan bulat tak negatif h dan `, sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D⁽²⁾ terdapat titik w di D⁽²⁾ dengan sifat terdapat jalan u−→ w dan v^(h,`) −→ w.^(h,`)

Penelitian ini membahas tentang indeks kompetiti dari digraf dwiwarna dua lingkaran primitif dengan panjang c dan c + 4 untuk c ≡ 1 (mod 4) dan c ≡ 3 (mod 4) dimana bentuk digraf dwiwarna seperti pada Gambar 1.

Gambar 1.1: Digraf Dwiwarna dua lingkaran c dan c + 4.

(14)

1.2 Perumusan Masalah

Andaikan D⁽²⁾ adalah digraf dwiwarna primitif yang terdiri atas dua lingkaran dengan panjang c dan c + 4. Fungsi f (c) manakah yang memenuhi k(D⁽²⁾) ≤ f (c).

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah mencari fungsi f (c) yang memenuhi f (c) ≥ k(D⁽²⁾) pada digraf dwiwarna dua lingkaran dengan panjang c dan c+4, untuk c ≡ 1 (mod 4), c ≥ 5 dengan^c−1₄ busur biru berurutan pada kedua lingkaran, juga untuk c ≡ 3 (mod 4), c ≥ 7 dengan ^c+1₄ busur biru berurutan pada kedua lingkaran.

1.4 Manfaat Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan informasi guna menambah wawasan dalam pembahasan yang berhubungan dengan indeks kompetisi serta referensi bagi peneliti lain yang akan membahas tentang indeks kompetisi digraf dwiwarna lainnya.

(15)

DIGRAF DWIWARNA

Pada bab ini akan dipaparkan konsep dasar yang diperlukan dalam penelitian indeks kompetisi dari digraf dwiwarna, yang mencangkup definisi digraf dwiwarna, primitifitas, scrambling indeks (indeks kompetisi) dan batas-batas indeks kompetisi.

2.1 Digraf Dwiwarna

Pada subbab ini akan dipaparkan definisi digraf, digraf dwiwarna dan notasi yang akan digunakan pada pembahasan selanjutnya.

Suatu digraf D terdiri dari himpunan berhingga dan tak kosong V = {v1, v2, v₃, . . . , v_n} dimana setiap elemennya disebut sebagai titik-titik dari digraf D, bersama dengan himpunan E(D) = {b₁, b₂, . . . , b_m} dimana E(D) ⊆ V × V . Misalkan b_t= (v_i, v_j) ∈ V × V adalah sebuah busur pada digraf D, maka v_i disebut sebagai titik asal busur b_tdan v_j adalah titik terminal dari busur b_t. Suatu digraf dwiwarna D⁽²⁾ adalah digraf dimana setiap busurnya berwarna merah atau biru (Shader dan Suwilo, 2003).

Suatu (h, `)-jalan dari titik v_ike v_j pada digraf dwiwarna D⁽²⁾ adalah sebuah jalan dengan h busur merah dan ` busur biru. Notasi v_i −→ v^(h,`) _j digunakan untuk menyatakan sebuah (h, `)-jalan dari titik v_i ke v_j. Misalkan W_v_i_v_j adalah jalan di D⁽²⁾. Notasi r(W_v_i_v_j) dan b(W_v_i_v_j) secara berurut adalah banyaknya busur merah dan busur biru dari W_v_i_v_j. Vektor r(W_v_i_v_j)

b(W_v_i_v_j)

merupakan komposisi dari W_v_i_v_j. Suatu jalan dari titik v_i ke v_j tanpa perulangan titik disebut sebagai lintasan, yang dinotasikan dengan P_v_i_v_j. Bila v_i = v_j maka P_v_i_,v_j disebut lingkaran (cycle).

Jarak antara titik v_i dan v_j, dinotasikan dengan d(v_i, v_j) adalah lintasan terpendek dari v_ike v_j.

Contoh 2.1.1. Himpunan V = {v₁, v₂v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈, v₉} bersama dengan him-

(16)

Gambar 2.1: Digraf dwiwarna dengan 9 titik.

punan busur merah

R = {(v₁, v₂), (v₂, v₃), (v₄, v₅), (v₅, v₁), (v₅, v₆), (v₆, v₇), (v₈, v₉), (v₉, v₁)}

dan himpunan busur biru

B = {(v₃, v₄), (v₇, v₈)}

adalah sebuah digraf dwiwarna D⁽²⁾ dengan 9 titik, 8 busur merah dan 2 busur biru.

Representasi dari digraf dwiwarna ini diperlihatkan pada Gambar 2.1.

Dari Gambar 2.1, dapat ditemukan contoh sebuah jalan, lintasan dan lingkaran, yakni sebagai berikut:

• v₁ → v₂ → v₃ → v₄ → v₅ → v₁ → v₂ adalah sebuah jalan dari v₁ ke v₂ dengan komposisi [5, 1]^T.

• v₆ → v₇ → v₈ adalah sebuah lintasan dari v₆ ke v₈dengan komposisi [2, 1]^T.

• v₁ → v₂ → v₃ → v₄ → v₅ → v₁ adalah sebuah lingkaran dari v₁ ke v₁ dengan komposisi [4, 1]^T.

2.2 Matriks Ketetanggan Digraf Dwiwarna

Suatu digraf D dapat direpresentasikan dengan menggunakan matriks ketetanggaan (adjacency matrix) M = (m_ij). Untuk setiap entri dari matriks M = (m_ij)

(17)

didefinisikan

m_ij =







1 jika (v_i, v_j) ∈ E(D), 0 lainnya.

Dalam merepresentasikan digraf dwiwarna D⁽²⁾, digunakan dua matriks ketetanggaan, yakni matriks ketetanggan merah R = (rij) dan matriks ketetanggan biru B = (b_ij). Entri dari matriks R = (r_ij) didefinisikan

r_ij =







1 jika (vi, v_j) sebuah busur merah, 0 lainnya.

Selanjutnya entri dari matriks B = (bij) didefinisikan

bij =







1 jika (v_i, v_j) sebuah busur biru, 0 lainnya.

Contoh 2.2.1. Perhatikan digraf dwiwarna D⁽²⁾pada Gambar 2.2.

Matriks ketetanggan merah R = (rij) dan biru B = (b_ij) adalah

M =







0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0







dan B =







0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0





 .

Andaikan R dan B adalah matriks berordo n×n, dan misalkan h serta ` adalah bilangan bulat tak negatif. Suatu (h, `)-Hurwitz product dari matriks ketetanggaan merah R dan matriks ketetanggaan biru B yang dinotasikan dengan (R, B)^(h,`)

(18)

adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian R sebanyak h kali dan B sebanyak ` kali yang didefinisikan secara rekursif, yakni

(R, B)^(h,0) = R^h, (R, B)^(0,`) = B^`,

(R, B)^(h,`) = R(R, B)^(h−1,`)+ B(R, B)^(h,`−1), untuk semua h, ` ≥ 0. (2.1) Sebagai contoh, (R, B)^(2,1) = R(R, B)^(1,1) + B(R, B)^(2,0) = R(RB + BR) + BR² = R²B + RBR + BR².

Lemma 2.2.2. Andaikan D⁽²⁾ adalah digraf dwiwarna atas n titik dan andaikan R dan B adalah matriks ketetanggaan merah dan matriks ketetanggaan biru dari D⁽²⁾. Maka(R, B)^(h,`)adalah banyaknya(h, `)-jalan dari titik v_i kev_j.

Bukti. Pembuktian ini akan dilakukan dengan cara induksi. Andaikan (h, `) = (1, 0) atau (h, `) = (0, 1). Maka (R, B)^(1,0) = R, yakni adalah banyaknya jalan v_i ke vj dengan 1 busur merah. kemudian (R, B)^(0,1) = B adalah banyaknya jalan v_ike vj dengan 1 busur biru. Sehingga pernyataan benar.

Selanjutnya asumsikan bahwa untuk (h, `) adalah benar, dan akan diperlihatkan benar untuk (h + 1, `). Menggunakan persamaan (2.1) diperoleh

(R, B)^(h+1,`) = R(R, B)^(h,`)+ B(R, B)^(h+1,`−1).

Berdasarkan asumsi, maka R(R, B)^(h,`)merupakan jalan dari vike vj yang dimulai dengan busur merah, kemudian dilanjutkan oleh (h, `)-jalan, kemudian B(R, B)^(h+1,`−1) adalah jalan dari vi ke vj yang dimulai dengan busur biru, kemudian dilanjutkan oleh (h + 1, ` − 1)-jalan. Sehingga (R, B)^(h+1,`)adalah banyaknya (h + 1, `)-jalan dari vike vj.

2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna

Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan titik v_i dan v_j di D terdapat jalan dari titik v_ike v_j dan dari v_jke v_i. Selanjutnya digraf dwiwarna

(19)

D⁽²⁾ dikatakan terhubung kuat bila terdapat jalan dari titik v_i ke v_j dan dari v_j ke v_itanpa memerhatikan warna busur yang dilalui. Berikut diperlihatkan sifat khusus dari digraf dwiwarna D⁽²⁾terhubung kuat.

Proposisi 2.3.1. Andaikan D⁽²⁾ adalah sebuah digraf dwiwarna terhubung kuat.

Setiap titik diD⁽²⁾ terletak pada sebuah cycle.

Bukti. Misalkan viadalah sebarang titik di D⁽²⁾. Karena D⁽²⁾terhubung kuat, maka ada titik vj di D⁽²⁾, sehingga (vi, v_j) adalah sebuah busur di D⁽²⁾. Dengan alasan yang sama, maka terdapat sebuah lintasan Pvivj dari vj ke vi. Karena lintasan Pvivj

kemudian dilanjutkan oleh busur (vi, vj) membentuk sebuah lingkaran, dan viadalah sebarang titik di D⁽²⁾, maka setiap titik di D⁽²⁾ berada dalam lingkaran.

Suatu digraf dwiwarna D⁽²⁾dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan `, sehingga untuk setiap pasangan titik v_idan v_jdi D⁽²⁾, terdapat jalan v_i −→ v^(h,`) _j dan v_j −→ v^(h,`) _i.

Misalkan C = C₁, C₂, . . . , C_t adalah himpunan semua lingkaran yang berada pada digraf dwiwarna D⁽²⁾. Selanjutnya definisikan matriks M adalah sebuah matriks berukuran 2 × t, sehingga

M = r(C₁) r(C2) . . . r(Ct) b(C1) b(C2) . . . b(Ct)

.

Dimana untuk kolom ke i dari matriks M adalah vektor komposisi dari lingkaran C_i. Content dari matriks M didefinisikan menjadi 0 jika rank dari M kurang dari dua, dan pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 jika lainnya. Berikut diberikan teorema untuk memperlihatkan bahwa digraf dwiwarna D⁽²⁾ adalah primitif.

Teorema 2.3.2. (Fornasini dan Valcher, 1998) Andaikan D⁽²⁾memiliki paling sedikit 1 busur setiap warna dan andaikanM merupakan matriks cycle di D⁽²⁾. Di- graf dwiwarna D⁽²⁾ dikatakan primitif jika dan hanya jika content dari matriks lingkaran adalah 1.

(20)

Contoh 2.3.3. Perhatikan kembali Gambar 2.2. Terdapat dua lingkaran pada digraf dwiwarna D⁽²⁾ tersebut, yakni C₁ : v₁ → v₂ → v₃ → v₁, dan C₂ : v₁ → v₂ → v₃ → v₄ → v₅ → v₁. Maka matriks lingkaran dari Gambar 2.2 adalah

M = 2 3 1 2

.

Karena det(M ) = 1, maka digraf dwiwarna D⁽²⁾pada Gambar 2.2 adalah primitif.

2.4 Scrambling Indeks atau Indeks Kompetisi

Andaikan digraf dwiwarna D⁽²⁾ adalah primitif dan andaikan v_i dan v_j adalah dua titik berbeda di D⁽²⁾, scrambling index lokal dari v_i dan v_j, dinotasikan k_v_i_v_j(D⁽²⁾) didefinisikan sebagai

k_v_i_v_j(D⁽²⁾) = min

vw∈D⁽²⁾

{k_v_i_v_j(v_w)}

= min

vw∈D⁽²⁾

{(h⁰+ `⁰) : v_i ^(h

0,`⁰)

−→ v_wdan v_j ^(h

0,`⁰)

−→ v_w}.

Scrambling indexdari digraf dwiwarna D⁽²⁾, dinotasikan dengan k(D⁽²⁾) adalah bilangan bulat positif terkecil (h + `) dari semua bilangan bulat tak negatif h dan

`, sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D⁽²⁾, terdapat titik vw ∈ D⁽²⁾ dengan sifat terdapat jalan vi

(h,`)

−→ vw dan vj (h,`)

−→ vw. Dari definisi kvivj(D⁽²⁾) dan k(D⁽²⁾), diperoleh hubungan

k(D⁽²⁾) ≥ max

vi6=v_j{k_v_i_v_j(D⁽²⁾)}.

Contoh 2.4.1. Perhatikan digraf dwiwarna D⁽²⁾pada gambar 2.3.

(21)

scrambling indexlokal dari digraf dwiwarna pada Gambar 2.3 adalah k_v₁_v₂(D⁽²⁾) = min{k_v₁_v₂(v₁), k_v₁_v₂(v₂), k_v₁_v₂(v₃)}

= min{(2, 1), (2, 2), (3, 2)} = min{3, 4, 5} = 3, k_v₁_v₃(D⁽²⁾) = min{k_v₁_v₃(v₁), k_v₁_v₃(v₂), k_v₁_v₃(v₃)}

= min{(2, 1), (2, 2), (3, 2)} = min{3, 4, 5} = 3, k_v₂_v₃(D⁽²⁾) = min{k_v₂_v₃(v₁), k_v₂_v₃(v₂), k_v₂_v₃(v₃)}

= min{(2, 1), (2, 2), (3, 2)} = min{3, 4, 5} = 3.

Dari definisi scrambling index, diketahui bahwa k(D⁽²⁾) ≥ max

vi6=vj

{k_v_i_v_j(D⁽²⁾)}, sehingga k(D⁽²⁾) ≥ {3, 3, 3} = 3. Selanjutnya perhatikan bahwa untuk setiap pasangan dua titik berbeda, v_i dan v_j di D⁽²⁾, terdapat v_i −→ v^(2,1) ₁ dan v_j −→ v^(2,1) ₁, sehingga k(D⁽²⁾) ≤ 3. Karena itu dapat disimpulkan bahwa k(D⁽²⁾) = 3.

Scrambling indexdari suatu digraf dwiwarna D⁽²⁾primitif dapat dicari dengan menggunakan (h, `)-Hurwitz product dari matriks ketetanggan merah R dan biru B, yakni untuk bilangan bulat tak negatif h dan `, setiap baris (R, B)^(h,`) terdapat paling sedikit satu entri yang bernilai positif pada kolom yang sama. Bilangan bulat positif h + ` terkecil atas semua bilangan bulat taknegatif h dan ` merupakan scrambling indexdari digraf dwiwarna D⁽²⁾primitif yang dicari.

Contoh 2.4.2. Dari digraf dwiwarna D⁽²⁾ pada Gambar 2.3, matriks ketetanggaan merah R dan biru B adalah

R =





0 0 0 1 0 1 1 0 0



 danB =





0 1 0 0 0 0 0 0 0



. Maka untuk h + ` = 1 diperoleh

1. (R, B)^(1,0) = R =





0 0 0 1 0 1 1 0 0



.

Karena untuk baris pertama dan kedua tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama, maka tidak terdapat v₁ −→ v^(1,0) _t dan v₂ −→ v^(1,0) _t, dimana v_t adalah titik di D⁽²⁾.

(22)

2. (R, B)^(0,1) = B =





0 1 0 0 0 0 0 0 0



.

Sehingga dapat disimpulkan k(D⁽²⁾) 6= 1.

untuk h + ` = 2, diperoleh

1. (R, B)^(2,0) = R² =





0 0 0 1 0 0 0 0 0



.

Karena untuk baris pertama dan kedua tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama, maka tidak terdapat v1

(2,0)

−→ vt dan v2 (2,0)

−→ vt, dimana vt adalah titik di D⁽²⁾.

2. (R, B)^(1,1) = RB + BR =





1 0 1 0 1 0 0 1 0



.

3. (R, B)^(0,2) = B² =





0 0 0 0 0 0 0 0 0



.

Sehingga dapat disimpulkan k(D⁽²⁾) 6= 2.

untuk h + ` = 3, diperoleh

1. (R, B)^(3,0) = R³ =





0 0 0 0 0 0 0 0 0



.

Karena untuk baris pertama dan kedua tidak memiliki entri positif pada kolom

(23)

yang sama, maka tidak terdapat v1 (3,0)

−→ v_t dan v2 (3,0)

−→ v_t, dimana vt adalah titik di D⁽²⁾.

2. (R, B)^(0,3) = B³ =





0 0 0 0 0 0 0 0 0



.

3. (R, B)^(1,2) = RB² + BRB + B²R =





0 1 0 0 0 0 0 0 0



.

Karena untuk baris pertama dan kedua tidak memiliki entri positif pada kolom yang sama, maka tidak terdapat v1

(1,2)

−→ v_t dan v2 (1,2)

−→ v_t, dimana vt adalah titik di D⁽²⁾.

4. (R, B)^(2,1) = R²B + RBR + BR² =





1 0 0 1 1 1 1 0 1



.

Karena untuk setiap pasangan baris di D⁽²⁾ terdapat entri positif pada kolom yang sama, maka terdapat v_i −→ v^(2,1) _t dan v_j −→ v^(2,1) _t, dimana v_i, v_j, v_t adalah titik di D⁽²⁾.

Sehingga dapat disimpulkan k(D⁽²⁾) = 3.

2.5 Batas-Batas Scrambling Index

Pada subbab ini akan dibahas mengenai batas atas dan bawah untuk scrambling indexdari digraf dwiwarna D⁽²⁾primitif.

Misalkan Wuvadalah sebuah jalan dari u ke v. Perhatikan bahwa sebuah jalan dapat dikomposisi menjadi sebuah lintasan Puv dan beberapa lingkaran. Andaikan panjang Wuvadalah h + `, maka

h

`

= z₁ r(C₁) b(C₁)

+ z₂ r(C₂) b(C₂)

+ · · · + z_t r(C_t) b(C_t)

+ r(P_uv) b(P_uv)

.

h

`

= M z + r(P_uv) b(P_uv)

.

Untuk beberapa lintasan P_uvdan beberapa bilangan bulat tak negatif vektor z.

(24)

Berikut diberikan proposisi untuk menentukan batas atas scrambling index dari digraf dwiwarna D⁽²⁾.

Proposisi 2.5.1. Andaikan D⁽²⁾ adalah digraf dwiwarna primitif terdiri dari dua lingkaran, yakni C₁ dan C₂. Andaikan v adalah titik yang berada pada kedua lingkaran. Jikah dan ` adalah bilangan bulat tak negatif, maka terdapat lintasan P_uv, dan sistem

h

`

= M z + r(P_uv) b(P_uv)

(2.2)

memiliki solusiz tak negatif, maka terdapat jalan u−→ v.^(h,`)

Bukti. Asumsikan solusi dari persamaan (2.2) adalah z = [z1, z2]^T. Solusi dari nilai z dibagi menjadi empat kasus:

1. Jika z1 > 0 dan z2 > 0, maka jalan dimulai dari u, kemudian mengelilingi lingkaran C1 sebanyak z1 kali, kemudian dilanjutkan mengelilingi lingkaran C2 sebanyak z2 kali, selanjutnya dari titik u bergerak ke titik v sepanjang (r(Puv), b(Puv))-jalan.

2. Jika z1 > 0 dan z2 = 0, maka jalan dimulai dari u, kemudian mengelilingi lingkaran C1 sebanyak z1 kali, selanjutnya dari titik u bergerak ke titik v sepanjang (r(Puv), b(Puv))-jalan.

3. Jika z1 = 0 dan z2 > 0, maka jalan dimulai dari u, kemudian mengelilingi lingkaran C2 sebanyak z2 kali, selanjutnya dari titik u bergerak ke titik v sepanjang (r(Puv), b(Puv))-jalan.

4. Jika z1 = 0 dan z2 = 0, maka jalan dimulai dari u, selanjutnya dari titik u bergerak ke titik v sepanjang (r(Puv), b(Puv))-jalan.

Andaikan D⁽²⁾ adalah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari dua lingkaran. Misalkan u dan v adalah dua titik yang berbeda di D⁽²⁾. Untuk beberapa titik w, andaikan k_u,v(w) diperoleh dari (h, `)-jalan. Mulyono et al (2015) memberikan

(25)

lingkaran. Definisikan `(C₁) dan `(C₂) secara berurut adalah panjang dari lingkaran C₁dan C₂.

Lemma 2.5.2. Misalkan digraf dwiwarna D⁽²⁾ adalah primitif dan terdiri dari dua lingkaran dengan matriks cycleM . Misalkan u dan v adalah dua titik yang berbeda diD⁽²⁾. Jikaku,v(w) diperoleh dari (h, `)-jalan, maka

h

`

≥ M q₁ q₂

= M b(C₂)r(P_uw) − r(C₂)b(P_uw) r(C₁)b(P_vw) − b(C₁)r(P_vw)

.

Sehingga k_u,v(w) ≥ `(C₁)[b(C₂)r(P_uw) − r(C₂)b(P_uw)] + `(C₂)[r(C₁)b(P_vw) − b(C₂)r(P_vw)], untuk beberapa lintasan P_uw danP_vw.

Bukti. Karena digraf dwiwarna D⁽²⁾ primitif, maka menurut Teorema 2.3.2 diperoleh det(M ) adalah 1 atau −1. Misalkan det (M ) = 1, maka terdapat bilangan bulat tak negatif q₁ dan q₂, sehingga

h

`

= M q₁ q₂

. (2.3)

Karena setiap (h, `)-jalan dapat dikomposisi menjadi sebuah lintasan dan beberapa lingkaran (cycle), maka

h

`

= M z + r(P_uw) b(Puw)

. (2.4)

untuk beberapa lintasan Puw dan untuk beberapa vektor bilangan bulat tak negatif z. Selanjutnya bandingkan persamaan (2.3) dan (2.4), maka diperoleh

z = q₁ q2

− M⁻¹ r(P_uw) b(Puw)

≥ 0.

Oleh karena itu,

q₁ q₂

≥ M⁻¹ r(P_uv) b(P_uv)

= b(C₂)r(P_uw) − r(C₂)b(P_uw) r(C₁)b(P_uw) − b(C₂)r(P_uw)

.

Sehingga diperoleh q1 ≥ b(C2)r(Puw) − r(C2)r(Puw) untuk beberapa lintasan Puw. Dengan cara yang sama, maka diperoleh q₂ ≥ r(C₁)b(P_vw) − b(C₂)r(P_vw). Oleh karena itu,

h

`

≥ M q₁ q₂

= M b(C₂)r(P_uw) − r(C₂)b(P_uw) r(C₁)b(P_vw) − b(C₂)r(P_vw)

.

(26)

Sehingga k_u,v(w) ≥ `(C₁)[b(C₂)r(P_uw) − r(C₂)b(P_uw)] + `(C₂)[r(C₁)b(P_vw) − b(C₂)r(P_vw)], untuk beberapa lintasan P_uw dan P_vw.

(27)

INDEKS KOMPETISI DARI DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DUA LINGKARAN DENGAN PANJANG BERBEDA EMPAT

Pada bab ini akan diperlihatkan indeks kompetisi dari digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari dua lingkaran untuk c ≡ 1 (mod 4), dimana c ≥ 5 dan c ≡ 3(mod 4), dimana c ≥ 7.

3.1 c ≡ 1(mod 4)

Pada subbab ini akan diperlihatkan indeks kompetisi dari digraf dwiwarna D⁽²⁾dua lingkaran dengan panjang berbeda empat untuk c ≡ 1(mod 4), yang terdiri dari lingkaran

C₁ : v₁ → v₂ → . . . → v_s → v_s+1 → . . . v_c→ v₁ dengan panjang c dan lingkaran

C2 : v1 → v2 → . . . → vs → vc+1 → vc+2 → . . . → vn→ v1

dengan panjang c + 4, dimana n = 2c − s + 4 dan 1 ≤ s ≤ c, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.1.

Gambar 3.1: Digraf Dwiwarna dua lingkaran c dan c + 4.

(28)

Akibat 3.1.1. Misalkan D⁽²⁾adalah digraf dwiwarna yang terdiri dari dua lingkaran dengan panjang c dan c + 4 secara berurutan. Misalkan c ≥ 5 dan c ≡ 1(mod 4). Jika digraf dwiwarna D⁽²⁾adalah primitif, maka matriks cycle dariD⁽²⁾ adalah

M = (3c + 1)/4 (3c + 13)/4 (c − 1)/4 (c + 3)/4

atauM =

(c − 1)/4 (c + 3)/4 (3c + 1)/4 (3c + 13)/4

.

Bukti. Perhatikan bahwa bentuk matriks cycle dari D⁽²⁾ dengan dua lingkaran adalah M = r(C₁) r(C2)

b(C1) b(C2)

, sehingga matriks cycle dari D⁽²⁾ untuk lingkaran dengan panjang c dan c+4 secara berurutan adalah M = c − a c + 4 − b

a b

, untuk suatu bilangan bulat a dan b, dimana 0 ≤ a ≤ c dan 0 ≤ b ≤ c + 4. Karena D⁽²⁾ adalah digraf dwiwarna primitif, maka menurut Teorema 2.3.2, det(M ) = ±1. Jika det(M ) = 1, maka b(c − a) − a(c + 4 − b) = c(b − a) − 4a = 1. Karena c ≡ 1 (mod 4), maka haruslah b − a = 1, sehingga a = (c − 1)/4 dan b = (c + 3)/4. Oleh karena itu

M = (3c + 1)/4 (3c + 13)/4 (c − 1)/4 (c + 3)/4

.

Jika det(M ) = −1, maka b(c−a)−a(c+4−b) = c(b−a)−4a = −1. Karena c ≡ 1 (mod 4), maka haruslah b − a = 3, sehingga a = (3c + 1)/4 dan b = (3c + 13)/4.

Oleh karena itu

M =

(c − 1)/4 (c + 3)/4 (3c + 1)/4 (3c + 13)/4

.

Perhatikan bahwa kedua matriks tersebut hanya mempertukarkan jumlah busur merah dan busur biru pada setiap lingkaran. Pada penelitian ini akan digunakan matriks cycle M = (3c + 1)/4 (3c + 13)/4

(c − 1)/4 (c + 3)/4

. Hal ini berarti minimal jumlah busur biru pada D⁽²⁾ adalah (c + 3)/4 dan maksimal jumlah busur biru adalah (2c + 2)/4. Pada skripsi ini hanya dikaji kasus dengan jumlah busur biru D⁽²⁾ adalah (c + 3)/4, yakni (0, (c − 1)/4)-lintasan terletak pada kedua lingkaran dan 1 busur biru terletak pada lingkaran C₂, tetapi tidak pada lingkaran C₁. Misalkan v_i (0,(c−1)/4)

−→ v_j adalah (0, (c − 1)/4)-lintasan terletak pada kedua lingkaran, dimana 1 ≤ i < j ≤ s dan busur biru pada lingkaran C₂ adalah v_s → v_c+1atau v_k → v_k+1,

(29)

dimana c + 1 ≤ k ≤ n = 2c − s + 4. Bila v_k = v_n, maka asumsikan v_k+1 = v₁. Definisikan d₁ = d(v_k+1, v₁) dan d₂ = d(v_j, v₁).

Teorema 3.1.2. Andaikan D⁽²⁾adalah digraf dwiwarna yang terdiri dari dua lingkaran dengan panjangc dan c + 4 secara berururtan. Misalkan c adalah bilangan bulat positif, dimanac ≥ 5 dan c ≡ 1 (mod 4). Andaikan terdapat (0, (c − 1)/4)- lintasan pada kedua lingkaran dan 1 busur biru pada lingkaran C₂ tetapi tidak pada lingkaranC₁. Jikad₂− d₁ ≥ (3c − 11)/4, maka

k(D⁽²⁾) = ((d₂− d₁ + 3)c²+ (3d₂− 3d₁+ 9)c + 4d₁+ 4)/4.

Bukti. Pertama akan diperlihatkan bahwa k(D⁽²⁾) ≥ ((d₂ − d₁ + 3)c² + (3d₂ − 3d₁ + 9)c + 4d₁ + 4)/4. Maka untuk setiap t = 1, 2, . . . , n, akan diperlihatkan k_v_j_v_k(v_t) ≥ ((d₂− d₁+ 3)c²+ (3d₂− 3d₁+ 9)c + 4d₁+ 4)/4 + d(v₁, v_t). Definisikan q₁ = b(C₂)r(P_v_j_v_t) − r(C₂)b(P_v_j_v_t), (3.1) q₂ = r(C₁)b(P_v_k_v_t) − b(C₂)r(P_v_k_v_t). (3.2) Jika terdapat dua lintasan v_j → v_t atau v_k → v_t, maka untuk menentukan batas bawah dari indeks kompetisi, diambil nilai q₁dan q₂ yang terkecil.

Terdapat empat kasus yang bergantung pada posisi titik v_t. Kasus 1: Titik v_tberada pada lintasan v₁ → v_t.

Terdapat dua buah lintasan P_v_j_v_t, yakni P₁adalah (d₂+ d(v₁, v_t), 0)-lintasan dan P₂ adalah (d₂ + 3 + d(v₁, v_t), 1)-lintasan. Selanjutnya subtitusikan lintasan P₁dan P₂ ke persamaan (3.1). Dari lintasan P₁diperoleh

q₁ = ((c + 3)/4)(d₂+ d(v₁, v_t)) − ((3c + 13)/4)(0)

= ((d₂+ d(v₁, v_t))c + 3d₂+ 3d(v₁, v_t))/4. (3.3) Dari lintasan P₂ diperoleh

q₁ = ((c + 3)/4)(d₂+ d(v₁, v_t) + 3) − ((3c + 13)/4)(1)

= ((d₂+ d(v₁, v_t))c + 3d₂+ 3d(v₁, v_t) − 4)/4. (3.4)