100A-A = 25, ,

(1)

Bilangan irasional

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Langsung ke:

Langsung ke: navigasinavigasi,, caricari Bilangan irasional

Bilangan irasional adalahadalah bilangan riil bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernahyang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a

dan b sebagai

dan b sebagai bilangan bulat bilangan bulatdan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukandan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan

merupakan bilangan rasional bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah

adalah bilangan bilangan π, π, , , dan dan bilangan bilangan e.e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat = 3.14, tetapi Bilangan π sebetulnya tidak tepat = 3.14, tetapi

= 3,1415926535.... atau = 3,1415926535.... atau

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... Untuk

Untuk bilangan bilangan ::

= 1,4142135623730950488016887242096.... atau = 1,4142135623730950488016887242096.... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798.. 76679 73798.. dan untuk bilangan e: dan untuk bilangan e:

1.

1. Himpunan bilangan asliHimpunan bilangan asli

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,……} N = {1,2,3,4,5,6,……}

2.

2. Himpunan bilangan primaHimpunan bilangan prima

Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,….} P = {2,3,5,7,11,13,….}

3.

3. Himpunan bilangan cacahHimpunan bilangan cacah

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,….} C = {0,1,2,3,4,5,6,….}

(2)

4.

4. Himpunan bilangan bulatHimpunan bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} B = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

5.

5. Himpunan bilangan rasionalHimpunan bilangan rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:

merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p,q

p/q dimana p,q ∈∈ bulat dan qbulat dan q

≠≠

0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

berulang.

contoh:

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

6.

6. Himpunan bilangan irasionalHimpunan bilangan irasional

Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau

anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapattidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh:

contoh: log 2, e,log 2, e, √√77 7.

7. Himpunan bilangan riilHimpunan bilangan riil

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

contoh:

contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3log 10, 5/8, -3, 0, 3

8.

8. Himpunan bilangan imajinerHimpunan bilangan imajiner

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

bilangan baru yang bersifat i² = -1

contoh:

contoh: i, 4i, 5ii, 4i, 5i

9. Himpunan bilangan

9. Himpunan bilangan komplekskompleks

Η

Η ιι µµ π υπ υ ν α ν ν α ν β ιβ ι λ α νλ α ν γ αγ α ν κ ο µ π λν κ ο µ π λ ε κε κ σ α δ α λ α η σ α δ α λ α η η ιη ι µ π υµ π υ ν α νν α ν ββ ι λι λ α ν γ α ν α ν γ α ν ψ α ν γ ψ α ν γ α ν γα ν γ γγ οο ττ αα −− α ν γ γα ν γ γ οο τ ατ α ν ψ α (ν ψ α ( α α + + β ιβ ι ) δ ι µ α) δ ι µ α ν α

ν α α , α , β ∈β ∈ R, i² = -1, dengan a bagian riil dan R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.b bagian imajiner.

contoh:

(3)

Tuesday, October 7, 2008

Mengenal Bilangan Rasional dan Irasional ^^

Posted by hendry_dext Posted by hendry_dext

Huaam. Sudah tahukah kalian tentang bilangan irasional? Lalu, kalau sudah tahu, Huaam. Sudah tahukah kalian tentang bilangan irasional? Lalu, kalau sudah tahu, tentunya kalian bisa donk menjawab pertanyaan ini:

tentunya kalian bisa donk menjawab pertanyaan ini: 1.

1. Apakah Apakah adalah adalah bilangan bilangan irasional?irasional?

2.

2. Apakah Apakah adalah adalah bilangan bilangan irasional?irasional?

3. Apakah 0,12111111... adalah bilangan irasional?

4. Bisakah kamu membuat bilangan 0,25252525... menjadi bentuk pecahan a/b yang

paling sederhana?

5.

5. Buktikan Buktikan bahwa bahwa itu itu irasional irasional (Sumber:(Sumber:ariaturnsariaturns))

6. Buktikan

6. Buktikan 22_{log 3 adalah bilangan irasional}_{log 3 adalah bilangan irasional}

7. Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu

bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional?

Nah, kalo kalian masih b'lom tw, baca lagi joedoel post di atas: "Mengenal Bilangan Nah, kalo kalian masih b'lom tw, baca lagi joedoel post di atas: "Mengenal Bilangan

Rasional dan Irasional". So, tenang aja...

Rasional dan Irasional". So, tenang aja... Here, I'll introduce you my friend, IrrationalHere, I'll introduce you my friend, Irrational numbers.. Hehehe..

numbers.. Hehehe..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=

Definisi Bilangan Rasional

Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasio

rasional. Jadi, kita nal. Jadi, kita harus tahu dulu harus tahu dulu apa itu apa itu bilanbilangan rasional. Bilangan rasionagan rasional. Bilangan rasional l adalahadalah bila

bilangan Real yanngan Real yang dapat disg dapat disusun ulanusun ulang dalam bentg dalam bentuk pecahan uk pecahan di mana a dan b harusdi mana a dan b harus intege

integer. Jadi, r. Jadi, BilanBilangan gan irasirasional adalah bilangan Real ional adalah bilangan Real yang TIDAK yang TIDAK dapat disusun ulangdapat disusun ulang dalam

dalam bentuk bentuk pecahan pecahan ..

Mungkin, masih bingung jika belum ada contoh. Langsung ke contoh saja. Mungkin, masih bingung jika belum ada contoh. Langsung ke contoh saja. Contoh:

Contoh: 1. Angka 4.

1. Angka 4. Angka ini dapat Angka ini dapat disusun ulang disusun ulang menjadi menjadi .a=4 dan b=1. .a=4 dan b=1. Jadi, 4 Jadi, 4 bilanganbilangan rasional.

rasional. 2. Pecahan

2. Pecahan . Pecahan . Pecahan ini jini jelas merupakan elas merupakan bilangan rasional, bilangan rasional, karena a=2 karena a=2 dan b=3.dan b=3. 3.

3. Pecahan Pecahan . . Ambil Ambil a=35 a=35 dan dan b=42. b=42. Jelas, Jelas, bilangan bilangan ini ini merupakan merupakan bilangan bilangan rasionalrasional juga.

(4)

Bagaimana dengan bilangan

Bagaimana dengan bilangan ...???.???

Jawab: Jawab: Bi

Bilalangangan n adadalalah bah bililanangan gan imimajajininerer, bi, bilalangngan yan yang ang titidadak rek real (al (bibilalangangan yan yangng sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional

bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.maupun bilangan irasional.

Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638? Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?

Jawab: Jawab: Tentu

Tentu saja saja bilangan bilangan rasional. rasional. Itu Itu khan khan bisa bisa diubah diubah menjadi menjadi ..

Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525...?

desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525...?

Jawab: Jawab: Misalkan Misalkan

A= 0,2525252525....

A= 0,2525252525.... _____._ _____._ (persamaan pertama)(persamaan pertama) Kalikan A dengan 100 menghasilkan:

Kalikan A dengan 100 menghasilkan: 100A=25,2525252525....

100A=25,2525252525.... ___ ___ (persamaan kedua)(persamaan kedua) Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu: Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu: 100A-A = 25,2525252525... - 0,252525252525... 100A-A = 25,2525252525... - 0,252525252525... 99A = 25 99A = 25 A = A = .. Ternyata

Ternyata bilangan 0,252525252525... bilangan 0,252525252525... dapat didapat dibentuk menjadi bentuk menjadi pecahan pecahan di di mana a=25mana a=25 dan b=99.

dan b=99.

Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan rasional. Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan rasional.

Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional? Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional?

Jawab: Jawab:

Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola. Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola. Anggap

Anggap

A=0,121111... A=0,121111...

Kalikan A dengan 100 menghasilkan Kalikan A dengan 100 menghasilkan 100A = 12,1111...

100A = 12,1111... _____._ _____._ (persamaan pertama)(persamaan pertama) Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan

Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan 1000A = 121,1111...

1000A = 121,1111... ____ ____ (persamaan kedua)(persamaan kedua)

Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu 1000A-100A = 121,1111... - 12,1111...

1000A-100A = 121,1111... - 12,1111... 900 A = 109

(5)

A = A = ..

Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111... merupakan bilangan rasional. Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111... merupakan bilangan rasional.

Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal, bilangan Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal, bilangan desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional?

desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional?

Jawab: Jawab:

Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilang Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilangatauatau

penyebutnya bukan bilangan rasional

penyebutnya bukan bilangan rasionalbelum tentubelum tentu rasional.rasional.

Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat?

cepat?

Jawab: Jawab:

Sangat mudah. Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, Sangat mudah. Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung

dari banyak bilangan yang berulang tadi). Lihat contoh di bawah. dari banyak bilangan yang berulang tadi). Lihat contoh di bawah. Contoh:

Contoh: 1.

1. Tentukan Tentukan bilangan bilangan pecahan pecahan paling paling sederhana sederhana dari dari bilangan 0,123123123123123....bilangan 0,123123123123123.... Jawab:

Jawab:

Terlihat

Terlihat bahwa bahwa ada ada 3 3 bilangan bilangan yang yang berulang. berulang. maka maka pecahan pecahan itu itu adalah adalah .. Setelah

Setelah disederhanakan disederhanakan maka maka menjadi menjadi ..

2.

2. Jika Jika adalah adalah suatu suatu pecahan pecahan dari dari bilangan bilangan 0,01428571428517142851714280,0142857142851714285171428517....517.... Tentukan a+b positif terkecil!

Tentukan a+b positif terkecil! Jawab:

Jawab:

Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi

bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517....

0,142857142851714285171428517....

Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah: Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:

.. Setelah

Setelah disederhanakan, disederhanakan, maka maka hasilnya hasilnya adalah adalah . . Dengan Dengan demikian, demikian, a+b a+b positif positif terkecilterkecil yang diminta adalah 70+1 =

(6)

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=

Definisi Bilangan Irasional

Nah, sekarang kita baru lanjut ke "Bilangan Irasional". Tentunya, jika sudah paham Nah, sekarang kita baru lanjut ke "Bilangan Irasional". Tentunya, jika sudah paham

tentang konsep bilangan rasional, tidak akan sulit memahami konsep ini. Intinya, jika tentang konsep bilangan rasional, tidak akan sulit memahami konsep ini. Intinya, jika bilangan itu

bilangan itu tidak dapat tidak dapat dijadikan pecahan dijadikan pecahan , maka , maka bilangan itbilangan itu iru irasional.asional.

Bilangan dengan desimal tak hingga dan tak berpola apakah merupakan bilangan Bilangan dengan desimal tak hingga dan tak berpola apakah merupakan bilangan irasional?

irasional?

Jawab: Jawab: Ya. Mi

Ya. Misalnya salnya pi pi yang yang disimbolkan disimbolkan dengan digit dengan digit 3,14159265358979323846264..3,14159265358979323846264.... .. Digit- Digit-digit

digit itu itu tak tak pernah pernah berulang. berulang. Oleh Oleh karena karena itulah itulah tidak tidak bisa bisa dijadikan dijadikan pecahan pecahan . . BegituBegitu pula

pula dengan dengan yang yang digit-digitnya digit-digitnya adalahadalah 1,41421356237309504880168872420969807.... 1,41421356237309504880168872420969807.... Oh iy

Oh iya, bia, bilanlangan gan jugjuga mera merupakupakan bian bilanlangan igan irasrasionional yaal yang peng pertartama kama kali beli berharhasilsil dibukt

dibuktikan orang ikan orang sebelsebelum um MasehiMasehi. . Orang itu Orang itu bernambernama a HippapHippapus us (Sumb(Sumber:er: ariaturnsariaturns).). Untuk

Untuk membuktikan membuktikan apakah apakah itu itu irasional, irasional, kita kita tidak tidak perlu perlu menghitung menghitung semua semua digitnyadigitnya karena digitny

karena digitnya a itu infinite (tak itu infinite (tak hingga) banyaknyhingga) banyaknya. a. HippapHippapus us berhasberhasil il membememberikan kitarikan kita gambaran bagaimana membuktikannya dengan lebih mudah. Bukti ini juga berlaku untuk gambaran bagaimana membuktikannya dengan lebih mudah. Bukti ini juga berlaku untuk akar bilangan lainnya, seperti akar 3, akar 5, dan seterusnya.

akar bilangan lainnya, seperti akar 3, akar 5, dan seterusnya.

Bagaimana

Bagaimana cara cara membuktikan membuktikan bahwa bahwa itu bilangan itu bilangan irasional?irasional?

Jawab: Jawab: Untuk

Untuk membuktikan membuktikan adalah adalah irasional irasional kita kita bisa bisa menggunakan menggunakan metode metode kontradiksikontradiksi (( proof by contradiction proof by contradiction), yaitu dengan mengasumsikan bahwa lawan dari pernyataan), yaitu dengan mengasumsikan bahwa lawan dari pernyataan adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan dalil tersebut benar.

dalil tersebut benar. Pertama,

Pertama, asumsikan asumsikan bahwa bahwa bilangan bilangan rasional rasional yang yang bisa bisa dibentuk dibentuk menjadi menjadi .. =

=

Pindah ruas dan kuadratkan, sehingga menjadi: Pindah ruas dan kuadratkan, sehingga menjadi:

2 2 ==

Karena ruas kiri genap, maka ruas kanan juga harus genap. Oleh karena itu, misalkan a = Karena ruas kiri genap, maka ruas kanan juga harus genap. Oleh karena itu, misalkan a = 2k. 2k. 2 2 == = 2 = 2

(7)

Maka

Maka mengakibatkan mengakibatkan juga juga genap. genap. Artinya Artinya b b haruslah haruslah genap.genap.

Artinya, pada asumsi ini mengakibatkan a dan b keduanya haruslah genap. Padahal, Artinya, pada asumsi ini mengakibatkan a dan b keduanya haruslah genap. Padahal, bilangan a dan b ini haruslah relatif prima. Coba, bayangkan saja. Apabila kedua bilangan bilangan a dan b ini haruslah relatif prima. Coba, bayangkan saja. Apabila kedua bilangan harus genap, artinya bilangan tersebut seharusnya bisa disederhanakan bukan? Jadi, tidak harus genap, artinya bilangan tersebut seharusnya bisa disederhanakan bukan? Jadi, tidak akan

akan ada ada a a dan dan b b yang yang memenuhi memenuhi kondisi kondisi = = . . Jadi, Jadi, adalah adalah bilangan bilangan irasional.irasional. (Sumber:

(Sumber: ariaturnsariaturns))

Bagaimana cara membuktikan bahwa

Bagaimana cara membuktikan bahwa 22_{log 3 adalah bilangan irasional?}_{log 3 adalah bilangan irasional?} Jawab:

Jawab:

Gunakan cara yang sama

Gunakan cara yang sama seperti soal sebelumnya.seperti soal sebelumnya. Asumsikan bahwa

Asumsikan bahwa22_{log 3 adalah bilangan rasional. Untuk positif integer m dan n, maka}_{log 3 adalah bilangan rasional. Untuk positif integer m dan n, maka} kita dapat: kita dapat: 2 2_{log 3}_{log 3}₌₌ = = 33 = = Di s

Di sini kini kita ita akan akan menemumenemui sesi sesuatu yuatu yang kang kontradontradiktiiktif. Ruaf. Ruas kis kiri, ri, , akan , akan selalselalu beru bernilainilai genap un

genap untuk setuk semua nimua nilai mlai m, seda, sedangkan unngkan untuk rtuk ruas kauas kanan, nan, akan sakan selalu elalu bernibernilai galai ganjilnjil untuk semua nilai n. Maka, tidak mungkin ada nilai m dan n yang memenuhi. Jadi,

untuk semua nilai n. Maka, tidak mungkin ada nilai m dan n yang memenuhi. Jadi,22log 3log 3 adalah bilangan irasional.

adalah bilangan irasional.

Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional?

suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional? Jawab:

Jawab:

Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi

Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi sebagai berikut.sebagai berikut.

, di mana a dan b adalah bilangan irasional dan c adalah bilangan rasional. , di mana a dan b adalah bilangan irasional dan c adalah bilangan rasional. Seandainya,

Seandainya, kita kita ambil ambil contoh contoh a a = = dan dan b b = = , , maka maka kita kita tentunya tentunya bisa bisa sajasaja menganggap

menganggap bahwa bahwa sebagai sebagai salah salah satu satu contoh contoh bilangan bilangan rasional. rasional. Maka, Maka, di di sinisini jawabannya sudah didapat.

jawabannya sudah didapat. Namun,

Namun, apabila apabila itu itu merupakan merupakan bilangan bilangan irasional, irasional, maka maka kita kita bisa bisa menganggapmenganggap bahwa

bahwa a a = = dan dan b b = = , , dengan dengan demikian demikian c c = = . . Artinya, Artinya, c c = = 2,2, merupakan jawaban yang dimaksud.

(8)

Dari semua bilangan Real yang ada, manakah bilangan yang lebih banyak, bilangan Dari semua bilangan Real yang ada, manakah bilangan yang lebih banyak, bilangan irasional atau bilangan rasional?

irasional atau bilangan rasional?

Jawab: Jawab:

Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional. Bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional. Bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk misalnya akar 1, akar 4, akar 9, akar 16 dan sebagainya. Namun, ternyata akar 2, misalnya akar 1, akar 4, akar 9, akar 16 dan sebagainya. Namun, ternyata akar 2, akar 3, akar 5, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata, bilangan irasional akar 3, akar 5, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata, bilangan irasional mengambil celah yang lebih banyak ketimbang bilangan rasional. Dan lagi, bilangan mengambil celah yang lebih banyak ketimbang bilangan rasional. Dan lagi, bilangan irasional juga bukan hanya didapat dari akar pangkat 2, tapi juga akar pangkat 3 dan irasional juga bukan hanya didapat dari akar pangkat 2, tapi juga akar pangkat 3 dan seterusnya. Hal ini mengakibatkan jumlah bilangan rasional menjadi tak terhingga lebih seterusnya. Hal ini mengakibatkan jumlah bilangan rasional menjadi tak terhingga lebih sedikit ketimbang bilangan irasional.

sedikit ketimbang bilangan irasional.

Meskipun bilangan rasional juga melingkupi pecahan, namun apabila pecahan tersebut Meskipun bilangan rasional juga melingkupi pecahan, namun apabila pecahan tersebut diakarkan (akar pangkat 2, 3, dan seterusnya), maka akan menghasilkan bilangan diakarkan (akar pangkat 2, 3, dan seterusnya), maka akan menghasilkan bilangan irasional.

irasional. Misalnya,

Misalnya, merupakan merupakan bilangan bilangan rasional, rasional, namun namun , , , , dan dan seterusnya seterusnya merupakanmerupakan bilangan irasional. Ternyata jumlahnya jauh lebih banyak bukan?

bilangan irasional. Ternyata jumlahnya jauh lebih banyak bukan? Kesimpulan: Dalam himpunan bilangan Real,

Kesimpulan: Dalam himpunan bilangan Real, jumlah bilangan irasional jauh lebihjumlah bilangan irasional jauh lebih banyak daripada jumlah bilangan rasional.

banyak daripada jumlah bilangan rasional.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-= Sekian pembahasan mengenai konsep bilangan rasional dan irasional. (Masih ada tingkat Sekian pembahasan mengenai konsep bilangan rasional dan irasional. (Masih ada tingkat lanjutannya.) Jika ada yang tidak d

lanjutannya.) Jika ada yang tidak dimengerti, tanya ajah.. ^^..imengerti, tanya ajah.. ^^.. Sumber: macem2, salah satunya

Sumber: macem2, salah satunya http://ariaturns.wordpress.com/2008/09/01/akar-2http://ariaturns.wordpress.com/2008/09/01/akar-2.. Thx for

Thx for http://jovieblog.blogspot.comhttp://jovieblog.blogspot.comjuga yang turut memberi inspirasi mengenai designjuga yang turut memberi inspirasi mengenai design blog.

blog.

10 comments: 10 comments:

Sistem Bilangan Real

August 10th, 2008 by aurino | Filed under

August 10th, 2008 by aurino | Filed under UncategorizedUncategorized..

Sistem Bilangan Real

Sebelum masuk ke dalam bilangan real, maka kita membahas terlebih dahulu konsep Sebelum masuk ke dalam bilangan real, maka kita membahas terlebih dahulu konsep

Himpunan

Himpunan (( sets sets)) Himpunan Himpunan adalaadalah h sekumpsekumpulan ulan obyek/obyek/unsur unsur dengan dengan kritekriteria/sria/syaratyarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan

tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S S disebut anggota (elemen)disebut anggota (elemen) S S . Himpunan yang. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi

(9)

Jika

Jika aa merupakan anggota himpunanmerupakan anggota himpunan S S , maka dituliskan, maka dituliskanaa ε ε S S dan dibaca “dan dibaca “a elemen S a elemen S “.“. Jika

Jika aa bukan anggota himpunanbukan anggota himpunan S S , , maka maka dituliskan dituliskan dan dan dibaca dibaca ““a bukan elemen S a bukan elemen S “.“. Hi

Himpmpununan an dadapapat t didisasajijikakan n dendengagan n 2 2 carcara. a. PePertrtamama, a, dedengngan an memenulnulisiskan kan seselulururuhh anggota

anggotanya. nya. SebagaSebagai i contohcontoh, , himpunhimpunanan A A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:

dapat dinyatakan sebagai: A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota Kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan

tersebut. Apabila himpunan A A di atas dinyatakan dengan cara di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:ini, maka dapat ditulis: A={x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}

A={x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}

Himpunan

Himpunan A A disebutdisebut himpunan bagianhimpunan bagian himpunanhimpunan B B, , ditulditulis is , , jika jika setiasetiap p anggotanggotaa A A merupakan anggota

merupakan anggota B B..

Beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting adalah Beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting adalah Himpunan semua bilangan asli

Himpunan semua bilangan asli adalahadalah N N ={1,2,3,…}={1,2,3,…}. . HimpuHimpunan nan ini tertutup terhadapini tertutup terhadap operas

operasi i penjumpenjumlahan lahan dan dan operasoperasi i perganpergandaan, daan, artiartinya nya dan dan untuk setiauntuk setiapp ..

Ole

Oleh h karkarena ena ititu, u, himhimpunapunan n semsemua ua bilbilangaangan n aslasli i memmembenbentuk tuk suasuatu tu sissistem tem dan dan biabiasasa disebut

disebut sistem bilangan asli sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk

bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat Sistem Bilangan Bulat , ditulis dengan notasi, ditulis dengan notasi Z

Z ,,

Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi

asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi QQ,,

Dal

Dalam am kehkehiduidupan pan nyanyata ta serseringingkalkali i dijdijumpumpai ai bilbilangaangan-bin-bilanlangan gan yanyang g tidtidak ak rasrasionional.al. Bi

Bilalangangan n yayang ng titidadak k rarasisiononal al didisesebutbut bilanbilangan gan irasioirasional nal . . ConContohtoh-con-contoh toh bilbilanganganan irasi

irasional onal antarantara a lain lain adalah adalah dandan π π .. Bilangan Bilangan adalah adalah panjanpanjang g sisi sisi mirimiring ng segitsegitigaiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1

(10)

Sedangk

Sedangkan an bilabilanganngan π π mermerupakupakan an hashasil il bagi bagi kelkeliliiling ng sebsebaraarang ng lilingkangkaran ran terterhadhadapap diameternya (Gambar 1.1.2).

diameternya (Gambar 1.1.2).

Himpun

Himpunan an semua bilangan semua bilangan irasiirasional onal bersabersama-sama-sama ma dengandengan QQ membenmembentuk tuk himpunhimpunanan semua bilangan real

semua bilangan real R R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real

ser

seringingkalkali i digdigunakunakan an carcaraa desimal desimal . . SebSebagaagai i concontohtoh, , bilbilangaangan-bin-bilanlangangan ma

masisingng-m-masasiing ng dadapapat t didinynyatatakakan an dadalalam m dedesisimamal l ssebebagagaiai

Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

salah satu dari 2 tipe berikut:

1

1.. bbeerrhheenntti i (( )), , aattaauu

2

2.. bbeerruullaanng g bbeerraattuurraan n (( ))..

Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka

bi