STRATEGI PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA (SPMM) 2 SKS/BY SUTOPO P MATEMATIKA FKIP UNS 2021

STRATEGI PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA (SPMM)

2 SKS/BY SUTOPO P MATEMATIKA FKIP UNS 2021

DESKRIPSI MATA KULIAH SPMM

 Mata Kuliah SPMM membahas tentang Langkah-langkah

pemecahan masalah matematika dan Strategi-

strategi/teknik yang digunakan dalam menyelesaiakan

masalah matematika pada materi Aljabar, Geometri,

Bilangan, Analisis dan Kombinatorik terutama untuk soal-

soal non rutin/Hots

LINGKUP MATERI KULIAH

 I. MASALAH MATEMATIKA/SOAL HOTS

 II. LANGKAH-LANGKAH PEMECAHAN MASALAH

 III. STRATEGI PEMECAHAN MASALAH

 IV. STRATEGI PEMECAHAN MASALAH BILANGAN

 V. STRATEGI PEMECAHAN MASALAH ALJABAR

 VI STRATEGI PEMECAHAN MASALAH KOMBINATORIK

 VII. STRATEGI PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI/TRIGONOMETRI

 VIII. KONSTRUKSI SOAL DAN ANALISIS PEMECAHANNYA

REFERENSI MATERI

 Mathematics Problem Solving and Problem-Based Learning for Joyful Learning in Primary Mathematics Instruction, sahid ; SEAMEO QITEP IN MATHEMATICS YOGYAKARTA, INDONES

 Problem-Solving Through Problems, Loren C Larson, Springer

 Problem-Solving Strategies, Athur Engel, Springer

PELAKSANAA N

KULIAH DAN

PENILAIAN

PERKULIAHAN

REMIDI

PENILAIAN

DESKRIPSI NILAI

MAHASISWA DIWAJIBKAN HADIR MINIMAL 75%

PERKULIAHAN DILAKUKAN SECARA DARING

PENILAIAN PERKULIAHAN MELIPUTI:

1)PARTISIPASI : 20%

2)PROJECT : 40%

3)KOGNITIF (UTS, UAS, QUIZ) : 40%

4,0:SKOR [85, 100] 2,7:SKOR [65,70) 3,7: SKOR [80, 85) 2,0:SKOR [60,65) 3,3: SKOR [75,80) 1,0:SKOR [55, 60)

3,0: SKOR [70, 75) 0,0:SKOR [0,55)

REMIDI DIBERIKAN JIKA NILAI UJIAN KURANG DARI 60 ATAU KONDISI TERTENTU KURANG DARI 70 (SESUAI KESEPAKATAN)

2 2

PENGERTIAN MASALAH MATEMATIKA

 Any mathematical task can be classified as either an exercise or a problem. An exercise is a task for which a procedure for solving is already known; usually it can be solved by applying one or more computational procedures directly. A problem is more complex because the strategy to get the solution may not immediately apparent; solving a problem requires some degree of creativity or originality on the part of the problem solver (Lenchner, 2005: 2). This difference can be illustrated by the following questions.

 Setiap tugas matematika dapat diklasifikasikan sebagai latihan atau masalah. Latihan adalah tugas yang prosedur pemecahannya sudah diketahui; biasanya ini dapat diselesaikan dengan menerapkan satu atau lebih prosedur komputasi secara langsung. Masalah adalah lebih kompleks karena strategi untuk mendapatkan solusi mungkin tidak langsung terlihat; memecahkan masalah membutuhkan beberapa tingkat kreativitas atau orisinalitas di pihak pemecah masalah (Lenchner, 2005: 2). Perbedaan ini dapat diilustrasikan oleh pertanyaan-pertanyaan berikan.

 Masalah dalam matematika yaitu adalah suatu persoalan matematika yang tidak dapat langsung ditemukan solusinya. Suatu pertanyaan atau persoalan akan menjadi masalah jika pertanyaan itu menunjukkan adanya suatu tantangan (chalange) yang tidak dapat dipecahkan oleh suatu prosedur rutin (routine procedure) yang sudah diketahui oleh si pelaku (Sofyan, 2014: 60).

 Ada dua kemungkinan dikatakan pertanyaan itu masalah, apabila:

1)suatu pertanyaan atau tugas akan menjadi masalah hanya jika pertanyaan atau tugas itu menunjukkan adanya suatu tantangan yang tidak dapat dipecahkan oleh suatu prosedur rutin yang sudah diketahui oleh penjawab pertanyaan,

2) suatu masalah bagi seseorang dapat menjadi bukan masalah bagi orang lain karena ia sudah mengetahui prosedur untuk menyelesaikannya.

 Misalkan ada dua belas koin 200 rupiah, tujuh koin 500 rupiah, empat koin 1000 rupiah.

1. Ada berapa koin?

2. Berapakah nilai total koin?

3. Himpunan koin mana yang memiliki nilai terbesar, set 200 rupiah, 500 rupiah, atau 1000 rupiah?

4. Berapa banyak jumlah uang berbeda yang dapat dibuat dengan menggunakan satu atau lebih koin dari koleksi ini?

5. Berapa banyak kombinasi berbeda dari satu atau lebih koin yang dapat dibuat dari koleksi ini?

Untuk soal no 1-3 : latihan Untuk soal no 4-5 : Masalah

DEFINISI MASALAH MATEMATIKA

 Masalah Matematika : Suatu soal/persoalan matematika dimana strategi untuk mendapatkan solusi mungkin tidak langsung terlihat, membutuhkan beberapa tingkat kreativitas atau orisinalitas untuk memecahkannya.

 Contoh:

 Persamaan garis 2x+3y=12 memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B. T adalah titik tengah AB, persamaan garis yang melalui T dan tegak lurus garis 2x+3y=2 adalah...

 Diketahui dua lingkaran masing-masing berpusat di P dan C. Kedua ligkaran tersebut berpotongan di A, dan

perpanjangan PA memotong lingkaran yang pusatnya C di B. Jika PA = 3 cm, BC = 4 cm dan PC = 6 cm, maka AB =

… cm.

 Persamaan garis 2x+3y=12 memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B. T adalah titik tengah AB, persamaan garis yang melalui T dan tegak lurus garis 2x+3y=2 adalah...

 Jawab.

 Menentukan titik potong dengan sb x dan sb y, yaitu A(6,0) dan B(0,4)

 Menetukan titik tengah AB, misalkan C, didapat C(3,2)

 Menentukan gradian garis 2x+3y =2 yaitu -2/3

 Menentukan gradient garis yang dicari yaitu m=3/2

 Menentukan persamaan garis yang melalui C dengan m=3/2 yaitu y-2=3/2(x-4) atau 2y-4=3x-12 atau 3x-2y +4=0

 Diketahui dua lingkaran masing-masing berpusat di P dan C. Kedua ligkaran tersebut berpotongan di A, dan perpanjangan PA memotong lingkaran yang pusatnya C di B. Jika PA = 3 cm, BC = 4 cm dan PC = 6 cm, maka AB = … cm.

 Jawab.

 Kemungkinan pertama: Misalkan titik potong PC dengan lingk besar di D dan E, maka panjang DC=BC=CE=4

 Talibusur ED dan BA berpotongan di P (diluar link) sehingga berlaku PD.PE=PA.PB atau 2x10=3(3+AB), AB=11/3

 Kemungkinan kedua : Pandang segitiga PCB dan A sebarang titik di PB. Dengan dalil stewart berlaku (AC)^2.(PB)=(AB).(PC)^2+(AP).(BC)^2 atau 16(3+x)=x.36+3.16-3.x (3+x) atau 48+16x=36x+48-9x-3x^2 atau didapat 3x^2-11x=0, jadi x=0 atau x=11/3

 Kemungkinan ketiga:

D

KLASIFIKASI SOAL/TUGAS MATEMATIKA

KLASIFIKASI TUGAS/SOAL MATEMATIKA (FOONG DLM IN LEE 2007)

1. Textbook exercises (soal rutine ):

Soal yang diberikan sebagai praktik di akhir pembelajaran dan dapat diselesaikan secara langsung menggunakan prosedur atau keterampilan yang baru saja dipelajari

Contoh: Dua mata uang logam dilambungkan (dilemparkan) sekali secara bersama-sama. Peluang muncul dua angka adalah ...

2. Problems: Tidak memiliki solusi segera dan orang yang dihadapkan padanya menerimanya sebagai tantangan dan perlu berpikir sejenak untuk menanganinnya

KLASIFIKASI TUGAS/SOAL MATEMATIKA (FOONG DLM IN LEE 2007)

3. Closed problems: tugas yang terstruktur dengan baik dan dirumuskan dengan jelas, di mana satu jawaban yang benar selalu ditentukan dalam beberapa cara tetap dari data yang diperlukan yang diberikan dalam situasi masalah.

Masalah tertutup ini termasuk masalah tantangan beberapa langkah rutin khusus konten, masalah berbasis heuristik non-rutin. Untuk memecahkan masalah ini, pemecah membutuhkan pemikiran yang produktif daripada mengingat dan harus menghasilkan beberapa keterampilan proses atau beberapa langkah penting

4. Challenge sums: masalah menantang yang dapat diselesaikan dengan menggunakan dan setelah mempelajari topik matematika tertentu (seperti topik aritmatika seperti bilangan bulat, pecahan, rasio, persentase, dengan operasi aritmatika seperti penjumlahan, perkalian, atau pembagian, ) tetapi membutuhkan keterampilan berpikir analitis tingkat tinggi.

5. Non-routine problems (process problem): masalah yang tidak familiar atau tidak spesifik domain untuk topik apapun dalam silabus yang membutuhkan strategi heuristik untuk mendekati dan menyelesaikannya. Masalah- masalah ini seringkali memuat banyak kasus untuk diatur dan dipertimbangkan oleh siswa. Persyaratan konten matematika harus dikuasai sebelumnya oleh siswa untuk menyelesaikan masalah tersebut.

6. Open-ended problems (often considered as 'ill-structured problems'): masalah yang tidak memiliki rumusan yang jelas karena ada data atau asumsi yang hilang dan tidak ada prosedur tetap yang menjamin solusi yang tepat. Ini termasuk masalah dunia nyata terapan, penyelidikan matematika dan pertanyaan terbuka pendek.

7. Applied real-world problems: masalah yang terkait atau berasal dari situasi sehari-hari. Untuk memecahkan masalah semacam ini, individu perlu memulai dengan situasi dunia nyata dan kemudian mencari ide matematika yang mendasari yang relevan.

8. Mathematical investigations: kegiatan terbuka bagi siswa untuk mengeksplorasi dan memperluas suatu karya matematika murni untuk kepentingannya sendiri. Kegiatan dapat berkembang dengan cara yang berbeda bagi siswa yang berbeda untuk menyediakan mereka mengembangkan sistem mereka sendiri untuk menghasilkan hasil dari eksplorasi, tabulasi data untuk mencari pola, membuat dugaan dan mengujinya, dan membenarkan dan menggeneralisasikan temuan mereka. Biasanya, kegiatan ini membutuhkan strategi alternatif, perlu menanyakan pertanyaan 'bagaimana jika ...' dan mengamati perubahan.

 Short open-ended problems:

masalah terstruktur sederhana yang memiliki banyak kemungkinan jawaban dan dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Biasanya masalah semacam ini digunakan untuk mengembangkan pemahaman yang lebih dalam tentang ide-ide matematika dan komunikasi pada siswa.

Tugas terbuka membutuhkan kognitif tinggi seperti: 1)membuat asumsi sendiri tentang data yang hilang; 2) mengakses pengetahuan yang relevan, 3) menampilkan pengertian angka dan pola pengelompokan yang sama, 4) menggunakan strategi pencatatan sistematis, 5) Mengkomunikasikan argumen menggunakan beberapa model representasi, dan 6) Menampilkan kreativitas dalam berbagai strategi dan solusi sebanyak mungkin.

PEMECAHAN MASALAH POLYA



Menurut Polya (1973: 5) menyatakan bahwa “Solving a problem means

finding a way out of a difficuly, a way around an obstacle, attaining an aim

that was not immediately understandable”. Hal ini berarti pemecahkan

masalah merupakan suatu usaha untuk mencari jalan keluar dari berbagai

kesulitan, dimana cara tersebut masih dikelilingi sejumlah hambatan, dan

untuk mencapai tujuan tersebut memerlukan suatu usaha yang tidaklah

mudah untuk segera dicapai

LANGKAH-LANGKAH PEMECAHAN MASALAH

 Memahami masalah (Understand the problem).

Pada tahap ini masalah harus dibaca dengan cermat dan teliti, jika perlu bisa baca secara berulang agar mampu memahami isi dari suatu masalah yang diberikan. Sehingga dapat dinyatakan sendiri seperti beberapa hal yaitu mengetahui apa yang ditanyakan pada masalah, apa saja petunjuk yang diketahui maupun yang tidak diketahui, serta apa hubungan dari antara keduanya.

 Membuat rencana penyelesaikan masalah (Make a plane).

Setelah memahami masalah, maka langkah selanjutnya ialah membuat rencana penyelesaian masalah. Jika siswa sudah mendapatkan informasi dari apa yang ditanyakan dan apa yang diketahui, selanjutnya siswa memikirkan

langkah apa saja yang harus dilakukan untuk memecahkan masalah. Mulai dari memikirkan strategi, metode, rumus, serta prosedur menyelesaikan masalah yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah.

 Melaksanakan rencana (Carry out the plan).

Pada tahap ini siswa akan mengimplementasikan hasil dari tahap pertama dan tahap kedua. Siswa akan mulai

mengerjakan soal sesuai dengan rencana yang telah dibuat, mulai dari strategi, metode serta prosedur yang telah direncanakan sebelumnya.

 Memeriksa kembali jawaban (look back).

Pada tahap ini siswa memeriksa kembali hasil dari jawabannya. Siswa mengecek kembali apakah jawaban sudah dikerjakan dengan langkah-langkah yang benar atau belum. Jika masih ada yang belum sesuai maka siswa dapat membenarkan jawabannya kembali. Pada tahap ini sangat penting, karena mengajarkan siswa untuk lebih teliti dan cermat serta berhati-hati dalam mengerjakan soal.

CONTOH PEMECAHAN MASALAH POLYA

 Misalkan 6 orang hadir dalam acara makan malam bersama. Mereka disediakan tiga meja bundar masing masing terdapat tiga kursi yang mengitarinya. Agar mereka tidak terganggu dengan tamu yang lain, maka tiap meja harus ada yang menempati. Tentukan banyak kemungkinan mereka mengatur tempat duduknya, dengan catatan ketiga meja tersebut dianggap identi/sama.

 Gunakan langkah Polya

 Memahami masalah:

*) Mengungkap kembali soal tersebut dengan kalimat sendiri

*) Menuliskan yang diketahui dan ditanyakan

Diketahui : Ada 6 orang, misal A, B, C, D, E dan tiga meja masing-masing dengan tiga kursi yang mengitari (boleh dengan gambar)

Ditanyakan : Banyak cara mereka menempati tempat duduk yang tersedia

 Membuat Rencana penyelesaian:

Membuat illustrasi/gambar dari dari yang diketahui

Misalkan ke enam orang tersebut A, B, C, D, F, G Membuat kelompok orang menjadi 3 (karena ada 3 meja dan tidak boleh kosong)

Meja identic, berarti urutan kelompok tidak masalah/tidak berbeda.

Tiap satu kelompok ada kemungkinan tukar tempat duduk.

 Menjalankan Rencana:

Membentuk 3 kelompok, maka kelompok yang mungkin : 1) 3, 2, 1 2) 2, 2,2 untuk kemungkinan 1).

a. Banyak cara membentuk kelompok 𝐶₃⁶𝐶₂³ 𝐶₁¹.

b. Banyak cara membentuk menempatkan pd tempat duduk𝐶₃⁶ 𝐶₂³ 𝐶₁¹ . 2! . 1!. 0! = 20.3.1.2.1.1 = 120 𝑐𝑎𝑟𝑎 untuk kemungkinan 2).

a. Banyak cara membentuk kelompok 𝐶₂⁶ 𝐶₂⁴ 𝐶₂²

b. Banyak cara menempatkan mereka pada tempat duduk : 𝐶₂⁶ 𝐶₂⁴ 𝐶₂² . 1! 1! 1! = 15.6.1.1.1.1=90 cara Jadi banyaknya cara adalah 120+90=210 cara

 Menguji/mengecek hasil

Untuk mengecek kembali :

a. bisa ditelusuri langkah-langkah yang dilakukan dengan detail

Misalkan mengecek pembentukan kelompok: maka setiap kemungkinan harus berjumlah 6 Mengecek kemungkinan menempatkan tempat duduk,

Misal meja 1 A, B, C karena melingkar maka permutasi siklik : ada 2 yaitu ABC atau ACB tetapi CAB, BCA, sama ABC, dan CBA, BAC sama dengan ACB, sehingga 2.1.1=2 dan kelompoknya ada 60 maka ada 120 dst

Mengembalikan pada persoalan kembali dan memenuhi.

TERIMA KASIH

9/24/2021 25